Prof. Dr. Wolfgang Konen
Diskrete Mathematik, WS2008
24.11.2008
2. Diophantische Gleichungen
[Teschl05, S. 91f]
2.1. Was ist eine diophantische Gleichung und wozu braucht
man sie?
Def D2-1: Eine diophantische Gleichung ist eine Polynomfunktion in x,y,z,… , bei der als
Lösungen nur ganze Zahlen erlaubt sind:
n1 m1 p 1
ax y
z
 bx n2 y m2 z p2  ...  d
mit nicht-negativen Potenzen ni,mi,pi  N0 und ganzzahligen Koeffizienten a,b,d  Z.
Eine lineare diophantische Gleichung enthält in jedem Term nur eine der Variablen in der
ersten (linearen) Potenz:
ax  by  cz  ...  d
Beispiele:

Fermat’sche Zahlentripel: x n  y n  z n für geg. n  N mit gesuchten Lösungen x,y,z
 Z. (Fermatsche Vermutung: Es gibt keine ganzzahlige Lösung für n>2. Bewiesen
1993 von Wiles & Taylor). Für n=2 gibt es unendlich viele Lösungen, die sog. pythagoräischen Zahlentripel.

Die lineare diophantische Gl. 3x+4y=1 hat als ganzzahlige Lösung z.B. (x,y)=(3,-2).
Anti-Beispiele:

sin(x)=1
(keine Polynomfunktion),

3.4x+2.5y=3
(keine ganzzahligen Koeffizienten)
Wozu braucht man diophantische Gleichungen?
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
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Produktionsplanung: Wenn ich 10000 Einheiten eines Rohstoffes habe und meine
Produkte X und Y je Einheit 75 bzw. 38 Rohstoffeinheiten verbrauchen, wieviele von
welchen Produkten muss ich herstellen, um die Rohstoffmenge genau aufzubrauchen? Gesucht ist eine Lösung der diophantischen Gleichung
75 x  38 y  10000
mit der zusätzlichen Anforderung, dass x und y nichtnegativ sein müssen. Wir werden hierzu in Kap. 2.2 eine Lösung entwickeln.

Das Briefmarkenproblem:
1. Kann ich mit 5c- und 2c-Briefmarken JEDES Porto >3c darstellen?
2. Wieviele Arten gibt es, einen Brief mit Porto Z mit 5c-, 3c- und 2cBriefmarken zu bekleben?

Berechnung des multiplikativen Inversen zu a modulo m, das beim RSAAlgorithmus gebraucht wird: Welches x  Z erfüllt
ax = 1 (mod m)
? Die Antwort kann auch so formuliert werden: x ist genau dann das multiplikative Inverse zu a modulo m, wenn ein y  Z existiert, so dass
ax = 1 – my
(Die Zahl ax ist ein Vielfaches von m von der Zahl 1 entfernt)
ax + my = 1
(lineare diophantische Gleichung mit b=m und d=1)
2.2. Wie löst man diophantische Gleichungen?
Wir betrachten im Folgenden nur lineare diophantische Gleichungen, die für die Anwendung
die größte Rolle spielen.
Satz S2-1: Lösbarkeit einer diophantischen Gleichung (Existenz)
Eine lineare diophantische Gleichung
ax +by = c
für a,b  Z besitzt genau dann ganzzahlige Lösungen x,y  Z, wenn
c = nggT(a,b)
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wenn also c ein ganzzahliges Vielfaches des größten gemeinsamen Teilers von a und b ist.
Beweis: Wir können den Beweis in drei Fälle zerlegen:
Fall 1: c ist kein Vielfaches von ggT(a,b): Es kann keine Lösung geben, denn die linke Seite ist wg. a = a’ggT(a,b) und b = b’ggT(a,b) bei ganzzahligem x und y sicher ein Vielfaches
von ggT(a,b).
Fall 2: c = ggT(a,b): Der Algorithmus ErweiterterEuklid (Satz S1-8) liefert zumindest eine
ganzzahlige Lösung (x,y).
Fall 3: c ist Vielfaches von ggT(a,b): Wenn c = kggT(a,b), dann können wir für
ax+by = ggT(a,b)
mit Algo Erweiterter Euklid eine Lösung (x’,y’) ermitteln. Multiplizieren mit k liefert
akx’ + bky’ = kggT(a,b) = c
also ist (x,y) = (kx’, ky’) eine Lösung der linearen diophantischen Gleichung, q.e.d.
Folgerung: Wenn a und b teilerfremd sind (gilt sicher für Primzahlen a,b, aber auch für Zahlen a=6, b=7), dann ist ggT(a,b)=1, mithin ist die lin. diophantische Gleichung für alle c  Z
lösbar.
Für den Fall 2 können wir eine Lösung mittels Satz S1-8 ermitteln. Alternativ geben wir hier
noch eine andere, logisch äquivalente, aber nichtrekursive Variante des Algorithmus Erweiterter Euklid an:
Sei o.B.d.A. a  b. Startend mit Zahlen r0=a und r1=b finden wir die Zahlen qk+1 und rk+2 derart, dass
rk = qk+1 rk+1 + rk+2
gilt. rk+2 ist also nichts anderes als der Rest rk mod rk+1 und qk+1 = floor(rk/rk+1). Der Algorithmus terminiert, wenn rk+2=0 ist. Das rk+1 ist dann der ggT(a,b). Mit dem jeweiligen qk+1 können
wir eine Berechnung für xk und yk fortsetzen. Die konkreten Gleichungen stehen in der untenstehenden Tabelle, wir zeigen es gleich an einem konkreten Beispiel
5x + 3y = 1
r0 = a
r1 = b
x0=1
y0=0
r0 = 5
r1 = 3
x1=0
y1=1
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k
rk = qk+1 rk+1 + rk+2
rk+1
qk+1
xk+2=xk – qk+1 xk+1
yk+2=yk – qk+1 yk+1
0
5 = 13 + 2
3
1
1
-1
1
3 = 12 + 1
2
1
-1
2
2
2 = 21 + 0
0
2
Hier ging in der Zeile k=2 die Division rk erstmalig ohne Rest auf. In der Zeile davor – hier
also bei k=1 – können wir in der x- und y-Spalte die Lösung (x,y) = (-1,2) ablesen:
5(-1) + 32 = 1
ist eine zutreffende Aussage.
Satz S2-2: Alle Lösungen einer diophantischen Gleichung (Vollständigkeit)
Sei (x,y) eine spezielle Lösung der linearen diophantischen Gleichung
(§)
ax +by = nggT(a,b)
für a,b  Z, die nach Satz S2-1 existiert und mit dem Algorithmus Erweiterter Euklid (Satz
S1-8) ermittelt werden kann. Dann haben alle weiteren ganzzahligen Lösungen ( ~
x, ~
y ) von
(§) die Form
~
x x
kb
,
ggT(a, b)
~
yy
ka
ggT(a, b)
worin k  Z eine beliebige ganze Zahl ist.
Beweis in Vorlesung.
Wir haben nun alles beisammen, um unsere Aufgabe Produktionsplanung aus der Einleitung
zu lösen: Gegeben:
ax+by = c = nggT(a,b)
Welche nichtnegativen, ganzzahligen Paare (x,y) lösen diese Gleichung?
Lösungsweg:
1. Mit Algorithmus Erweiterter Euklid bestimmt man spezielle Lösung (xs,ys) zu
ax+by = ggT(a,b)
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2. Wenn c = nggT(a,b), d.h. die rechte Seite ist ein Vielfaches von ggT(a,b), dann ist
(x,y) = (nxs, nys) eine spezielle Lösung zu ax+by=c
x, ~
y ) zu ax+by=c erfüllt nach Satz S2-2
3. Jede weitere Lösung ( ~
~
x x
kb
,
ggT(a, b)
~
y y
ka
ggT(a, b)
mit k  Z
Man versucht dann, solche k zu finden, die ( ~
x, ~
y ) nicht negativ werden lassen (zwei
einfache Ungleichungen).
Beispiel: Welches nichtnegative, ganzzahlige Paar (x,y) erfüllt
75 x  38 y  10000
?
Lösung: Zunächst stellen wir fest, ob 10000 ein Vielfaches von ggT(75,38)=ggT(355,219)
ist. Da beide Zahlen teilerfremd sind, also ggT(75,38)=1, ist dies gegeben.
1. Mit Algorithmus Erweiterter Euklid löst man
75x + 38y = 1:
r0 = 75
r1 = 38
x0=1
y0=0
x1=0
y1=1
k
rk = qk+1 rk+1 + rk+2
rk+1
qk+1
xk+2=xk – qk+1 xk+1
yk+2=yk – qk+1 yk+1
0
75 = 138 + 37
38
1
1
-1
1
38 = 137 + 1
1
1
-1
2
2
37 = 371 + 0
0
37
und man rechnet nach:
75(-1) + 382 = 1
also stimmt die Probe, (xs,ys)=(-1,2) ist eine Lösung der ggT-Gleichung.
2. Dann ist (x,y) = (-10 000, 20 000) eine spezielle Lösung der Produktionsgleichung.
3. Für nichtnegative Lösungen stellt Satz S2-2 zwei Forderungen an k Z auf:
k  38
k  75
~
x  10000 
 0, ~
y  20000 
0
1
1
10000
20000
 k
 263.15,
 266.66  k
38
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4. Es kommen also die ganzen Zahlen k = 264, 265, 266 in Betracht. Dies führt auf die
Lösungen:
~x1, ~y1   (32,200)
Ü
und
~x 2 , ~y 2   (70,125)
Übung: Gibt es nichtnegative ganze Zahlen, die
und
~x 3 , ~y 3   (108,50)
die Gleichung
5x+3y=17
lösen? Auch wenn man hier eine Lösung schnell durch Probieren finden kann, lösen Sie die
diophantische Gleichung nach dem oben beschriebenen Verfahren.
Weitere Übungen
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Kapitel 2: Diophantische Gleichungen