Stochastische Finanzmathematik 1

ABCDE
Institut für Mathematik
Prof. Dr. A. May
D. Bouille
SS 2008
19.06.2008
Stochastische Finanzmathematik 1
4. Übung mit Lösungshinweisen
Die Abgabe der Hausübungen kann bis um 12 Uhr am Dienstag, den 24.06.08 erfolgen
(Postfach Nr. 134).
Gruppenübungen
Aufgabe G10 Symmetrische Irrfahrt
Betrachten Sie eine Folge von unabhängigen Zufallsvariablen X1P
, X2 , . . . mit P [Xi = 1] =
P [Xi = −1] = 12 für alle i ∈ N. Wir setzen S0 = 0 und Si = ij=1 Xj . Diesen Prozess
nennt man eine symmetrische Irrfahrt. Zeige:
a) Die symmetrische Irrfahrt hat unabhängige Inkremente, d.h. für 0 = t0 < t1 < · · · < tm
mit tj ∈ Z für j = 1, . . . , m sind die Zufallsvariablen
St1 = St1 − St0 , St2 − St1 , . . . , Stm − Stm−1
unabhängig;
b) Berechne für 0 ≤ r ≤ t mit r, t ∈ Z, den Erwartungswert E[St − Sr ] und die Varianz
Var[St − Sr ];
(n)
c) Wir betrachten nun die skalierte, symmetrische Irrfahrt Wt = √1n Snt . Begründe,
warum auch die skalierte, symmetrische Irrfahrt unabhängige Inkremente hat (wählen
Sie dafür 0 = t0 < t1 < · · · < tm so, dass ntj für j = 1, . . . , m eine ganze Zahl ist),
(n)
(n)
(n)
(n)
und bereche den Erwartungswert E[Wt − Wr ] und die Varianz Var[Wt − Wr ] für
0 ≤ r ≤ t so, dass nr und nt ganze Zahlen sind;
d) Was passiert nun für ein festes t < ∞ und n → ∞ ? Was hat dies mit der Brownschen
Bewegung zu tun?
Lösung: a) Sei 0 = t0 < t1 < · · · < tm mit tj ∈ Z für j = 1, . . . , m. Dann sind die Inkremente
Stj − Stj−1 =
tj
X
Xi
i=tj−1 +1
unabhängig, da sie nicht überlappen und die X1 , X2 , . . . nach Voraussetzung unabhängig sind.
b) Es gilt E[Xi ] = 0 und Var(Xi ) = 1 für alle i ∈ N. Also folgt für 0 ≤ r ≤ t mit r, t ∈ Z
E[St − Sr ] = E[
t
X
Xi ] =
i=r+1
t
X
Var[St − Sr ] = Var[
i=r+1
da X1 , X2 , . . . unabhängig sind.
t
X
E[Xi ] = 0,
i=r+1
t
X
Xi ] =
i=r+1
Var[Xi ] = t − r,
c) Für 0 = t0 < t1 < · · · < tm mit ntj ∈ Z für j = 1, . . . , m überlappen auch die skalierten
Inkremente
ntj
X
1
(n)
(n)
Wtj − Wtj−1 = √
Xi
n
i=ntj−1 +1
nicht, so dass die Unabhängigkeit der Inkremente aus der Unabhängigkeit der X1 , X2 , . . .
folgt. Weiter gilt für 0 ≤ r ≤ t so, dass nr und nt ganze Zahlen sind
(n)
E[Wt
(n)
Var[Wt
−
−
Wr(n) ]
Wr(n) ]
nt
1 X
= E[ √
Xi ] = 0,
n
i=nr+1
nt
X
1
= Var[ √
n
i=nr+1
nt
1 X
1
Xi ] =
Var(Xi ) = (nt − nr) = (t − r),
n
n
i=nr+1
da X1 , X2 , . . . unabhängig sind.
d) Aus dem zentralen Grenzwertsatz folgt, dass die Zufallsvariable
√
1
(n)
Wt − Wr(n)
t−r
schwach gegen die Standardnormalverteilung konvergiert, d.h.
(n)
L(Wt
− Wr(n) |P ) → N (0, t − r).
Also konvergiert die skalierte symmetrische Irrfahrt schwach/ in Verteilung gegen die Brownsche Bewegung mit Drift µ = 0 und Volatilität σ = 1.
Aufgabe G11 Geometrische Brownsche Bewegung
Sei (A0 eWt )t∈[0,T ] eine geometrische Brownsche Bewegung mit Startwert A0 , Drift µ und
Volatilität σ. Zeige, dass (A0 eWt )t∈[0,T ] genau dann ein Martingal bezüglich der kanonischen Filtration der Brownschen Bewegung ist, wenn gilt µ = −σ 2 /2.
Lösung: Sei (At )t∈[0,T ] die kanonische Filtration der Brownschen Bewegung. Für s, t ∈ [0, T ] mit
s < t gilt
E[A0 eWt |As ] = E[A0 (eWt −Ws eWs )|As ]
= A0 eWs E[eWt −Ws |As ]
= A0 eWs E[eWt −Ws ]
1
= A0 eWs exp(µ(t − s) + σ 2 (t − s)),
2
da die momenterzeugende Funktion für eine N (µ, σ 2 ) verteilte Zufallsvariable X gegeben ist durch
1
ψX (c) = E[ecX ] = exp(µc + σ 2 c2 ).
2
Damit ist die geometrische Brownsche Bewegung (A0 eWt )t∈[0,T ] genau dann ein Martingal, wenn
1
µ(t − s) + σ 2 (t − s) = 0,
2
1
d.h. µ = − σ 2 .
2
Aufgabe G12 Amerikanischer Put im CRR-Modell
Wir betrachten eine Amerikanische Put-Option auf das risikobehaftete Asset im CRRModell mit Ausübungspreis K.
a) Bestimme die Auszahlungsfunktion Zt zur Zeit t = 1, . . . , n.
b) Berechne Un .
c) Berechne Un−1 und nutze dabei aus, dass Sn,2 /Sn−1,2 unabhängig von S0 , . . . , Sn−1 ist.
Stelle Un−1 als Funktion von Sn−1,2 dar, d.h. Un−1 = fn−1 (Sn−1,2 ).
d) Benutze die Funktion aus Aufgabenteil c) und leite eine Formel für Ut für t = 0, . . . , n
her.
Lösung: a) Wir setzen die Auszahlung zur Zeit t = 0 auf 0 und erhalten die folgende Auszahlungsfunktion
0,
t = 0;
Zt =
(K − St,2 )+ , 1 ≤ t ≤ n.
b) Wir haben
Un = Bn Zn = e−rn (K − Sn,2 )+ .
c) Es gilt
Un−1 = max(Bn−1 Zn−1 , EQ [Un |An−1 ])
= max(e−r(n−1) (K − Sn−1,2 )+ , EQ [e−rn (K −
Sn,2
Sn−1,2 )+ |An−1 ]
Sn−1,2
= max(e−r(n−1) (K − Sn−1,2 )+ , e−rn ((K − uSn−1,2 )+ q + (K − dSn−1,2 )+ (1 − q)))
er − d
=: fn−1 (Sn−1,2 ) mit q =
,
u−d
da Sn,2 /Sn−1,2 unabhängig von S0 , . . . , Sn−1 ist und gleich u mit Wahrscheinlichkeit q bzw.
gleich d mit Wahrscheinlichkeit 1 − q.
d) Wir erhalten analog zur letzten Teilaufgabe
Un−2 = max(e−r(n−2) (K − Sn−2,2 )+ , fn−1 (uSn−2,2 )q + fn−1 (dSn−2,2 )(1 − q))
=: fn−2 (Sn−2,2 ),
und allgemein
Ut = ft (St,2 ) = max(e−rt (K − St,2 )+ , ft+1 (uSt,2 )q + ft+1 (dSt,2 )(1 − q)).
Durch Rückwärtsrekursion kann man nun Ut berechnen.