Mengenlehre II

Konrad-Zuse-Schule (2015)
Torsten Schreiber
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Wiederholung
Diese Fragen sollten Sie ohne Skript beantworten können:
Welche Objekte können in einer Menge vorhanden sein?
Was für Gesetze gelten bzgl. einer Menge?
Wie können Sie Mengen darstellen?
Was ist ein Tupel?
Was stellt eine runde Klammer eines Intervalls dar?
Wo ist der Unterschied zwischen Komma und Semikolon?
Wie ist die Eigenschaftdefinition einer Menge aufgebaut?
Wie beschreibt man die Teilbarkeit von Zahlen?
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Sofern die Ausgangsmenge ein Teil oder komplett innerhalb einer weiteren Menge
vorhanden ist, so spricht man von einer Teilmengenbeziehung bzw. von einer Inklusion.
Methodik:
{a} ⊂ Alphabet
1) Streichen der Mengenklammer bei der Ausgangsmenge
2) Jedes Objekt muss bzgl. Wert und Format in der 2. Menge auftauchen a ∈ Alphabet
Eigenschaften:
Die leere Menge ist Teilmenge jeder Menge
{ }⊂ A
reflexiv: Jede Menge ist Teilmenge von sich selbst A ⊂ A
transitiv: logische Schlussfolgerungen sind zugelassen A ⊂ B ∧ B ⊂ C ⇒ A ⊂ C
antisymmentrie: Beweisprinzip der Extensionalität A ⊂ B ∧ B ⊂ A ⇔ A = B
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Symmetrie (I):
Zu jedem Punkt gehört
ein Spiegelpunkt.
I
I
I
Asymmetrie (I I):
Zu keinem Punkt existiert
ein Spiegelpunkt.
II
II
III
III
III
Ω
Antisymmetrie (I I I):
Zu keinem Punkt existiert
ein Spiegelpunkt aber
mindestens ein Punkt
auf der Spiegelachse.
Sind mehrere Symmetrievarianten vorhanden, so kann keinerlei Aussage
über das Symmetrieverhalten getroffen werden.
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Junktoren entsprechen Verbindungen / Operatoren die beliebige Objekte
miteinander verknüpfen können (Artithmetik: „+“, „-“, „*“, „:“).
UND ( A ∩ B ) :
Das Objekt der Lösung gehört gleichzeitig zu den Menge A und B. (Durchschnitt)
Beispiel:
Primzahl ∩ gerade, natürliche Zahl ={2}
ODER ( A ∪ B ) :
Das Objekt der Lösung gehört zur Menge A oder B oder zu A und B. (Vereinigung)
Beispiel:
ungerade Zahl ∪ gerade, natürliche Zahl = Ν
NICHT ( A \ B ) :
Das Objekt der Lösung gehört zur Menge A aber nicht zu B. (Differenz)
Beispiel:
natürliche Zahl \ gerade, natürliche Zahl = ungerade Zahl
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1) Gegeben sind die folgenden Mengen: A = {2;4;6;8;10} B = {1;2;3} C = {2;3;5;7;}
Berechnen Sie: A ∪ (B ∪ C ) B ∩ C \ A ( A ∩ B ) ∩ (C ∩ A) A \ (B ∪ C )
2) Über die Anzahl n der Elemente in der Untermenge A, B und C einer Menge mit
200 Elementen ist folgendes bekannt:
n( A) = 70 n(B ) = 120 n(C ) = 90 n( A ∩ B ) = 50 n( A ∩ C ) = 30 n(B ∩ C ) = 40
n( A ∩ B ∩ C ) = 20
Wie groß ist die Anzahl der Elemente in den folgenden Mengen?
n( A ∪ B ) n( A ∪ B ∪ C ) n A ∩ B ∩ C n A ∩ B ∩ C
(
) (
)
3)
4)
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N→
Natürliche Zahlen
{1;2;3...}
Z→
Ganze Zahlen
{... − 2;−1;0;1;2...}
Q→
Rationale Zahlen
R→
Reelle Zahlen
a
; a ∈ Z ∧ b ∈ Z \ {0}
b
Endliche Nachkommastellen, Periode
{π ; e;
}
2 ;...
Unendliche Nachkommastellen
C→
Komplexe Zahlen
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z = a + b ⋅ i ∧ i = −1
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Kommutativgesetz:
A∩ B = B ∩ A
A∪ B = B ∪ A
Assoziativgesetz:
A ∩ (B ∩ C ) = ( A ∩ B ) ∩ C
A ∪ (B ∪ C ) = ( A ∪ B ) ∪ C
Distributivgesetz:
A ∩ (B ∪ C ) = ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ C )
A ∪ (B ∩ C ) = ( A ∪ B ) ∩ ( A ∪ C )
De Morgan:
A∩ B = A ∪ B
A∪ B = A ∩ B
Komplement:
A∩A={ }
A∪A=Ω
Absorption:
A ∩ (A ∪ B) = A
A ∪ (A ∩ B) = A
Zusammenhänge zwischen A; { }; Ω
Neutrales Objekt:
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∩: A∩ A = A
A∩Ω = A
A∩{ }= { }
∪: A∪ A = A
A∪Ω = Ω
A∪{ }= A
A∩Ω = A
A∪{ }= A
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Welche neuen Begriffe habe ich kennen gelernt?
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