Komplexe Schwingungen

Ergänzung
Komplexe
Schwingungen
• Darstellung harmonischer Schwingungen
• Überlagerung harmonischer Schwingungen
Komplexe Schwingungen – Darstellung
Harmonische Schwingungen
Harmonische Schwingungen werden als Sinusschwingungen geschrieben:
y(t) = A · sin (ωt + ϕ)
Dabei:
Amplitude A, Kreisfrequenz ω, Phase ϕ
Sowie:
ω
,
Frequenz
f
=
Schwingungsdauer T = 2π
ω
2π
Mathematik kompakt
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Komplexe Schwingungen – Darstellung
Harmonische Schwingungen
Harmonische Schwingungen werden als Sinusschwingungen dargestellt:
y(t) = A · sin (ωt + ϕ)
y
A
}
Mathematik kompakt
t
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Komplexe Schwingungen – Darstellung
Darstellung im Komplexen
Harmonische Schwingungen werden im Komplexen
als rotierende Zeiger dargestellt:
y(t) = A · ei(ωt+ϕ) = A ·eiϕ ·eiωt
=:A
Im
y(t)
A
t
A
Re
Der momentane (reelle) Wert der Sinusschwingung
entspricht dabei dem Imaginärteil des rotierenden
(komplexen) Zeigers.
Mathematik kompakt
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Komplexe Schwingungen – Ueberlagerung
Die komplexe Schreibweise dient insbesondere dazu, gleichfrequente sinusförmige Schwingungen zu
überlagern:
y1 = A1 · sin(ωt + ϕ1)
y2 = A2 · sin(ωt + ϕ2)
Die resultierende Schwingung y1 + y2 ist wiederum
eine harmonische Schwingung:
y = A · sin(ωt + ϕ)
mit zu berechnender Amplitude A und Phase ϕ.
Mathematik kompakt
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Komplexe Schwingungen – Ueberlagerung
Beispiel
y1 = 4 · sin(2t)
y2 = 3 · sin(2t + π/3)
6
y
4
2
0
-2
0
2
4
6
8
t
-2
-4
-6
Die resultierende Schwingung y1 + y2 ist dann:
6
y
4
2
0
-2
0
-2
2
4
6
8
t
-4
-6
Mathematik kompakt
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Komplexe Schwingungen – Ueberlagerung
Vorgehen: Addition gleichfrequenter
Schwingungen
Zwei vorgegebene Schwingungen, die überlagert werden sollen:
y1 = A1 · sin(ωt + ϕ1)
y2 = A2 · sin(ωt + ϕ2)
• komplex schreiben
y1 = A1 · eiϕ1 · eiωt = A1 · eiωt
y2 = A2 · eiϕ2 · eiωt = A2 · eiωt
• Superposition
y = y1 + y2 = (A1 + A2) · eiωt = A · eiωt
• zurück reell schreiben
y = Im(y)
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Komplexe Schwingungen – Ueberlagerung
Unter der Superposition versteht man dabei die Addition komplexer Zahlen:
A = A1 + A2
Im
A = A1 + A 2
A2
A
A1
Re
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Komplexe Schwingungen – Ueberlagerung
Beispiel: Addition gleichfrequenter
Schwingungen
Zwei vorgegebene Schwingungen, die überlagert werden sollen:
y1 = 4 · sin(2t)
y2 = 3 · sin(2t + π/3)
Zunächst: Schwingungen komplex schreiben
= 4
·ei2t
y1 = 4 · ei2t
y2 = 3 · ei(2t+π/3) = 3eiπ/3 ·ei2t
Superposition:
iπ/3
y1 + y2 = 4 + 3e
· ei2t
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Komplexe Schwingungen – Ueberlagerung
Superposition, komplexe Addition
iπ/3
y1 + y2 = 4 + 3e
· ei2t
4 + 3eiπ/3 = 4 + 3 cos π/3 +√
3i sin π/3
= 4 + 3 · 0, 5 + 3i 3/2
= 5, 5 + 2, 598i
5, 52 + 2, 5982 = 6, 08
|A|
=
tan ϕ = 2, 598/5, 5 = 0, 4724
ϕ
= arctan 0, 4724 = 0, 44
y = y1 + y2 = 6, 08 · ei0,44 · ei2t
Mathematik kompakt
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Komplexe Schwingungen – Ueberlagerung
Die komplexe Addition lieferte für die Superposition
der beiden Schwingungen:
y = y1 + y2 = 6, 08 · ei0,44 · ei2t
Damit ergibt sich für die resultierende Schwingung
in reeller Schreibweise:
y = 6, 08 · sin(2t + 0, 44)
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Komplexe Schwingungen – Ueberlagerung
Übung
Berechnen Sie die Superposition folgender Schwingungen:
√
3 · sin(ωt + π/2)
y1 =
y2 = sin(ωt)
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Komplexe Schwingungen – Ueberlagerung
Lösung
Zwei vorgegebene Schwingungen, die überlagert werden sollen:
√
y1 =
3 · sin(ωt + π/2)
y2 = sin(ωt)
Zunächst: Schwingungen komplex schreiben
√
√
y1 =
3 · eiπ/2 · eiωt =
3 · eiπ/2
y2 = eiωt
= 1
·eiωt
·eiωt
Superposition:
y = y1 + y2 =
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√
iπ/2
3·e
+ 1 ·eiωt
=:A
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Komplexe Schwingungen – Ueberlagerung
√
A = √3 · eiπ/2 + 1 √
=
3 cos
√ π/2 + 3i sin π/2 + 1
= 1+i 3
√
1 + 3√= 2
|A| =
ϕ = arctan 3/1 = 1, 047
y = y1 + y2 = 2 · ei1,047 · eiωt
y = 2 · sin(ωt + 1, 047)
Mathematik kompakt
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