Grundlagen der Theoretischen Festkörperphysik

Grundlagen der Theoretischen Festkörperphysik
Vorlesungsskript
Prof. Dr. Reinhold Egger
Heinrich-Heine-Universität Düsseldorf
Zum Selbststudium empfohlene Literatur:
• N.W. Ashcroft, N.D. Mermin: Solid State Physics, Saunders College 1976.
Klassisches Lehrbuch der Festkörperphysik.
• H. Bruus, K. Flensberg: Many-Body Quantum Theory in Condensed Matter
Physics, Oxford Graduate Texts, Oxford University Press 2004.
• R. Gross, A. Marx, Festkörperphysik, Oldenbourg, 2012.
• A. Altland, B. Simons: Condensed Matter Field Theory, Cambridge Univ.
Press, 2010 (2nd edition). Anspruchsvollere moderne Darstellung.
• M. Tinkham, Introduction to Superconductivity, McGraw Hill, 2nd edition
(1996), bietet eine gute Einführung in Supraleitung.
Vorausgesetzte Kenntnisse:
Grundvorlesungen der Theoretischen Physik.
Inhaltsverzeichnis
1 Zweite Quantisierung
2
1.1
Erste Quantisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.2
Besetzungszahldarstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.2.1
Bosonen-Leiteroperatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.2.2
Fermionen-Leiteroperatoren . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
Operatoren in zweiter Quantisierung . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.3.1
Feldoperator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.3.2
Harmonischer Oszillator . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.4
Quantisierung des Strahlungsfeldes: Photonen . . . . . . . . . . .
10
1.5
Quantisierung des Schrödingerfelds: Elektronen . . . . . . . . . .
11
1.3
2 Nichtwechselwirkende Elektronengase
15
2.1
Blochtheorie: Statisches Gitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
2.2
Freies Fermigas: Jellium-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
2.3
Elektronengase in reduzierten Dimensionen . . . . . . . . . . . . .
19
2.3.1
Zweidimensionales Elektronengas (2DEG) . . . . . . . . .
19
2.3.2
Quantendrähte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
2.4
Kohlenstoff–basierte Leiter
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
2.4.1
Graphene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
2.4.2
Nanoröhrchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
3 Coulomb-Wechselwirkungseffekte
36
3.1
Erste Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
3.2
2. Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
0
INHALTSVERZEICHNIS
4 Phononen
1
41
4.1
Phononen einer 1D Kette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
4.2
3D Phononen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
4.3
Debyemodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
4.4
Elektron-Phonon-Kopplung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
5 Magnetismus
5.1
5.2
52
Mean-field Theorie (MFT) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
5.1.1
Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
5.1.2
Ordnungsparameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
5.1.3
Hartree-Fock (HF) Näherung . . . . . . . . . . . . . . . .
55
Ferromagnetismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
5.2.1
Heisenbergmodell: Ionische Ferromagneten . . . . . . . . .
57
5.2.2
Stoner Modell: Itinerante Ferromagneten . . . . . . . . . .
58
6 Lineare Antworttheorie
63
6.1
Wechselwirkungsbild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
6.2
Lineare Antworttheorie: Kuboformel . . . . . . . . . . . . . . . .
65
6.3
Elektrische Leitfähigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
6.4
Leitwert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
68
6.5
Abschirmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70
7 Supraleitung
7.1
73
BCS Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
73
7.1.1
Bogoliubov-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . .
74
7.1.2
BCS Gap Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
76
7.1.3
Zustandsdichte der BCS Quasiteilchen Ds (E) . . . . . . .
78
7.2
Ginzburg-Landau Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
81
7.3
Josephson Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
83
7.4
Ungeordnete Supraleiter: Bogoliubov-DeGennes Gleichung . . . .
88
8 Quanten-Hall-Effekt
91
8.1
Landau-Niveaus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
91
8.2
Ganzzahliger Quanten-Hall-Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . .
95
8.3
Fraktionaler Quanten-Hall-Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . .
97
Kapitel 1
Zweite Quantisierung
Vorbemerkung: Wir behandeln zunächst den Formalismus der Zweiten Quantisierung, der für Vielteilchenprobleme eine wesentlich elegantere und effizientere
Methode als die übliche (Erste) Quantisierung über explizit (anti-)symmetrisierte
Vielteilchenwellenfunktionen ergibt. (Allerdings physikalisch nichts anderes!)
1.1
Erste Quantisierung
Startpunkt ist Einteilchen-Schrödingergleichung
ih̄∂t |ψ(t)i = H|ψ(t)i
Betrachte zunächst Einteilchensysteme, z.B. Elektron mit Ladung −e, Masse m,
im Eichfeld ϕ(r, t), A(r, t)
2
e
1
−ih̄∇ + A(r, t)
H=
2m
c
− eϕ(r, t)
Ohne externe Felder: Lösungen sind ebene Wellen
|ψk,σ i = |k, σi,
Ortsdarstellung
σ =↑, ↓
1
ψk,σ (r) = hr|k, σi) = √ eik·r χσ
V
mit Normierungsvolumen V und Spinoren χ↑ = (1, 0)T und χ↓ = (0, 1)T .
Allgemeine Notation: ν bezeichne kompletten Satz von Quantenzahlen, z.B. ν =
(kx , ky , kz , σ).
Ortsdarstellung des Zustands: ψν (r) = hr|νi
2
3
KAPITEL 1. ZWEITE QUANTISIERUNG
Normierungsbedingung:
Vollständigkeitsrelation:
R
dr|ψν (r)|2 = 1.
X
ν
Dabei bedeutet
Quantenzahlen.
P
ν
|νihν| = 1
Integration über kontinuierliche und Summation über diskrete
Betrachte nun N identische (ununterscheidbare!) Teilchen (Fermionen/Bosonen).
Diese werden beschrieben durch N -Teilchen Wellenfunktion Ψ(r1 , . . . , rN )
(zunächst ohne Spin), d.h. komplexwertige Funktion von 3N Variablen (im zeitunabh. Fall).
Wahrscheinlichkeit für das Antreffen von N Teilchen im Volumenelement
dr1 · · · drN bei (r1 , · · · , rN ) ist
|Ψ(r1 , . . . , rN )|2 dr1 · · · drN
Ununterscheidbarkeit (Konsequenz der Unschärferelation) erzwingt dass zwei
identische Teilchen (gleicher Spin, gleiches Isotop) prinzipiell nicht ‘markierbar’
sind. Erlaubte Zustände müssen bei Vertauschen zweier Teilchen daher erfüllen:
Ψ(r1 , · · · , rj , · · · , rk , · · ·) = λΨ(r1 , · · · , rk , · · · , rj , · · ·)
= λ2 Ψ(r1 , · · · , rj , · · · , rk , · · ·)
mit Phasenfaktor λ, da gleicher physikalischer Zustand nur durch globale Phase
differieren kann! Zweite Gleichung bedeutet λ2 = 1, d.h. nur λ = ±1 ist möglich.
Für Bosonen ist λ = +1, für Fermionen λ = −1. Spin-Statistik-Theorem (o.B.)
besagt dass dann Bosonen ganzzahligen Spin haben, während Fermionen halbzahligen besitzen.
Für Fermionen: Ψ(r, r) = 0, Pauliprinzip, effektive Abstossung (ohne echte Wechselwirkung!).
Für Bosonen: effektive Anziehung, Clustering, Bose-Einstein Kondensation.
Formalismus der 1. Quantisierung ist unhandlich, da Symmetrieeigenschaften der
Wellenfunktion extra eingebaut werden müssen.
Besser: Zweite Quantisierung, im folgenden eingeführt.
1.2
Besetzungszahldarstellung
N Teilchen-Besetzungszahlzustand sei definiert als
|nν1 , nν2 , · · ·i,
X
j
nν j = N
4
KAPITEL 1. ZWEITE QUANTISIERUNG
wobei die ganzzahligen nν Eigenwerte des Besetzungszahl-Operators n̂ν sind,
n̂ν |nν i = nν |nν i
Wir starten mit willkürlicher (aber fester) Ordnung der Einteilchenorbitale, die
als Basis gewählt wurde:
|ν1 i|ν2 i|ν3 i · · ·
und geben dann an, wieviele Teilchen (nνj ) den Einteilchen-Zustand |νj i besetzen
sollen.
Fermionen :
Bosonen :
nν = 0, 1 (Pauli − Prinzip)
nν = 0, 1, 2, 3, · · ·
Diese Forderung enthält bereits die Symmetrieeigenschaften
Da Teilchenzahlen oft geändert werden (s.u.), ist es günstig, den Fockraum F
als verallgemeinerten Hilbertraum zu definieren:
F=
∞
X
N =0
⊕FN
mit
FN = span{|nν1 , nν2 , · · ·i|
X
j
nν j = N }
Zustände in F mit N 6= N ′ sind daher immer orthogonal.
1.2.1
Bosonen-Leiteroperatoren
Vgl. QM Harmonischer Oszillator: definiere nicht-Hermitesche Erzeugungsoperatoren
b†νj | · · · , nνj−1 , nνj , nνj+1 , · · ·i = B+ (nνj )| · · · , nνj−1 , nνj + 1, nνj+1 , · · ·i
mit zu bestimmender Normierungskonstante B+ (n). Einziges nichtverschwindendes Matrixelement im Fockraum ist
6 0
hnνj + 1|b†νj |nνj i =
Adjungierter Operator:
hnνj + 1|b†νj |nνj i∗ = hnνj |bνj |nνj + 1i
d.h. wir erhalten
bνj | · · · , nνj−1 , nνj , nνj+1 , · · ·i = B− (nνj )| · · · , nνj−1 , nνj − 1, nνj+1 , · · ·i
KAPITEL 1. ZWEITE QUANTISIERUNG
5
Im Folgenden Kurzschreibweise bj ≡ bνj .
Da wir Bosonen betrachten, soll unter Teilchenaustausch j mit k Symmetrie des
Zustandes gelten. Dies impliziert
[b†j , b†k ]− = 0
Für j 6= k fordern wir auch
[bj , b†k ]− = 0
Für k = j getrennte Überlegung. Zunächst beachten wir, dass der leere Zustand
durch b vernichtet wird:
b|0i = 0 6= |0i.
Daraus folgt B− (0) = 0. Für B+ (0) wählen wir als Konvention B+ (0) = 1, d.h.
b† |0i = |1i. Dann muss aber gelten:
B+ (0) = h1|b† |0i∗ = h0|b|1i = B− (1) = 1,
also
b† b|0i = 0,
bb† |0i = |0i
Dies führt zur Annahme des Kommutators:
[bj , b†k ]− = δjk
Konsequenz: Hermitescher Besetzungszahloperator ist n̂ν = b†ν bν mit
√
b†ν |nν i =
nν + 1|nν + 1i
√
nν |nν − 1i
bν |nν i =
n̂ν |nν i = nν |nν i
Symmetrieforderung steckt bereits in Algebra der Bosonenoperatoren bν , b†ν . Viel
bequemer!
1.2.2
Fermionen-Leiteroperatoren
Analoges Vorgehen für Fermionen:
c†νj | · · · , nνj , · · ·i = C+ (nνj )| · · · , nνj + 1 · · ·i
mit Erzeugungsoperatoren c†ν . Vernichter erfüllt
cνj | · · · , nνj , · · ·i = C− (nνj )| · · · , nνj − 1 · · ·i
Antisymmetrie bei Vertauschen von j und k: Fordere statt Kommutatoren jetzt
Antikommutatoren als Algebra der c, c† :
[cj , ck ]+ = 0,
[c†j , c†k ]+ = 0
6
KAPITEL 1. ZWEITE QUANTISIERUNG
mit [A, B]+ = AB + BA. Wieder fordert man für j 6= k die Relation [cj , c†k ]+ = 0,
Vorsicht bei j = k.
Konvention C+ (0) = 1 wird beibehalten, ebenso muss C− (0) = 0 wie oben gelten.
Hermitesche Konjugation ergibt C− (1) = C+ (0) = 1 wie zuvor, also
cc† |0i = |0i,
c† c|0i = 0
Dies ist konsistent mit der Annahme
[cj , c†k ]+ = δjk
Diese Operatorrelationen definieren eine fermionische Algebra. Insbesondere ist
c2j = (c†j )2 = 0: Pauli-Prinzip!
Teilchenzahloperator für Fermionen erfüllt
n̂ν = c†ν cν ,
n̂2ν = n̂ν
d.h. nur Eigenwerte nν = 0, 1 möglich. Durch fermionische Algebra ist dies automatisch sichergestellt, und Zustände sind automatisch antisymmetrisch. Keine
explizite Antisymmetrisierung (Slaterdeterminanten etc.) notwendig! Also
c† |0i = |1i,
c|0i = 0,
Schematisch:
c† |1i = 0
c|1i = |0i
c†
c†
|0i −→ |1i −→ Vakuum
c
c
Vakuum ←− |0i ←− |1i
1.3
Operatoren in zweiter Quantisierung
Alle Operatoren können jetzt durch die {bν , b†ν } bzw. {cν , c†ν } ausgedrückt werden.
Notation: aν = bν für Bosonen, aν = cν für Fermionen.
Einteilchenoperator:
T =
X
νi ,νj
Tνi νj a†νi aνj
mit Übergangsmatrixelement (falls T = T † , hermitesche Matrix) Tνi νj . Beispiel:
kinetische Energie, s.u.
Zweiteilchenoperator:
Vtot =
1 X
Vν ,ν ;ν ,ν a† a† aν aν
2 νi ,νj ,νk ,νl i j k l νi νj l k
7
KAPITEL 1. ZWEITE QUANTISIERUNG
Abbildung 1.1: Elementare Feynman-Diagramme für Einteilchen- und Zweiteilchenoperatoren.
Reihenfolge der Indizes
Wechselwirkung, s.u.!
wichtig
bei
Fermionen!
Beispiel:
Coulomb-
Graphische Veranschaulichung (‘Feynman-Diagramm’) siehe Abb. 1.1
Basiswechsel
Es seien 2 vollständige Orthonormalsysteme (Einteilchenbasissysteme) vorgegeben: {|ψν i} bzw. {|ψ̃µ i}
X
|ψ̃µ i =
|ψν i hψν |ψ̃µ i
|
ν
{z
}
=hψ̃µ |ψν i∗
Diese Einteilchenzustände können zur Einführung der Operatoren aν bzw. ãµ
verwendet werden:
|ψν i = a†ν |0i, |ψ̃µ i = ㆵ |0i
Damit konsistente Transformation vorliegt, muss gelten
ㆵ |0i =
X
ν
hψ̃µ |ψν i∗ a†ν |0i
Daher fordern wir Operatoridentität
ㆵ =
X
ν
hψ̃µ |ψν i∗ a†ν
bzw. hermitesch konjugiert:
ãµ =
X
ν
hψ̃µ |ψν iaν
Dabei bleibt Algebra intakt:
[ãµ1 , ㆵ2 ]± =
=
X
ν1 ,ν2
X
ν
hψ̃µ1 |ψν1 ihψ̃µ2 |ψν2 i∗ [aν1 , a†ν2 ]±
|
{z
=δν1 ν2
}
hψ̃µ1 |ψν ihψν |ψ̃µ2 i = hψ̃µ1 |ψ̃µ2 i = δµ1 ,µ2
8
KAPITEL 1. ZWEITE QUANTISIERUNG
Auch Gesamt-Teilchenzahl ist invariant unter Basiswechsel:
X
µ
1.3.1
X
ㆵ 㵠=
ν1 ,ν2 ,µ
hψ̃µ |ψν2 ihψν1 |ψ̃µ ia†ν1 aν2 =
X
a†ν aν
ν
Feldoperator
Ortsdarstellung ergibt Feldoperator: Erzeugungs- bzw. Vernichtungsoperator
für Teilchen am Ort r
ψ̂ † (r) =
X
ν
hr|νi∗ a†ν =
X
ψν∗ (r)a†ν
ν
mit den Einteilchenwellenfunktionen ψν (r) ∈ L2 , und Operator im Fockraum ψ̂ † .
Vorsicht: Notation erinnert an Wellenfunktion aus Erster Quantisierung, ist aber
Operator im Fockraum!
Genauso Vernichtungsoperator: ψ̂(r) =
P
ν
ψν (r)aν
Algebra für Bosonen (ξ = 1) bzw. Fermionen (ξ = −1)
[ψ̂(r1 ), ψ̂ † (r2 )]−ξ = δ(r1 − r2 )
Nachweis wie oben, mit
X
ν
ψν (r1 )ψν∗ (r2 ) = δ(r1 − r2 )
Teilchen-Welle Dualität angedeutet durch Notation:
• ψ Notation weist auf Wellencharakter hin (vgl. Schrödingergl.)
• Operator erzeugt/vernichtet ein Teilchen: Teilchencharakter, steckt in Operatoralgebra!
Ortsdarstellung von Operatoren: z.B. ist die gesamte kinetische Energie mit den
Koeffizienten
!
Z
h̄2 2
∗
Tνν ′ = drψν (r) −
∇ ψν ′ (r)
2m r
gegeben durch
T =
X
νi ,νj
Tνi ,νj a†νi aνj
!"
=
dr
=
Z
h̄2 2
dr ψ̂ (r) −
∇ ψ̂(r)
2m r
X
νi
†
ψν∗i (r)a†νi
"
#

h̄2 2 X
−
ψνj (r)aνj 
∇
2m r
νj
Z
#
9
KAPITEL 1. ZWEITE QUANTISIERUNG
zweitquantisierte Form der gesamten kinetischen Energie des Vielteilchensystems.
Allgemein erhält man zweitquantisierte Form eines Einteilchenoperators durch
‘Sandwichen’ des entsprechenden Einteilchenoperators zwischen ψ̂ † und ψ̂, und
Integration über r.
Impulsdarstellung durch Fouriertransformation
1 X −ik·r † X ∗
ψk (r)a†k
e
ak =
ψ̂ † (r) = √
V k
k
bzw. umgekehrt
a†k
1.3.2
1 Z
=√
dreik·r ψ̂ † (r)
V
Harmonischer Oszillator
Erstquantisierte Darstellung des 1D Oszillators:
H=
mω 2 2
p2
+
x,
2m
2
[p, x]− = −ih̄
Zweitquantisiert durch Übergang zu Leiteroperatoren (ℓ =
1
a = √
2
1
a† = √
2
umgekehrt
!
p
x
+i
ℓ
h̄/ℓ
!
x
p
−i
ℓ
h̄/ℓ
q
h̄/mω)
√
ih̄ †
(a − a)/ 2
ℓ
Kanonischer Kommutator [p, x] = −ih̄ impliziert bosonische Algebra
√
x = ℓ(a + a† )/ 2,
p=
[a, a† ]− = 1
Zweitquantisierte Darstellung
H = h̄ω(a† a + 1/2)
Eigenfunktionen H|ni = En |ni mit n = 0, 1, 2, . . . sind für En = (n + 1/2)h̄ω
gegeben durch Hermite Polynome,
ψn (x) = √
1
1
hx|(x/ℓ − ipℓ/h̄)n |0i = √
(x/ℓ − ℓd/dx)n ψ0 (x)
n
n
2 n!
2 n!
(1.1)
Vielteilcheninterpretation: n Schwingungsquanten (Phononen) im Zustand
|ni vorhanden. Teilchenzahl nicht erhalten!
10
KAPITEL 1. ZWEITE QUANTISIERUNG
1.4
Quantisierung des Strahlungsfeldes: Photonen
Quantisierung des Strahlungsfeldes führt auf einen Satz ungekoppelter harmonischer Oszillatoren.
Herleitung am einfachsten in Strahlungseichung, d.h. Coulombeichung ∇ · A = 0
mit ϕ = 0. Dann A rein transversal, zwei Polarisationsrichtungen ǫ̂λ ⊥ k, λ = 1, 2.
Dabei sollen {ǫ̂1 , ǫ̂2 , k/|k|} einen rechtshändigen Satz orthonormierter Einheitsvektoren bilden.
Mit B = ∇ × A und E = − 1c Ȧ folgt aus Maxwellgleichungen
(∆ −
1 2
∂ )A(r, t) = 0
c2 t
Lösungen sind ebene Wellen.
Klassisch folgt also (da A reellwertige Einträge haben muss) für periodische Randbedingungen im Volumen V die allgemeine Lösung
1
A(r, t) = √
V
X
k,λ=1,2
h
i
ǫ̂λ Ak,λ ei(k·r−ωk t) + h.c.
mit beliebigen komplexen Koeffizienten Ak,λ und ωk = ck = c|k|.
Klassische Hamiltonfunktion (= Energie) ist dann durch Einsetzen dieses Ansatzes gegeben durch (Rechnung vgl. Bruus/Flensberg)
1 Z
dr |E|2 + |B|2
8π
1 X 2
=
ω |Ak,λ |2
2π k,λ k
H =
=
1 X 2
Pk,λ + ωk2 Q2k,λ
2 k,λ
Generalisierte Impulse bzw. Koordinaten sind
Qk,λ = π −1/2 AR
k,λ ,
Pk,λ = π −1/2 ωk AIk,λ
Photonen bilden Satz von entkoppelten harmonischen Oszillatoren, die durch k
und λ = 1, 2 numeriert werden.
Dieses Problem können wir direkt quantisieren, siehe 1D Fall: nk,λ = 0, 1, 2, . . .
gibt dann die Zahl der Photonen mit Wellenvektor k und Polarisation λ an.
Quantisierung durch
[Qk,λ , Pk′ ,λ′ ]− = −ih̄δkk′ δλλ′
11
KAPITEL 1. ZWEITE QUANTISIERUNG
Wieder Leiteroperatoren für jede Mode:
Qk,λ =
s
h̄ †
(a + ak,λ ),
2ωk k,λ
mit bosonischer Algebra
Pk,λ = i
s
h̄ωk †
(ak,λ − ak,λ )
2
[ak,λ , a†k′ ,λ′ ]− = δkk′ δλλ′
Zweitquantisierter Hamiltonoperator des Photonenfeldes
X
H=
h̄ωk (a†k,λ ak,λ + 1/2)
k,λ
Aus obiger klassischer Darstellung ergibt sich Feldoperator des Photonenfeldes
(Operator des Vektorpotentials, Hütchen hier weggelassen)
1
A(r, t) = √
V
X
k,λ=1,2
s
i
2πh̄ h
ǫ̂λ ak,λ ei(k·r−ωk t) + h.c.
ωk
Dieser Operator enthält Erzeuger und Vernichter von Photonen. Vektorpotential
aus klassischer Elektrodynamik folgt als Mittelwert (qm. Erwartungswert).
1.5
Quantisierung des Schrödingerfelds: Elektronen
Hier a = c da Fermioperatoren (Elektronen).
Kinetische Energie
Minimalsubstitution p → p − (q/c)A zur Einkopplung des magnetischen Feldes
bei Ladung des Teilchens q ergibt
T̂ =
1 XZ
drψ̂σ† (r) [−ih̄∇r − (q/c)A(r)]2 ψ̂σ (r)
2m σ
Spin
Erste Quantisierung: Spin wird durch Vektor von Paulimatrizen dargestellt,
s=
mit
τx =
0 1
1 0
!
,
h̄
τ,
2
τy =
entsprechen Einteilchenoperatoren.
τ = (τx , τy , τz )
0 −i
i 0
!
,
τz =
1 0
0 −1
!
,
12
KAPITEL 1. ZWEITE QUANTISIERUNG
Zweite Quantisierung: Darstellung in Einteilchenbasis |νi = |µi|σi, wobei |µi
orbitale Freiheitsgrade bezeichnet. Da diese vom Spinraum entkoppeln, ist Spinoperator des Vielteilchensystems
S=
h̄ X Z
drψ̂σ† (r)τσσ′ ψ̂σ′ (r)
2 σ,σ′
analog in Impulsdarstellung. Dies ist der Gesamtspin.
R
Spindichte folgt aus S = drs(r) als
s(r) =
h̄ X †
ψ̂ (r)τσσ′ ψ̂σ′ (r)
2 σ,σ′ σ
Im Vielteilchenzustand |Φi ∈ F ist hΦ|s(r)|Φi dann der Erwartungswert der
Spindichte.
Ladungsdichte
folgt analog aus erstquantisierter Form ρµ,σ (r) = |ψµ,σ (r)|2 (Wahrscheinlichkeitsdichte für Einteilchenzustand |µ, σi) :
ρµ,σ (r) =
Z
∗
dr′ ψµσ
(r′ )δ(r′ − r)ψµσ (r′ )
d.h. erstquantisierter Operator ist δ(r − r′ ), und durch Erhöhung der Wellenfunktion erhalten wir die die entsprechende zweitquantisierte Form des Ladungsdichteoperators
ρ̂σ (r) = ψ̂σ† (r)ψ̂σ (r)
Gesamt-Ladungsdichte ρ̂ =
P
σ
ρ̂σ
Impulsdarstellung: Einsetzen von
1 X ik·r
e akσ
ψσ (r) = √
V k
ergibt (q = k − k′ ist Impulsübertrag)
ρ̂σ (r) =
=
1 X −i(k−k′ )·r †
1 X −iq·r †
e
ak+q,σ akσ
e
ak,σ ak′ ,σ =
V k,k′
V k,q
1 X
ρ̂q,σ e−iq·r ,
V q
Stromdichteoperator
Zwei Möglichkeiten der Definition
ρ̂q,σ =
X
k
a†k+q,σ akσ
13
KAPITEL 1. ZWEITE QUANTISIERUNG
• über Kontinuitätsgleichung aus Ladungsdichteoperator,
∂t ρ̂ + ∇ · Ĵ(r) = 0
• als kanonisch konjugierte Grösse zu A,
Ĵ(r) = −
1 ∂H
q ∂A
beide führen auf gleiches Ergebnis (ohne Herleitung, siehe Bruus/Flensberg)
Ĵσ (r) =
h̄ †
q
ψ̂σ (r)∇ψ̂σ (r) − [∇ψ̂σ† (r)]ψ̂σ (r) − Aψ̂σ† (r)ψ̂σ (r)
2mi
m
erster Term: paramagnetischer Beitrag, zweiter Term: diamagnetischer Beitrag.
Folgt wieder durch Erhöhung der erstquantisierten Wellenfunktion zum zweitquantisierten Operator. Hermitescher Operator im Fockraum, lässt Teilchenzahl
invariant!
Coulombwechselwirkung
Analog folgt zweitquantisierte Form des Wechselwirkungsbeitrages, als
V̂ =
e2
1 XZ
dr1 dr2 ψ̂σ† 1 (r1 )ψ̂σ† 2 (r2 )
ψ̂σ (r2 )ψ̂σ1 (r1 )
2 σ1 σ2
|r1 − r2 | 2
Impulsdarstellung: Einsetzen von
1 X ik·r
ψσ (r) = √
e akσ
V k
ergibt
V̂ =
1
2V
X
σ1 ,σ2 ,k1 ,k2 ,k3 ,k4
V ({ki }, σ1,2 )a†k3 ,σ1 a†k4 ,σ2 ak2 ,σ2 ak1 ,σ1
mit dem Matrixelement (wobei q = k2 − k4 )
V (. . .) =
e2 Z dr1 dr2 i[k1 ·r1 +k2 ·r2 −k3 ·r1 −k4 ·r2 ]
e
V
|r1 − r2 | |i(k +k −k −k{z)·r iq·(r −r })
e
2
=
e
V
Z
1
2
3
4
dr1 ei(k1 +k2 −k3 −k4 )·r1 ×
1e
2
1
Z
dr iq·r
e
| r{z }
=4π/q 2
=
4πe2
δk1 +q,k3
q2
Mit Vq = 4πe2 /q 2 folgt also
V̂ =
X †
1 X X
ak1 +q,σ1 a†k2 −q,σ2 ak2 ,σ2 ak1 ,σ1
Vq
2V σ1 ,σ2 q
k1 ,k2
14
KAPITEL 1. ZWEITE QUANTISIERUNG
Feynmandiagramm: einlaufende Teilchen mit Wellenvektor k1 und k2 sowie Spin
σ1 und σ2 werden durch Vq gestreut, auslaufende Teilchen haben k1 + q bzw.
k2 − q aber gleichen Spin. Gesamtimpuls erhalten (nur Impulsaustausch!). Siehe
Abb. 1.2.
# !"
Abbildung 1.2: Coulomb Wechselwirkungsdiagramm in 2. Quantisierung, siehe
Text.
Kapitel 2
Nichtwechselwirkende
Elektronengase
Metall: positiv geladene Ionen, elektr. Eigenschaften dominiert von schwach gebundenen Valenzelektronen.
Bei T = 0 (bis auf Vakuumfluktuationen) ist Kristallgitter starr, entspricht periodischem Potential (Phononen sind Anregungen darauf, zunächst ignoriert).
Zwei wichtige Zugänge:
• Phänomenologische Gittermodelle (Parameter: Gitterkonstanten, Federkonstanten entsprechen Elastizitätsmoduln, können aus Experiment bzw.
ab-initio Simulation berechnet werden.)
• Jellium Modell: verschmiere Ionen-Hintergrund, positive Hintergrundladung wichtig um Elektroneutralität zu garantieren!
Wir werden zunächst Elektron-Elektron-Wechselwirkungen vernachlässigen, und
betrachten daher das Problem eines einzelnen Elektrons in einem periodischen Potential (Bloch-Problem). Als konkrete Anwendung wird am Ende
des Kapitels die Bandstruktur von Graphene und daraus die von KohlenstoffNanoröhrchen diskutiert.
2.1
Blochtheorie: Statisches Gitter
Betrachte zunächst idealisierten perfekten Kristall (keine thermischen oder
Quanten-Fluktuationen, keine Unordnung): perfekt periodisches Gitter führt zum
Einteilchen-Hamiltonoperator
H = T + V (r),
15
T =−
h̄2 ∆
2m
KAPITEL 2. NICHTWECHSELWIRKENDE ELEKTRONENGASE
Periodisches Potential erfüllt:
des Gitters:
16
V (r) = V (r + R) für alle Translationsvektoren
R=
3
X
ni ai ,
ni ∈ Z
i=1
wobei das Gitter durch primitive Gittervektoren {a1 , a2 , a3 } aufgespannt wird.
Reziprokes Gitter
Im reziproken Raum (k) wird durch alle G mit
eiG·R = 1
(für alle mgl. R) das reziproke Gitter aufgespannt. Reziproke Gittervektoren :
G=
3
X
mi bi ,
i=1
ai · bj = 2πδij
gilt für primitive reziproke Gittervektoren
b1 = 2π
a2 × a3
a1 · (a2 × a3 )
+ zykl.Perm.
Erste Brillouin Zone
Alle k im reziproken Raum, die näher an G = 0 als zu irgendeinem anderen
G 6= 0 liegen, bilden die erste Brillouin Zone (Wigner-Seitz-Zelle im reziproken
Raum)
{k ∈ 1.BZ | |k| < |k − G| ∀ G 6= 0}
D.h. beliebiges q kann eindeutig geschrieben werden als
q = k + G,
k ∈ 1.BZ
Gitterperiodische Funktionen lassen sich durch Entwicklung in G darstellen, z.B.
periodisches Potential
V (r) = V (r + R) ∀ R =
X
i
ni ai
⇔
V (r) =
X
eiG·r VG
G
da exp(iG · R) = 1.
Schrödingergleichung
Erstquantisierte (Einteilchen) Schrödingergleichung Hψ = Eψ, in ebene Wellen
Basis |k, σi mit komplexen ck ist Wellenfunktion gegeben durch
ψσ (r) =
1 X ik·r
e ck χσ
V k
KAPITEL 2. NICHTWECHSELWIRKENDE ELEKTRONENGASE
17
Hier muss über alle k summiert werden, nicht nur die 1.BZ.
Anwenden von H auf diesen Ansatz ergibt mit ǫk = h̄2 k 2 /2m:
ǫk c k +
X
VG ck−G = Eck
(2.1)
G
Schrödingergleichung in ebene-Wellen-Basis.
Jedes ck koppelt an alle ck−G , aber nicht an andere k′ . Daher kann man k ∈ 1.BZ
wählen, es entsteht keine neue Gleichung für k ausserhalb 1.BZ.
Für gegebenes k ∈ 1.BZ habe die Schrödingergl. (2.1) die Eigenlösungen (Energiebänder)
E = ǫn (k), k ∈ 1.BZ, n = 1, 2, 3, . . .
mit Eigenfunktion
ψn,k,σ (r) =
1 X i(k+G)·r (n)
e
ck+G χσ
V G
entspricht Lösung eines (unendlich-dimensionalen) Lineare-Algebra Matrixpro(n)
blems! Die ck+G entsprechen den Eigenvektoren (mit Einträgen durch G numeriert, und Eigenwerten durch n numeriert.)
Beachte: alle k′ = k + G tragen bei dieser Eigenfunktion bei. Gleichzeitiges
Spezifizieren von r und k: kein Konflikt mit Heisenbergscher Unschärferelation,
da k die Eigenfunktion nur parametrisiert (Kristallimpuls k ∈ 1.BZ).
Ab jetzt sei k ∈ 1.BZ. Zusammenfassung:
Bloch’sches Theorem:
Eigenfunktionen im periodischen Kristall sind ebene Wellen, moduliert durch
gitterperiodische Funktion,
ψn,k,σ (r) = eik·r unk (r)χσ
mit
un,k (r) = un,k (r + R) =
1 X iG·r (n)
e ck+G
V G
Elektronen im periodischen Potential (sog. ‘Blochelektronen’) können darum im
wesentlichen ungehindert propagieren (Ausnahme: k nahe am Rand der 1.BZ,
s.u.), einzige Änderung ist Renormierung der Masse zur effektiven Masse m →
m∗ .
Elektrischer Widerstand im perfekten Kristall ist daher Null (aber kein Supraleiter!), oder unendlich (falls Fermienergie in Bandlücke). Endlicher Widerstand
durch Streuung an Gitterschwingungen (Phononen) oder Defekten.
Effektive Massen Näherung: (bricht für k am Zonenrand zusammen!)
1
ψn,k,σ (r) → √ eik·r χσ ,
V
m → m∗ ,
KAPITEL 2. NICHTWECHSELWIRKENDE ELEKTRONENGASE
18
wobei dann k beliebig (aber ggf. mit geeigneter Bandbreite um Divergenzen zu
vermeiden!)
2.2
Freies Fermigas: Jellium-Modell
Im Jellium-Modell werden die Ionen durch ausgeschmierte homogene Ladungsdichte +Zρjel beschrieben, d.h. Gitter wird durch konstanten Hintergrund ersetzt,
so dass unter der Randbedingung der Elektroneutralität
Hjel = Tel
kinetische Energie der Elektronen. Daher sind die Lösungen zu Hjel ψ = Eψ ebene
Wellen (per. Randbedingungen),
1
ψk,σ = √ eik·r χσ ,
V
E = ǫk = h̄2 k 2 /2m
mit ki = 2πni /Li , V = Lx Ly Lz . Entspricht Effektive-Masse-Näherung für Bewegung im periodischen Potential weg von Bandlücken, dann effektiv freie Bewegung!
Zweitquantisierte Form:
Ĥjel =
XZ
σ
!
X h̄2 k 2 †
h̄2 ∆
†
drψ̂σ (r) −
ψ̂σ (r) =
ckσ ckσ
2m
kσ 2m
Kontinuumslimes:
X
k
→
V Z
dk
(2π)3
Konvention: Ordne Einteilchenbasis nach aufsteigenden Energien,
|k1 , ↑i|k1 , ↓i|k2 , ↑i|k2 , ↓i · · · ,
ǫ k1 ≤ ǫ k2 ≤ · · ·
Grundzustand (T = 0) für N Elektronen durch sukzessives Auffüllen der N
tiefsten Zustände: Fermisee bzw. Fermikugel. Energie des höchsten besetzten
Zustandes ist die Fermienergie ǫF (dies ist das chemische Potential bei T = 0).
|F Si = c†kN/2 ,↑ c†kN/2 ,↓ · · · c†k1 ,↑ c†k1 ,↓ |0i
gefüllter Fermisee, in Literatur oft auch als Grundzustand wie |0i bezeichnet.
Achtung: hier ist |F Si Grundzustand des N Teilchensystems, und |0i der Zustand
mit null Teilchen (aber Vakuumfluktuationen).
Hilfgrössen: Fermi-Wellenzahl kF , Fermi-Wellenlänge λF , Fermi-Temperatur TF ,
Fermi-Geschwindigkeit vF aus
ǫF = kTF = h̄2 kF2 /2m,
λF = 2π/kF ,
vF = h̄kF /m
KAPITEL 2. NICHTWECHSELWIRKENDE ELEKTRONENGASE
19
Alle Zustände mit ǫk,σ ≤ ǫF sind bei T = 0 einfach besetzt, alle darüber unbesetzt.
Zusammenhang Teilchendichte n = N/V zu Fermienergie ǫF :
N = hF S|N̂ |F Si =
X
kσ
hF S|n̂k,σ |F Si =
2V Z
dk
(2π)3 |k|<kF
also für die Dichte
n = kF3 /(3π 2 )
Typ. Grössenordnung in Metallen (Cu): λF ≈ 0.5 nm, TF = 81000 K, vF /c ≈
0.005 (nichtrelativistisch)
Grundzustandsenergie:
E (0) = hF S|Ĥjel |F Si = 2
Z kF
3
V h̄2
4π
k 4 dk = N ǫF
3
(2π) 2m
5
0
Als Folge des Pauliprinzips extrem hohe Energie pro Teilchen.
Zustandsdichte: Zahl der verfügbaren Zustände dN bei Energie ǫ . . . ǫ + dǫ:
D(ǫ) =
Normiert auf Volumen:
Aus ǫ =
h̄2
(3π 2 n)2/3
2m
dN
dǫ
d(ǫ) = D(ǫ)/V = dn/dǫ
folgt beim Fermigas
n(ǫ) =
1
(2m/h̄2 )3/2 ǫ3/2
3π 2
und damit die Zustandsdichte
d(ǫ) =
√
1
dn
= 2 (2m/h̄2 )3/2 ǫΘ(ǫ)
dǫ
2π
wichtige Vereinfachung um vom k Raum zu Energien überzugehen, z.B. gilt dann
N=
2.3
2.3.1
Z
dǫD(ǫ)nF (ǫ),
E
(0)
=
Z
dǫǫD(ǫ)nF (ǫ),
Elektronengase in reduzierten Dimensionen
Zweidimensionales Elektronengas (2DEG)
GaAs-GaAlAs Heterostrukturen sind besonders gut geeignet, um hohe Mobilitäten zu erzeugen, da beide Teile praktisch die gleiche Gitterkonstante besitzen,
und somit fast ohne Defekte Grenzflächen bilden können.
KAPITEL 2. NICHTWECHSELWIRKENDE ELEKTRONENGASE
20
Abbildung 2.1: Schematische Bandstruktur bei GaAs-GaAlAs Heterostrukturen.
Aluminium ist Elektronen-Donor, d.h. direkt nach dem Zusammenbringen (vor
Einstellung eines Gleichgewichtes) hätte man die Situation in Abb. 2.1(b). Im
Gleichgewicht muss aber die Fermienergie (chemisches Potential!) überall gleich
sein, sonst würde spontaner Ladungstransfer einsetzen um dies sicherzustellen.
Elektronen aus der dotierten Seite (links) gehen daher in die Grenzfläche, und
lassen positiv geladene Al-Ionen zurück. Elektronen können nicht in rechte Seite
hinein diffundieren, da sie durch die Ionen in der Grenzschicht gehalten werden.
Dies ergibt starke elektrostatische Felder, siehe Abb. 2.1(c), d.h. Bandkrümmung.
Dadurch entsteht eine starke Transversalquantisierung (in z Richtung). In x, y
Richtung ebene Wellen (keine Einschnürung), aber Potentialtopf entlang z Richtung.
Es gibt daher gebundene Zustände, typischer Energieabstand ca. 0.1 eV. Bei
geeigneter Wahl der Gatespannungen kann nun erreicht werden, dass nur das
KAPITEL 2. NICHTWECHSELWIRKENDE ELEKTRONENGASE
21
niedrigste Transversalniveau unterhalb der Fermienergie liegt (d.h. besetzt wird),
und alle höheren Zustände nicht besetzt werden. Dann liegt ein (in x-y Ebene
frei bewegliches) 2DEG vor. Typ. Ausdehnung in z Richtung: ≈ 10 nm.
Es ergibt sich ein 2DEG mit hoher Mobilität, µ ≈ 106 cm2 /V s, bei Elektronendichten ne ≈ 1012 cm−2 . Die Mobilität im Drude-Bild folgt aus Driftgeschwindigkeit vd :
vd = µE
Zusammenhang zu mittlerer freier Weglänge l bzw. elastischer Streuzeit τ = l/vF
aus dem klassischen Drude-Bild (effekt. Masse m∗ ):
µ=
eτ
m∗
Elektronen haben eigentlich Geschwindigkeit vF , diffundieren aber wie Brownsches Teilchen aufgrund von Stössen mit Defekten viel langsamer, mit vd ≪ vF
linear in E. Hohe Mobilität im 2DEG deutet auf sehr schwache Unordnung hin.
Einteilchenbeschreibung (effektive-Masse-Näherung): Potential U (z) gibt
!
h̄2
− ∗ ∆ + U (z) − E ψσ (x, y, z) = 0
2m
Lösungsansatz:
1
ψσ (x, y, z) = √ ei(kx x+ky y) χσ ξn (z)
A
mit Spinor χσ und Fläche A. Dabei folgt Transversalfunktion aus
(−
h̄2 d2
+ U (z) − ǫn )ξn (z) = 0
2m∗ dz 2
d.h. ǫn sind die gebundenen Zustände (n = 1, 2, 3, . . .).
Gesamtenergie des Elektrons: E =
h̄2
(kx2
2m∗
+ ky2 ) + ǫn
Wir betrachten effektiv den Fall ǫn>1 > EF , so dass nur n = 1 relevant. Der z
Freiheitsgrad ist dann ausgefroren.
Jetzt kann zusätzliches Potential V (x, y) vorliegen (viel schwächer als U (z)), das
durch weitere Gatter erzeugt werden kann. Damit können im 2DEG Strukturen
erzeugt werden, z.B. Einschnürung in 1D Quantendraht oder in isolierten Quantenpunkt. Dann sind allerdings Elektron-Elektron-Wechselwirkungen oft nicht
mehr vernachlässigbar!
Zustandsdichte
D(E) = 2
Z
dk
δ(E − Ek )
(2π)d
22
KAPITEL 2. NICHTWECHSELWIRKENDE ELEKTRONENGASE
(Faktor 2: Spin!). Für d = 2 folgt
D(E) = 2
Z
∞
0
h̄2 k 2
kdk
δ(E −
)
2π
2m∗
Mit ξ = h̄2 k 2 /2m∗ und kdk = m∗ dξ/h̄2 :
m∗ Z ∞
m∗
D(E) =
dξδ(E
−
ξ)
=
πh̄2 0
πh̄2
Zustandsdichte des 2DEG ist konstant.
2.3.2
Quantendrähte
Ein Quantendraht (engl.: quantum wire) kann im 2DEG durch geeignete
Schottky-Gates erzeugt werden, die lithographisch auf der Oberfläche der Probe
aufgebracht werden und dann auf negative Spannung gelegt werden (Elektronenverarmung in der Schicht darunter!). Elektrostatische Potentiale im 2DEG dann
in guter Näherung in parabolischer Approximation beschreibbar,
1
V (x, y) = m∗ ω02 y 2
2
Transportrichtung sei hier x, es liegt also Einschnürung entlang der y Richtung
vor, vgl. Abb. 2.2.
u b
"! "#$%& '(*)!+%),! .-/ 0 # 1,23 45687 "! 9*:*60 # !
a
J
Abbildung 2.2: Schematischer Versuchsaufbau für einen eindimensionalen Quantendraht.
2D Schrödinger Gleichung wird dann durch Separationsansatz gelöst:
1
ψσ (x, y) = √ eikx χσ ψn (y)
L
KAPITEL 2. NICHTWECHSELWIRKENDE ELEKTRONENGASE
23
wobei transversale Eigenfunktionen der Gleichung
!
1
h̄2 d2
− ∗ 2 + m∗ ω02 y 2 − En ψn (y) = 0
2m dy
2
genügen. Lösung (1D harmonischer Oszillator): ψn sind Hermite Polynome (1.1),
En = h̄ω0 (n + 1/2), wobei n = 0, 1, 2, . . .. Der Index n numeriert die Bänder
bzw. Transportkanäle im Draht.
Insgesamt ist die Energie eines Zustandes mit Quantenzahlen (n, k, σ) dann
En (k) = (n + 1/2)h̄ω0 +
h̄2 k 2
2m∗
vgl. Abb. 2.3.
Abbildung 2.3: Bandstruktur eines Quantendrahtes.
Typische Werte im 2DEG-Quantendraht: h̄ω0 ≈ 5 meV, also viel kleiner als zQuantisierungsenergie (≈ 100 meV)
Gruppengeschwindigkeit: vn (k) = h̄1 ∂k En (k) = h̄kF,n /m∗
Die Zahl der gefüllten Bänder N (n = 0, . . . , N − 1) ist dabei durch EF festgelegt, und insbesondere hat jeder besetzte Kanal n < N einen separaten FermiWellenvektor kF,n
Bei T = 0 sind alle Zustände mit |k| < kF,n im Band n besetzt, und die Gesamtdichte ist (Faktor 2 für Spin)
ρ=2
X kF,n
n<N
π
KAPITEL 2. NICHTWECHSELWIRKENDE ELEKTRONENGASE
24
Wir betrachten einen Quantendraht der Länge L, adiabatisch verbunden auf beiden Seiten mit 2DEG ohne Einschnürung (Reservoir). Im linken bzw. rechten
Reservoir (sehr gross, hat vom Draht unbeeinflusste Temperatur und chemisches
Potential) liege chem. Potential µL/R vor, mit angelegter Spannung eV = µL −µR .
Wir interessieren uns nun für den elektrischen Strom I, welcher durch den Draht
fliessen kann.
Einschnürpotential ist nun mit x-abhängiger Einschnürfrequenz:
V (x, y) =
m∗ 2
ω (x)y 2
2 0
Form von ω0 (x): siehe Abb. 2.4.
Abbildung 2.4: Einschnürpotential: Frequenz als Funktion von x.
Adiabatische Verbindung bedeutet:
d
ω0 (x) ≈ 0
dx
d.h. langsam veränderlich auf Skala λF , keine abrupte Änderung des Potentials. Da dieses elektrostatisch erzeugt wird, ist dies oft eine sehr gute Näherung
(adiabatische Verbindung).
Adiabatische Näherung bedeutet, dass Eigenfunktionen in diesem Potential faktorisieren, x wirkt in y-Part nur wie Parameter,
ψσ (x, y) = Ψn (x)ψn (y; ω0 = ω0 (x))χσ
wobei
!
h̄2 d2
1
− ∗ 2 + m∗ ω02 (x)y 2 − Vn (x) ψn (y) = 0
2m dy
2
KAPITEL 2. NICHTWECHSELWIRKENDE ELEKTRONENGASE
25
Abbildung 2.5: Transversaleigenzustände Vn (x), siehe Text.
mit Vn (x) = h̄ω0 (x)(n + 1/2), d.h. einfach durch x reparametrisierter 1D Oszillator. Die Vn (x) sind in Abb. 2.5 gezeigt.
Dann folgt für die propagierenden Eigenzustände Ψn (x):
!
h̄2 d2
− ∗ 2 + Vn (x) − En Ψn (x) = 0
2m dx
Betrachten wir diese Gleichung am linken Kontakt, vgl. Abb. 2.5, so sehen wir
dass (von links her, also vom Reservoir her) zuerst der Kanal n = 2 reflektiert
wird, dann auch n = 1, während n = 0 auch im Draht noch unterhalb der
Fermienergie liegt. Also wird in diesem Draht nur der Kanal n = 0 durch den
Quantendraht propagieren, die anderen (n > 0) werden alle am Kontakt reflektiert.
Berechnung des Leitwertes G = I/V am elegantesten durch Landauer-Büttiker Streuformalismus (siehe Bruus/Flensberg). Hier vereinfachte Form; Wir
betrachten die Zwei-Terminal-Geometrie wie oben, ohne Streuung im Draht, und
entwickeln den Streuformalismus bzw. Streuzustände für dieses Problem.
Grundannahme der Landauer-Büttiker (LB) Theorie: Elektron-ElektronWechselwirkung sei vernachlässigbar. Dann kann effektiv im Einteilchenbild gerechnet werden.
Für die betrachtete Geometrie (linkes/rechtes Reservoir für sich im therm. Gleichgewicht, mit chemischem Potential µL/R , und gleicher Temperatur T ) setzt sich
Strom zusammen aus links- (k < 0) und rechts-(k > 0) laufendem Anteil:
I = I+ − I− = I(k > 0) − I(k < 0) = IR − IL
Zustände mit k > 0 sind mit Fermifunktion besetzt, die im linken Reservoir
KAPITEL 2. NICHTWECHSELWIRKENDE ELEKTRONENGASE
26
determiniert ist (β = 1/kB T )
f+ (Ek ) =
1
1 + exp[β(Ek − µL )]
Entsprechend: Linksläufer kommen vom rechten Reservoir:
1
1 + exp[β(Ek − µR )]
f− (Ek ) =
Da verschiedene chemische Potentiale, und wir keinen Streumechanismus zwischen Rechts- und Linksläufern haben, liegen diese auf verschiedenen chemischen
Potentialen, kein Gleichgewicht!
Der Rechtsläufer (Linksläufer) wird dann vom rechten (linken) Reservoir verschluckt, ohne Reflexion falls adiabatischer Kontakt vorliegt. Jeder Zustand k > 0
gibt dann einen Beitrag ρevn (k) zum Strom I+ , wobei die Dichte ρ = 1/L fürR ein
P
dk
gegebenes Band. Wir betrachten zunächst den spinlosen Fall, mit L1 k → 2π
.
Dann folgt
I+ =
e X
vn (k)f+ (En (k))
L n,k>0
−1 Z ∞
e NX
dEn (k)
dk
f+ (En (k))
2πh̄ n=0 0
dk
e XZ
=
dEf+ (E)
h n<N
=
Genauso für I− :
I− =
e XZ
dEf− (E)
h n<N
Also
eZ
dE(f+ (E) − f− (E))
h
Nun ist mit Fermifunktion f (E):
I=N
g(eV ) ≡
Z
dE(f (E − µL ) − f (E − µR )) =
Z
dE(f (E − eV ) − f (E))
Beachte: g(0) = 0 und dg(x)/dx = −f (∞) + f (−∞) = +1, d.h.
g(eV ) = eV
Also folgt (formal für beliebige Temperatur)
I=N
e2
V,
h
G=N
e2
h
KAPITEL 2. NICHTWECHSELWIRKENDE ELEKTRONENGASE
27
Also folgt: G = N e2 /h
Leitwertquantisierung
Widerstand: R = RK /N
Einheit der Quantisierung: Von-Klitzing Konstante, enthält nur Naturkonstanten,
materialunabhängig!
h
RK = 2 ≈ 25.8kΩ
e
Jeder transmittierte Kanal bringt Leitwert 2e2 /h (mit Spin). Leitwertquantisierung kann in kurzen Drähten schön beobachtet werden (erstmalig: 1988), vgl.
Abb. 2.6. Dabei wird durch eine backgate Spannung das Einschnürpotential und
die Ladungsträgerkonzentration (also EF ) durchgestimmt, d.h. man bekommt
eine Sequenz von quantisierten Plateaus. Vgl. auch Abb. 2.7 für den Fall eines
(kurzer Quantendraht).
Quantenpunktkontaktes
v
kM = Km M`Q j# clMVkAZXDkiŠAe*O2kAZ%#12`MVUig.XDk*U*e*[email protected]'Œx\TMe*m*mJM`Q n M`]tZm@O2kTM n j# _bOPm
Abbildung 2.6: Experimentelle Bestätigung der Leitwertquantisierung in (kurzen)
Quantendrähten, sogenannten Quantenpunktkontakten. Siehe z.B. B. van Wees
et al., Phys. Rev. Lett. 60, 848 (1988) und D. Wharam et al., J. Phys. C 21,
L209 (1988).
Plateau-Werte sind materialunabhängig. Aber: Quantisierung wird durch Unordnungseffekte bzw. Abweichungen von der perfekten Adiabatizität zerstört. Defekte koppeln R und L Läufer, und geben reduzierte Transmissionswahrscheinlichkeiten! Dennoch beobachtbar, für langen Quantendraht aber schwierig.
Wo kommt der Widerstand h/e2 her? Im Quantendraht wurden keine Streuer angenommen, d.h. gemäss Bloch Theorem würden wir Widerstand Null erwarten. Dies ist in der Tat der intrinsische Widerstand: Im Draht selbst fällt
keine Spannung ab, und eine 4-Terminal Anordnung mit schwach gekoppelten
KAPITEL 2. NICHTWECHSELWIRKENDE ELEKTRONENGASE
6
K
28
Closed channel
Energy
Gate
E
ε n+1(x)
ε n(x)
Gate
x
Open channel
x
Abbildung 2.7: Schematisch: Quantenpunktkontaktquantisierung.
Spannungsgreifern würde tatsächlich bei den Hilfskontakten µ1 = µ2 und daher
R4t = (µ1 − µ2 )/I = 0 liefern.
Achtung: Kein Supraleiter, obwohl Widerstand Null.
Dagegen ist 2-Terminal Leitwert endlich, G = N (2e2 /h) (mit Spin).
Grund: Kontaktwiderstand
Durch die Reflektion von Moden aus dem Reservoir an dem Kontakt (vgl.
Abb. 2.5) entsteht ein Spannungsabfall (Widerstand) am Kontakt. Dissipation
hier nur in den Reservoiren, nicht im Draht! Die intrinsische Leitfähigkeit ist im
Draht ∞, trotzdem wird endlicher (und quantisierter) Leitwert gemessen.
Falls Verunreinigungen (Störstellen etc.) im Draht: Allgemeiner Landauer-Büttiker Formalismus ergibt (mit Spin)
G=
2e2 X
Tn
h n<N
Landauerformel, 2-Terminal Leitwert
mit Transmissionswahrscheinlichkeit Tn des n.ten Kanals, 0 ≤ Tn ≤ 1. In diesem
Kapitel hatten wir den perfekten Fall Tn = 1 diskutiert. Daraus folgt die Landauerformel für den 4-Terminal Leitwert G4t . Falls N = 1: Kontaktwiderstand ist
Rk = h/2e2 , d.h. 4-Terminal-Leitwert folgt aus Serienschaltung der Widerstände
G−1 = Rk + G−1
4t
also mit T = T1
1/T = 1 +
2e2 /h
G4t
KAPITEL 2. NICHTWECHSELWIRKENDE ELEKTRONENGASE
d.h.
G4t =
2e2 T
h 1−T
R4t =
h 1−T
2e2 T
bzw.
2.4
29
Kohlenstoff–basierte Leiter
Im folgenden betrachten wir die Bewegung von Elektronen im periodischen
Gitter-Potential, das durch Kohlenstoffatome in einer Graphene-Monolage erzeugt wird, siehe Abb. 2.8. Durch Aufwickeln auf einen Zylinder entstehen Nanoröhrchen (carbon nanotubes). Nanoröhrchen wurden 1991 entdeckt, wichtiges
Beispiel für eindimensionalen molekularen Leiter. Aufbau siehe Abb. 2.8, aufgeGraphitschicht
(Graphen).
m rollte
!
K
a
Abbildung 2.8: Kohlenstoffnanoröhrchen. Links: Ideales Graphene-Gitter (Honigwabenstruktur). Mitte: Aufgerolltes Gitter einer Kohlenstoffnanoröhre. Rechts:
Rasterkraftmikroskopaufnahme einer elektrisch kontaktierten Nanoröhre.
2.4.1
Graphene
Honigwabengitter:
Nächster Nachbar-Abstand zweier Kohlenstoffatome: d = 1.42 Å
√
Gitterkonstante: a = 3d
Primitive Bravais-Gittertranslationen: a1 = a(1, 0),
a2 = a(1/2,
√
3/2).
Dabei hat Basis zwei Atome (keine einatomare Basis wählbar!).
Gitter wird aufgespannt durch primitive Translationsvektoren (n1 , n2 ganzzahlig)
T = n1 a1 + n2 a2
(2.2)
b
KAPITEL 2. NICHTWECHSELWIRKENDE ELEKTRONENGASE
30
Reziprokes Gitter des Honigwabengitters wird aufgespannt durch b1 und b2 mit
bi · aj = 2πδij
also
√
2π
(1, −1/ 3)
a
√
2π
b2 =
(0, 2/ 3)
a
b1 =
Reziproker Gittervektor
G = m1 b1 + m2 b2
Abbildung 2.9: Erste Brillouinzone des Honigwabengitters.
Erste Brillouinzone ist Hexagon, siehe Abb. 2.9.
Spezielle Punkte:
Γ : (0, 0),
M:
√
2π
(1/2, 1/2 3),
a
K : (4π/3a, 0)
Bandstruktur folgt in guter Näherung aus einfachem Tight-Binding Modell, mit
einem Leitungselektron (π-Elektron) pro C Atom. Mit n = (n1 , n2 ) und Basisindices p = A, B bezeichnet der Zustand |Tn , A/Bi die Besetzung dieses Gitterplatzes
auf Untergitter A/B. Beim Hüpfen zwischen nächsten Nachbarn wird immer das
Untergitter gewechselt, mit t ≈ 2.7 eV.
Effektiv folgt Tight-Binding Modell:
H = −t
X
n,δ
(|Tn , AihTn + δ, B| + h.c.)
31
KAPITEL 2. NICHTWECHSELWIRKENDE ELEKTRONENGASE
wobei die drei Vektoren δ1,2,3 den Gitterplatz A mit den
verbinden:
√
√
a
a
δ1 = (1, 1/ 3), δ2 = (−1, 1/ 3), δ3 =
2
2
drei nächsten Nachbarn
√
a
(0, −2/ 3)
2
Diagonalisiere durch Fouriertransformation: (Ā ist Normierungsfläche)
1 X ik·Tn
|k, A/Bi
e
|Tn , A/Bi = √
Ā k∈1.BZ
Dabei ist für k, k′ in der ersten Brillouinzone
1 X i(k−k′ )·Tn X
=
e
δk,k′ +G = δk,k′
Ā Tn
G
und es folgt
H = −
=
t X ik·T−ik′ ·(T+δ)
e
|kAihk′ B| + h.c.
Ā T,δ,k,k′
X
k∈1.BZ
ξk |kAihkB| + h.c.
mit
ξk = −t
X
e−ik·δ
δ
√
= −2t cos(kx a/2)e−iky a/(2
3)
− teiky a/
√
3
In der (A, B) Basis ist damit
H=
X
Hk ,
Hk =
k
0 ξk
ξk∗ 0
!
Dispersionsrelation:
v
u
u
Ek = ±|ξk | = ±tt1 + 4 cos2
!
!
kx a
kx a
+ 4 cos
cos
2
2
√
3ky a
2
!
vgl. Abb. 2.10 für einen Weg von M nach K über Γ zurück nach K in der 1.
Brillouinzone.
Ohne Dotierung hat man pro C Atom ein freies Elektron, d.h. Elektron-LochSymmetrie. Dies bedeutet: EF = 0
Alle Zustände mit E < 0 bilden dann das Valenzband, und das Leitungsband
wird für E > 0 realisiert. Fermi-Fläche besteht dann aus isolierten Punkten (in
2D Graphene!), den K Punkten. Davon sind immer drei identisch, da sie nur durch
KAPITEL 2. NICHTWECHSELWIRKENDE ELEKTRONENGASE
32
Abbildung 2.10: Dispersionsrelation einer 2D Graphene-Schicht.
reziproke Gittervektoren verschieden sind. Es gibt also zwei nicht-äquivalente
Fermipunkte (bzw. K Punkte).
Um einen solchen K Punkt herum kann man auf niedrigen Energieskalen |E| ≪
t ≈ 2.7 eV (was auch Raumtemperatur umfasst!) die Dispersionsrelation in guter
Näherung linearisieren
Eq = v|q|, q = k − K
mit Fermigeschwindigkeit
v=
√
3at
≈ 106 m/sec ≈ c/300
2
Dirac-Kegel, entspricht effektiv masselosen Dirac-Fermionen (Lichtkegel).
Elektronen in Graphene bilden nahe bei EF = 0 aufgrund der Gitterstruktur effektiv masselose Diracteilchen, die mit der Geschwindigkeit v propagieren. Analogie zu Licht bzw. QED.
Graphene wurde 2004 von A. Geim und K. Novoselov (Manchester) erstmals in
Monolagen präpariert, extrem aktives Feld der aktuellen Festkörperphysik (Nobelpreis für Physik, 2010).
KAPITEL 2. NICHTWECHSELWIRKENDE ELEKTRONENGASE
33
Grundlagenphysik: Realisierung von Diractheorie in Festkörperphysik, mit etlichen interessanten Effekten (Klein-Paradoxon, unkonventionelle Quantisierungseffekte, etc.)
2.4.2
Nanoröhrchen
Um 2D Gitter auf Zylinder abzuwickeln, wird ein Gitterpunkt durch einen Übergittervektor Tnm wieder auf sich selbst abgebildet, d.h. Tnm geht einmal um den
Umfang des Zylinders, 2πR = |Tnm | ergibt dann den Radius der Nanoröhre. Die
chiralen Indices n und m (wir wählen o.B.d.A. n ≥ m ≥ 0) legen nun fest, wie
sich die C Atome um den Umfang wickeln. Mit Gl. (2.2) folgt
a√ 2
R=
n + nm + m2
2π
Beispiele:
• Zig-zag Nanoröhre, (n, 0), stabil für n > 5
• Armchair Nanoröhre, (n, n), stabil für n > 3. Häufig kommt n = 10 vor,
dann R = 1.4 nm.
• Chirale Nanoröhren haben 0 < m < n, dann gibt es Helizität (rechts- oder
linksdrehend). Zig-zag und Armchair Nanoröhren sind die einzigen nichtdrehenden.
Haupteffekt des Übergittervektors: Transversalquantisierung der erlaubten Impulse. Periodische Randbedingungen der Zustände bei Umlauf des Zylinders erfordert für ganzzahliges N0 :
Tnm · k = 2πN0
Damit die Nanoröhre metallisch ist, muss notwendigerweise der K Punkt noch
ein erlaubter Impuls sein, d.h. dieser Bedingung genügen. Einsetzen von K =
(4π/3a, 0) ergibt die Bedingung
2n + m = 3N0
(2.3)
• Zig-zag Nanoröhren sind für n = 3k metallisch, aber sonst isolierend.
• Armchair Nanoröhrchen sind immer metallisch.
• Üblicherweise wird bei Fabrikation ein Zufallsgemisch von Chiralitäten
(n, m) vorliegen. Dann sind im Mittel 1/3 der Nanoröhrchen metallisch,
und der Rest isolierend.
KAPITEL 2. NICHTWECHSELWIRKENDE ELEKTRONENGASE
34
• Die Gültigkeit von (2.3) wurde experimentell verifiziert: an der gleichen
Nanoröhre wurde mit Rastertunnelmikroskopie eine direkte Bestimmung
der chiralen Indices (n, m) vorgenommen, und der Leitwert gemessen.
Energielücke ∆E bei halbleitenden bzw. isolierenden Nanoröhrchen?
Falls Bedingung (2.3) verletzt ist, liegt eine Energielücke
∆E =
2v
≈ 1eV
3R
vor.
Nachweis allgemein möglich, hier für den Fall einer Zig-zag Nanoröhre mit N0 6=
3k. Bezeichne x als Transportrichtung, und y als um den Umfang. Erlaubte ky
genügen dann
ky R = N0
während mit R = na/2π auch Ky = 4π/3a = 2n/3R. Die minimale Abweichung
des K Punktes von einem erlaubten Wellenvektor für n 6= 3k ist also
|qy | =
1
3R
und mit der linearisierten Dispersionsrelation folgt
∆E = E+ − E− = 2E+ = 2v|qy | =
2v
∝ 1/R
3R
Die Chiralität ist also von entscheidender Wichtigkeit für elektronische Eigenschaften!
Anschaulich: Dirac-Kegel wird von Ebenen ky = constant (erlaubte transversale
Wellenvektoren) geschnitten. Falls K Punkt im Schnitt liegt, metallische Nanoröhre. Dann 2 Kopien (da 2 K Punkte) von 1D masselosen Diracfermionen.
Entspricht einem Quantendraht mit 2 (spin-entarteten) Bändern bei EF .
Ultrasaubere Nanoröhren mit mittl. freien Weglängen weit über 1µm können
fabriziert und studiert werden.
Bei guten (adiabatischen) Kontakten zu Zuleitungen erwarten wir dann den Leitwert (Spin- und K-Entartung!)
G = 4e2 /h
experimentell beobachtet
Anwendungen
• Rastertunnelmikroskopie-Spitzen
KAPITEL 2. NICHTWECHSELWIRKENDE ELEKTRONENGASE
35
• Flat panel displays, Feldemission
• Wasserstoffspeicherung (allerdings nicht sehr erfolgreich)
• Molekulare Elektronik
• Nanomechanik (höchster bekannter Young-Modul!)
Weitere Literatur:
M.S. Dresselhaus et al., Science of Fullerenes and carbon nanotubes, Academic
Press, 1996.
Kapitel 3
Coulomb-Wechselwirkungseffekte
Betrachte weiterhin Jellium-Modell, d.h. effektiv kein periodisches Potential. Bisher wurden Coulombwechselwirkungen vernachlässigt, jetzt betrachtet wir diese
im Rahmen der Störungstheorie.
Mit Vq = 4πe2 /q 2 ist Ĥ = T̂ + V̂ ,
V̂ =
X †
1 X X
c
c†
ck ,σ ck ,σ
Vq
2V σ1 ,σ2 q6=0 k1 ,k2 k1 +q,σ1 k2 −q,σ2 2 2 1 1
Die q = 0 Mode ist ausgeschlossen wg. neutralem Hintergrund, Ladungsneutralität: Ionenladung kompensiert gesamte Elektronenladung!
Wann lässt sich V̂ perturbativ behandeln? Einfache Abschätzung durch Vergleich
von kinetischer und potentieller Energie:
ǫkin
E (0)
≈
= (3/5)ǫF ∝ n2/3
N
Mit mittl. Abstand d¯ ∝ n−1/3 zwischen nächsten Nachbarn:
e2
ǫpot ≈ ¯ ∝ n1/3
d
also gilt ǫpot /ǫkin ∝ n−1/3 . Für n → ∞ (hohe Dichte) dominiert also die kinetische
Energie, und Störungstheorie ist gerechtfertigt. Pauliprinzip erhöht kinetische
Energie so sehr, dass durch hohe Dichte Wechselwirkungseffekte kleiner werden!
(Beim klassischen bzw. Bose-Gas genau andersrum!)
Alternativ (und meist in der Literatur gebräuchlich) erfasst man dieses Argument
mit einem dimensionslosen Entwicklungsparameter, dem Bruecknerparameter rs , der durch das Verhältnis vom typischen (halben) Elektronenabstand zum
Bohrradius a0 bestimmt ist. Letzterer ist beim H Atom (vgl. Coulombpotential!)
gegeben als
h̄2
a0 = ∗ 2 = 0.053 nm falls m∗ = me
me
36
KAPITEL 3. COULOMB-WECHSELWIRKUNGSEFFEKTE
also
37
V
1
3π 2
4π
(rs a0 )3 =
= = 3
3
N
n
kF
ergibt
rs = (9π/4)1/3
1
∝ n−1/3
kF a0
Für rs ≪ 1 haben wir hohe Dichte, Ekin ≫ Epot , gut durch Modell des Fermigases
beschrieben.
Für rs ≫ 1 haben wir niedrige Dichte, Ekin ≪ Epot , Quanteneffekte klein gegen
elektrostatische Effekte. Wignerkristall.
Betrachte kleine rs : Entwicklung der Grundzustandsenergie E (also bei T = 0)
in rs
Nullte Ordnung gibt Fermigas: (benutze a0 = h̄/[m∗ e2 ])
2
2
1
2.21
3
3 h̄2 kF2
3
E (0)
2 (a0 kF )
2/3 e
= 2 [Ry]
=
=
=
(a
e
)
(9π/4)
0
2
∗
2
N
5 2m
10
a0
2a0 rs
rs
{z
} |{z}
|5
=2.21
=1 Ry
Energieeinheit: 1 Rydberg = 13.6 eV.
3.1
Erste Ordnung
Störungstheorie
X
E (1)
1
1 X X
hF S|c†k1 +q,σ1 c†k2 −q,σ2 ck2 ,σ2 ck1 ,σ1 |F Si
Vq
= hF S|V̂ |F Si =
N
N
2N V σ1 ,σ2 q6=0 k1 ,k2
Wann ist Matrix Element von Null verschieden? Notwendige Bedingung ist |k1 | <
kF und |k2 | < kF . Ausserdem kann wegen q 6= 0 nur der Austausch (Fock) Beitrag
mitgenommen werden, d.h.
k2 = k1 + q,
σ1 = σ2
damit wir wieder zu |F Si zurückkommen. Es gibt hier keinen direkten (Hartree)
Beitrag!
Also gilt
hF S|c†k1 +q,σ1 c†k2 −q,σ2 ck2 ,σ2 ck1 ,σ1 |F Si = −δσ1 σ2 δk2 ,k1 +q hF S|n̂k1 +q,σ1 n̂k1 ,σ1 |F Si
= −δσ1 σ2 δk2 ,k1 +q Θ(kF − k1 )Θ(kF − |k1 + q|)
KAPITEL 3. COULOMB-WECHSELWIRKUNGSEFFEKTE
38
Spinsummation gibt einfach Faktor 2. Im Kontinuumslimes folgt
E (1)
V Z d3 q Z d3 k 4πe2
= −
Θ(kF − k)Θ(kF − |k + q|)
N
N (2π)3 (2π)3 q 2
d3 k ′ 4πe2
d3 k Z
V Z
= −
N |k|<kF (2π)3 |k′ |<kF (2π)3 |k − k′ |2
Benutze Polarkoordinaten, mit dem Winkel θ zwischen k und k′ . Winkelintegrationen geben dann Faktor 2(2π)2 ,
Z
3
dk
Z
3 ′
2
d k → 2(2π)
Z
kF
0
2
k dk
Z
kF
0
′2
k dk
′
Z
1
−1
d cos θ
und somit
V 4e2 Z kF 2 Z kF ′ 2 ′ Z 1
1
E (1)
= −
k dk
k dk
d cos θ 2
2
3
′
N
N (2π) 0
0
−1
k + k + 2kk ′ cos θ
Z
Z
Z
kF
1
1 e2 kF
1
′
′
= −
kdk
k
dk
dy
2
′2
3
k
n 4π 0
0
−1
y + +k′
=ln
= −
Z kF
e2 Z kF
kdk
2π 3 n 0
0
|
2kk
{z
}
′ +k
2kk′ +k2 +k′ 2
=2 ln kk′ −k
−2kk′ +k2 +k′ 2
k′ + k ′
′
k dk ln ′
k − k |
|
Jetzt reskalieren: k = kF x, k ′ = kF x′
Z 1
x′ + x e2 k 4 Z 1
E (1)
= − 3F
xdx
x′ dx′ ln ′
N
2π n 0
x − x
0
= −
|
e2
·
2a
0
|{z}
=1 Ry
= −
{z
=1/2
(a0 kF )
| {z }
=(9π/4)1/3 rs−1
0.916
[Ry]
rs
·
kF3
3
|2π{z n}
}
=3/2π
Insgesamt
Vgl. Abb. 3.1.
E (0) + E (1) = (2.211rs−2 − 0.916rs−1 + · · ·) [Ry]
N
rs →0
Sagt Minimum (besondere Stabilität!) der Energie bei rs ≈ 4.8 voraus (dies ist eigentlich aber ausserhalb der Störungstheorie!). Durch repulsive Elektron-Elektron
Wechselwirkung kommt es zu Stabilisierung des Elektronengases. Grund: Austauschkräfte bringen Vorzeichenänderung (Fockterm). Bindung in Metallen durch
repulsive Wechselwirkungen möglich!
! KAPITEL 3. COULOMB-WECHSELWIRKUNGSEFFEKTE
39
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Àɝ§› À¼°£›#¦ ­¨§·˜
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¤
¡¬
Abbildung 3.1: Gesamtenergie pro Teilchen im Grundzustand eines schwach wechselwirkenden Fermigases: Störungstheorie in 1. Ordnung.
3.2
2. Ordnung
Nächste Ordnung in V̂ ??
Überraschung: es treten Divergenzen auf, auch in allen weiteren Ordnungen...
Korrektur in Störungstheorie 2. Ordnung :
E (2)
1
=
N
N
hF S|V̂ |νihν|V̂ |F Si
E (0) − Eν
|νi6=|F Si
X
durch Summation über alle Zwischenzustände |νi (ausser |F Si) mit Energie Eν .
Diese enthalten immer 2 Elektron-Loch Paare, vgl. Abb. 3.2.
Direkter Term (Hartree) verursacht Infrarot (IR) Divergenz, der indirekte Term
ist wohldefiniert und gibt endliche Korrektur.
Betrachte nur direkten Beitrag:
|νi = Θ(|k1 +q|−kF )Θ(|k2 −q|−kF )Θ(kF −k1 )Θ(kF −k2 )c†k1 +q,σ1 c†k2 −q,σ2 ck2 ,σ2 ck1 ,σ1 |F Si
Energiedifferenz (zur Erzeugung des Elektron-Loch Paars)
E (0) − Eν =
h̄2 2
(k + k22 − (k1 + q)2 − (k2 − q)2 )
2m 1
Für q → 0 verhält sich dies wie E (0) − Eν ∝ q. Damit folgt Energiekorrektur:
(2)
Edirekt =
1
V2
X
X
q6=0,k1 ,k2 σ1 ,σ2
(Vq /2)2
Θ(|k1 +q|−kF )Θ(|k2 −q|−kF )Θ(kF −k1 )Θ(kF −k2 )
E (0) − Eν
u
KAPITEL 3. COULOMB-WECHSELWIRKUNGSEFFEKTE
40
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Abbildung 3.2: Prozesse in 2. Ordnung.
Abschätzung für q → 0:
X
k1
Θ(|k1 + q| − kF )Θ(kF − k1 ) ∝ q
ebenso für k2 Summe. Beachte: verschwindet für q = 0 !
Damit folgt:
(2)
Edirekt
∝
Z
0
dq
q
2
|{z}
Integrationsmass
logarithmische IR Divergenz !
·
1
q4
|{z}
Potential Vq
·
1
q
|{z}
·q · q ∝
Z
0
dq
→∞
q
Nenner
Direkte Störungstheorie für Coulomb-Wechselwirkung unmöglich. Nichtperturbatives Problem, langreichweitiger Schwanz des Coulombpotentials erfordert immer
Aufsummation aller Ordnungen: Abschirmung. (siehe später!)
Kapitel 4
Phononen
Phononen = quantisierte Schwingungsmoden des Ionengitters
Verantwortlich u.a. für
• Schallausbreitung in Festkörpern
• Elastische Eigenschaften
• Elektrischer Widerstand
• Supraleitung
entsprechen harmonischen Oszillatoren (Bosonen), Bose-Einstein Verteilung mit
µ = 0.
4.1
Phononen einer 1D Kette
Betrachte 1D Kette mit Länge L = N a (a: Gitterkonstante, period. Randbed.),
mit N gleichen Ionen der Masse M . Siehe Abb. 4.1. Ruhelagen seien Rj0 , mit
0
Rj+1
− Rj0 = a. Auslenkungen aus Ruhelage seien uj (t). Wieder: uN +1 = u1 .
Kräfte zwischen Ionen sind elektrostatischer Natur, durch Entwickeln um Ruhelage wird für kleine Auslenkungen immer eine lineare (harmonische) Rückstellkraft
bewirkt: Federmodell mit Federkonstante K (Hooke’sches Gesetz). Dies ergibt
Hamiltonian
!
N
X
p2j
K
2
Hph =
+ (uj − uj−1 )
2
j=1 2M
Quantisierung durch
[pj , uj ′ ]− = −ih̄δjj ′
41
KAPITEL 4. PHONONEN
`
6 Eu
42
u
@ @ !" 1342 A 31 =4 2 <>: A
%& +, -. /0/ ? 49587
? 94 5;:
?4
? 4=<>:
DCFEHGJILKNMPONQSRUT6VXWZY\[][ Z^_Ia`cb Z`Fdfehg Z[JikjlYceJe +nm WZY\[][ Z^_Io^_`Fd8e][JYcdp[ m YcdfqrYsdHI9Y\GJI9eJ[tdHI DCFivuw`cG
#$ @
@
@ A 132 A 132 A
46587
495;:
'( )* Abbildung 4.1: 1D Kette schwingender Ionen, siehe Text.
Da Gleichgewichtsproblem periodisch, gehen wir zum reziproken Raum über. Erste Brillouinzone:
π
π
π
π
1.BZ = {− + ∆k, − + 2∆k, . . . , = − + N ∆k}
a
a
a
a
mit ∆k = 2π/L = 2π/N a. Enthält genau N Wellenzahlen kj , j = 1, . . . , N .
Diskrete Fouriertransformation
1
pj = √
N
1
uj = √
N
umgekehrt:
X
p̃k eikRj
X
ũk eikRj
0
k∈1.BZ
0
k∈1.BZ
N
1 X
0
√
pj e−ikRj
p̃k =
N j=1
usw., wobei
δk,0
N
1 X
0
=
e−ikRj
N j=1
Einsetzen ergibt diagonalisierten Hamiltonoperator:
Hph =
+
=
N X
1 X
′
0
ei(k+k )Rj p̃k p̃k′
2M N j=1 k,k′
N X
K X
′
0
′
′
ei(k+k )Rj 1 + e−ika−ik a − e−ika − e−ik a ũk ũk′
2N j=1 k,k′
1X
1 X
p̃k p̃−k +
M ωk2 ũk ũ−k
2M k
2 k
43
KAPITEL 4. PHONONEN
Frequenzen
q
ωk = 2 K/M | sin(ka/2)|
Quantisierungsbedingung bedeutet nun:
[p̃k , ũk′ ]− =
1 X −i(k+k′ )Rj0
1 X −ikRj0 −ik′ Rj0′
e
e
[pj , uj ′ ]− = −ih̄
e
| {z }
N jj ′
N j
=−ih̄δjj ′
also
[p̃k , ũ−k′ ]− = −ih̄δkk′
Dabei ist p̃k nicht Hermitesch, obwohl pj hermitesch ist:
p̃†k =
1 X ikRj0
pj e
= p̃−k
N j
ebenso: ũ†k = ũ−k .
Wir bilden Bosonen-Leiteroperatoren bk , b†k daher über
1
bk = √
2
mit lk =
q
ũk
p̃k
+i
lk
h̄/lk
!
h̄/M ωk = l−k . Dies ergibt
b†k
p̃−k
ũ−k
−i
lk
h̄/lk
1
=√
2
!
und damit
1 ũk
p̃−k′
i
p̃k ũ−k′
[bk , b†k′ ]− = [ + i
−i
]− = − [ũk , p̃−k′ ]− = δkk′
,
2 lk
h̄/lk lk′
h̄/lk′
h̄
Ausserdem gilt
1
b†k bk = (ũk ũ−k /lk2 + (lk2 /h̄2 )p̃k p̃−k ) + const.
2
Gitterschwingungen entsprechen einem quantisierten Satz von harmonischen Oszillatoren: Phononen
X
h̄ωk (b†k bk + 1/2)
Hph =
k∈1.BZ
mit fundamentaler Algebra
siehe Abb. 4.2(a).
[bk , b†k′ ]−
q
= δkk′ . Frequenz: ωk = 2 K/M | sin(ka/2)|,
Niederenergielimes (langwellig): lineare Dispersion ωk = vs |k|, Schallwelle mit
Schallgeschwindigkeit
s
K
a
vs =
M
44
KAPITEL 4. PHONONEN
M
"!$#
M A3ff
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)+*
)+*
/
ww
"(
#
)+*
/
,
)+*
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/
-.,
,
B DCFEHGJIlKNMPKNQ‹hifIo{8if`FdH`Fd‡q Ze]{wI6Gye D`FdŒGJI9WZY\[ Z`Fd™b“`cG3[JiHGyI6Ižq „I6GyI9dp[zT6VƒWZY\[][ Z^_I9e6M µ Yp¶ËRXeJ‘Ne][]I9j
µ
µ
µ
+
Abbildung 4.2: Phononendispersionsrelation einer 1D Kette.
“akustisches Phonon”
Besetzungszahlen nk = 0, 1, 2, . . . sind dann durch Bose-Einstein Verteilung (mit
µ = 0) geregelt.
Analoge Rechnung mit 2 verschiedenen Atomen pro Elementarzelle, siehe
Abb. 4.2, ergibt zusätzliches “optisches Phonon” (gegenphasige Schwingung),
siehe Abb. 4.3, d.h. 2 Phononenzweige, entsprechend a → 2a (halbierte Brillouinzone). Hier Dispersionsrelation
d.h.
relativ
flach,
6 ωk→0
=
E cst. DCFEHGJIaKNM HQ
µ
Yp¶SRËdŒYc^_`FEfe][ Z^6YcW>Ycdfq
µ
u„¶¢YcdŒ`c{f[ |^6YcW;{8iH`FdH`FdŒi8Y9 ZdHCž[JiHI
SgSY9cIoWZI9dHCc[JiŒbx`cG
Abbildung 4.3: Optisches vs akustisches Phonon.
Da diese Schwingung ionischen Charakter hat (Dipolmoment), koppelt sie an
elektromagnetische Wellen (Licht), und kann optisch angeregt werden.
Analog bei p Ionen pro Elementarzelle: p Zweige, λ = 1, . . . , p
1 akustischer Zweig (λ = 1)
p-1 optische Zweige (λ = 2, . . . , p)
Hph =
X
h̄ωkλ (b†kλ bkλ + 1/2)
k,λ
[bkλ , b†k′ λ′ ]− = δλλ′ δkk′
45
KAPITEL 4. PHONONEN
4.2
3D Phononen
Wichtigste Neuerung in 3D: Polarisation, vgl. Photon. Bisher nur longitudinale
Schwingung (in der 1D Richtung), jetzt kann Auslenkung u(R0j ) des Ions bei
Ruhelage R0j auch in andere Richtung als k gehen! Betrachte der Einfachheit
halber einatomares Bravaisgitter (d.h. nur akustische Moden, p = 1, 1 Ion pro
Elementarzelle).
Entwicklung der potentiellen Energie um Ruhelagen bis zur quadratischen Ordnung (lineare Ordnung verschwindet da wir um Gleichgewicht herum entwickeln!)
U = U0 +
X
1 X
uα (R01 )Dαβ (R01 − R02 )uβ (R02 )
2 R0 ,R0 α,β=x,y,z
1
2
mit Kraftmatrix (entspricht Federkonstanten)
Dαβ (R01
−
∂ 2U
=
∂uα (R01 )∂uβ (R02 ) u=0
R02 )
Hängt nur von Differenz R01 − R02 ab, da Potential invariant unter globaler Translation R01 → R01 + X, R02 → R02 + X.
Fouriertransformation:
f (R0j ) =
1
N
X
0
f˜(k)eik·Rj ,
f˜(k) =
X
0
f (R0j )e−ik·Rj
R0j
k∈1.BZ
Also
D̃αβ (k) =
X
Dαβ (R0 )e−ik·R
0
R0
Symmetrien von D?
1. Vertauschbarkeit gemischter Ableitungen impliziert
(D(R0 ))T = D(R0 )
2. Da unter Verschiebung aller Koordinaten um gleichen Vektor Energie invariant, muss für u(R0 ) = d (für alle R0 ) gelten:
0=
X
R01 ,R02
Da d beliebig, folgt
X
R0
bzw. D̃αβ (k = 0) = 0.
dT · D(R01 − R02 ) · d
Dαβ (R0 ) = 0
46
KAPITEL 4. PHONONEN
3. Falls Kristall Inversionssymmetrie besitzt, folgt auch
D(−R0 ) = D(R0 )
Dann folgt, dass D̃(k) eine symmetrische reelle 3 × 3 Matrix ist:
D̃(k) =
1X
1 X ik·R0
0
0
(D(R0 )+D(−R0 ))e−ik·R =
(e
+ e−ik·R − 2) D(R0 )
{z
}
2 R0
2 R0 |
=−4 sin2 (k·R0 /2)
wobei die zweite Relation verwendet wurde.
Im Folgenden sei Inversionssymmetrie angenommen. Dann kann D̃(k) durch reelle
Eigenwerte Kk,λ mit λ = 1, 2, 3 und orthonormierte Eigenvektoren {ǫ̂k,1 , ǫ̂k,2 , ǫ̂k,3 }
(Polarisations-Einheitsvektoren) dargestellt werden:
D̃(k)ǫ̂k,λ = Kk,λ ǫ̂k,λ
(4.1)
mit ǫ̂k,λ · ǫ̂k,λ′ = δλλ′
Bewegungsgleichung der Ionen:
M ∂t2 uα (R0 ) = −
Lösungsansatz:
ergibt
X
∂U
=−
0
∂uα (R )
R0 ,β
1
u(R0 , t) ∝ ǫ̂k,λ ei(k·R
0 −ωt)
Dαβ (R0 − R01 )
|
1
=N
P
k
{z
uβ (R01 )
}
ik·(R0 −R0 )
1 D̃(k)
e
M ω 2 ǫ̂k,λ = D̃(k)ǫ̂k,λ
Wahl der ǫ̂ Vektoren als Lösungen des Eigenwertproblems (4.1) ergibt Eigenfrequenzen
q
ωk,λ = Kk,λ /M
mit Eigenmode
uk,λ (R0 , t) = ǫ̂k,λ ei(k·R
0 −ω
k,λ t)
Jetzt zweite Quantisierung, wie bei 1D Phonon: Mit lk,λ =
q
h̄/M ωk,λ
lk,λ
uk,λ = √ (b†−k,λ + bk,λ )
2
mit Algebra [bk,λ , b†k′ ,λ′ ]− = δλλ′ δk,k′
Hamiltonoperator des freien Phononensystems (noch ungekoppelt an Elektronen)
Hph =
X
k,λ
h̄ωk,λ (b†k,λ bk,λ + 1/2)
KAPITEL 4. PHONONEN
6 E
47
µ
m
Abbildung 4.4: Phononenspektrum eines 3D Kristalls mit p > 1.
Verallgemeinerung: mit p Ionen pro EZ gibt es in D = 3 Dimensionen insgesamt
3p Phononenzweige, λ = 1, . . . , 3p. Davon sind 3 akustisch, ωk→0,λ = vλ k, und
3(p − 1) optische Zweige.
Weitere Klassifikation:
1 Longitudinal Akustische (LA) Mode
2 Transversal Akustische (TA) Moden
p − 1 Longitudinal Optische (LO) Moden
2(p − 1) Transversal Optische (TO) Moden
vgl. Abb. 4.4. Da in longitudinaler Richtung i.a. grössere Rückstellkraft (und
daher grössere Federkonstante), gilt meist vLA > vT A bzw. ωLO > ωT O .
4.3
Debyemodell
Niederenergetische Anregungen: akustische Phononen, ωλ (k) ≈ vλ k (λ = 1, 2, 3).
Spezifische Wärme mittelt über die drei Zweige, betrachte daher einfacheres
Debye-Modell mit
ǫ = h̄vD k, vλ = vD
plus Bandbreite (Cutoff) k < kD so dass Gesamtzahl der Moden korrekt:
Nion =
X
k∈1.BZ
3
V Z
V 4πkD
3
=
d
k
=
(2π)3 k<kD
(2π)3 3
(pro Polarisation λ)
Debyeenergie: h̄ωD = h̄vD kD = kB TD , typischer Wert ist TD ≈ 10 bis 1000 K in
Metallen.
48
KAPITEL 4. PHONONEN
Dies ergibt
6π 2 Nion (h̄vD )3 = V (kB TD )3 ,
(4.2)
1/3
d.h. TD ∝ Nion . Vgl. mit Skalierung der Fermienergie - anderer Exponent wegen
geänderter Dispersionsrelation.
Zustandsdichte der Phononen (Faktor 3 da λ = 1, 2, 3):
Dph (ǫ) = 3
mit Nion =
V
(ǫ/h̄vD )3 .
6π 2
dNion (ǫ)
dǫ
Also
3V
ǫ2
Dph (ǫ) = 2
Θ(kB TD − ǫ)
2π (h̄vD )3
Debye’sche Phononenzustandsdichte.
Damit folgt mit Bose-Einstein-Verteilung die innere Energie:
E(T ) =
Z
dǫ ǫDph (ǫ)
1
eǫ/kB T
|
{z
− 1}
=nBE (ǫ)
3V
ǫ3
1
dǫ
2π 2 (h̄vD )3 0
eǫ/kB T − 1
Z TD /T
x3
3V
3
4
(k
T
/h̄v
)
k
T
(T
/T
)
dx
=
B D
D
B D
D
2
ex − 1
0
|2π
{z
}
Z
=
kB TD
=9Nion
Dabei im letzten Schritt Substitution x = ǫ/kB T und Benutzen von Gl. (4.2).
Beachte: vD taucht nicht mehr auf, E ist universelle Funktion von T /TD .
Analog folgt spez. Wärme der Phononen:
CV (T ) =
∂E
∂T
Falls T ≫ TD , folgt nach kurzer Rechnung das Dulong-Petit Gesetz CV =
3Nion kB . Falls T ≪ TD , ergibt sich das Debye’sche CV ∼ T 3 Gesetz.
Beitrag der optischen Phononen exponentiell klein bei kB T ≪ h̄ωO , kann durch
Einsteinmodell (Zustandsdichte δ-peak) gut beschrieben werden.
4.4
Elektron-Phonon-Kopplung
Im perfekt periodischen Gitter findet keine Streuung eines Blochelektrons statt.
Bei Auslenkung der Ionen entsteht aber lokales elektrisches Dipolmoment, das
dann |k, σi → |k′ , σi streut.
49
KAPITEL 4. PHONONEN
Coulombenergie des Elektrons durch Ionenfeld
Ve−ion = −e
Z
d3 rρel (r)
N
ion
X
j=1
Vion (r − R0j − uj )
Summation über el. Potentiale der verschiedenen Ionen.
Taylorentwicklung für kleine uj : Nullte Ordnung gibt einfach das periodische
Potential der Blochtheorie,
(0)
Ve−ion
= −e
Z
d3 rρel (r)
X
j
Vion (r − R0j )
Führende Elektron-Phonon Wechselwirkung kommt aus linearem Term:
Ve−ph = +e
Z
d3 rρel (r)
X
j
uj · ∇r Vion (r − R0j )
Fouriertransformation: q sei Phononenvektor ∈ 1.BZ. Potential eines Ions ist
Vion (r) =
1 X
Vp eip·r
V p
Summe über alle p, nicht nur 1.BZ! Also p = q + G mit rez. Gittervektoren G
darstellbar,
∇r Vion (r − R0j ) =
Mit
uj =
1
N
1
V
X
0
i(q + G)Vq+G ei(q+G)·r e−iq·Rj
q∈1.BZ,G
lk,λ
0
√ (bk,λ + b†−k,λ )ǫ̂k,λ eik·Rj
2
k∈1.BZ,λ
X
und k = q aus j Summation:
e
X
j
uj · ∇r Vion (r − R0j ) =
1
V
X
X
q∈1.BZ,λ G
gq,G,λ (bq,λ + b†−q,λ )ei(q+G)·r
mit Kopplungsmatrixelement
ielq,λ
gq,G,λ = √ Vq+G [(q + G) · ǫ̂q,λ ]
2
Einsetzen in H, mit (k beliebig)
ρel (r) =
1 X −ip·r †
e
ck+p,σ ck,σ
V k,p,σ
50
KAPITEL 4. PHONONEN
ergibt Fröhlich-Hamiltonoperator der Elektron-Phonon Wechselwirkung:
Ve−ph =
1 X X X
gq,G,λ (bq,λ + b†−q,λ )c†k+p,σ ck,σ
V k,p,σ q∈1.BZ,λ G
1 Z 3 −ip·r i(q+G)·r
d re
e
×
|V
{z
}
=δp,q+G
=
1 X X X
gq,G,λ c†k+q+G,σ ck,σ (bq,λ + b†−q,λ )
V kσ q∈1.BZ,λ G
3f
6 m N
Q 6 m )*
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"

Abbildung 4.5: Elementarprozess des e-ph Wechselwirkungs-Hamiltonoperators
nach Fröhlich.
Graphische Veranschaulichung (Feynman-Vertex): siehe Abb. 4.5.
Entweder Phononenemission mit Impuls −q oder Phononenabsorption mit Impuls q (falls Phononenzustand besetzt).
Beachte: Impuls des auslaufenden Elektrons kann um G geändert werden, falls
entsprechende Kopplungskonstante gG 6= 0. Konsequenz des periodischen Gitters.
Klassifikation:
N-Prozess (Normal-Prozess): G = 0
U-Prozess (Umklapp-Prozess): G 6= 0
Normalerweise sind U-Prozesse unterdrückt, da Kopplungselement ∝ Vq+G ∝
|q + G|−2 . Ausserdem ist Phasenraum für U Prozesse i.a. klein; manche Grössen
sind aber nur durch U Prozesse beeinflusst!
Im Folgenden nur N Prozesse: Dann
√
gq,λ = ie(lq,λ / 2)Vq q · ǫ̂q,λ 6= 0
KAPITEL 4. PHONONEN
51
nur für longitudinal polarisierte Phononen, λ = λL . Behält man zusätzlich nur
akustische (niederenerg.!) Phononen, koppeln Elektronen nur an die LA Mode an
(eine einzige!). Einfachster aber wichtiger Fall:
N
Ve−ph
=
1 X X
gq c†k+q,σ ck,σ (bq + b†−q )
V k,σ q∈1.BZ
Kapitel 5
Magnetismus
5.1
Mean-field Theorie (MFT)
Idee: Betrachte echte Wechselwirkung angenähert durch ein effektives “externes”
Feld, das dann selbstkonsistent zu bestimmen ist. Alle Wechselwirkungseffekte
darüber hinaus heissen Korrelationen.
Spezielle Formulierungen:
• Allg. Phänomenologie: Landautheorie
• Elektronengas: Hartree-Fock Theorie
• Für lokalisierten Ferromagnet: Molekularfeldtheorie
• Für itinerante (metallische) Ferromagneten: Stonertheorie
• Supraleitung: BCS Theorie
5.1.1
Beispiel
Betrachte zunächst zwei fermionische Teilchensorten mit Operatoren {aν , bµ },
wobei wir nur Wechselwirkungen zwischen verschiedenen Spezies erlauben:
H = H0 + VI
H0 =
X
ξνa a†ν aν +
ν
VI =
X
X
ξµb b†µ bµ
µ
Vνµ;ν ′ µ′ a†ν b†µ bµ′ aν ′
νν ′ µµ′
52
53
KAPITEL 5. MAGNETISMUS
Wir schreiben nun
a†ν aν ′ = ha†ν aν ′ i + dνν ′
b†µ bµ′ = hb†µ bµ′ i + eµµ′
wobei dνν ′ und eµµ′ klein seien (d.h. Fluktuationen um Mittelwert seien klein).
Dabei sind die Mittelwerte zunächst unbekannt und selbstkonsistent zu bestimmen.
Schematisch haben wir also die Situation
VI = AB = [hAi + (A − hAi)] · [hBi + (B − hBi)] = δAδB + VIM F
{z
|
mit
}
δA
VIM F = AhBi + BhAi − hAihBi
Damit gilt auch hVIM F i = hAihBi. Subtraktion der Konstanten, damit keine
Doppelzählungen entstehen.
Übertragen auf unser Problem folgt
VM F =
X
νν ′ µµ′
Vνµ;ν ′ µ′ a†ν aν ′ hb†µ bµ′ i + ha†ν aν ′ ib†µ bµ′ − ha†ν aν ′ ihb†µ bµ′ i
Wenn die Fluktuationsquadrate weggelassen werden (MFT), so verbleibt ein effektives Einteilchenproblem, da immer elementar lösbar ist!
Einzige Komplikation:
Selbstkonsistenzforderung:
Die Erwartungswerte ha†ν aν ′ i etc. sind Input in HM F = H0 + VM F , und müssen
selbstkonsistent bestimmt werden, d.h. es muss gelten
ha†ν aν ′ iM F ≡
1
ZM F
Tr e−βHM F a†ν aν ′ = ha†ν aν ′ i
Diese Forderung folgt aus Minimierung der freien Energie FM F = −kB T ln ZM F
des MFT Hamiltonoperators, z.B.
0 = −kB T
=
1
ZM F
−1
= ZM
F
d ln ZM F
dha†ν aν ′ i
−βHM F
Tr e
X
µµ′
=
X
µµ′
dHM F
dha†ν aν ′ i
!
Vνµ;ν ′ µ′ Tr e−βHM F (b†µ bµ′ − hb†µ bµ′ i)
Vνµ;ν ′ µ′ hb†µ bµ′ iM F − hb†µ bµ′ i
54
KAPITEL 5. MAGNETISMUS
Das muss für jedes Paar νν ′ gelten, daher folgt Selbstkonsistenzforderung
hb†µ bµ′ iM F = hb†µ bµ′ i
Um die Qualität der MFT Vorhersage abzuschätzen, muss man den Erwartungswert der Fluktuationen unter Mitnahme der vernachlässigten Terme berechnen.
5.1.2
Ordnungsparameter
Physikalische Einsicht muss Wahl der MFT Parameter ha†ν aν ′ i etc. bestimmen,
da sonst zu viele freie Parameter.
Symmetrien des Problems helfen hierbei. Allerdings: gebrochene Symmetrien,
Ordnungsparameter müssen erkannt werden.
Beispiel:
Translationssymmetrie impliziert
hc†k ck′ i = nk δkk′
d.h. MF Parameter nur für k = k′ von Null verschieden.
Dies sieht man aus
hc†k ck′ i =
1 Z 3 3 ′ −ik′ ·r′ ik·r †
d rd r e
e hψ̂ (r)ψ̂(r′ )i
|
{z
}
V
=f (r−r′ )
wg. Homogenität. Integration über r + r′ ergibt dann k = k′ .
Vorsicht: Spontane Symmetriebrechung kann vorliegen, d.h. Korrelationsfunktion
bzw. Grundzustand besitzt ggf. nicht mehr kontinuierliche Translationssymmetrie
(Homogenität).
Dann: geordneter Zustand, Kristallbildung, z.B. Wignerkristall, Ladungsdichtewelle
hψ̂ † (r)ψ̂(r′ )i = h(r, r′ )
mit h(r, r′ ) = h(r + R, r′ + R) für reziproke Gittervektoren R des (spontan
entstandenen) Kristallgitters! Dann ist mit
R · Q = 2π
ein Satz reziproker Gittervektoren Q definiert, für die entsprechend bei Q 6= 0
gilt
X
6 0
ρQ = hc†k+Q,σ ckσ i =
k,σ
Ordnungsparameter für Kristallbildung. Also: Vorsicht bei Wahl der MF Parameter.
55
KAPITEL 5. MAGNETISMUS
Vorteil MFT: Spontane Symmetriebrechung kann in den Standardformalismus
der Statistischen Mechanik eingebaut werden, durch Wahl geeigneter MF Parameter, welche Ordnungsparametern entsprechen.
Beispiele für Ordnungsparameter in der Festkörperphysik:
• Kristallbildung: Dichtemodulation (Gitter!) ρQ
• Ferromagnet: Magnetisierung M =
P
k,σ
σhc†kσ ckσ i
• Supraleiter: Cooperpaar-Kondensat Ψ =
P
k hck↑ c−k↓ i
• Bose Einstein Kondensation: Besetzung des k = 0 Zustandes, nk=0 /N
5.1.3
Hartree-Fock (HF) Näherung
Jetzt nur eine Teilchenspezies (Elektronen), ν, µ geht also über gleichen Satz von
Einteilchen-Zuständen.
Dann leichte Komplikation: Wechselwirkungen können von direktem (Hartree)
oder von Austausch (Fock) Typ sein. Austausch Wechselwirkung nur bei identischen Teilchen!
Für diesen Fall wird MFT auch Hartree-Fock Theorie genannt.
Hamiltonoperator H = H0 + VI ist jetzt mit ν = (k, σ), ξν = ǫν − µ und ǫν =
h̄2 k 2 /2m gegeben als
X
H0 =
ξν c†ν cν
ν
VI =
1 X
2 νν ′ µµ′
Vνµ;ν ′ µ′ c†ν c†µ cµ′ cν ′
Wahl der MF Parameter? Schliessen wir anomale Erwartungswerte (d.h. Supraleitung) aus, so kommt in Frage:
n̄νν ′ = hc†ν cν ′ i
Mit c†ν cν ′ = n̄νν ′ + (c†ν cν ′ − n̄νν ′ ) folgt wie oben
VIM F = VIHartree + VIFock
Hartree-Beitrag wie oben:
VIHartree =
1 X
Vνµ;ν ′ µ′ n̄µµ′ c†ν cν ′ + n̄νν ′ c†µ cµ′ − n̄νν ′ n̄µµ′ i
2 νν ′ µµ′
Zusätzlich kommt jetzt aber Austauschbeitrag durch Paarung “über Kreuz”, d.h.
c†ν c†µ cµ′ cν ′ → −c†ν cµ′ c†µ cν ′ .
56
KAPITEL 5. MAGNETISMUS
Ergibt Fockterm:
VIFock = −
1 X
Vνµ;ν ′ µ′ n̄νµ′ c†µ cν ′ + n̄µν ′ c†ν cµ′ − n̄µν ′ n̄νµ′
2 νν ′ µµ′
wichtig: Minus-Vorzeichen, ergibt effektiv attraktive Wechselwirkung!
Gesamter MF Hamiltonoperator: HM F = H0 + VIHartree + VIFock
Effektives Einteilchenproblem plus Selbstkonsistenzforderung.
Jetzt: betrachte homogenes Elektronengas
Annahme: keine Kristallbildung (d.h. Wignerkristall oder LadungsdichtewellenInstabilität sei ausgeschlossen). Einteilchen-Quantenzahlen ν = (k, σ), MF Parameter sind unter dieser Annahme
n̄kσ = hc†kσ ckσ i
d.h. n̄νν ′ ∝ δνν ′ .
Damit folgt [ohne detaillierte Rechnung, ergibt sich aus obigen Gleichungen] Hartree Fock Hamiltonoperator
HHF =
X
HF †
ckσ ckσ + cst.
ξk,σ
kσ
mit
HF
ξk,σ
= ǫk − µ +
X
k′ σ ′
(V (0) − δσσ′ V (k − k′ ))n̄k′ σ′
Hartree Beitrag ergibt also N V (0). Dieser Beitrag wird vom positiven IonenLadungshintergrund weggehoben (naiv divergent!), Elektroneutralität! Dabei ist
n̄k,σ selbstkonsistent zu bestimmen.
Oft wird angenommen, dass n̄k,↑ = n̄k,↓ , bricht aber zusammen wenn Ferromagnet
vorliegt (s.u.).
5.2
Ferromagnetismus
In der Natur tritt Ferromagnetismus im wesentlichen in 2 Varianten auf:
• Ionische Ferromagneten sind Isolatoren, magnetische Momente sind lokalisiert, durch freie Elektronen in innere Schalen (z.B. f-Schale). Wechselwirkung verschiedener Spins Si (quantenmechanische Spinoperatoren, z.B.
Paulimatrizen für S = 1/2) kann effektiv durch Heisenbergmodell bzw.
anisotrope Version (Isingmodell) beschrieben werden.
• Itinerante Ferromagneten sind Metalle, gute Leiter, d.h. die frei beweglichen Leitungselektronen werden spinpolarisiert.
Beide müssen separat beschrieben werden.
57
KAPITEL 5. MAGNETISMUS
5.2.1
Heisenbergmodell: Ionische Ferromagneten
Bemerkung: Isingmodell ist extrem anisotrope Variante des Heisenbergmodells.
Austauscheffekte zwischen nächste-Nachbar Spins ergeben bei niedrigen Energieskalen (dort nur Spinanregungen) das Heisenbergmodell (hier: S = 1/2)
H = −2J
X
i,j
Jij Si · Sj
mit Si = h̄2 σi (Paulimatrizen) des Ions am i.ten Gitterplatz.
Austauschwechselwirkung ist extrem kurzreichweitig, daher setzen wir Jij = J0
für (i, j) nächste Nachbarn, und Jij = 0 sonst. Falls J0 < 0, antiferromagnetisch,
für J0 > 0 ferromagnetische Wechselwirkung. Wir nehmen J0 > 0 an.
Heisenbergmodell nur in 1D exakt lösbar. Hier: MFT (Molekularfeldtheorie).
HM F = −2
X
ij
Jij (hSi i · Sj + hSj i · Si − hSi i · hSj i)
Annahme spontan gebrochener Spinrotations-Symmetrie (ferromagn. Phase):
hSi i =
6 0
Translationssymmetrie (nicht beim Antiferromagneten!) impliziert dass dies unabh. vom Gitterplatz ist. Wähle Quantisierungsachse êz :
hSi i = hSz iêz
Effektives magn. Feld (Molekularfeld) auf Platz i, gleich auf allen Gitterplätzen:
B(i) = B = 2
X
j
Jij hSz iêz = 2nJ0 hSz iêz = Bêz
für Koordinationszahl n (Zahl nächster Nachbarn eines Gitterplatzes, für kubisches Gitter in D Dimensionen ist n = 2D). Hier wird angenommen, dass kein
externes Magnetfeld anliegt.
Dann ist bei N Gitterplätzen (Faktor 2, da 2 Terme in HM F !)
HM F = −2B ·
X
i
Si + BN hSz i
| {z }
=B/2nJ0
Effektives Ein-Spin-Problem, elementar lösbar (werte Spur mit Eigenzuständen
|σz = ±1i aus):
ZM F =
Tre−β[−2B·S+B
B
− βN
2nJ
= e
2
0
2 /2nJ
0]
N
(2 cosh(βB))N
58
KAPITEL 5. MAGNETISMUS
also freie Energie pro Gitterplatz
fM F = −
kB T
B2
1
ln ZM F =
− ln[2 cosh(βB)]
N
2nJ0 β
Minimieren ergibt Selbstkonsistenzforderung an B:
∂B fM F (B) = 0 =
B
− tanh(βB)
nJ0
Dimensionslose Grössen: α = B/nJ0 , b = nJ0 /(kB T )
α = tanh(bα)
Lösung wie beim Isingmodell. Für b < 1 nur α = 0 als Lösung (paramagn. Phase),
für b > 1 entsteht α 6= 0 als stabile Lösung. Spontane Symmetriebrechung (eines
der Vorzeichen wird realisiert!), während dann α = 0 instabil. Vgl. Abb. 5.1.
%"V" ",+",
?
K
Df%
"W
~
(? ?
IH"0%"
? ?
Dg
Abbildung 5.1: Spontane Symmetriebrechung.
Kritische Temperatur folgt aus b = 1:
Tc = nJ0
Nahe Tc verschwindet B für T → Tc von unten wie
B∝
q
Tc − T
wie beim Ising-Modell.
5.2.2
Stoner Modell: Itinerante Ferromagneten
Jetzt delokalisierte Leitungselektronen, z.B. Fe, Ni. Elektronen in d, f Orbitalen,
die miteinander Leitungsband bilden. Wechselwirkungen sind aber auf einem
Orbital viel stärker als zwischen verschiedenen, daher Coulomb-Wechselwirkung
in guter Näherung effektiv kurzreichweitig.
59
KAPITEL 5. MAGNETISMUS
Dies führt zum Hubbard-Modell: Wechselwirkung nur auf einem Gitterplatz,
VI = U
X
ni,↑ ni,↓
i
Kontinuumsmodell: V (q) wird effektiv konstant (= U ), da im Ortsraum Delta
Funktion.
H=
X
ξk c†kσ ckσ +
k,σ
U XX †
ck+q,σ c†k′ −q,σ′ c†k′ ,σ′ ckσ
2V kqk′ σσ′
HF-Theorie für Ferromagnet muss Spin-Abhängigkeit der MF Parameter mitnehmen, d.h. wir wählen als MF Parameter getrennt für σ =↑ und σ =↓:
hc†kσ ck′ ,σ i = n̄k,σ δk,k′
Dies ergibt MF Näherung (Faktor 2, da 2 identische Terme!)
VIHF =
U X
U X
U
n̄k′ ,σ′ c†kσ ckσ −
n̄k′ σ c†kσ ckσ −
V kk′ ,σσ′
V kk′ ,σ
2V
X
kk′ ,σσ ′
(n̄kσ n̄k′ ,σ′ −δσσ′ n̄kσ n̄k′ ,σ )
Erster Term: Hartree, nur q = 0 trägt bei.
Zweiter Term: Fock, nur q = k′ − k und σ = σ ′ trägt bei.
Dichte für Spin σ:
n̄σ =
1 X †
hc ckσ i
V k kσ
Damit:
VIHF = U
XX
k,σ σ ′
Also:
|
(n̄σ′ − δσσ′ n̄σ ) c†kσ ckσ −
{z
}
=n̄−σ
HHF =
X
k,σ
mit
HF
ξkσ
UV
[(n̄↑ + n̄↓ )2 − (n̄2↑ + n̄2↓ )]
2
HF †
ξk,σ
ckσ ckσ − V U n̄↑ n̄↓
= ξk + U n̄−σ .
Energie des ↑ Elektrons hängt von Spindichte des ↓ Elektrons ab (und umgekehrt).
Selbstkonsistenzforderung:
1 X †
hc ckσ iHF = n̄σ
V k kσ
60
KAPITEL 5. MAGNETISMUS
Bei T = 0:
Z
!
d3 k
kF3 σ
h̄2 k 2
+
U
n̄
]
=
n̄
=
Θ
µ
−
[
−σ
σ
(2π)3
2m
6π 2
wobei µ gleich für beide Spins. Mit kF σ definiert durch
h̄2 kF2 σ
+ U n̄−σ = µ
2m
folgen 2 gekoppelte Selbstkonsistenzgleichungen aus
n̄σ =
kF3 σ
6π 2
Damit folgt durch Elimination der kF σ :
h̄2
(6π 2 )2/3 n̄2/3
σ + U n̄−σ = µ
2m
(5.1)
Relative Spinpolarisation P wirkt als Ordnungsparameter:
P =
n̄↑ − n̄↓
,
n̄
n̄ = n̄↑ + n̄↓
Also
1+P
n̄↓
1−P
n̄↑
=
,
=
, 0≤P ≤1
n̄
2
n̄
2
(im Prinzip auch Lösung P → −P , gleiche Energie!)
Dimensionslose Wechselwirkungsstärke
γ=
2mU n̄1/3
(3π 2 )2/3 h̄2
Subtraktion der beiden Gleichungen (5.1) ergibt
2/3
2/3
n̄↑ − n̄↓
=
2mU
(6π 2 )−2/3 (n̄↑ − n̄↓ )
| {z }
h̄2
=P n̄
Zusätzliche Gleichung aus Summe der Gl.(5.1), entspricht MF Gleichung des
Standard-HF Gases, fixiert Gesamtteilchendichte n̄.
Also folgt Selbstkonsistenzgleichung für P in kompakter Form:
(1 + P )2/3 − (1 − P )2/3 = γP
Dies hat immer die Lösung P = 0 (paramagnetischer Zustand), aber auch andere?
Stabilität?
61
KAPITEL 5. MAGNETISMUS
Betrachte P ≪ 1: Linearisieren ergibt
2
2
4
γP = (1 + P + · · ·) − (1 − P + · · ·) = P + O(P 3 )
3
3
3
Daraus folgt: für γ < 4/3 gibt es nur die Lösung P = 0.
Betrachte nun starke Wechselwirkung, γ > 4/3. Ohne Beweis: Dann ist P = 0
eine instabile Lösung, und zwei stabile Lösungen ±P mit P 6= 0 existieren. Hier:
P > 0.
Ansatz: P = 1 − ǫ mit ǫ → 0+ ergibt
γ(1 − ǫ) = 22/3 − ǫ2/3
d.h. P = 1 (voll polarisierter Ferromagnet) wird erreicht bei Wechselwirkungsstärke γ = 22/3 ≃ 1.5787. Für γ > 22/3 bleibt P = 1, und Änderung
von U führt nur zur Anpassung von n̄ (Teilchendichte) so dass γ auf diesem Wert
bleibt.
Schwacher Ferromagnetismus (0 < P < 1)
realisiert für
1.3333 . . . = 4/3 < γ < 22/3 ≃ 1.5787
Anschauliches Verständnis: Verschiebung der effektiven Bänder für Spin-σ Elektronen relativ zueinander. Vgl.Abb. 5.2. Phys. Ursache ist spin-abh. mean-field
Energie:
Effektive
Einteilchen-Energien hängen von Dichte der anderen Spinein
stellung ab!
;
()
* ,+,
* -* /.
!"$#%&'
:
;
+*"
,
@ %"J%","DS
:
57698
01 +2/ * -3* .
"4$#%&'
;
:
"
57698
KY%"
",a#MU"
57698
@ %"JDS
Abbildung 5.2: Stoner-Theorie itineranter Ferromagneten: Bandschema.
%(
KAPITEL 5. MAGNETISMUS
62
Da lokale (kurzreichweitige) Wechselwirkung: Pauliprinzip erzwingt hier nur
Wechselwirkung zwischen verschiedenen Spins (gleiche Spins wechselwirken dann
wg. Pauliverbot nicht!)
Stoner-Ferromagnetismus ist Konsequenz des Zusammenspiels von kurzreichweitiger Wechselwirkung und Pauliverbot. Völlig anderer Mechanismus als beim Heisenbergmodell lokalisierter (ionischer) Ferromagneten!
Kapitel 6
Lineare Antworttheorie
6.1
Wechselwirkungsbild
Gemischtes Bild (zwischen Heisenberg und Schrödinger-Bild). Betrachte
H = H0 + V (t)
wobei H0 exakt lösbar und zeitunabhängig sei, mit bekanntem Spektrum,
H0 |n0 i = ǫn0 |n0 i
und V (t) eine zeitabh. Störung. (Wir setzen hier immer h̄ = 1.) Gemischte Darstellung: Zeitentwicklung der Zustandsvektoren durch V , Operatoren werden also
im Heisenbergbild bzgl. H0 genommen!
|ψI (t)i = eiH0 t |ψ(t)i
AI (t) = eiH0 t Ae−iH0 t
Bei V = 0 ist dies grade das Heisenbergbild!
Falls V 6= 0, ergibt sich langsame (jedenfalls bei kleinen Störungen) Zeitentwicklung in |ψI (t)i durch V .
i∂t |ψI (t)i = (i∂t eiH0 t )|ψ(t)i + eiH0 t (i∂t |ψ(t)i)
= eiH0 t (−H0 + H) |ψ(t)i = VI (t)|ψI (t)i
|
{z
=V
−iH0 t
VI (t) = eiH0 t V e
}
Kompakt: Schrödingergleichung im Wechselwirkungsbild
i∂t |ψI (t)i = VI (t)|ψI (t)i
63
(6.1)
64
KAPITEL 6. LINEARE ANTWORTTHEORIE
Zeitentwicklung von |ψI (t)i durch VI (t) verursacht. Entspricht unitärem Zeitentwicklungsoperator U (t, t0 ), der nur von VI (t) abhängt.
|ψI (t)i = U (t, t0 )|ψI (t0 )i
(6.2)
Bewegungsgleichung von U (t, t0 ): Einsetzen von Gl. (6.2) in Schrödingergleichung
im Wechselwirkungsbild (6.1) liefert
i∂t U (t, t0 ) = VI (t)U (t, t0 )
mit Anfangsbedingung U (t0 , t0 ) = 1. Die Anfangsbedingung wird durch Formulierung als Integralgleichung automatisch erfüllt:
Z
U (t, t0 ) = 1 − i
t
t0
dt′ VI (t′ )U (t′ , t0 )
(6.3)
Lösung von Gl.(6.3) durch Iteration:
Z t1
1Zt
1Z t
dt1
dt2 VI (t1 )VI (t2 ) + · · ·
dt1 VI (t1 ) + 2
i t0
i t0
t0
U (t, t0 ) = 1 +
Reihenfolge der Operatoren wichtig! Zeitgeordnete Integration.
Kompakte Schreibweise mittels des Zeitordnungsoperators Tt :
Tt [VI (t1 )VI (t2 )] = Θ(t1 − t2 )VI (t1 )VI (t2 ) + Θ(t2 − t1 )VI (t2 )VI (t1 )
(Bemerkung: bei fermionischen Operatoren VI wäre im 2.Term ein Vorzeichenwechsel!) Dies erlaubt eine symmetrische Darstellung:
Z
t
t0
dt1
Z
t1
t0
Z t
1Z t
dt2 VI (t1 )VI (t2 ) =
dt1
dt2 Tt [VI (t1 )VI (t2 )]
2 t0
t0
Damit folgt eine Kompaktform für U :
U (t, t0 ) =
∞
X
(−i)n Z
n=0
n!
t
t0
dt1
Z
t
t0
dt2 · · ·
Z
t
t0
−i
dtn Tt [VI (t1 ) · · · VI (tn )] = Tt e
Rt
t0
dt′ VI (t′ )
Zeitgeordnete Exponentialfunktion ist durch die Taylorreihe definiert, entspricht
der Verallgemeinerung von e−iHt auf zeitabhängige Probleme! Startpunkt für
Feynmandiagramme.
Falls die Störung VI (t) klein ist, kann Störungstheorie verwendet werden, d.h. in
diesem Fall verwendet man die Näherung
U (t, t0 ) = 1 − i
Z
t
t0
dt′ VI (t′ )
Dies führt zur Linearen Antworttheorie (Kubo), s.u.
(6.4)
65
KAPITEL 6. LINEARE ANTWORTTHEORIE
6.2
Lineare Antworttheorie: Kuboformel
Betrachte nun Störung V (t) (im Schrödingerbild), die sehr klein sei. Wir interessieren uns für die lineare Antwort, d.h. den Effekt auf beliebigen OperatorErwartungswert hA(t)i in führender Ordnung in V . Die Störung werde bei t = t0
eingeschaltet, d.h.
H(t) = H0 + Θ(t − t0 )V (t)
wobei H0 =
P
Für t < t0 gilt
n ǫn |nihn|.
A0 = hAi0 ≡
1
1 X −βǫn
Tr(e−βH0 A) =
hn|A|ni
e
Z0
Z0 n
Für t > t0 ist dann unter Verwendung des Diracbildes:
hA(t)i =
1 X −βǫn
hnI (t)|AI (t)|nI (t)i
e
Z0 n
(6.5)
Die Verteilung der Zustände ist hierbei durch das ungestörte Problem definiert
(bei t → −∞). Zeitabhängigkeit entsteht nun durch
|ni → |nI (t)i = U (t, t0 ) |nI (t0 )i
| {z }
=|ni
Wir betrachten nun die niedrigste Ordnung, Gl. (6.4), d.h.
U (t, t0 ) = 1 − i
Z
t
t0
dt′ VI (t′ ),
VI (t) = eiH0 t V (t)e−iH0 t
wobei V (t) die explizite Zeitabhängigkeit (im Schrödingerbild) bezeichnet. Dann
ist
hA(t)i = A0 + δA(t)
wobei die lineare Antwort δA(t) durch einen Gleichgewichtserwartungswert berechnet werden kann (Kuboformel). Einsetzen von (6.4) in (6.5) liefert
δA(t) = −i
Z
t
t0
dt′ h[AI (t), VI (t′ )]− i0
Gleichgewichtserwartungswert des Kommutators bei t > t′ (retardierte Korrelationsfunktion), d.h. ausgewertet bzgl. H0 : dramatische Vereinfachung !
Def.: Retardierte Korrelationsfunktion der Operatoren A, B:
R
CAB
(t, t′ ) ≡ −iΘ(t − t′ )h[AI (t), BI (t′ )]− i0
66
KAPITEL 6. LINEARE ANTWORTTHEORIE
Wichtig: Auswertung im Wechselwirkungsbild.
Damit folgt Allgemeine Kuboformel
δA(t) = hA(t)i − A0 =
Z
∞
t0
′
R
dt′ e−η(t−t ) CAV
(t, t′ )
wobei η = 0+ (Antwort muss für t − t′ → ∞ abklingen, Selektion der korrekten
Randbedingung!).
Frequenzdarstellung
Fourierdarstellung
V (t) =
liefert
Z
dω −iωt
e
Vω
2π
Z
dω −iωt
e
Vω,I (t)
2π
und damit folgt aus der Definition der retardierten Korrelationsfunktion:
VI (t) =
R
CAV
(t, t′ )
=
Z
dω −iωt′ R
e
CAVω (t − t′ )
2π
wobei
R
(t − t′ ) = −iΘ(t − t′ )h[AI (t), Vω,I (t′ )]− i0
CAV
ω
Da Vω zeitunabhängig ist, und wir auch A als nicht explizit zeitabhängig annehR
nur von Zeitdifferenz ab!
men, hängt Korrelationsfunktion CAV
ω
Wir setzen nun t0 → −∞ (Transientenverhalten interessiert meist nicht), so dass
δA(t) =
Z
∞
−∞
′
dt
Z
dω −iωt −i(ω+iη)(t′ −t) R
′
e
e {z
} CAVω (t − t )
2π |
−η(t−t′ )−iωt′
=e
Fouriertransformierte der retardierten Korrelationsfunktion (τ = t − t′ )
R
(ω)
C̃AV
ω
=
damit:
Z
∞
Z
∞
−∞
R
(τ )
dτ ei(ω+iη)τ CAV
ω
dω −iωt R
e
C̃AVω (ω)
−∞ 2π
Im folgenden wird die Tilde weggelassen (einfachere Notation). Im Frequenzraum
gilt daher direkt:
R
(ω)
δA(ω) = CAV
ω
δA(t) =
(Kuboformel in Frequenzdarstellung)
Die retardierte Korrelationsfunktion des Operators A (der Observablen!) mit dem
Störoperator Vω legt direkt die lineare Antwort δA(ω) fest.
Berechnung von Antwortgrössen reduziert sich auf Auswertung einer
Gleichgewichts-Korrelationsfunktion. Gilt nur im linearen Bereich (kleine
Störung!).
67
KAPITEL 6. LINEARE ANTWORTTHEORIE
6.3
Elektrische Leitfähigkeit
Das Ohmsche Gesetz verknüpft el. Stromdichte Je (r, t) (mit Komponenten Jeα ,
α = x, y, z) mit dem externen elektrischen Feld
E(r, t) = −∇φext (r, t) − ∂t Aext (r, t)
über einen linearen Zusammenhang. I.a. Tensor, raumzeitlich nichtlokaler
Leitfähigkeitstensor σ αβ (r, t; r′ , t′ ):
Jeα (r, t)
=
XZ
dr′ dt′ σ αβ (r, t; r′ , t′ )E β (r′ , t′ )
β
allgemeinster linearer Zusammenhang, d.h. Tensor σ muss aus einer Kuboformel
berechenbar sein! Da Kuboformel mit Bezug auf Gleichgewicht, hängt σ nur von
t − t′ ab, d.h. wir werden wieder im Frequenzraum arbeiten,
Jeα (r, ω)
=
XZ
dr′ σ αβ (r, r′ ; ω)E β (r′ , ω)
β
Betrachte nun Elektronen, Je = −ehJi, mit Teilchenstrom J(r, t). Störung V
steckt nun in Kopplung ans externe elektromagnetische Feld (φext , Aext ):
Hem (t) = −e
Z
drρ(r)φext (r, t) + e
Z
drJ(r) · A(r, t)
wobei
A(r, t) = A0 (r) + Aext (r, t)
Hier beschreibt A0 magnetische Felder, die bereits im Gleichgewicht vorhanden
sind. Teilchenstrom setzt sich aus para- und diamagnetischem Anteil zusammen,
vgl. Kapitel 1:
e
J(r, t) = Jp (r) + Aρ(r)
m
Eichfreiheit erlaubt φext = 0 (immer!), und wir betrachten nun periodische
Störung mit Frequenz ω, (beachte: ∂t → −iω)
Aext (r, ω) =
E(r, ω)
iω
Damit folgt
e Z
Vω =
drJ(r) · E(r, ω)
(6.6)
iω
Da durch E bereits Linearität gegeben ist, können wir den Aext Beitrag zu J
vernachlässigen, d.h. effektiv ist in (6.6) J zu ersetzen durch
J0 (r) = Jp (r) +
e
ρ(r)A0 (r)
m
KAPITEL 6. LINEARE ANTWORTTHEORIE
68
Erwartungswert des Teilchenstroms:
hJ(r, ω)i = hJ0 (r, ω)i +
e
Aext (r, ω)hρ(r)i0
m
Hier wird n(r) = hρ(r)i0 in Abwesenheit der Störung berechnet, da der Ausdruck
schon linear in der Störung ist.
Da im Gleichgewicht kein Strom vorliegt, ist hJ0 i = δJ0 , d.h. Kuboformel ergibt
hJ(r, ω)i = CR
J0 (r),Vω (ω) +
wobei
(ω)
CJα,R
0 (r),Vω
en(r)
E(r, ω)
imω
X
e Z
=
CJRα (r),J β (r′ ) (ω)E β (r′ , ω)
dr′
0
0
iω
β
Beachte nun Je = −eJ: Also folgt Leitfähigkeitstensor aus der retardierten
Stromdichte-Stromdichte Korrelationsfunktion (Kuboformel im engeren
Sinn)
ie2 n(r)
ie2 R
Παβ (r, r′ ; ω) +
δ(r − r′ )δαβ
(6.7)
σ αβ (r, r′ ; ω) =
ω
mω
mit
β ′ ′
′
′
′
α
ΠR
αβ (r, r ; t − t ) = −iΘ(t − t )h[J0 (r, t), J0 (r , t )]− i0
Der erste (zweite) Beitrag in Gl. (6.7) entspricht dem paramagnetischen (diamagnetischen) Term.
6.4
Leitwert
Leitfähigkeit σ ist intrinsische, lokale Grösse. Transportexperiment misst aber
normalerweise eine globale Grösse, den Widerstand R bzw. den Leitwert G =
I/V = 1/R. Diese Grösse hängt von der Geometrie der Probe ab (wir betrachten
dc Grenzfall, ω → 0).
Strom I ist Stromdichte Je integriert über den Querschnitt, vgl. Abb. 6.1. Stromerhaltung (Kontinuitätsgleichung) besagt, dass I unabhängig vom Ort ist.
ˆ â1 , â2 ), mit EinWähle Äquipotentialflächen mit lokaler orthonormaler Basis (ξ,
ξ
ξ
heitsvektor ξˆ parallel zum lokalen elektrischen Feld,
ˆ
ˆ
E(r) = ξE(ξ,
aξ ) = ξE(ξ)
da konstantes ξ einer Äquipotentialfläche entspricht. Beachte: die beiden Einheitsvektoren âξ1,2 sind senkrecht zu E.
- 69
KAPITEL 6. LINEARE ANTWORTTHEORIE
!
x
Abbildung 6.1: Koordinatenwahl für Berechnung des Leitwertes, siehe Text.
Damit folgt für den el. Strom:
I(ξ) = I =
=
=
Z
Z
Z
daξ
dξ
′
daξ ξˆ · Je (ξ, aξ )
Z
Z
dr′ ξˆ · σ(r, r′ ; ω = 0) · E(r′ )
daξ daξ′ ξˆ · σ(r, r′ ; ω = 0) · ξˆ′ E(ξ ′ )
Dabei brauchen wir nur den Realteil von σ; der Strom I ist reell, diamagnetischer
Anteil bringt keinen Beitrag!
Einsetzen der Stromdichte-Korrelationsfunktion (Kuboformel für Leitfähigkeit)
und Integration über aξ bzw. aξ′ (dies konvertiert die Stromdichten in Ströme)
ergibt
I(ξ) = lim
ω→0
Z
Z
i R
′
dξ Re CI(ξ),I(ξ′ ) (ω) E(ξ ) ≡ dξ ′ G(ξ, ξ ′ )E(ξ ′ )
ω
′
Aus Definition folgt G(ξ, ξ ′ ) = G(ξ ′ , ξ) (symmetrisch). Da I(ξ) unabhängig von
ξ, muss G(ξ, ξ ′ ) auch unabhängig von ξ, und damit auch von ξ ′ sein!
Es folgt
I=G
Z
dξ ′ E(ξ ′ ) = G(−φ(∞) + φ(−∞)) = GV
mit Spannung V als Differenz der elektrostatischen Potentiale auf beiden Seiten.
Der lineare dc Leitwert (conductance) folgt damit aus der Kuboformel als
Strom-Strom Korrelator
i R
G = lim Re CII (ω)
(6.8)
ω→0
ω
mit
R
CII
(t − t′ ) = −iΘ(t − t′ )h[II (t), II (t′ )]− i0
70
KAPITEL 6. LINEARE ANTWORTTHEORIE
Beachte: I ist hier Ladungsstrom, enthält Faktor −e.
6.5
Abschirmung
Im elektromagn. Feld wird eine Ladungsumverteilung (Polarisation) beweglicher
Ladungen einsetzen, die wiederum das Feld beeinflusst.
φext → φtot = φext + φind
ρext → ρtot = ρext + ρind
mit Poisson Gleichung (X =tot,ext,ind)
∆φX = −4πρe,X
bzw.
divEX = 4πρe,X
Definition: Dielektrische Funktion
φtot = ǫ−1 φext
allg. Annahme eines linearen Zusammenhangs, bzw. D = ǫEtot = Eext , siehe
Elektrodynamik.
Im allgemein ist Zusammenhang raumzeitlich nichtlokal, d.h. Tensor
Z
φtot (r, t) =
dr′ dt′ ǫ−1 (r, t; r′ , t′ )φext (r′ , t′ )
bzw. mit inverser Funktion
φext (r, t) =
Z
dr′ dt′ ǫ(r, t; r′ , t′ )φtot (r′ , t′ )
Da linearer Zusammenhang, muss dielektrische Funktion aus Kuboformel berechenbar sein!
Lineare Antworttheorie, mit Störung
V (t) =
Z
drρe (r)φext (r, t)
Induzierte Ladungsdichte folgt aus Kuboformel
ρe,ind (r, t) =
Z
dr′
Z
∞
−∞
′
dt′ CρRe ρe (r, t; r′ , t′ )e−η(t−t ) φext (r′ , t′ )
|
{z
=χR (r,t;r′ ,t′ )
}
71
KAPITEL 6. LINEARE ANTWORTTHEORIE
Polarisationsfunktion:
retardierte Ladungsdichte-Ladungsdichte-Korrelationsfunktion im Gleichgewicht!
χR (r, t; r′ , t′ ) = −iΘ(t − t′ )h[ρe,I (r, t), ρe,I (r′ , t′ )]− i0
Damit folgt aus Poissongleichung mit Vc (r − r′ ) =
φind (r, t) =
Z
1
|r−r′ |
dr′ Vc (r − r′ )ρe,ind (r′ , t)
also aus φtot = φext + φind = ǫ−1 · φext :
Z
−1
ǫ ·φext = φtot (r, t) = φext (r, t)+ dr1 dr2
Z
∞
−∞
dt′ Vc (r−r1 )χR (r1 , t; r2 , t′ )φext (r2 , t′ )
Daher ist die (inverse) dielektrische Funktion in allgemeiner Form gegeben, wenn
die Polarisationsfunktion bekannt ist:
−1
′
′
′
′
ǫ (r, t; r , t ) = δ(r − r )δ(t − t ) +
Z
dr1 Vc (r − r1 )χR (r1 , t; r′ , t′ )
Bei translationsinvarianten Systemen kann χR nur von Differenzen r−r′ bzw. t−t′
abhängen. Nach Übergang zum Frequenz-Impulsraum werden die Konvolutionen
einfach Multiplikationen, d.h.
φtot (q, ω) = ǫ−1 (q, ω)φext (q, ω)
und die Fouriertransformierte der dielektrischen
1/ǫ−1 (q, ω) ≡ ǫ(q, ω). Mit Vc (q) = 4π/q 2 folgt
Funktion
ist
einfach
4π
1
= 1 + 2 χR (q, ω)
ǫ(q, ω)
q
Zusammenhang zur (optischen) Leitfähigkeit
Sowohl ǫ wie auch σ geben Antwort auf elektromagnetische Felder, d.h. es sollte
einen Zusammenhang zwischen beiden Grössen geben. Wir betrachten dies für
den translationsinvarianten Fall, wobei σ ein Tensor ist,
Je (q, ω) = σ(q, ω)Eext (q, ω)
= −iσ(q, ω) · qφext (q, ω)
Benutze nun Kontinuitätsgleichung:
−iωρe (q, ω) + iq · Je (q, ω) = 0
KAPITEL 6. LINEARE ANTWORTTHEORIE
72
Dies ergibt
iq · Je (q, ω) = q · σ(q, ω) · qφext (q, ω)
= iωρe (q, ω) = iωχR (q, ω)φext (q, ω)
Für isotrope homogene Systeme ist der Tensor σ einfach ein Skalar, und da φext
beliebig, folgt
q2
R
χ (q, ω) = −i σ(q, ω)
ω
Damit folgt sofort der gesuchte Zusammenhang
1
4πi
=1−
σ(q, ω)
ǫ(q, ω)
ω
d.h. falls die dielektrische Funktion bekannt ist, folgt damit sofort die optische
Leitfähigkeit, und umgekehrt.
Kapitel 7
Supraleitung
Was charakterisiert einen Supraleiter?
• Widerstand verschwindet bei T < Tc , keine Dissipation
• Meissner Effekt: Magnetfeld wird aus dem Supraleiter gedrängt, perfekter
Diamagnetismus
• Isotopeneffekt: kritische Temperatur Tc hängt von Isotop ab, d.h. Phononen
spielen wichtige Rolle.
• Frühe phänomenologische Theorien: Two-fluid model, London-Gleichungen.
Mikroskopischer und sehr erfolgreicher Zugang: BCS Theorie (Bardeen,
Cooper, Schrieffer, 1957).
7.1
BCS Theorie
BCS Theorie ist Mean-Field Theorie, mit ungewöhnlichem (komplexwertigem)
Ordnungsparameter
bk = hc−k,↓ c+k,↑ i =
6 0
(7.1)
Cooper-Paar Amplitude
In einem Supraleiter paaren sich demzufolge die Elektronenzustände (−k, ↓) und
(+k, ↑) zu einem phasenkohärenten Cooperpaar-Zustand. (Hier nehmen wir den
einfachsten Fall der s-Wellen Singlet-Supraleitung an.) Für die Paarbildung ist
eine attraktive Elektron-Elektron Wechselwirkung verantwortlich.
Üblicher Mechanismus: Phononen induzieren eine attraktive retardierte (zeitabh.)
Wechselwirkung, die für niedrige Energieskalen anziehend ist und die Effekte der
repulsiven Coulomb-Wechselwirkung übertrifft.
73
74
KAPITEL 7. SUPRALEITUNG
7.1.1
Bogoliubov-Transformation
Wir starten vom zweitquantisierten Hamiltonian im grosskanonischen Ensemble:
H=
X
ξk c†k,σ ck,σ +
k,k′
k,σ
mit ξk = h̄2 k 2 /2m − µ und
Vk,k′ =
X
(
Vk,k′ c†k,↑ c†−k,↓ c−k′ ,↓ ck′ ,↑
−V0 , |ξk |, |ξk′ | ≤ h̄ωc
0,
sonst
Dies ist ein einfaches effektives Modell für die durch Elektron-Phonon-Kopplung
induzierten attraktiven (V0 > 0) Wechselwirkungen auf Energieskalen unterhalb der Grenzenergie h̄ωc , welche der Debyeenergie entspricht. CoulombWechselwirkungen sind hier ignoriert (bzw. in der Grösse von V0 verarbeitet).
Tiefergehende Diskussion dieser Wechselwirkung (welche auf Cooper zurückgeht):
siehe Tinkham.
Mean field Theorie ist hier extrem gut (viel besser als in Ferromagneten!),
da Kohärenzlängen oft sehr hoch sind (Ausnahmen: Hochtemperatursupraleiter,
manche Typ-II Supraleiter).
Schreibe dazu
c−k,↓ ck,↑ = bk + [c−k,↓ ck,↑ − bk ]
Einsetzen in H und Vernachlässigen von Fluktuationsquadraten [. . .]2 ergibt
Mean-Field Hamiltonian
HM F =
X
ξk c†k,σ ck,σ +
k,σ
X
k,k′
Vk,k′ [c†k,↑ c†−k,↓ bk′ + c−k′ ,↓ ck′ ,↑ b∗k − b∗k bk′ ]
Dabei müssen die bk aus der Selbstkonsistenzgleichung bestimmt werden, d.h.
in Gleichung (7.1) muss der Erwartungswert mittels HM F berechnet werden.
Zunächst nehmen wir an, diese Gleichung sei gelöst, und kommen später auf
die tatsächliche Lösung zurück.
Achtung: Während volles H mit Gesamtteilchenzahloperator kommutiert, ist dies
bei HM F nicht mehr der Fall (Paarerzeugung und Paarvernichtung!), d.h. N ist
keine Erhaltungsgrösse der Mean-field Theorie. Dies ist im grosskanonischen kein
Problem, da N nur im Mittel vorgegeben wird.
Statt der bk verwenden wir die (komplexwertige) Linearkombination
∆k = −
X
Vk,k′ bk′
k,k′
welche später auf BCS Energielücke (BCS gap) führt, so dass
HM F =
X
k,σ
ξk c†k,σ ck,σ −
X
k
[∆k c†k,↑ c†−k,↓ + ∆∗k c−k,↓ ck,↑ − b∗k ∆k ]
75
KAPITEL 7. SUPRALEITUNG
diagonal im k Raum wird.
Dadurch lässt sich H diagonalisieren, indem wir über eine lineare BogoliubovTransformation zu neuen Fermi-Operatoren übergehen, den BCS Quasiteilchen:
†
ck,↑ = u∗k γk,0 + vk γk,1
†
c†−k,↓ = −vk∗ γk,0 + uk γk,1
wobei die komplexen Koeffizienten uk , vk der Bedingung
|uk |2 + |vk |2 = 1
genügen. O.B.d.A. können wir uk reell annehmen. Die γk,i=0,1 sind unter der
Bedingung |u|2 + |v|2 = 1 auch Fermioperatoren.
Einsetzen der Bogoliubovtransformation in HM F liefert (unter Ausnutzen der
Fermialgebra)
HM F =
X
k
+
X
k
+

ξk (u2k − |vk |2 )
"
Xh
k
∆k b∗k
+
(∆k vk∗2
X
i=0,1
(∆k uk vk∗
−
†
γk,i
γk,i
+

+ 2|vk |2 + 2{uk vk∗ γk,1 γk,0 + h.c.}
∆∗k u∗k vk )
∆∗k u2k )γk,1 γk,0
−1 +
i
X
†
γk,i
γk,i
i
!#
+ h.c.
Wir wählen nun uk und vk so, dass die ungewünschten Terme γ1 γ0 bzw. γ0† γ1†
verschwinden. Dies kann erreicht werden durch
2ξk uk vk + ∆∗k vk2 − ∆k u2k = 0
Multiplikation mit ∆∗k /u2k ergibt quadratische Gleichung für ∆∗ v/u,
2ξ∆∗ v/u + (∆∗ v/u)2 = |∆|2
Lösung (zweite Lösung führt zu maximaler statt minimaler Energie)
∆∗k vk q 2
= ξk + |∆k |2 − ξk ≡ Ek − ξk
uk
mit
Ek =
q
ξk2 + |∆k |2
(7.2)
Also gilt: Komplexe Phase von vk ist wie in ∆k zu wählen, und Betrag erfüllt
|vk /uk | =
Ek − ξk
|∆k |
76
KAPITEL 7. SUPRALEITUNG
Mit Normierung u2 + |v|2 = 1 folgt
(E − ξ)2
(E − ξ)2
1
1
=
|v| = (1 − |v| )
=
= (1 − ξ/E)
2
|∆|
2
|∆|
2E(E − ξ)
2
1 + (E−ξ)2
2
2
also
2
|vk | = 1 −
u2k
ξk
1
1−
=
2
Ek
!
Für ∆ = 0 erhalten wir u = 1 und v = 0.
Insgesamt folgt der diagonalisierte BCS Hamiltonian
X
HBCS = E0 +
†
Ek γk,i
γk,i
(7.3)
k,i=0,1
mit BCS Grundzustandsenergie durch Kondensation der Cooperpaare
E0 =
X
k
(ξk − Ek + ∆k b∗k )
Dies ist Grundzustand für fermionische Anregungen der Quasiteilchen γ0,1 mit
Einteilchenanregungsenergie Ek (manchmal als Bogoliubonen bezeichnet). Diese Einteilchenenergien besitzen Energielücke (BCS gap, man mache sich die
Dispersion graphisch klar)
Ek ≥ |∆k | > 0
und sind als Fermionen gemäss der Fermi-Dirac Verteilung besetzt. Die Cooperpaare sind extra (bei Fermienergie).
7.1.2
BCS Gap Equation
Wir müssen nun noch die Selbstkonsistenzgleichung betrachten. Dazu berechnen
wir die rechte Seite von
∆k = −
X
k′
Vk,k′ hc†−k′ ,↓ c†k′ ,↑ i
mit dem BCS Hamiltonian:
∆k = −
= −
= −
X
k′
Vk,k′ uk′ vk′ h[1 − γk† ′ ,0 γk′ ,0 − γk† ′ ,1 γk′ ,1 ]i
X
Vk,k′ uk′ vk′ [1 − 2nF (Ek′ )]
X
Vk,k′
k′
k′
|
{z
=tanh(βEk′ /2)
∆ k′
tanh(βEk′ /2)
2Ek′
}
77
KAPITEL 7. SUPRALEITUNG
∆
mit β = 1/kB T und uv = uv v 2 = 21 (1 − ξ/E) E−ξ
= ∆/2E.
BCS-Näherung für Vk,k′ = −V0 impliziert ∆k = ∆ = ∆(T ) und daher die Selbstkonsistenzgleichung in der Form:
1
1 X tanh[βEk /2]
=
,
V0
2 k
Ek
Ek =
q
ξk2 + |∆|2
BCS gap equation
R
P
Wir nehmen nun ein reelles gap ∆ an. Mit 21 k → D(0) 0 dξ (Faktor 1/2 da
Integral auf positive ξ beschränkt) können wir auf Energieintegration übergehen,
wobei D(0) die Zustandsdichte des nichtwechselwirkenden Elektronengases an der
Fermikante bezeichnet. Da attraktive Wechselwirkung nur bis h̄ωc vorliegt:
√
Z h̄ωc
tanh[ 12 β ξ 2 + ∆2 ]
1
√ 2
(7.4)
dξ
=
D(0)V0
ξ + ∆2
0
Zunächst betrachten wir T = 0, d.h. tanh[] = 1. Das Integral lässt sich dann
elementar ausführen,
1
= Arsinh[h̄ωc /∆]
D(0)V0
d.h.
h̄ωc
∆(T = 0) =
≈ 2h̄ωc e−1/D(0)V0
sinh[1/D(0)V0 ]
da typisch schwache Kopplung, D(0)V0 < 0.3 in realen Supraleitern.
Beachte nichtperturbative Abhängigkeit von V0 , Grund für 50 Jahre erfolgloser
Suche nach Supraleitungstheorie!
Die Lösung der gap equation ergibt ∆(T ). Zunächst berechnen wir die kritische
Temperatur Tc , bei der ∆(T > Tc ) = 0 gilt. Dann ist mit x = βξ/2
Z h̄βc ωc /2
1
2eγ
tanh(x)
= ln
h̄βc ωc
=
dx
D(0)V0
x
π
0
mit Eulerkonstante γ = 0.577. Daraus folgt
1
− D(0)V
kB Tc = βc−1 = 1.13h̄ωc e
0
Vergleich mit ∆(T = 0) ergibt
∆(0) = 1.764kB Tc
experimentell verifiziert in vielen Supraleitern.
Ähnlich kann man aus der BCS gap equation ableiten:
q
∆(T )
= 1.74 1 − T /Tc ,
∆(0)
T → Tc − 0+
78
KAPITEL 7. SUPRALEITUNG
7.1.3
Zustandsdichte der BCS Quasiteilchen Ds (E)
Im normalleitenden Zustand ist in der Nähe der Fermikante die Zustandsdichte D(E) konstant, und mit D(0) bezeichnet. Im supraleitenden Zustand gibt es
nun eine Eins-zu-Eins Korrespondenz zwischen nichtwechselwirkenden Elektronen und den BCS Quasiteilchen (bei V0 > 0), d.h.
Ds (E)dE = D(ξ)dξ
mit E =
√
ξ 2 + ∆2 . Daher:
dξ
1
Ds (E)
=
=
=
D(0)
dE
dE/dξ
(
√D(0)E ,
E 2 −∆2
0,
E>∆
E<∆
BCS Zustandsdichte hat Energielücke und sehr scharfen Peak bei E = ∆ + 0+ .
Sehr nützlich für energieaufgelöstes Tunneln:
Elektronentunneln
Die BCS Zustandsdichte wird sehr wichtig beim Tunneln zwischen Supraleitern
oder für N-S Kontakte (Normal-Supraleiter).
Modellierung durch Tunnel-Hamiltonian: Bei punktförmigem Kontakt zweier
Elektroden/Leiter bei x (sonst Integration über Kontaktfläche)
HT =
X
†
(x)ψ̂R,σ (x) + h.c.
tLR ψ̂L,σ
σ
mit Tunnelamplitude tLR . Dadurch werden Elektronen vom linken (L) in den
rechten (R) Leiter (und umgekehrt) transferiert. Der Strom durch den Kontakt
wird (in niedrigster Ordnung) dann ∝ |tLR |2 sein.
Der Strom in Störungstheorie in tLR kann direkt im zweitquantisierten Formalismus hergeleitet werden. Hier gehen wir dagegen heuristisch vor, d.h. das Resultat
wird angegeben und physikalisch motiviert. Der Strom von L → R ist mit einer
Proportionalitätskonstanten A
IL→R = A|tLR |2
Z
∞
−∞
dEDL (E)nF (E)DR (E + eV )[1 − nF (E + eV )]
wobei das chemische Potential µL = 0 gewählt ist (Wahl der Energieskala!) und
µR = −eV , d.h. µL − µR = eV ist die angelegte Spannung, die am Tunnelkontakt
abfällt. Interpretation: Zustände in der linken Elektrode sind mit Fermifunktion
nF (E) gefüllt, und durch Zustandsdichte DL (E) mal Fermifunktion beschrieben.
Beim Tunneln wird effektiv (da alle Niveau rechts um eV verschoben) dann ein
leeres Niveau auf der rechten Seite gefordert, d.h. Faktor 1 − nF (E + eV ). Ebenso
ist
Z
IR→L = A|tLR |2 dEDL (E)[1 − nF (E)]DR (E + eV )nF (E + eV )
79
KAPITEL 7. SUPRALEITUNG
Gesamter Tunnelstrom durch Kontakt:
I = IR→L − ZIL→R
= A|tLR |2
dEDL (E)DR (E + eV )
× (nF (E)[1 − nF (E + eV )] − nF (E + eV )[1 − nF (E)])
= A|tLR |2
Z
dEDL (E)DR (E + eV )[nF (E) − nF (E + eV )]
N-N Kontakt
Betrachte zunächst zwei normalleitende Elektroden. Dann ist DL (E) und DR (E)
in der Nähe von EF in guter Näherung konstant, d.h. wir erhalten
I N N = A|tLR |2 DL (0)DR (0)eV
Ohmsches
Verhalten,
2
eA|t| DL (0)DR (0).
temperaturunabhängiger
Leitwert
GN N
=
Abbildung 7.1: Effektives Bändermodell für Tunnelkontakt zwischen N und S
Leitern bei T = 0, mit Spannung eV zwischen beiden Leitern.
N-S Kontakt
DL (E) ≃ DL (0),
DR (E) = Ds (E).
Wir skalieren Ds (E) = DR (0)ds (E) mit normalleitender Zustandsdichte DR (0),
d.h. wenn wir den eV Term in die metallische Seite legen,
INS =
GN N Z
dEds (E)[nF (E) − nF (E + eV )]
e
KAPITEL 7. SUPRALEITUNG
80
also differentieller Leitwert
Z
dI N S
= GN N dEds (E)(−∂E nF (E + eV ))
GN S (V ) =
dV
Für T → 0 gilt −∂E nF (E + eV ) = δ(E + eV ), also
GN S (V ) = GN N ds (|eV |) ∝ Ds (|eV |)
Dies erlaubt die direkte Messung der Zustandsdichte des Supraleiters über
den differentiellen Leitwert durch Variation der Spannung V . Vgl. “HalbleiterBanddiagramm” in Abb. 7.1.
Abbildung 7.2: Strom-Spannungs-Kennlinie (schematisch) eines N-S Kontaktes.
Eingezeichnet ist auch das Verhalten bei T > 0. Man beachte dass I = 0 für
eV < ∆ und T = 0.
Insbesondere fliesst kein Strom falls |eV | < ∆ wegen Bandlücke der BCS Quasiteilchen! Vgl. Abb. 7.2.
S-S Kontakt
Betrachten wir nun zwei Supraleiter auf beiden Seiten, mit Bandlücken ∆L bzw.
∆R , siehe Abb. 7.3. Bei T = 0 kann ein Quasiteilchen-Strom nur fliessen wenn
eV > ∆L + ∆R
Zusätzlich gibt es aber noch den Josephsonstrom durch Cooperpaare (siehe unten), wir diskutieren hier nur den dissipativen Quasiteilchenstrom. Bei T > 0
kommt es zu einem Peak bei eV = |∆L − ∆R |, dadurch auch negative differentielle Widerstände möglich! Bei eV = ∆L + ∆R kommt es selbst bei endlichem
T noch zu einem Sprung in der Ableitung wegen des singulären Verhaltens der
supraleitenden Zustandsdichte. Vgl. Abb. 7.4.
KAPITEL 7. SUPRALEITUNG
81
Abbildung 7.3: Effektives Bändermodell für Tunnelkontakt zwischen S und S
Leitern bei T > 0, mit Spannung eV zwischen beiden Leitern.
7.2
Ginzburg-Landau Theorie
Falls räumlich inhomogene Probleme vorliegen, ist BCS Theorie unhandlich. Dies
ist besonders wichtig bei Typ-II Supraleitern, bei denen Fluss-Schläuche in den
Supraleiter eindringen, oder bei der Beschreibung von N-S oder S-N-S Kontakten. Dann bietet sich die Ginzburg-Landau (GL) Theorie an, die bereits 1950
entwickelt wurde. GL Theorie kann rigoros aus BCS Theorie hergeleitet werden
(Gorkov, 1959), wenn T nahe an Tc . Qualitativ nützlich aber selbst bei T = 0.
Zentrale Grösse der GL Theorie:
Komplexe Pseudo-Wellenfunktion
Ψ(r) = |Ψ(r)|eiϕ(r)
ist Ordnungsparameter der üblichen Landau-Theorie der Phasenübergänge. Ein
von Null verschiedener Wert von Ψ definiert einen Supraleiter. In GL Theorie
betrachtet man nur die Cooperpaare (die durch ∆ bzw. Ψ beschrieben sind), und
ignoriert die Quasiteilchen!
Aus Gorkov’s Herleitung ergibt sich, dass der GL Ordnungsparameter Ψ proportional zum BCS Ordnungsparameter ∆ (beide komplexwertig!) ist. Mikroskopisch: Ψ(r) ist Wellenfunktion für die Schwerpunktsbewegung der Cooperpaare.
Dichte der Elektronen im supraleitenden Zustand (d.h. als Cooperpaar gebunden):
ns (r) = |Ψ(r)|2
82
KAPITEL 7. SUPRALEITUNG
Abbildung 7.4: Strom-Spannungs-Kennlinie (schematisch) eines S-S Kontaktes
(nur Quasiteilchenstrom). Eingezeichnet ist das Verhalten bei T > 0. Man beachte
dass I = 0 für eV < ∆L + ∆R und T = 0.
Landau-Theorie der Phasenübergänge (vgl. Bachelor Modul 5) impliziert
dann eine freie Energie, die Terme bis Ordnung |Ψ|4 enthält, mit LandauEntwicklungsparametern α(T ) und β.
Minimieren der freien Energie führt auf die Ginzburg-Landau Gleichung
1
e∗ 2
[−ih̄∇ − A] Ψ(r) + β|Ψ(r)|2 Ψ(r) = −α(T )Ψ(r)
∗
2m
c
mit Cooperpaarladung e∗ = 2e. Dabei wird der Effekt eines Magnetfeldes durch
Vektorpotential A beschrieben.
NB. Diese Gleichung wird auch für wechselwirkende Bose-Einstein-Kondensate
verwendet, und heisst dann Gross-Pitaevskii Gleichung. Die Gleichung ähnelt
einer nichtlinearen Schrödingergleichung.
Suprastrom (der durch Cooperpaare getragen wird) ist dann
Js (r) =
h̄e∗
(e∗ )2 2
∗
∗
[Ψ
∇Ψ
−
(∇Ψ
)Ψ]
−
|Ψ| A
2m∗ i
m∗ c
(7.5)
Betrachte zunächst den homogenen Fall ohne Magnetfeld (A = 0). Dann ist
Ψ(r) = Ψ∞ , und kann reell gewählt werden. Aus GL-Gleichung folgt bei T < Tc
als stabile Lösung
Ψ2∞ = −α(T )/β > 0
83
KAPITEL 7. SUPRALEITUNG
während für T > Tc die Lösung Ψ = 0 stabil ist. Mit (für T hinreichend nahe an
Tc , vgl. Landautheorie!)
T
′
−1
α(T ) = α
Tc
mit α′ > 0 und T -unabhängig, wird dieses Verhalten korrekt beschrieben.
Wir definieren für T < Tc die GL Kohärenzlänge
ξ(T ) = q
h̄
2m∗ |α(T )|
die anschaulich in etwa der Grösse eines Cooperpaars entspricht.
Betrachte nun GL Gleichung bei T < Tc für 1D Draht, mit A = 0 und der komplexen Amplitude f (x) = Ψ(x)/Ψ∞ . Dann folgt GL Gleichung in der einfachen
Form
d2 f
(7.6)
ξ2 2 + f − f 3 = 0
dx
Dies erlaubt das Studium von inhomogenen Problemen, z.B. Josephsonstrom.
7.3
Josephson Effekt
Wir betrachten nun den Suprastrom Is , der durch einen Tunnelkontakt zwischen
zwei Supraleitern fliesst. Hier kommt es zu den beiden Josephson-Effekten (B.
Josephson, 1962):
• dc Josephson Effekt
Im Gleichgewichts-Fall (V = 0) fliesst ein Suprastrom, der von der Phasendifferenz ∆ϕ = ϕL − ϕR der GL Phasen der beiden Supraleiter abhängt
Is = Ic sin(∆ϕ)
mit kritischem Strom Ic (maximal möglicher Suprastrom).
• ac Josephson Effekt
Bei angelegter Spannung V wird die Phasendifferenz ∆ϕ zeitabhängig
gemäss der Josephson-Relation
d(∆ϕ)
2eV
=
≡ ωJ
dt
h̄
Dies impliziert einen zeitabhängigen (ac) Suprastrom mit Amplitude Ic und
Frequenz ωJ . Dabei ist h̄ωJ die Energieänderung, die zum Transfer eines
Cooperpaars benötigt wird.
84
KAPITEL 7. SUPRALEITUNG
Beide Effekte sind experimentell verifiziert, und in der Metrologie wichtig. Die
Natur des Kontakts (Isolator, normalleitender Bereich, oder enge supraleitende
Brücke zwischen grossen supraleitenden Elektroden) ist dabei unwesentlich und
beeinflusst lediglich den kritischen Strom.
Aus den Josephson-Relationen folgt auch die freie Energie, welche im Tunnelkontakt gespeichert ist, indem wir die Arbeit integrieren,
F =
Z
Is V dt =
Z
Is
h̄
d(∆ϕ) = F0 − EJ cos(∆ϕ)
2e
mit irrelevanter Konstante F0 und der Josephsonenergie
EJ =
h̄Ic
2e
Beachte: F ist minimal bei ∆ϕ = 0.
Suprastrom nur beobachtbar wenn Temperaturskala klein gegen EJ /kB ist, sonst
ausgewaschen durch thermisches Rauschen.
Typische Grössenordnung: Ic ≈ mA (bis hinunter zu nA für molekulare Kontakte), entsprechend EJ ≈ meV
Herleitung der 1. Josephson-Relation aus GL Gleichung
Josephson-Relationen sind universell (hängen nicht von Natur des Kontaktes ab),
und können z.B. für kurze Brücke der Länge L ≪ ξ zwischen zwei grossen supraleitenden Elektroden hergeleitet werden. (Wir nehmen gleiche Supraleiter an,
∆L = ∆R = ∆.) Wir starten von 1D GL Gleichung (7.6). In den Elektroden ist
|f | = 1, mit Phasen 0 (links, x < 0) bzw. ∆ϕ (rechts, x > L). Wir haben also für
0 < x < L die GL Gleichung
ξ 2 f ′′ (x) + f − f 3 = 0
mit Randbedingung f (0) = 1 und f (L) = ei∆ϕ . Da L ≪ ξ, erwarten wir dass
der erste Term die beiden anderen komplett dominiert (selbstkonsistente Annahme, d.h. muss am Ende geprüft werden!), so dass effektiv die Laplace Gleichung
resultiert
f ′′ (x) = 0
Allgemeinste Lösung in 1D:
f (x) = z1 + z2 x
mit komplexen z1,2 . Mit Randbedingungen folgt
f (x) = (1 − x/L) +
x i∆ϕ
e
L
Erster Term beschreibt das Eindringen des Ordnungsparameters von der linken
Seite, zweiter Term das Eindringen des Ordnungsparameters von der rechten
85
KAPITEL 7. SUPRALEITUNG
Seite. Man sieht nun auch, dass f − f 3 gegen ξ 2 f ′′ (x) vernachlässigbar ist, d.h.
unsere Lösung ist selbstkonsistent und korrekt in führender Ordnung in L/ξ ≪ 1.
Setze Lösung der GL Gleichung nun in den Ausdruck (7.5) für den Suprastrom
ein. Da (7.5) die Stromdichte ist, multiplizieren wir noch mit der Querschnittsfläche W der Brücke,
Is = W
df ∗
2eh̄ 2 ∗ df
Ψ
[f
−
f
]
2m∗ i ∞ dx
dx
1
Ic [−(1 − x/L[1 − e−i∆ϕ ])(1 − ei∆ϕ ) + (1 − x/L[1 − ei∆ϕ ])(1 − e−i∆ϕ )]
2i
= Ic sin(∆ϕ)
=
mit kritischem Strom
Ic =
Beachte:
|f |2 (x) = 1 − 4
2eh̄Ψ2∞ W
m∗ L
x
x
1−
sin2 (∆ϕ/2)
L
L
mit |f |2 (L/2) = cos2 (∆ϕ/2).
Da GN N ∝ 1/L (Ohmsches Gesetz) im normalleitenden Zustand, folgt dass das
Produkt Ic RN N konstant ist (wobei RN N der Widerstand des normalleitenden
Kontaktes ist). Durch Anlegen eines hohen Magnetfeldes kann Supraleitung immer unterdrückt werden, d.h. diese Vorhersage ist nachprüfbar (und verifiziert
worden).
Mikroskopische Herleitung liefert Konstante (für Tunnelkontakt)
Ic R N N =
π∆
∆
tanh
2e
2kB T
Ambegaokar-Baratoff Beziehung (1963)
Um die zweite Josephson Relation herzuleiten, sowie ac Josephson Effekt, muss
elektromagnetisches Feld (angelegte Spannung!) hinzugefügt werden. (Wird hier
nicht gezeigt.)
RCSJ Modell
Um Josephsonkontakte unter experimentellen Bedingungen zu studieren, muss
neben dem idealen Suprastrom auch der dissipative Quasiteilchenstrom mitgenommen werden. Dazu betrachtet man ein Ersatzschaltbild (“resistively and capacitively shunted junction”, RCSJ Modell), vgl. Abb. 7.5. Dabei steht der Widerstand R für Dissipation durch den Quasiteilchenstrom, und die Kapazität C
berücksichtigt, dass die beiden Elektroden elektrostatisch gegeneinander geladen
werden können.
86
KAPITEL 7. SUPRALEITUNG
Abbildung 7.5: Ersatzschaltbild des RCSJ Modells.
Wir betrachten nun einen Josephsonkontakt bei vorgegebenem konstantem Strom
I (“current-biased Josephson junction”). Dann gilt als Strombilanz als Summe
der drei Kanäle: (wir schreiben nun ∆ϕ → ϕ)
I = Ic sin ϕ +
dV
V
+C
R
dt
h̄ dϕ
wobei V = 2e
aus der 2. Josephsonrelation folgt. Damit folgt die Bewegungsdt
gleichung der Phasendifferenz
ϕ̈ + Q−1 ϕ̇ + sin ϕ = I/Ic
(7.7)
wobei wir als Zeit die dimensionslose Grösse τ = ωp t mit der Plasmafrequenz
ωp = (2eIc /h̄C)1/2
verwenden. Der Qualitätsfaktor Q ist definiert als
Q = ωp RC
Die Bewegungsgleichung der Phasendifferenz (7.7) hat ein mechanisches Analogon, nämlich die Bewegung eines 1D Teilchens (Koordinate q = ϕ) mit Masse
m = (h̄/2e)2 C im gekippten Waschbrett-Potential:
U (q) = −EJ cos q − (h̄I/2e)q
87
KAPITEL 7. SUPRALEITUNG
Abbildung 7.6: Gekipptes Waschbrettpotential.
unter dem Einfluss einer Reibungskraft γmdq/dt mit Reibungskonstante γ =
1/RC. Vgl. Abb. 7.6.
Wir berechnen nun die IV Kennlinie eines solchen Kontaktes, bei T = 0, d.h. ohne
thermische Fluktuationen. Auch (makroskopische) quantenmechanische Effekte
sind in dieser Beschreibung nicht berücksichtigt (ausser natürlich dem Fakt, dass
ϕ eine quantenmechanische Ursache hat).
Für I < Ic und V = 0 erwarten (und erhalten) wir einen dc JosephsonSuprastrom, der der statischen Lösung ϕ = arcsin(I/Ic ) entspricht.
Falls I > Ic , gibt es keine zeitunabhängige Lösung mehr, d.h. das Waschbrettpotential ist so stark verkippt, dass q das Potential hinunterlaufen muss (es gibt
keine lokalen Minima mehr!).
Wir betrachten hier den überdämpften Fall, Q ≪ 1, d.h. kleine Kapazitäten
C, den sogenannten Smoluchowski-Limes. Dann kann der Inertialterm ϕ̈ vernachlässigt werden, und wir erhalten für I > Ic
dϕ
2eIc R I
=
− sin ϕ > 0
dt
h̄
Ic
Also folgt
2eIc R
dϕ
=
dt
I/Ic − sin ϕ
h̄
R
Integration über eine Periode dt = T = πh̄/eV (mit ωJ = 2π/T ) ergibt
Z
0
2π
2πIc R
dϕ
=
I/Ic − sin ϕ
V
88
KAPITEL 7. SUPRALEITUNG
Abbildung 7.7: IV Kennlinie des RCSJ Modells. Der Quasiteilchenzweig ist hier
nur phänomenologisch via R enthalten, und muss noch hinzugefügt werden. Der
vertikale Zweig bei V = 0 mit I < Ic entspricht dem dc Josephson Effekt.
Das Integral ist elementar ausführbar, und man findet
q
V (I > Ic ) = R I 2 − Ic2
Beachte: I wird vorgegeben, V ist hier als Mittel über eine Periode definiert! Für
I ≫ Ic ergibt sich wieder das Ohm’sche Gesetz. Vgl. Abb. 7.7.
Im unterdämpften Fall (hier nicht besprochen), d.h. Q ≫ 1, kommt es zu hysteretischem Verhalten bzw. einem sehr komplexen Verhalten. Aktuelles Forschungsgebiet!
Wichtige Anwendung von Josephsonkontakten: SQUID (Superconducting Quantum Interference Device), mit 2 Kontakten in einem Ring kann sehr sensitive
Magnetfeldmessung erfolgen. Mechanisches Analogon ist nun ein Doppeltopfpotential !
7.4
Ungeordnete
Supraleiter:
DeGennes Gleichung
Bogoliubov-
BCS Theorie betrachtet saubere Metalle, mit Paarung zwischen (k, ↑) und
(−k, ↓). Reale Metalle enthalten Defekte, Verunreinigungen etc., die (i) elastische
Streuung verursachen, und (ii) magnetische Verunreinigungen, die Supraleitung
89
KAPITEL 7. SUPRALEITUNG
zerstören (hier nicht diskutiert). Wir zeigen im folgenden, dass elastische Streuung an Störstellen Supraleitung nicht zerstört (Anderson, 1959). Die Paarbildung
findet hier zwischen zeitumgekehrten Zuständen statt.
Zweitquantisierte Formulierung ist nun günstiger im Ortsraum, d.h. mit Feldoperator ψ̂σ (r) und dem selbstkonsistenten komplexen Paarpotential ∆(r) folgt
H =
+
Z
dr
X
σ

!2
1
ψ̂σ (r)  ∗
2m
∆(r)ψ̂↑† (r)ψ̂↓† (r)
h̄
e
∇− A
i
c
!
∗

+ U (r) − µ ψ̂σ (r)
+ ∆ (r)ψ̂↓ (r)ψ̂↑ (r)
mit dem Potential U (r), z.B. für gegebene Unordnungsrealisierung (über die am
Schluss zu mitteln wäre).
Bogoliubov Transformation:
ψ̂↑ (r) =
ψ̂↓ (r) =
Xh
n
Xh
†
un (r)γn0 − vn∗ (r)γn1
†
un (r)γn1 + vn∗ (r)γn0
n
i
i
wobei n die Eigenfunktionen bzw. Energien indiziert. Verallgemeinerung der Bogoliubov Transformation für räumlich inhomogene Systeme.
Einsetzen in H: Wähle u, v so, dass H diagonal wird, d.h.
H=
X
†
En γn,i
γn,i
n,i=0,1
Diese Forderung führt auf die Bogoliubov-DeGennes Gleichung:
H0
∆(r)
∆∗ (r) −H0∗
!
!
un (r)
vn (r)
= En
un (r)
vn (r)
!
Beachte: H0∗ entspricht dem zeitumgekehrten Hamiltonoperator, B → −B. Hier
ist der Einteilchen-Hamiltonian (in erstquantisierter Form)
1
H0 =
2m∗
!2
h̄
e
∇− A
i
c
+ U (r) − µ
Dessen Spektrum sei
H0 wn (r) = ǫn wn (r).
Im ungeordneten Metall (ohne magnetische Störstellen) haben wir (unbekannte)
elektronische Eigenfunktionen, die nicht einfach Blochwellen sind, also Einteilchenwellenfunktionen wn (r) zum Eigenwert ǫn . Der zeitumgekehrte Zustand zu
90
KAPITEL 7. SUPRALEITUNG
∗
wn,↑ (r) ist dann wn,↓
(r) (o.B.), d.h. diese beiden Zustände formen ein CooperPaar, als Verallgemeinerung des sauberen Falles.
Beachte: falls ∆ = 0, impliziert BdG Gleichung
H0∗ v = −Ev
H0 u = Eu,
d.h. u beschreibt Elektron, v beschreibt Lochzustand, mit Energien ±E.
Paarpotential ist selbstkonsistent aus (V0 > 0 beschreibt Anziehung der Elektronen)
E
D
∆(r) = V0 ψ̂↑ (r)ψ̂↓ (r)
zu bestimmen. Einsetzen der Bogoliubov Entwicklung ergibt nun
∆(r) = V0
X
n
vn∗ (r)un (r)[1 − 2nF (En )]
Elektron- und Loch-Zustände sind durch Paarpotential in selbstkonsistenter Weise gekoppelt!
Betrachte nun ungeordneten Supraleiter mit l ≪ ξ (wobei ξ die Kohärenzlänge
ist). Auf Skalen ≫ l ist ∆(r) = ∆ homogen (Selbstmittelung!). Unter dieser
Annahme lässt sich BdG Gleichung mit Ansatz
un (r) = Un wn (r),
vn (r) = Vn wn (r)
mit reellen Zahlen Un , Vn lösen. Für A = 0 folgt dann
ǫn − En
∆
∆∗
−ǫn − En
!
Un
Vn
!
=0
Dieses Eigenwertproblem führt zu
En =
q
ǫ2n + |∆|2
in analogie zum Standard-BCS Fall.
Spektrum, Energielücke und auch Tc bzw. ∆ sind praktisch nur wenig durch
elastische Streuer / Unordnung beeinflusst.
Kapitel 8
Quanten-Hall-Effekt
8.1
Landau-Niveaus
Betrachte 2DEG in konstantem Magnetfeld B in z Richtung (senkrecht
auf 2DEG). Wir ignorieren Spineffekte (nur Orbitaleffekt, d.h. LandauMagnetismus), und arbeiten zunächst auf dem Niveau der Effektiven-MasseBeschreibung (Einteilchenbeschreibung).
Minimalsubstitution: Man erhält den kinetischen Impuls Π aus dem kanonischen
Impuls −ih̄∇ aus
e
Π = −ih̄∇ + A
c
Dann ist Hamiltonoperator
1
H=
Π2
2m∗
Charakteristische Skalen:
Zyklotronfrequenz: ωc =
eB
m∗ c
Magnetische Länge: lB =
q
h̄c
eB
2
Dann gilt mit Flussquant Φ0 = hc/e gerade 2πlB
B = Φ0
Klassische Bewegungsgleichungen:
e
m∗ r̈ = − ṙ × B
c
ergibt
ẍ + ωc ẏ = 0,
ÿ − ωc ẋ = 0
Mit komplexer Notation
z = x + iy
91
92
KAPITEL 8. QUANTEN-HALL-EFFEKT
kompakt
z̈ − iωc ż = 0
Lösung: Klassischer Zyklotronorbit
z(t) = C − i
v0 iωc t
e
ωc
mit zwei Integrationskonstanten: (komplexwertig)
• Schwerpunkt des Orbits C
• Radius des Orbits, entspricht Geschwindigkeitsvektor v0 bei t = 0.
Klassisch haben wir eine kreisförmige Bewegung um C in der x − y (bzw. komplexen z) Ebene, mit Radius |v0 |/ωc und Frequenz ωc .
Zurück zur Quantenmechanik.
Kommutatoralgebra:
e
h̄e
e
2
[Πx , Πy ]− = [−ih̄∂x + Ax , −ih̄∂y + Ay ]− = −i (∂x Ay − ∂y Ax ) = −ih̄2 /lB
{z
}
c
c
c |
=(rotA)z =B
Daher können wir bosonische Leiteroperatoren a, a† einführen:
lB
a† = √ (Πx + iΠy )
2 h̄
mit [a, a† ]− = 1, [a, a]− = [a† , a† ]− = 0, da
2
2
lB
lB
[Π
−
iΠ
,
Π
+
iΠ
]
=
i
[Πx , Πy ] = 1
x
y
x
y
−
2h̄2
h̄2
Also gilt
H = h̄ωc (a† a + 1/2)
harmonischer Oszillator, Eigenenergien sind Landauniveaus
En = h̄ωc (n + 1/2),
n = 0, 1, 2, . . .
Diskretes Spektrum, statt h̄2 (kx2 + ky2 )/2m∗ für B = 0.
Jedes Landau-Niveau
Schwerpunktsoperator
ist
hochgradig
C =z+
nicht in H auftaucht!
entartet,
i(Πx + iΠy )
m∗ ωc
da
der
Zyklotron-
93
KAPITEL 8. QUANTEN-HALL-EFFEKT
Kommutatoralgebra: Mischterme in z und Π heben sich genau weg, daher
[Cx , Cy ]− = −
1
∗
m ωc
2
2
[Πx , Πy ]− = ilB
Es gibt also einen zweiten bosonischen Leiteroperator
b† =
1
√ (Cx + iCy )
lB 2
der der Schwerpunktsbewegung entspricht. Es gilt
[b, b† ]− = 1,
[b, b]− = [b† , b† ]− = 0
und
[a, b† ]− = [a, b]− = 0
Insbesondere ist [b, H]− = 0, da H nicht von den b Operatoren abhängt.
Eigenzustände lassen sich nun durch n (Landau-Niveau-Index) und m (Eigenwert
von b† b) numerieren, wobei n, m = 0, 1, 2, . . .
|n, mi =
(a† )n (b† )m
√
|0, 0i
n!m!
mit Energie Enm = h̄ωc (n + 1/2) (unabh. von m).
Ortsraumdarstellung: erfordert Wahl der Eichung.
Hier: Landau-Eichung, A = (0, Bx, 0), also
"
e
1
p2x + py + Bx
H=
∗
2m
c
2 #
mit kanonischem Impuls pi = −ih̄∂xi
Eigenfunktionen:
φ(x, y) ∼ eiky y χ(x)
mit
h̄2 d2 χ(x) m∗ ωc2
2 2
− ∗
+
(x + ky lB
) χ(x) = Eχ(x)
2
2m dx
2
Für gegebenes ky entspricht dies verschobenem harmonischem Oszillator, mit
2
Minimum bei X = −ky lB
.
Eigenfunktionen: Quantenzahlen n = 0, 1, 2 . . . und ky , mit Hermite Polynomen
Hn folgt
2
2
φn,ky (x, y) ∼ eiky y e−(x−X) /2lB Hn [(x − X)/lB ]
d.h. ebene Welle in y Richtung und Gauss-lokalisierte Funktion in x, zentriert
2
um X = −ky lB
. (Für diese Wahl der Eichung!)
KAPITEL 8. QUANTEN-HALL-EFFEKT
94
Entartungsgrad eines Landauniveaus
Berechne Ns = Zahl der entarteten Zustände pro Landauniveau:
Wir betrachten Probe mit Rechteckgeometrie Lx × Ly und periodischen Randbedingungen. Für Landau-Niveau En = h̄ωc (n + 1/2) liegt n in φn,ky fest, aber ky
kann noch variieren, wobei ky = −2πny /Ly mit ganzzahligem ny . Dabei muss
2
2πny lB
0≤X=
≤ Lx
Ly
gelten, d.h. 0 < ny ≤ Ns mit
Ns =
Lx Ly
2
2πlB
2
Mit Φ0 = hc/e, lB
= h̄c/eB und magnetischem Fluss Φ = BLx Ly können wir
dies schreiben als
Φ
Ns =
Φ0
Entartungsgrad eines Landauniveaus ist durch magnetischen Fluss in Einheiten
des Flussquantums gegeben.
Füllfaktor
Bei gegebener 2D Elektronendichte n̄, bzw. Elektronenzahl N = n̄Lx Ly , werden
nun ν = N/Ns Landauniveaus gefüllt sein. ν ist der Füllfaktor:
ν=
N
2
= 2πlB
n̄
Ns
2
Jedes gefüllte Landau-Niveau entspricht damit einer Dichte 1/(2πlB
). Bei
Erhöhen von B wird diese Dichte linear ansteigen!
Beispiele:
• Für ν = 1 ist das unterste Landau Niveau gerade gefüllt, und alle höheren
unbesetzt.
• Falls ν < 1, ist das unterste Landau-Niveau nur teilweise gefüllt. Hier
kommt es zum fraktionalen QHE.
• Für ν = 5/2 sind zwei Landau-Niveaus ganz gefüllt, das dritte halb. Hier
kommt es zu einem exotischen QHE mit nichtabelschen Quasiteilchen (aktuelle Diskussion, von Interesse für topologische Quantencomputer)
Zustandsdichte (T = 0)
entspricht dann einer Sequenz von δ Peaks bei E = En mit Höhe Ns . Dies führt
zu “klassischen” Bulk-Phänomenen in makroskopischen Proben: Shubnikov-De
Haas Oszillationen im Magnetowiderstand. Hier konzentrieren wir uns auf den
Quanten-Hall-Effekt (QHE).
KAPITEL 8. QUANTEN-HALL-EFFEKT
8.2
95
Ganzzahliger Quanten-Hall-Effekt
Betrachte Hall Geometrie, siehe Abb. 8.1.
Abbildung 8.1: Hallgeometrie. Im senkrechten Magnetfeld B bildet sich die Hallspannung eVH = µA − µB , während die Transportspannung eV = µL − µR einen
Strom I durch die Probe treibt.
Hallwiderstand: RH = VH /I
Hall-Leitwert: GH = 1/RH
Klassische Rechnung (Drude) liefert (ohne Herleitung, findet sich in jedem elementaren Lehrbuch der Festkörperphysik)
klass
RH
=
bzw.
Gklass
=
H
B
n̄ec
e2
n̄ec
= ν
B
h
direkt proportional zum Füllfaktor ν
Beobachtet wird bei tiefen Temperaturen aber ultra-präzise Quantisierung in
GH (ν) (von Klitzing 1980, Nobelpreis 1985) bei ganzzahligen GH = N e2 /h. Der
longitudinale Widerstand verschwindet dabei auf den Plateaus.
Schematisch: siehe Abb. 8.2. Ganzzahliger QHE
Randzustände
Der IQHE kann elegant über das Randzustandsbild (Büttiker, 1986) erklärt werden. In x Richtung (siehe Abb. 8.1) muss der Hall-Bar ja bei x = ±Lx /2 begrenzt
KAPITEL 8. QUANTEN-HALL-EFFEKT
96
Abbildung 8.2: Ganzzahliger Quanten-Hall-Effekt (IQHE) (schematisch). Bei ν <
1 kommt es zur Quantisierung bei rationalen ν = p/q (p < q ganzzahlig), dem
fraktionalen Quanten-Hall Effekt (FQHE) (nicht gezeichnet).
sein, d.h. es liegt ein Einschnürpotential vor, welches die Landauniveaus vom bulk
Wert En nach oben biegt, En → En (x), siehe Abb. 8.3.
Solange EF 6= En (bei EF = En kommt es grad zum Übergang zwischen Plateaus,
soll hier nicht diskutiert werden), sind die einzigen Zusände bei der Fermienergie
am Rand: Randzustände propagieren. Für Abb. 8.3 gibt es drei rechts- und drei
linkslaufende Zustände, die räumlich getrennt sind (unterer bzw. oberer Rand).
Siehe Abb. 8.4.
Randzustände haben klassisches Analogon: Skipping Orbits.
Im Bulk gibt es dagegen nur geschlossene Zyklotronorbits, kein Transport, Isolator (Energielücke!).
Analogie zum 1D Quantendraht, aber wichtiger Unterschied ist durch räumliche
Trennung von rechts/links-laufenden Zuständen gegeben. Daher gibt es (selbst
bei nicht perfekten Rändern) keine Streuung von L → R oder R → L Läufern
(d.h. keine Rückstreuung). Dies erklärt die hochpräzise Quantisierung im QHE,
während Punktkontaktquantisierung (bzw. in Quantendrähten) nur recht ungenau erfüllt ist.
Berechnung des Hall-Leitwerts:
Hall Spannung ist eVH = µL −µR , da die L Läufer vom Reservoir mit µR kommen,
d.h. µR = µA . Entsprechend µB = µL .
97
KAPITEL 8. QUANTEN-HALL-EFFEKT
Abbildung 8.3: Verbiegung der Landauniveaus in einer Hallprobe. Siehe Text.
Strom I folgt dann aus Landauerformel, wie im 1D Draht. Nur Randzustände
tragen den Strom, d.h. bei N Moden (in Abb. 8.3, N = 3)
e
I = N (µL − µR )
h
Also
e2
I
=N
VH
h
wieder quantisiert, mit von-Klitzing Konstante! Mit Spin: Zusatzfaktor 2.
GH =
Das Plateau N tritt grade bei N −1/2 < ν < N +1/2 auf (wobei Rundungseffekte
z.B. durch thermische Effekte den Bereich ggf. verkleinern).
QHE wird in Metrologie zur Definition des Widerstands benutzt.
8.3
Fraktionaler Quanten-Hall-Effekt
Betrachte nun ν < 1, d.h. alle Elektronen sind im niedrigsten (partiell gefüllten!)
Landau-Niveau. Dann ist die kinetische Energie konstant (d.h. für alle möglichen
Anordnungen gleich), hochgradige Entartung kann nur durch Wechselwirkungseffekte gebrochen werden,


e2 
H = P̂0 
P̂0
j<k |rj − rk |
X
KAPITEL 8. QUANTEN-HALL-EFFEKT
98
Abbildung 8.4: Randzustände in der Hallprobe.
wobei P̂0 auf das niedrigste Landauniveau projiziert.
2
Jetzt werden Plateaus bei GH = pq eh beobachtet (FQHE), wobei p < q natürliche
Zahlen sind. (Tsui, Störmer, Laughlin, Nobelpreis 1998)
Theoretische Erklärung?
Analytische Lösung von H|Ψi = E|Ψi ist nicht bekannt. Störungstheorie
unmöglich: es gibt keinen kleinen Entwicklungsparameter.
Allgemein akzeptierte Theorie (mikroskopisch allerdings nicht sehr gut verstanden, ausser durch numerische Rechnungen) basiert auf dem Bild der Composite
Fermions (CF) von Jain (siehe: J. Jain, Physics Today, April 2000, Seite 39)
Grobe Struktur dieser Theorie:
Man kann stark wechselwirkende Elektronen im starken Magnetfeld B durch eine sogenannte Chern-Simons-Transformation äquivalent ausdrücken als schwach
wechselwirkende (bzw. nicht-wechselwirkende) CFs in schwachem Magnetfeld B ∗ .
Ein CF ist dabei anschaulich als ein Elektron plus 2p (p = 1, 2, . . .) angeklebte
Flussquanten (unendlich dünne masselose magnetische Solenoide, mit Fluss Φ0
entgegen B) zu verstehen.
Ein CF ist demnach ein gebundender Zustand eines Elektrons mit 2p Flussquanten, hat fermionische Statistik, mit Ladung e und Spin 1/2. Auch Aharonov-Bohm
Phasenfaktoren e2πiΦ/Φ0 bleiben unverändert, da jeder angeklebte Fluss-Schlauch
Φ0 trägt.
Neues Magnetfeld (das auf CFs wirkt):
B ∗ = B − 2pn̄Φ0
Dieses Feld entspricht dem gesamten magnetischen Fluss der auf CFs wirkt.
KAPITEL 8. QUANTEN-HALL-EFFEKT
Mit n̄ = νB/Φ0 folgt
99
B ∗ = (1 − 2pν)B
Wir können damit einen Füllfaktor ν ∗ für CFs definieren
±
1
1
= (1 − 2pν)
∗
ν
ν
(plus/minus, da B ∗ positiv oder negativ sein kann)
Der echte Füllfaktor ν ist also durch den Füllfaktor für CFs ausgedrückt als
ν∗
2pν ∗ ± 1
ν=
Bei B = 0 bilden Elektronen Fermisee (EF ), bei B > 0 dagegen Landau-Niveaus.
Betrachte nun CFs: Bei ν = 1/2 ist B ∗ = 0, d.h. CFs bilden Fermi See. Dann
sollte metallischer Zustand ohne QHE vorliegen, Fermi-Flüssigkeit. Experimentell
beobachtet! In der Nähe von ν = 1/2 liegen die klassischen Niederfeld-Phänomene
vor (Shubnikov-De Haas Oszillationen, Zyklotronresonanz), aber für CFs!
Der reduzierte Entartungsgrad der CFs legt nun nahe, dass CFs allgemein viel
schwächere Wechselwirkungseffekte zeigen. Das Einfangen von 2p Flussquanten
durch die Elektronen beschreibt in effizienter Weise den Abschirmungseffekt der
Wechselwirkung im starken Magnetfeld, d.h. der Hauptteil der Wechselwirkung
ist kodiert in der Formation der CFs!
Vernachlässigen wir die Rest-Wechselwirkung, folgt bereits einfache Erklärung
vieler fraktionaler Plateaus:
FQHE = IQHE der CFs
Falls ν ∗ = n, d.h. CFs haben n besetzte (gefüllte) Quasi-Landau-Niveaus und
zeigen daher IQHE, gilt für das Elektronensystem
ν=
n
2pn ± 1
Dies sind die Plateaus mit ungeradem Nenner! Diese Formel erklärt bis auf ν =
5/2 alle bekannten FQHE Plateaus (ca. 30 an der Zahl!)
Bemerkung: Bei ν = 5/2 erklärt man das Plateau durch eine Cooper-Instabilität
der CFs, d.h. eine supraleitende Phase der CFs mit p-Wellen-Symmetrie übersetzt
sich in den FQHE der Elektronen! Experimentell beobachtet, aber fragil.
Laughlin-Wellenfunktion (Nobelpreis 1998)
Der Vielteilchen-Zustand der Elektronen (ohne Spin) bei ν = n/(2pn + 1) kann
nun geschrieben werden als (z = x + iy)
Ψν ∼ Φν ∗
N
Y
j<k=1
(zj − zk )2p
100
KAPITEL 8. QUANTEN-HALL-EFFEKT
Dabei ist Φν ∗ die Slaterdeterminante der nichtwechselwirkenden CFs im Magnetfeld B ∗ (gebildet aus den oben diskutierten Landau-Eigenfunktionen!), und (o.B.)
das Produkt beschreibt den Effekt der angeklebten Fluss-Schläuche (Vortices).
Bei n = 1 und p = 1 folgt Laughlin’s Wellenfunktion für ν = 1/3:

Ψν=1/3 ∼ 
Y
j<k

(zj − zk )3  e−
P
i
2
|zi |2 /2lB
entspricht einem gefüllten Landau-Niveau von CFs. Coulomb-WW treibt Teilchen
auseinander (bei ν = 1 wäre Wellenfunktion statt Exponent 3 mit Exponent 1).
Komplett antisymmetrisch unter Teilchenaustausch!
Fraktionale Ladung
Die elementaren Anregungen eines FQH-Fluids haben fraktionierte Ladung e∗ =
e/(2pn ± 1) (da kollektives Vielteilchensystem). Entsteht als Summe der intrinsischen Ladung e und einer Abschirmladung durch die angehängten Flussquanten.
Dabei liegt auch Anyonen-Statistik (nur in 2D erlaubt) vor, d.h. die emergenten
Teilchen sind weder Fermionen noch Bosonen!
Aktuelles Forschungsgebiet!