Winkelbetrachtungen - Luitpold

Winkelbetrachtungen
Entdeckungen an Geraden- und Doppelkreuzungen
Schneiden sich zwei Geraden, so entstehen vier Winkel mit Scheitel im Schnittpunkt.
Jeweils zwei gleichgroße Winkel liegen sich dabei gegenüber – man nennt diese
Scheitelwinkel.
Zwei benachbarte Winkel hingegen nennt man Nebenwinkel.
Zwei Nebenwinkel ergeben zusammen 180°.
In der Zeichnung unten sind α und β , β und γ , γ und δ , δ und α Nebenwinkel.
Scheitelwinkel sind α und γ oder β und δ.
Werden zwei parallele Geraden a und b von einer dritten Gerade c geschnitten, so
entsteht eine Doppelkreuzung mit zwei Schnittpunkten P und Q.
Diese Schnittpunkte sind jeweils von vier Winkeln umgeben.
Wechselwinkel:
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Im Bild gleichfarbig gekennzeichnete Winkel sind Paare von Wechselwinkeln.
Sie liegen bezüglich c und bezüglich der Parallelen a und b auf unterschiedlichen
Seiten.
Wechselwinkel sind gleich groß.
Stufenwinkel:
In Bild gleichfarbig gekennzeichnete Winkel sind Paare von Stufenwinkeln.
Sie befinden sich auf derselben Seite von c und sind bezüglich der Parallelen a und b
ebenfalls auf derselben Seite.
Stufenwinkel sind gleich groß.
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Beispielaufgabe 1
Die Gerade a ist parallel zur Geraden b:
a || b
α2 ist somit der Stufenwinkel von α1 und der Scheitelwinkel zu α3.
α3 ist der Wechselwinkel von α1.
α1, α2 und α3 sind somit gleich groß.
β2 ist der Stufenwinkel von β1 und der Scheitelwinkel zu β3.
β3 ist der Wechselwinkel von β1.
β1, β2 und β3 sind somit gleich groß.
γ1 ist der Scheitelwinkel zu γ2.
Diese beiden Winkel sind somit gleich groß.
α1, β1 und γ1 ergeben zusammen 180°.
Ebenso ergeben in diesem Beispiel jeweils 3 nebeneinanderliegende Winkel an einer
Gerade 180°. So zum Beispiel α3, β3 und γ1, sowie α2, β2 und γ2.
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Beispielaufgabe 2
In dieser Aufgabe sollen die Größen der beiden Winkel γ und δ berechnet werden.
Dazu wird zuerst eine Parallele zu a bzw. b durch den Punkt E gezeichnet.
Nun kann man alle Stufen- und Wechselwinkel einzeichnen.
So ist α der Wechselwinkel von α2 und β der Wechselwinkel von β2.
Damit ergibt sich: δ = α2 + β2 = 80° + 70° = 150°.
Mit dieser Information kann man nun auch γ berechnen, da: 360°- δ = γ
→ 360°- 150° = 210°
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Entdeckungen an Dreiecken und Vierecken
Dreiecke:
Die Summe aller Innenwinkel im Dreieck beträgt 180°.
Begründung:
α2 ist der Wechselwinkel von α und β2 ist der Wechselwinkel β.
→ α2 + β2 + γ = 50° + 60° + 70° = 180°
Sind zwei Innenwinkel bekannt, berechnet man den dritten,indem man die
angegebenen Winkel von 180° abzieht.
Viereck:
Die Summe aller Innenwinkel eines Vierecks beträgt 360°.
Begründung:
Verbindet man zwei gegenüberliegende Ecken eines Vierecks, entstehen zwei
Dreiecke. Jedes dieser Dreiecke hat die Innenwinkelsumme von 180°.
Die Innenwinkelsumme des gesamten Vierecks beträgt also 360°, da:
180°+180°=360°.
Sind drei Innenwinkel bekannt, berechnet man den vierten, indem man die
angegebenen Winkel von 360° abzieht.
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n-Eck:
Die Summe der Innenwinkel in einem n-Eck beträgt
(n−2)⋅180 °
Beispiel:
Dieses n-Eck hat 7 Ecken, also ergibt sich für die Innenwinkelsumme:
(7-2)*180° = 5*180 = 900° → Die Innenwinkelsumme eines Siebenecks beträgt 900°.
Beispielaufgabe 3 (BMT 8 2008 Aufgabe 5a)
Wie viele Ecken hat ein n-Eck mit der Innenwinkelsumme 720°?
Um diese Frage beantworten zu können, müssen wir die Formel (n-2)*180° nach n
auflösen:
(n-2)*180° = 720° |:180°
n-2 = 720°:180°
n-2 = 4
|+2
n=6
→ Ein n-Eck mit der Innenwinkelsumme 720° hat 6 Ecken.
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Beispielaufgabe 4 (BMT 8 2010 Aufgabe 2)
Die Geraden AB und CD sind parallel.
Berechne die Größe ε. Gib zu jedem Lösungsschritt ein erklärendes Stichwort an.
Zunächst werden die Winkel γ und δ eingezeichnet und anschließend berechnet.
γ ist der Stufenwinkel zu α und hat somit ebenfalls 77°.
Zwei nebeneinanderliegende Winkel an einer Geraden ergeben zusammen 180°.
Somit ergibt sich für δ: 180° - 136° = 44°.
Die Innenwinkelsumme eines Dreieckes beträgt stets 180°.
Für das Dreieck CED gilt also: γ+ δ + ε = 180°
Löst man diese Gleichung nach ε auf, ergibt sich:
ε = 180° - γ – δ = 180° - 77° - 44° = 59°
ε hat somit 59°.
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Beispielaufgabe 5 (BMT 8 2011 Aufgabe 2a)
Betrachtet wird ein beliebiges Trapez ABCD mit AB || CD.
Welcher Zusammenhang besteht zwischen den Winkeln β und γ in jedem Trapez ABCD
mit AB || CD?
Welche der folgenden Antwortmöglichkeiten sind richtig?
– β + γ < 360°
– γ = 90°+ β
– γ=2*β
– ß = 180° - γ
– ß<γ
Richtig ist ß = 180° - γ.
Begründung: Wenn man den Wechselwinkel von ß einzeichnet, kann man erkennen,
dass ß und γ zusammen 180° ergeben müssen, da es sich dabei um
nebeneinanderliegende Winkel an einer Gerade handelt.
Es gilt also: 180° = ß + γ
Löst man diese Gleichung nach ß auf, ergibt sich: ß = 180° - γ
Ebenfalls richtig ist β + γ < 360°.
Begründung: ß und γ ergeben zusammen 180° und sind somit kleiner als 360°.
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