Serie 5

ÜBERBLICK UND ÜBUNGSSERIE 5
ANALYSIS I – HS14 – UNIVERSITÄT BASEL
PROF. DR. GIANLUCA CRIPPA
Aufgabe 5.1. Sei (an ) eine Folge komplexer Zahlen und sei
bn =
a1 + a2 + . . . an
.
n
Zeigen Sie, dass falls an → a, dann auch bn → a gilt. Gilt die Umkehrung?
Aufgabe 5.2. Seien a und b reelle Zahlen. Die Folge (an ) sei rekursiv definiert:
a0 = a ,
a1 = b ,
1
an = (an−1 + an−2 ) ,
2
n ≥ 2.
Beweisen Sie, dass die Folge (an ) konvergiert und bestimmen Sie den Grenzwert.
Aufgabe 5.3. Für welche x ∈ R konvergiert die Folge
1 + 2x 2n
an =
?
1 + x2
Diese Woche haben wir verschiedene Kriterien für die Konvergenz einer Folge angeschaut:
• Eine beschränkte monotone Folge konvergiert.
• Eine beschränkte Folge besitzt eine konvergente Teilfolge (Satz von Bolzano-Weierstrass).
? Aufgabe 5.4. Geben Sie Beispiele
(a) einer unbeschränkten Folge, die eine konvergente Teilfolge besitzt,
(b) einer Folge, die für alle k ∈ N eine Teilfolge besitzt, die gegen k konvergiert.
? Aufgabe 5.5. Beweisen Sie, dass
(a) jede Folge reeller Zahlen eine monotone Teilfolge besitzt,
(b) jede beschränkte, divergente Folge komplexer Zahlen (mindestens) zwei konvergente Teilfolgen mit
unterschiedlichen Grenzwerten besitzt.
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ANALYSIS I HS14 – SERIE 5
Eine Folge (an ) ist eine Cauchy-Folge, falls
∀ε > 0
∃N ∈ N
so dass
|an − am | < ε ∀n, m > N .
Wir haben bewiesen, dass in C eine Folge genau dann konvergiert, wenn sie eine Cauchy-Folge
ist.
Wir haben auch bewiesen, dass in R folgende Eigenschaften äquivalent sind:
• Das Intervallschachtelungsprinzip.
• Der Satz von Bolzano-Weierstrass.
• Jede Cauchy-Folge besitzt eine konvergente Teilfolge.
Man kann die Konvergenz “gegen unendlich” einführen:
• In R sagen wir, dass
(i) (an ) gegen +∞ konvergiert, falls
∀K > 0
∃N ∈ N
so dass
an > K
∀n > N ,
(ii) (an ) gegen −∞ konvergiert, falls
∀K > 0 ∃N ∈ N
so dass
an < −K
∀n > N .
• In C sagen wir, dass (an ) gegen ∞ konvergiert, falls
∀K > 0
∃N ∈ N
so dass
|an | > K
∀n > N .
Aufgabe 5.6. Ist folgendes Argument richtig? Wir wollen
p
lim n2 + n − n
n→∞
berechnen. Da n2 + n ' n2 und
√
n2 + n ' n, ist
p
n2 + n − n ' n − n = 0 .
Deshalb ist der Limes gleich null.
Schliesslich haben wir den Begriff einer Reihe eingeführt. Eine Reihe ist eine unendliche Summe,
und wir bezeichnen sie mit
∞
X
k=1
ak = a1 + a2 + . . . .
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Eine Reihe konvergiert, falls die Folge (sn ) der Partialsummen
sn =
n
X
ak
k=0
konvergiert. In diesem Fall ist s = lim sn die Summe der Reihe.
n→∞
Als Beispiele haben wir folgende Reihen betrachtet:
• Die geometrische Reihe: für z ∈ C mit |z| < 1:
∞
X
zk =
k=0
• Die harmonische Reihe:
1
.
1−z
∞
X
1
= +∞ .
k
k=1
• Ein Beispiel einer teleskopischen Reihe:
∞
X
k=1
1
= 1.
k(k + 1)
Aufgabe 5.7. Berechnen Sie die Summen folgender Reihen
∞
X
k=0
1
,
2
4k − 1
∞
X
k=1
1
.
k(k + 1)(k + 2)
Die mit einem Stern gekennzeichneten Aufgaben
sind für das Ergänzungsprogramm gedacht.
Webseite: http://www.math.unibas.ch/crippa
Email: [email protected]
Abgabe: bis Freitag 24.10. um 12:00 Uhr
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