α α α

Die Arbeit
„Arbeit W wird verrichtet, wenn eine Kraft entlang eines Weges wirkt.“
r r
Die Kraft sei konstant: W = F ⋅ s = F ⋅ s ⋅ cos α
Kraftrichtung
α
Wegrichtung
Arbeit: positiv
Kraftrichtung
α
Wegrichtung
Arbeit: negativ
Kraftrichtung
α
Wegrichtung
Arbeit: Null
0 ≤ α < 90° bzw.: cos α > 0 ⇒ W = Fs cos α > 0
Dem System, an dem die Kraft wirkt, wird Arbeit zugeführt.
Beispiel: Ein Körper wird mit Hilfe der Muskelkraft vom Boden auf einen Tisch
gehoben. Die dazu erforderliche Arbeit wird dem Körper zugeführt.
90° < α ≤ 180° bzw.: cos α < 0 ⇒ W = Fs cos α < 0
Dem System, an dem die Kraft angreift, wird Arbeit entzogen, d.h. das System
verrichtet Arbeit.
Beispiel: Ein bewegter Wagen wird mit Hilfe der Muskelkraft gebremst.
α = 90° bzw.: cos α = 0 ⇒ Fs cos α = 0
Beispiel: Erde – Mond. Die Erde verrichtet keine Arbeit am Mond, weil an
jedem Punkt die Kraft senkrecht zu Kreisbahntangente an diesem Punkt ist
Beispiel
r
F2 = 25 N
r
F1 = 30 N
Bewegungsrichtung
s = 2m
W1 = F1 s cos α 1 = F1 s cos 0° = F1 s = 30 N ⋅ 2m = 60 Nm
W2 = F2 s cos α 2 = F2 s cos180° = − F2 s = −25N ⋅ 2m = -50 Nm
W = W1 + W2 = 60 Nm − 50 Nm = 10 Nm = 10J
oder :
W = ( F1 − F2 ) s cos α1 = (30 N − 25N) ⋅ 2m = 10J
Die Kraft ist nicht konstant entlang des Weges:
r
Weg in Wegelemente ∆s zerlegen, für die die Kraft konstant ist:
∆Wi = Fi ⋅ ∆si ⋅ cos α i
n
n
i =1
i =1
W = ∑ ∆Wi = ∑ Fi ⋅ ∆si ⋅ cos α i
Einheit: 1 Joule = 1J = 1 Nm
r r
W = lim ∑ Fi ⋅ ∆si ⋅ cos α i = ∫ F (cos α )ds = ∫ F ⋅ ds
n
∆s → 0 i =1
s2
s2
s1
s1
Übung: Richtig oder Falsch?
•
Nur die Gesamtkraft, die an einem Körper angreift, kann Arbeit verrichten.
•
An einem Teilchen das ruht wird keine Arbeit verrichtet.
•
Eine Kraft, die stets senkrecht zur Geschwindigkeit eines Teilchens steht,
verrichtet an ihm keine Arbeit.
•
Die Arbeit hat stets die gleiche Richtung wie die Kraft, die die Arbeit
verrichtet.
Verschiedene Formen mechanischer Arbeit
1. Hubarbeit
Ein auf der Erdoberfläche liegender Körper mit der Masse m soll mit
konstanter Geschwindigkeit um die Höhe h gehoben werden. Dazu
muss Arbeit gegen die nach unten wirkende Gewichtskraft verrichtet
werden. Die nach oben gerichtete
r
r Kraft muss den gleichen Betrag wie
die Gewichtskraft haben F = − FG .
r r
W = F ⋅ h = Fh cos α = mgh
Reibungsfreie schiefe Ebene:
vektorielle Schreibweise:
z
s
− mg sin α
h
α FG = -mg
r r
W = F ⋅s
α
W = + mg sin α ⋅ s ⋅ cos 0 = mg ⋅ s ⋅ sin α = mgh
y
x
 0   − s cos α 
  

W = 0 ⋅0

 mg   s sin α 
  

W = 0 + 0 + mgs sin α = mgh
2. Beschleunigungsarbeit
Arbeit, die aufgewendet werden muss um die Geschwindigkeit eines
Körpers zu vergrößern.
Einfacher Fall:
Auf einen Körper der Masse m muss beir einer gleichmäßigen
r
Beschleunigung a die konstante Kraft F wirken.
r r
r
s
s
Wenn der Körper
dabei den Weg
(mit: || a ) zurücklegt, so ergibt sich für
r
r
die Arbeit: W = F ⋅ sr = Fs cos( F , sr ) = Fs = mas
Wenn der Körper aus der Ruhe heraus beschleunigt wird gilt:
1 v2
1 2
v = at und, s = at und somit: s =
.
2
2a
1
Setzt man dies in die obige Formel für die Arbeit ein, ergibt sich: W = mv 2
2
Dieser Zusammenhang gilt allgemein. Wird ein Körper von der
Anfangsgeschwindigkeit v1 auf die Geschwindigkeit v2 beschleunigt muss
1 2 1 2 1
2
2
die Arbeit W = mv2 − mv1 = m(v2 − v1 ) am Körper verrichtet werden.
2
2
2
3. Spannarbeit
Die beim Spannen einer Feder auftretende, rücktreibende Kraft ist nicht
konstant, sondern der jeweiligen Federdehnung x proportional.
F = Dx
Hookesches Gesetz:
D: Federkonstante
Arbeit, die aufgewendet werden muss um eine Schraubenfeder aus dem
ungespannten Zustand x = 0 um den Betrag x zu dehnen:
Die zur Dehnung um das Stück ∆x
erforderliche Arbeit ist: ∆W = F ⋅ ∆x = Dx ⋅ ∆x
F=Dx
x
x=0 x
Gesamte erforderliche Arbeit:
n
n
i =1
i =1
W = ∑ ∆W = ∑ Fi ⋅ ∆xi = ∑ Dxi ⋅ ∆xi
n
x
i =1
0
W = lim ∑ Dxi ⋅ ∆xi = ∫ Dxdx =
∆x → 0
1 2
Dx
2
Um bei einer Feder die Dehnung vom Betrag x1 auf den Betrag x2 zu steigern,
x2
ist die Spannarbeit W =
∫ Dxdx =
x1
1
D (x22 − x12 ) erforderlich.
2
Arbeitsdiagramm für die Hubarbeit:
F
W = mgh
W
z
h
Arbeitsdiagramm für die Spannarbeit:
F
F=Dx
W=
W
0
x
x
1 2
Dx
2
Energie
• In einem physikalischen System gespeicherter Vorrat an Arbeitsvermögen.
• Energie und Arbeit sind gleichartige physikalische Größen.
In der Mechanik treten zwei verschiedene Formen der Energie auf:
Potentielle Energie:
Arbeitsfähigkeit eines Körpers aufgrund seiner Lage Lageenergie.
Der Nullpunkt kann beliebig gewählt werden, deshalb kann immer nur die
Energiedifferenz für zwei Orte angegeben werden.
∆E pot = mg ( h2 − h1 )
Die elastische Energie kann als besondere Art der potentiellen Energie
betrachtet werden.
∆Eelast =
1
D ( x22 − x12 )
2
Kinetische Energie
Arbeitsfähigkeit die ein Körper aufgrund seiner Geschwindigkeit besitzt.
1
E kin = mv 2
2
• Energie kann von einem auf einen anderen Körper übertragen werden.
• Energie kann an dem gleichen Körper in anderer Form in Erscheinung treten.
Energieerhaltungssatz der Mechanik
Wenn bei mechanischen Vorgängen eine Umwandlung von potentieller in
kinetische Energie oder umgekehrt erfolgt, so bleibt bei Reibungsfreiheit die
Summe der beiden Energieformen zeitlich konstant.
Beispiel: Freier Fall
E pot = mgh
Durchfallen der Strecke x:
h
x
E pot = mg ( h − x), E kin = mgx
1 2
v2
x = gt , v = gt ⇒ x =
⇒
2
2g
1
E kin = mv 2
2
Für jede beliebige Fallstrecke x ist also: E ges = E pot + E kin = konstant
Physikalische Systeme, die dieser Bedingung genügen werden als
konservative Systeme bezeichnet. Die in solchen Systemen wirkenden Kräfte
nennt man konservative Kräfte.
Konservative Kräfte
• Schwerkraft
Definition der potentiellen Energie E pot über
die Arbeit, die eine konservative Kraft
• Federkraft
verrichtet:
Nichtkonservative Kräfte
• Reibungskräfte
Die Arbeit, die eine konservative Kraft
an einem Massenpunkt verrichtet, ist
unabhängig davon, auf welchem Weg
sich der Massenpunkt von einem Ort
zum anderen bewegt.
Bewegt sich ein Massenpunkt unter
dem Einfluss einer konservativen Kraft
auf einer geschlossenen Bahn, so ist
die Arbeit Null.
r
r
= − ∫ Fkonservativ ⋅ ds
s2
∆E pot
s1
W = mgh
h
Beispiel:
Ein Skifahrer fährt mit einem Lift (reibungsfrei) auf einen Berg der Höhe h.
Arbeit, die die Schwerkraft (konservative Kraft) an dem Skifahrer verrichtet:
r
r
W = ∫ Fkonservativ ⋅ ds = − ∆E pot
s
0
0
  dx 

  
dW =  0
 ⋅  dy  = − mgdz
 − mg   dz 

  
h
W = ∫ − mgdz = − mgh = − ∆E pot
0
∆E pot = mgh
h
Vergleich: Arbeit, die der Lift verrichtet: W = ∫ mgdz = mgh =∆E pot
0
Übung
Eine Federpistole enthält eine Feder, deren Federkonstante
D = 1000 N/m beträgt. Die Feder wird beim Spannen der Pistole um
x = 4 cm zusammengedrückt.
a) Welche Arbeit ist dazu erforderlich?
b) Wie hoch kann ein Geschoß mit der Masse m = 20g mit der Pistole
maximal vertikal nach oben geschossen werden?
c) Mit welcher Geschwindigkeit trifft es auf den Boden, wenn sich die
Pistole beim Abschuss in 1,20 m Höhe befand?
Lösung
1 2 1
N
Dx = ⋅1000 ⋅ (0,04m) 2 = 0,8J
2
2
m
E
0,8J
b) W = E = mgh ⇒ h = pot ⇒ h =
= 4,08m
pot
−2
mg
0,02kg ⋅ 9,81ms
a) W =
−2
c) E
=
mg
(
h
+
H
)
=
0
,
02
kg
⋅
9
,
81
ms
⋅ 5,28m = 1,035J
potBoden
E potBoden = E kin ⇒ v = 2 E kin / m = 2 ⋅1,035J/0,02kg = 10,2ms −1
Übung: Richtig oder Falsch?
•
Nur konservative Kräfte können Arbeit verrichten.
•
Solange nur konservative Kräfte wirken, ändert sich die kinetische Energie
eines Teilchens nicht.
•
Die Arbeit, die eine konservative Kraft verrichtet, ist gleich dem von dieser
Kraft herrührenden Verlust an potentieller Energie.
•
Vergleichen Sie die Arbeit, die aufgewendet werden muss, um eine
entspannte Feder um 2 cm zu dehnen, mit der Arbeit, die erforderlich ist,
um sie um 1 cm zu dehnen:
- doppelte Arbeit
- vierfache Arbeit
- halbe Arbeit
•
Ein Körper mit der Masse m = 100 kg fällt aus der Höhe h = 50 m frei nach
unten. Seine Endgeschwindigkeit beträgt v = 31,3ms-1. Beim Überwinden
des Höhenunterschiedes durch reibungsfreies Gleiten auf einer um 20°
gegen die Horizontale geneigten Ebene ist die Endgeschwindigkeit 20%
niedriger und die kinetische Energie um (0,2)2 = 4% niedriger als oben
berechnet.
Berechnung der Kraft aus der potentiellen Energie
Verrichtete Arbeit in einem konservativen Kraftfeld ist gleich dem
Zuwachs an potentieller Energie:
r r r r
r
W = − ∫ F (r ) ⋅ ds (r ) = ∆E pot (r )
Für infinitesimale Verschiebungen gilt:
r r r r
r
dE pot (r ) = − F (r ) ⋅ ds (r )
r
Dabei können alle drei Größen vom Ort abhängen, wobei r = ( x, y, z )
der Ortsvektor ist.
Berechnung der Kraft aus der potentiellen Energie durch Bildung des
Gradienten:
r r
 ∂E pot r ∂E pot r ∂E pot r 
r
F (r ) = −gradE pot (r ) = −
ex +
ey +
e z 
∂y
∂z
 ∂x

∂ ∂ ∂
, , 
 ∂x ∂y ∂z 
Gradientenoperator allgemein: 
Beispiel: Feder
r
Rückstellkraft: F = − Dx
Gestauchte Feder: x = − xa
x = 0 xb
dE pot
x
dx
Potentielle Energie der Feder: E pot
1
= Dx 2
2
ist negativ
Kraft F ( xa ) ist positiv
wirkt dahingehend, die Feder
auseinander zu ziehen
E pot
Gedehnte Feder: x = xb
dE pot
dE pot
dE pot
dx
dx
dx
x
− xa
xb
r
dE pot
d 1

F = −gradE pot = −
= −  Dx 2  = − Dx
dx
dx  2

ist positiv
Kraft F ( xa ) ist negativ
wirkt dahingehend, die Feder
zusammen zu ziehen
Übung:
E pot (x)
B
F
C
E
x
A
D
• Ist die Kraft irgendwo Null?
• Ist die Kraft positiv oder negativ?
• An welchem Punkt besitzt die Kraft ihren größten Betrag?
Die Leistung
Die Leistung gibt an, wie schnell Energie von einem System auf ein
anderes übertragen wird.
v
Ein Körper hat zu einem Zeitpunkt die momentane Geschwindigkeit v .
r
r
In einem Zeitintervall dt erfährt das Teilchen die Verschiebung: ds = v dt.
r r r r
r
Wirkt eine Kraft F auf das Teilchen, wird die Arbeit dW = F ⋅ ds = F ⋅ v dt
verrichtet.
dW r v
Leistung: Pro Zeiteinheit verrichtete Arbeit P =
= F ⋅v
dt
Beispiel:
Einheit:
1W =
1J
= 1Nms −1
1s
Eine Ladung Steine, die eine Gewichtskraft von 800 N hat, soll mit einem Lift
in 20 s um 10 m hoch gehoben werden. Die Steine sollen nicht beschleunigt,
sondern mit konstanter Geschwindigkeit bewegt werden.
r dsr
10m
Leistung des Motors: P = F ⋅
= 800 N ⋅
= 400W
dt
20s
Beispiel:
Auf einen Körper der Masse m = 8 kg wirkt eine Kraft F = 5 N in x- Richtung.
m
r
F
x
Start bei: x = 0 zur Zeit t = 0 mit v = 0
Geschwindigkeit: v(t) = at = (F/m)t
Leistung: P(t ) = F ⋅ v(t ) = ( F 2 / m) ⋅ t
zugeführte Leistung zur Zeit t = 3 s:
P(3s) = (52 N2 / 8kg) ⋅ 3s = 9,375W