Physikalisches Praktikum für Fortgeschrittene
Versuchsbericht
Versuch A3
Thermoemission von Elektronen
Christian Haake
Matthias Timmer
Versuchstag: 08.07.2004
Betreuer: Herr Kury
I
I.1
Grundlagen
Elektronen im Festkörpers
Näherungsweise beschreibt man die Elektronen eines metallenen Festkörpers,
wie das in diesem Versuch benutzte Wolfram, als ein Elektronengas. In diesem Elektronengas werden die Energiezustände, da Elektronen Fermionen sind,
nach der Fermi-Dirac-Statistik besetzt:
1
f (E) =
e
E−EF
kB T
+1
(1)
Hierbei ist EF die Fermi-Energie, d.h. die Energie, bis zu der alle Zustände im
Falle von T = 0 besetzt wären und alle darüberliegenden nicht. Aufgrund der
Coulombschen Anziehung der positiven Ionenrümpfe der Metallatome liegen
die Grundzustandsenergie und auch noch die Fermienergie unterhalb der Vakuumsenergie Evac = EF + WA außerhalb des Festkörpers, wobei WA dann die
Austrittsarbeit bezeichnet, die die Elektronen überwinden müssen. Somit gäbe
es keine Möglichkeit, dass sich Elektronen bei absoluter Nullpunktstemperatur
aus dem Festkörper schleichen.
Bei einer Temperatur T > 0K weicht sozusagen die Fermikante auf, und einzelne Elektronen gelangen in höhere Energiezustände. Entsprechend der FermiDirac-Verteilung erhöht sich dann auch die Anzahl der Elektronen, die eine
höhere Energie als die Vakuumsenergie haben, mit der Temperatur. Mit der
Zustandsbesetzung, also dem Produkt aus Zustandsdichte φ(E) und Besetzungswahrscheinlichkeit f (E) nach der Fermi-Dirac-Verteilung, der Elektronen
im Festkörper gilt für die Gesamtstromdichte aus dem Festkörper heraus
j=e
Z∞
φ(E)f (E)dE
EF +WA
Nach weiterem Einsetzen und Ausrechnen, was hier nicht näher erläutert wird,
kommt man damit auf die Richardson-Gleichung
−W
j = A · T 2 e kT
I.2
(2)
Effektive Austrittsarbeit
Obige Annahmen müssen noch korrigiert werden. Zum einen gibt es keine
scharfe Potentialkante, sondern eine −1
-Kurve entsprechend dem elektrostatix
schen Potential. Weiterhin muss das elektrische Feld außerhalb des Festkörpers
nicht verschwinden. Ein angelegtes Feld F einer positiven Ladung modifiziert
2
somit ebenfalls das Potential, und zwar linear absinkend mit der Entfernung
zur Oberfläche x. Dadurch ergibt sich ein neues Maximum des Potentials,
welches die effektiv zu überwindende Austrittsarbeit WA + V verringert (V
negativ):
e2 1
V = V1 + V2 = −
− eF x
16π0 x
Dies nennt man den Schottky-Effekt. Mit dem Ausrechnen des Maximums und
einsetzen erhält man somit für die (ideale) Stromdichte
h
1
2 − W−2
j =A·T e
q
e3 F
π0
i
/kB T
(3)
Desweiteren müsste man noch berücksichtigen, dass es durch Unebenheiten
und Verunreinigungen an der Oberfläche zu Reflektionen kommen kann, sowie
dass die anfänglich als konstant angenommene Austrittsarbeit WA noch temperaturabhängig sein kann. Dies führt letztlich jedoch nur zu einer Modifikation
des ansonsten konstanten Vorfaktors A.
I.3
Raumladung und Sättigung
Wenn Elektronen aus dem Festkörper austreten und nicht gerade alle direkt
durch ein angelegtes elektrisches Feld sozusagen abgesaugt werden bilden sie
eine Raumladung, die das angelegte Feld abschwächt und somit gegen den Austritt anderer Elektronen wirkt. Unter der Annahme, dass durch ein einmal angelegtes Feld sich eine konstante Stromdichte einstellt, die von der glühenden,
Elektronen emittierenden Elektrode, der deshalb so genannten Glühkathode,
zur Anode geht, folgt mit der Poissongleichung eine Beziehung zwischen Feld
E und Elektronendichte n:
ρ
1
dE
=
=
ne
dx
0
0
(4)
Mit
E
U
dE
≈
= 2
dx
d
d
folgt als Stromdichte bei der Anode
0
U
ed2
n(d) =
(5)
Mit der kinetischen Energie Ekin = eU der Elektronen beim Auftreffen auf die
Anode folgt für die Geschwindigkeit der Elektronen dort
s
v(d) =
3
2eU
me
und somit für die Stromdichte
0
j = en(d)v(d) = 2
d
s
2e 3
U2
me
(6)
Gleichung (6) nennt man auch das U 3/2 -Gesetz. Somit geht der Strom für
kleine Spannungen proportional zu U 3/2 . Für große Spannungen sorgt das angelegte Feld jedoch dafür, dass sich keine wirksamen Raumladungen ausbilden
und die maximale, von der Glühkathode zur Verfügung gestellte Stromdichte ausgenutzt wird. Somit kommt es zu einer Sättigung, die somit von der
Temperatur abhängig ist (siehe I.1).
I.4
Anlaufstrom bei Gegenfeld
Wie bereits diskutiert treten grundsätzlich Elektronen aufgrund ihrer thermischen Energie aus, auch wenn kein Feld anliegt. Diese Elektronen besitzen
entsprechend der Energieverteilung bei der jeweiligen Temperatur eine kinetische Energie. Legt man nun ein Feld an, das die Elektronen bremst, kommen
noch immer Elektronen an die Auffang-Elektrode, allerdings nur diejenigen,
die noch eine höhere Energie besitzen, als das Gegenfeld von ihnen abverlangt. Dies führt zu einer modifizierten Richardson-Gleichung (2), bei der die
Austrittsarbeit WA um das Gegenfeldpotential eU erhöht wird. Bei einer konstanten Temperatur T kommt man so auf die Gleichung
− keUT
I(U ) = I(0)e
B
(7)
wobei I(0) dem Elektronenstrom nach der Richardsongleichung ohne angelegtem Feld entspricht. Somit hat man eine direkte Abhängigkeit zwischen Temperatur und Strom-Spannungs-Verlauf, so dass man aus dem Stromverlauf bei
angelegter Gegenspannung die Temperatur bestimmen kann.
I.5
Temperaturmessung
Neben der Möglichkeit, aus dem Strom bei Gegenfeld die Temperatur zu ermitteln, gibt es noch andere Methoden. Zum einen emittiert die Glühkathode aufgrund ihrer Temperatur Strahlung. Aufgrund der Energieerhaltung entspricht
die emittierte Strahlungsleistung der elektrischen Leistung UK · IK , die beim
Heizstrom an der Kathode geleistet wird. Die spezifische Strahlungsleistung
entspricht bei einem schwarzen Körper entsprechend dem Stefan-BoltzmannGesetz
P = σT 4
(8)
4
Hierbei ist σ = 5.669 · 10−8 mW
2 K 4 die Stefan-Boltzmann-Konstante. Bei einer
Fläche A und mit der Korrektur, dass kein schwarzer, sondern ein grauer Strahler mit dem Emissionsgrad vorliegt, folgt dann
U · I = σAT 4
(9)
Somit lässt sich T aus Heizspannung und Heizstrom ermitteln.
Ebenso lässt sich aus diesen Werten aufgrund einer anderen physikalischen
Gegebenheit die Temperatur ermitteln. Das Wolframband stellt einen ohmschen Widerstand, der mit UK und IK verknüpft ist durch
U = RI ⇔ R =
U
I
(10)
Da der spezifische Widerstand ρ eines Materials von der Temperatur abhängig
ist, lässt sich, wenn Länge l und Stromquerschnittsfläche A des Leiters bekannt
sind, die Temperatur ermitteln.
l
U
= R = ρ(T )
I
A
(11)
Die Abhängigkeit ρs von T ist experimentell bekannt und kann aus Datenblättern abgelesen werden. Sie ist in unserem Temperaturbereich ungefähr linear.
II
Versuchsdurchsbeschreibung
In diesem Versuch wurde für die Thermoemission ein Wolframband verwendet, welches nach Angaben des Praktikumsbetreuers eine Länge von 62mm,
eine Breite von 1mm und eine Dicke von 0, 1mm besitzt. Selbst konnten wir
diese Daten nicht messen, da sich die Anordnung von Glühkathode (dem Wolframband) und Anode in einem Vakuumgefäß befindet, welches mit einer ÖlDiffusionspumpe auf einen Druck von ca. 10−6 mbar abgepumpt wurde, da
ansonsten das Wolframband durchbrennen könnte oder es zu einer Entladung
kommt. Angeschlossen waren zum einen die Heizspannung für das Wolframband sowie das Potential für die Anodenspannung. An der Anode war dann
das Strommessgerät angeschlossen. Die jeweiligen Signale von der KathodenHeizspannung UK und dem entsprechenden Strom IK konnten mit Multimetern
gemessen werden, ebenso die Anodenspannung und der Anodenstrom zwischen
Kathode und Anode, welche über einen X-Y-Schreiber grafisch aufgezeichnet
wurden.
5
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Thermoemission von Elektronen