Quanten Gravitation
Quantenmechanik und
allgemeine Relativitätstheorie
zwei Pfeiler im Gebäude der theoretischen Physik
Passen sie zusammen ?
Oder brauchen wir ganz neue
theoretische Konzepte ?
Quantenmechanik und
allgemeine Relativitätstheorie
QM
GR

Unbestimmtheit des Ortes

Raum-Zeit Punkte

Erhaltung der Information

schwarzes Loch hat keine
Haare

WahrscheinlichkeitsAmplitude
( Wellenfunktion )

klassische Feldgleichungen
Brauchen wir eine Wellenfunktion
für ein schwarzes Loch ?
Quanten-Gravitation
Vereinheitlichung der fundamentalen
Wechselwirkungen
Braucht man Quantengravitation ?
Gravitations - Gleichung
Massives Teilchen ändert
Geometrie der Umgebung
Gravitations - Gleichung
Einstein Tensor
hängt ab von Metrik
und ihren Ableitungen
Energie-Impuls Tensor :
Materie und Strahlung
Newton
Planck – Masse
(reduzierte) Planck Masse
experimentell nicht gerade gut zugänglich ...
Metrik gμν bestimmt die
Geometrie
Energie - Impuls Tensor ist
Quantenobjekt
ρ : Energiedichte
p : Druck
Energiedichte ist Erwartungswert eines Quantenobjekts
Wasserstoffatom : nicht punktförmig
Quark-Gluon Plasma , Higgs Potential
Braucht man
Quanten-Gravitation ?



Gravitations-Gleichung
links : klassisches Gravitationsfeld ,
rechts Quantenmaterie
( Energie- Impuls – Tensor ist Quantenobjekt )
Kann man eine Gleichung haben , bei der links
ein klassisches Feld und rechts ein
Quantenobjekt steht ?
Kann man eine Gleichung haben , bei der
links ein klassisches Feld und rechts ein
Quantenobjekt steht ?
ja : Gleichung für Erwartungswerte !
Metrik und Einstein- Tensor
sind Erwartungswerte
von Quanten - Observablen
Metrik und Einstein – Tensor sind Erwartungswerte
von Quantenobjekten
Feld
Quanten –
– Theorie
der Gravitation
Quantenfeldtheorie der
Gravitation
Quantenfelder : unendlich viele Freiheitsgrade
zentrale Grössen :
Erwartungswerte, Korrelationsfunktionen
nicht : Wellenfunktion des Universums
Es frägt auch niemand nach der Wellenfunktion des
Higgs- Mechanismus …
Objekte der Quantengravitation

Erwartungswerte : Metrik ( ähnlich Higgs- Feld )

Korrelationsfunktion : wichtig für kosmische
Hintergrundstrahlung
(ähnlich Propagatoren in QFT )
Ähnlichkeit : Standardmodell der
Elementarteilchenphysik (SM)
und Gravitation (GR)
SM
GR
Quantenfeldtheorie
Feldgleichungen
Effektive Wirkung
exakte Feldgleichungen
( z.B. Maxwellgleichungen
mit Quantenkorrekturen )
Wirkung kann als
effektive Wirkung
interpretiert werden
Quantenmechanik und
allgemeine Relativitaetstheorie
QM
GR

Unbestimmtheit des Ortes

Raum-Zeit Punkte

Erhaltung der Information

schwarzes Loch hat keine
Haare

WahrscheinlichkeitsAmplitude
( Wellenfunktion )

klassische Feldgleichungen
Ähnlichkeit : Standardmodell der
Elementarteilchenphysik (SM)
und Gravitation (GR)
SM
lokale Eichsymmetrie
GR
Diffeomorphismen – Symmetrie
( Invarianz unter allgemeinen
Koordinaten-Transformationen )
ist lokale Eichsymmetrie
Kaluza-Klein : Eichsymmetrien des SM in d=4
aus Diffeomophismen in d> 4 ( Isometrien des inneren Raums )
Probleme einer
Quantenfeldtheorie der Gravitation
( 1 ) keine Renormierbarkeit in Störungstheorie
( 2 ) kein ( regularisiertes ) Funktional - Integral
bekannt
( vergleiche Gitter- Eichtheorie )
Probleme sind nicht konzeptioneller Natur !
Brauchen wir Superstrings ?
( 1 ) Endliche Theorie löst Problem der
Renormierbarkeit
( 2 ) Kein Funktional - Integral , keine
nicht - störungstheoretische Formulierung
Grundzustandsproblem
Es kann viele verschiedene
Formen einer Quantenfeldtheorie
der Gravitation geben
Renormierbarkeit der Gravitation
jenseits der Störungstheorie
Asymptotische Sicherheit ( S.Weinberg , M. Reuter )
Funktionale Renormierung ( Flussgleichungen )
bietet Möglichkeit , nicht – störungstheoretisch
renormierbare Theorien zu behandeln
Renormierbarkeit = Existenz eines Ultraviolett –
Fixpunktes im Fluss
UV – Fixpunkt in
Einstein - Gravitation
Martin Reuter
Quanten – Dilaton - Gravitation
mit T. Henz , A. Rodigast, J. Pawlowski
Effektive Wirkung
am Fixpunkt , k=0
Trunkierung
Quanten – Dilaton - Gravitation
Kann Fixpunkt
etabliert werden ?
Regularisiertes Funktional - Integral


Gitterformulierung
Symmetrien sind entscheidend
( Diffeomorphismus Symmetrie )

Freiheitsgrade weniger wichtig
Metrik, Vierbein , Spinoren , Dreiecke ,
konforme Felder…
Graviton , Metrik : kollektive Objekte
in Theorie mit Diffeomorphismus Symmetrie
Skalare Gravitation in d=2
mit D.Sexty

Quantenfeldtheorie für Skalar
d=2 , zwei komplexe Felder i=1,2
nichtlineares sigma-Modell

Diffeomorphismus-Symmetrie der Wirkung

keine Metrik !


Gitter Regularisierung
klassisch statistisches System,
ähnlich Festkörper
of the conjugation K 1
x µ ( z˜ ) = x µ ( z˜ ) + ξ µ ( z˜ ),
(256)
H ( x˜ ) − H 1 ( x˜ 1 ) H 2 ( x˜ 7 ) − H 2 ( x˜ 2 )
symmetric
wit
h
respect
to
global
SO(3)-rotations
t h t he t ransformation
V1 = (− 1, 0, 0, 0) , V5 = (0, 0, 0, 1) 1 8 between
and ask how t he act ion depends on t he assignment of pox˜ 1 ) H 1 ( x˜ 7 ) − H 1 ( x˜ 2 )
8 ) − H 2 (funconthe
changes
sign under
three
components
provided
sit ions. More precisely, H
de- (0,replace
Vsince
= ,we
(0,use
− a1,fixed
0, 0)manifold
, V6 we
=
0, 1, 0) − H 2 ( x˜the
2k
Position der Gitterpunkte
spielt keine Rolle
.
(257)
scribed by t he coordinat es x µ , we want t o know how L¯( y˜ ),
fields H 1,2 would be sufficient and H 3 could
V3 =fields
(0, 0,
1,t ice
0) derivat
, V7ives,
= (0, (Act
1, a0,ually,
0) two
expressed in t erms of average
and−lat
be
linear
combinat
ion of t hem.µWe keep here an indepenS in eq. (33) in terms
µ
depends on ξ ( z˜ ). If L¯( y˜ ) is found t o be independent of
dent
H
for
t
he
sake
of analogy wit h our set t ing of spinor
3
= (0, 0, 0, − 1)
, 01
V8. =In (1, 0, 0,10
0),
(122)
4 diffeomorphism
ξ µ ( z˜ ) t he act ion is lat tV
ice
invariant
ges sign under the new
j
gravity.)
t his case t he part icular posit ioning of lat t ice point s plays
To each posit ion x˜ j ( y˜ ) wit hin a cell a latµt ice point z˜ j
ϕ 2+ → (ϕ 2+ ) ∗ , (ξ−2 ) →
no role for t he form of t he act ion in t erms of average fields
by eq. and
(121), and t o every z˜ j we associatµe
and we indicat e the posit ions x˜ j in t heiszj0associat
− z1edplane
y. Wit h respectkt o the
and lat t ice derivat ives. Lat t ice diffeomorphism invariance
p
j ive not at ion
a posit ion x( z˜ j ) on t he manifold. In an int uit
2
3
t
he
z
−
z
plane,
respect
ively
in
Fig.
1.
T
he
dist
ance
is
a
property
of
a
part
icular
class
of
lat
t
ice
act
ions
and
will
wski act ion SM = inot
S be realized for some arbit rary lat t ice act ion. For exam- we will denot e t hese four posit ions by x 1 , x 2 , x 7 , x 8 . As
depict ed in fig. 2 t hese posit ions are at (almost ) arbit rary
erefore hermit ean. We
ple, t he st andard Wilson act ion for lat t ice gauge t heories
point s3in t he plane.
1
k j
t o establish t hat S isisnot lat t ice diffeomorphism invariant .
T he cont inuum
limit of a lat t ice diffeomorphism invarix
+
7
ebra (wit h Grassmann
ant act ion for spinor gravitykis rat her st raight forward. Lat k
1
2
4
3
t ice derivat ives are replaced7 by ordinary derivat ives. T he
x8
ct ure based on K 5 can
5
µ
independence on t he posit ioning of t he variables ϕ(x) reSM , which is related
p
sult s in t he independence of t he cont inuum act ion S =
¯
6
L (x) on t he1variable change ϕ(x)8 → ϕ(x − ξ) = ϕ(x)3−
x
ξ µ ∂ µ ϕ(x). T his amount s t o diffeomorphism symmet ry of
2
0 inuum diffeot he cont inuum act ion. Indeed, in t he cont
x1
morphisms can be formulat ed as a genuine symmet ry corresponding
t
o
a
map
in
t
he
space
of
variables.
T
his
is
due
T I ON
x2
t o t he fact t hat for any
given point x t here will be some
2
variable, originally locat ed at x − ξ, which will 2
be moved t o
4
FIG. 2: Posit ions of variables in a cell
t
his
posit
ion
by
t
he
change
of
t
he
posit
ioning
(256). T his
ularized version of the
property is only realized in t he cont inuum. For a lat t ice
poseµ
we
will
use
a
lattypically no variable will be posit ioned precisely at x afT he volume V ( y˜ ) associat ed t o t he cell corresponds t o
p
t
er
t
he
change
of
posit
ions
(256),
if
before
a
variable
was
t
he
surfacecorresponds
enclosed by t he solid lines in fig. 2. It is given
FIG.
1:
Posit
ions
of
x
˜
.
T
he
cent
er
of
t
he
squares
j
t hat t he action (33) is
locat ed t here.
by
t o y˜ .
) transformat ions andWe emphasize
t hat we employ here a fixed “ coordinat e
1
2
manifold” for t he coordinat es x µ . µ
No met ric µ
is int roduced
ν
νV ( y˜ ) = 2 |(x 08 − x 01 )(x 17 − x 12 ) − (x 18 − x 11 )(x 07 − x 02 )|
gularizat ion will t hereat t his st age. Physicalµdist
to
ν ances4 do not correspond
2 = 1 (x µ − x µ )(x ν − x ν ).
1 √ 3will
Minkowski and a eu(258)
cart esian dist ances on t he coordinat e manifold. T hey
µν
7
2 y
˜
2 in8 t he1
neighboring
˜ jfunct
is ions,2,asand each point
rat her bebetween
induced bytwo
appropriat
e correlat ionx
For t he part icular case x µ = z˜ µ ∆ t his yields
describedcell
in general
t erm
by “ geomet
ry from general
st at is-is further
has six
nearest
neighbors.
T here
an “ opposit e
t ics” [15]. T he appropriat e met ric for t he comput at ion of
x 08 − x 01 = 2∆ , x 18 − x 11 = 0 , x 17 − x 12 = 2∆ , x 07 − x 02 = 0,
point
” at distance
2, wit
h pairs
e point s given by
infinit esimal
physical
dist ances swill
be associat
ed of
t o opposit
t he
(259)
nal hypercubic latt ice
expect at ion
field.
and t herefore V ( y˜ ) = 2∆ 2 . For simplicity we rest rict t he
( x˜ 1value
, x˜ 8 ),of(ax˜ suit
˜able
( x˜ 3 , x˜ive
( x˜ 4 , x˜ 5 ).
2, x
7 ), collect
6 ),
ish between the “ even
discussion t o deformat ions from t his simple case where
Lagrangian
L (iy˜ant
) isact
given
a sum
ofµ “ hyperloops”
.
µ
2. L at t i ceTdihe
ffeom
or phi sm i nvar
i on i nby
t wo
ν
ν
µ
µ
˜ ) > 0.
µ ν (x 8 − x 1 )(x 7 − x 2 ) remains posit ive, i.e. V ( y
int eger, Σ µ y˜ even,
di m ensiA
onshyperloop is a product of an even number
of
Grassmann
We
also
assume
t
hat
in
t
he
course
of
such
deformat
ions
∆ , z˜ µ int eger, Σ µ z˜ µT he latvariables
t ice act ion (253), (131) is lat t ice diffeomorphism
no
posit
ion
ever
crosses
any
boundary
line
of
t
he
surface
located
posit ions
˜under˜ ) wit hin t he cell at y˜ .
j (y
. T he basic const
ruct ionatprinciple
can bex
between two ot her posit ions.
ed as t he fundamentinvariant
al
st ood in In
two accordance
dimensions. T hewit
concept
of lat(2)
t ice diffeomorh eq.
we will consider hyperloops
t ional measure (3) by the standard SO(3)-invariant meawit hto unbounded
= −
= fields,
1 and e.g.
x short hands for t he p
sure for every z˜ . A generalization
− ∞ < H ( z˜ ) < ∞ , is more problemat
of cell
they˜unof t he sitic
esbecause
x˜ of t he
, i.e. x = x z˜ x˜ j ( y˜ )
boundedness of the act ion (6)volume
even for
a finit e number
of
corresponds
t o t he surface
inclosed by st rai
lat tice sit es. A further generation
uses
fields
H s x˜ ( y˜ ) of t he cell in t
z
joining
t hecomplex
fourz lat t ice
point
wit h constraint H ( z˜ )H~x ( z˜ ) x=
able
SU(3)-we rest rict t he discu
˜ ,1.
x˜ , For
x˜ , x˜a. suit
For
simplicity
~
x
invariant measure the Daction and
partit ion
in- lat t ice, x = z˜ µ ∆
“ deformat
ions”
of~ t he are
regular
D function
~
~
x
x V (y
x of thealways
variant under unit~xary t ransformations
group
SU(3).
˜ ) remains
posit
ive and t he pat h of on
z never
D andduring
D on ion
zwe concentrate
T he action (5), (6) is real
real
α. t ouches anot her po
t he deformat
st raight
line
between
two otof
her point s at t he boun
We now proceed to~x an (almost)
arbit
rary
posit ioning
~
xWe use posit
t he volume
t he lat tice points on a piece oft he surface.
by specifying
ions V ( y˜ ) for t he defin
intaegral
over t he
region of t he manifol
x ( z˜ ). This associates t o eachan
cell
“ volume”
V (relevant
y˜ ),
1
V ( y˜ ) =
2
(x − x )(x − x ),
d x (7)
=
V ( y˜ ),
where we define the region by t he surface covered
cells appearing in t he sum.
We next express t he act ion (5), (6) in t erms of
fields in t he cell
Kollektive Metrik
Metrik des flachen
Minkowski Raums
Korrelationsfunktion der Metrik
Gravitationspotenzial eines
Punktteilchens
Massives Teilchen ändert
Geometrie der Umgebung
Gibt es Modell dieses Typs
in vier Dimensionen ,
mit Lorentz – Symmetrie im
Kontinuumslimit ?
Diffeomorphismus – Symmetrie
der effektiven Wirkung ?
Universalität der Geometrie

Verschiedene mögliche Definitionen von
Metrik – Observablen

Welche nehmen ?
Ein Beobachter misst eine Kugel , der andere
eine Birne ?

Universalität der Geometrie
Für grosse Längen verglichen mit Planck-Länge :
verschiedene Metriken sind proportional
zueinander
Universelle Geometrie , bis auf Einheiten
In der Nähe der Planck-Länge :
Universalität bricht zusammen –
Raum und Zeit verschwinden im
Nebel der Fluktuationen
Gibt es beobachtbare Konsequenzen
der Quantengravitation ?


Korrekturen zur Einstein - Hilbert - Wirkung
Neue Felder ?
Gravitations - Gleichung




Ist Einstein - Hilbert Wirkung ausreichend ?
Dies kann nicht die exakte effektive Wirkung
einer Theorie der Quantengravitation sein !
Ist es eine ausreichend genaue Näherung für die
effektive Wirkung ?
Antwort für diese Frage braucht konsistente
Theorie der Quanten Gravitation !
Einstein - Gravitation als effektive Theorie für
grosse Abstände oder kleine Impulse


Diffeomorphismen - Symmetrie
Entwicklung nach Ableitungen
keine Ableitung : kosmologische Konstante
zwei Ableitungen : Krümmungs - Skalar R
vier Ableitungen : R2, zwei weitere Tensor - Strukturen
Man erwartet höhere Ableitungen , die durch Quanten –
Fluktuationen induziert werden. Aber bei erreichbaren
Energien nur winzige Korrekturen
Modifikationen bei
kleinen Abständen
Korrekturen zu den Einstein – Gleichungen
können eine wchtige Rolle spielen für R ~ M2
Singularität der schwarzen Löcher,
inflationäres Universum
Neue Felder ?



Photon als Konsequenz der Vereinheitlichung
von Elektrizität und Magnetismus
Higgs Boson als Resultat der Vereinheitlichung
von elektromagnetischer und schwacher
Wechselwirkung
Kosmon als Resultat der Vereinheitlichung von
Standard-Modell und Gravitation ?
Dynamische Dunkle Energie
UV Fixpunkt :
addiere beliebige kosmologische Konstante
oder Massenterm χ2
Dynamische Dunkle Energie
Quintessenz : neue fundamentale
Wechselwirkung
Starke,elektromagnetische,schwache
Wechselwirkung
Auf
astronomischen
Skalen:
Graviton
+
Gravitation
Kosmodynamik
Kosmon
Es gibt schon noch dicke
Bretter zu bohren
in diesem Haus !
end
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Gravitation - Institut für Theoretische Physik der Universität Heidelberg