Theoretische Physik III (Thermodynamik und Statistik) für LA

Institut für Theoretische Physik
PD Dr. Michael Seidl
26.5.2013
Theoretische Physik III (Thermodynamik und Statistik) für LA
Übungsblatt 6
Aufgabe 1: Fundamentalform
Gewinnen Sie für das klassische ideale Gas mit den Zustandsgleichungen
pV = nRT,
U=
f
nRT
2
die Energie als Funktion U(S, V, n) der unabhängigen Variablen S (Entropie), V und n.
Verifizieren Sie an dem resultierenden Ausdruck die Beziehungen
∂U ∂S
V,n
= T,
∂U ∂V
S,n
= −p.
Aufgabe 2: Van der Waals-Gas
(Staatsexamensaufgabe von 2006)
1. Es gelte als bewiesen, dass die Zustandsgleichung eines klassischen Gases durch die
Virialentwicklung in Potenzen der Dichte n = N/V beschrieben werden kann:
P = P (T, V ) = kB T
∞
X
l=1
al (T )
N
V
l
.
(1)
Die Virialkoeffizienten al sind nur von der Temperatur abhängig und berücksichtigen
die Wechselwirkung der Moleküle. Welchen Werten von al entspricht das ideale Gas?
2. Andererseits kennt man als Näherung für ein verdünntes Gas mit intermolekularer
Wechselwirkung die van der Waals-Gleichung
N2
(2)
P + a 2 (V − Nb) = NkB T.
V
• Man bringe Gleichung (2) auf die Form (1), wobei man alle Terme von höherer
Ordnung als n2 vernachlässige (Grenzfall niedriger Dichte).
• Was ergibt sich dabei aus dem Vergleich der Gleichungen (1) und (2) für den
zweiten Virialkoeffizienten a2 (T )?
• Welche anschauliche Bedeutung kann man den Korrekturen Nb und an2 (im
Vergleich zur Zustandsgleichung des idealen Gases) zuschreiben?
3. Die Gleichung (2) beschreibt qualitativ den Phasenübergang vom Gas zur Flüssigkeit.
Bei hoher Temperatur sind die Isothermen P = P (V )|T monoton fallend. Bei tiefer
Temperatur haben sie zwei Extrema; bei gegebenen Druck gibt es dann mehrere
(davon zwei thermodynamisch stabile) Werte von V (bzw. der Dichte n), welche
die Zustandsgleichung erfüllen: Dampf und Flüssigkeit koexistieren.
1
• Skizzieren Sie qualitativ diese Isothermen. Die kritische Temperatur Tc ist
diejenige, bei der die Nullstellen der ersten und zweiten Ableitung von P (V )|T
gerade zusammenfallen. Skizzieren Sie auch die kritische Isotherme und auf
ihr den kritischen Punkt.
• Aus dieser Bedingung bestimme man das kritische Volumen Vc , die kritische
Temperatur kB Tc und den kritischen Druck Pc als Funktion der van der WaalsParameter a und b. Man zeige insbesondere, dass gilt:
3
Pc Vc = NkB Tc .
8
4.
(3)
• Man drücke die Konstanten a und b in der van der Waals-Gleichung P =
P (T, V ) durch Vc und Tc aus.
• Damit berechne man die isotherme Kompressibilität
1 ∂V
κT = −
V ∂P T
(4)
für V = Vc .
• Welches Verhalten zeigt κT bei festgehaltenem V = Vc , wenn die Temperatur
gegen Tc geht? Welche physikalische Bedeutung hat dieses Verhalten?
5.
• Man zeige, dass für jedes System für den Wärmeausdehnungskoeffizienten α =
1/V (∂V /∂T )P gilt:
∂P
α = κT
.
(5)
∂T V
Hinweis: Gleichung (5) lässt sich am leichtesten zeigen, indem man das Differential von P = P (V, T ) bildet.
• Welches Verhalten zeigt α beim van der Waals-Gas für V = Vc bei Annäherung
an Tc ?
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