Drittes Kepler`sches Gesetz - mathphys

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Die Kepler'schen Gesetze
Theorie: Das dritte Kepler'sche Gesetz
Die Quadrate der Umlaufszeiten zweier Planeten A und B verhalten sich
wie die dritten Potenzen der großen Halbachsen
Aufgabe
2
Gegeben ist das dritte Keplersche Gesetz
TA
3
aA
T
bzw.
2
= CS,
3
3
aB
a
wobei CS die Keplerkonstante des Sonnensystems ist.
Gegeben sind die Messwerte für die Umlaufzeiten T und die Entfernungen a
2
=
TB
(Bahnradien der großen Halbachsen der Ellipsenumlaufbahnen um die Sonne) der
Planeten Merkur, Venus, Erde, Mars, Jupiter, Saturn, Uranus und Neptun.
a) Bestätigen Sie das Gesetz mithilfe der Messwerte und bestimmen Sie die Kepler konstante.
b) Aus dem gegebenen Gesetz ergibt sich folgender funktionaler Zusammenhang:
3
1.5
CS a = c  a
mit c = CS .
Stellen Sie die Messwerte und den theoretischen Verlauf in einem linearen Koordinatensystem dar.
c) Stellen Sie die Messwerte und den theoretischen Verlauf in einem doppelt logarithmischen
Koordinatensystem dar. Begründen Sie den linearen Verlauf.
d) Bestimmen Sie aus dem Verlauf des Graphen T(a) im doppelt logarithmischen Koordinatensystem die Konstanten c und C.
Bestätigen Sie auch den Zahlenwert 1.5 für den Exponenten.
T ( a) =
Messwerte:
Planet
r in km
T in Tagen
MW 
"Merkur"
57910000
87.969
"Venus"
108200000
224.701
"Erde"
149600000
365.256
"Mars"
227940000
686.98
"Jupiter"
778330000
4332.71
"Saturn"
1426980000
10759.5
"Uranus"
2870990000
30685
"Neptun"
4497070000
60190
Zuweisen der Messwerte:
Bahnradius in m:
2
3
aP  MW  10
Umrechnung Tag in Sekunde:
Umlaufszeit in s:
3
TP  MW  86400
24  3600  86400
___________________________
Das dritte keplersche Gesetz
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Teilaufgabe a)
CS 
Keplerkonstante:
TP
aP
 29.746 


 29.755 
 29.746 


29.748 
 20

CS 
 10
 29.72 


 29.741 
 29.702 


 29.736 
2
3
 
CSm  29.737  10
CSm  mittelwert CS
Mittelwert:
 20
2
in
s
m
3
2
in
s
m
3
Teilaufgabe b)
1.5
Theoretische Potenzfunktion:
T ( a) 
CSm  a
Definitionsmenge:
at  5  10
10
1  10
11
 5  10
12
Graphische Darstellung:
Potenzfunktion
9
Steigung = Keplerkonstante
6 10
4
3.5
9
Quadrat der Umlaufdauer T
5 10
9
 
4 10
T at
TP
9
3 10
9
2 10
9
1 10
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
1
2
at
12
10
3

aP
12
10
Theoretische Kurve
Messwerte
___________________________
Das dritte keplersche Gesetz
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4
5
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Dritte Potenz der Halbachse a
Theoretische Kurve
Messwerte
1.2
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Teilaufgabe c)
Graphische Darstellung:
Logarithmische Darstellung
10
1 10
9
1 10
 
T at
TP
8
1 10
7
1 10
6
1 10
10
1 10
11
12
1 10
1 10
at a P
Theoretische Kurve
Messwerte
Begründung für den linearen Verlauf:
k
Funktionsterm:
T = ca
Logarithmieren:
ln ( T) = ln c  a
Argument aufspalten:
ln ( T) = ln ( c)  ln a

k

 k
ln ( T) = ln ( c)  k  ln ( a)
Substitution:
ln ( T) = y
Geradengleichung:
y = ln ( c)  k  x
___________________________
Das dritte keplersche Gesetz
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ln ( a) = x
13
1 10
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Teilaufgabe d)
Auswertung:
    
Steigung der Geraden:
k  neigung ln aP ln TP
Achsenabschnitt:
d  achsenabschn ln aP ln TP
Konstante:
Keplerkonstante:
    
d = ln ( c)
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d
c  e
c  5.471  10
2
CS  c
CS  29.931  10
___________________________
Das dritte keplersche Gesetz
k  1.5
 20
2
in
s
m
3
d  21.326
 10