PHYSIK I Serie 11, Musterlösung
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Prof. Dr. Danilo Pescia Tel. 044 633 21 50 [email protected] PHYSIK I Niculin Saratz Tel. 044 633 23 28 [email protected] Sommersemester 2007 www.microstructure.ethz.ch Serie 11, Musterlösung 1. Geladener Draht Der Draht hat die Gesamtladung Q und die Länge L, d.h die (Längen-)Ladungsdichte ρ = Q/L. a) Wir verwenden die in der Aufgabenstellung vorgeschlagenen Näherung. Wir berechnen also das elektrische Feld eines unendlich langen, geraden Drahtes mit der homogenen Längenladungsdichte ρ. Dazu legen wir einen Gauss-Zylinder mir Radius r und Höhe h um den Draht. (1P) Der Fluss des elektrischen Feldes durch die Deckelflächen verschwindet aus Symmetriegründen. Ebenfalls aus Symmetriegründen steht das elektrische Feld senkrecht auf der Mantelfläche. Damit ist der Fluss des elektrischen Feldes aus dem Zylinder gegeben durch Φ(r) = E(r)2πrh. (1P) Nach dem Satz von Gauss ist Φ(r) = Qin ε0 Hier ist die eingeschlossene Ladung Qin = ρh, also E(r)2πrh = ρh ε0 =⇒ E(r) = Q 1 . 2πε0 L r (2P) b) Das Potential finden wir indem wir den obigen Ausdruck für das elektrische Feld elementar integrieren: Z r U (r) = − E(r0 )dr0 (1P) R Z r ir Q 1 0 −Q h Q = dr = ln(r0 ) = ln(R) − ln(r) (1P) 2πε0 L 2πε0 L R R 2πε0 L r Dabei haben wir den Nullpunkt des Potentials bei r = R gewählt. 1 Prof. Dr. Danilo Pescia Tel. 044 633 21 50 [email protected] PHYSIK I Niculin Saratz Tel. 044 633 23 28 [email protected] Sommersemester 2007 www.microstructure.ethz.ch 2. Selbstenergie einer homogen geladenen Kugel a) Das elektrische Feld einer homogen geladenen Kugel haben wir in Aufgabe 1 der Serie 9 berechnet: Q ~ r≤R | = ρr = Q r ~ r>R | = |E(r) und |E(r) 3 3ε0 4πε0 R 4πε0 r2 ~ 2 erhalten wir nun die elektrostatische Selbstenergie Mit Hilfe der Energiedichte w = ε20 E W durch Integration über den gesamten Raum: ! Z 4π Z ∞ 2 Z 4π Z R 2 ε0 1 r 1 W = r2 dr dΩ Q2 r2 dr dΩ + 3 2 2 (4πε0 )2 R r 0 0 R 0 Z R 4 Z ∞ 2 r ε0 4π 1 1 1 1 3 Q2 Q 2 = Q + = . (3P) dr + dr = 6 2 2 16π 2 ε20 8πε0 5 R R 5 4πε0 R 0 R R r b) Die elektrostatische Energie der Kugel divergiert. (1P) c) Wir verwenden das Resultat aus Teilaufgabe a und lösen nach R auf: = 8.64 · 10−16 qp2 3 R= 5 4πε0 ∆u m = 8.64 · 10−6 Å . 2 (1P) (1P)
