WS 2008/09
Diskrete Strukturen
Prof. Dr. J. Esparza
Lehrstuhl für Grundlagen der
Softwarezuverlässigkeit und theoretische
Informatik
Fakultät für Informatik
Technische Universität München
http://www7.in.tum.de/um/courses/ds/ws0809
Kapitel II - Grundlagen
• Mathematische und notationelle Grundlagen
–
–
–
–
–
Mengen
Relationen und Abbildungen
Aussagen- und Prädikatenlogik
Beweismethoden
Wachstum von Funktionen
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Logik ist die Wissenschaft des Schließens.
Sie untersucht welche Inferenzen korrekt sind.
• Unter Inferenz verstehen wir (informell) eine Aussage
der Form: wenn A wahr ist, dann ist auch B wahr.
– Umgangssprachlich sagen wir auch:
Wenn A gilt, dann gilt B
Wenn A dann B
A impliziert B
• A ist die Annahme (Prämisse, Antezedens, Hypothese)
und B die Konklusion (Konsequenz).
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Eine korrekte Inferenz
Wenn
alle Menschen sterblich sind und Sokrates ein Mensch ist,
dann
ist Sokrates sterblich.
A = alle Menschen sind sterblich und Sokrates ist ein Mensch
B = Sokrates ist sterblich
• Eine korrekte Inferenz „wenn A dann B“ bedeutet nicht,
dass B wahr ist. Wenn die Inferenz korrekt ist und A wahr
ist, dann ist B wahr, mehr wissen wir nicht.
– „Wenn bestochene Ministerpräsidenten ins Gefängnis müssen
und Herr Beckstein bestochen wurde, dann muss er ins
Gefängnis“ ist eine korrekte Inferenz.
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Beispiele von inkorrekten Inferenzen:
– Wenn
einige Männer klug sind und alle Fussballer Männer sind,
dann
sind alle Fussballer klug.
– Wenn
einige vererbte Variationen dem Gesetz der Selektion
unterliegen und alle menschlichen Unterschiede vererbte
Variationen sind,
dann
unterliegen alle menschlichen Unterschiede dem Gesetz
der Selektion.
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Korrekt oder inkorrekt?
– Wenn
es heute bewölkt ist, und
wir nur dann schwimmen gehen, wenn es sonnig ist, und
wir immer dann rudern, wenn wir nicht schwimmen, und
wir immer früh nach Hause kommen wenn wir rudern,
dann
werden wir heute früh nach Hause kommen.
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Noch zwei korrekte Inferenzen
Wenn
alle Guldräber untreßig und alle Untreßigen filzig sind
dann
sind alle Guldräber filzig.
– Diese Inferenz erkennen wir als korrekt, auch wenn wir nicht
wissen, was „ Guldräber“, „untreßig“, oder „filzig“
bedeutet.
– Die Inferenz ist eine Instanz von:
Wenn (alle X sind Y) und (alle Y sind Z) dann (alle X sind Z)
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Noch zwei korrekte Inferenzen
Wenn
Anna ein Enkelkind hat
dann
ist Anna eine Mutter
– Die Inferenz kann nur als korrekt erkannt werden, wenn
man Wissen über die Bedeutung von „Mutter“ und
„Enkelkind“ hat.
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Logische Inferenzen (informell)
– Eine logische Inferenz ist eine Inferenz mit „Variablen“
(Platzhalter für Aussagen oder Objekte).
Achtung: diese Terminologie ist nicht Standard!
– Eine logische Inferenz ist korrekt, wenn alle ihre Instanzen
korrekt sind. Logiker sagen: die Inferenz ist (allgemein)gültig
oder eine Tautologie.
• „Wenn (alle X sind Y) und (alle Y sind Z) dann (alle X sind Z)“ ist gültig.
• „Wenn (alle X sind Y) dann (alle Y sind X)“ ist nicht gültig.
• „Wenn A und B und (wenn A dann C) dann B und C“ ist gültig.
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Die Logik untersucht die gültigen Inferenzen
– Wie kann man sie (automatisch) erkennen?
– Welche sind die nützlichsten?
• Die Logik stellt die Basis der mathematischen Beweise.
• Praktische Anwendungen der Logik finden sich in
zahlreichen Gebieten der Informatik, z.B.
Datenbanken, Programmverifikation,
Korrektheitsbeweise, Systemsicherheit, künstliche
Intelligenz und vielen mehr.
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Es gibt zahlreiche Logiken
– Aussagenlogik, Prädikatenlogik, Temporalogik, deontische Logik …
• Verschiedene Logiken studieren die gültigen Inferenzen in
verschiedenen Sprachfragmenten:
– Aussagenlogik: „und“, „oder“, „nicht“, „wenn … dann„
• „Wenn X und Y dann Y“ (Platzhalter für Aussagen)
– Syllogistische Logik: „alle“, „einige“, „keine“
• „Wenn alle A sind B und kein B ist ein C dann ist kein A ein C“
(Platzhalter für Objekte)
– Temporallogik: Aussagenlogik + „heute“, „morgen“,
„irgendwann“, „nie“
• „Wenn heute A gilt, dann war gestern wahr, dass morgen A gelten wird“.
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Aussagenlogik (propositional logic)
– Aussagen werden aus einer vorgegebene Menge von
atomaren Aussagen (Platzhalter für Aussagen) mit Hilfe der
Operatoren (Konnektoren, Junktoren) „und“, „oder“, „nicht“
und „wenn … dann“ gebaut.
– Atomare Aussagen sind wahr oder falsch, nie wahr und
falsch, keines von beiden oder etwas “dazwischen”.
– Die Grundlagen der Aussagenlogik wurden von George
Boole („The Laws of Thought“ 1854) entwickelt. Man spricht
deswegen auch von der Booleschen Logik.
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
George Boole
(1815-1864)
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Aussagenlogik formal
– Die Aussagenlogik (wie jede Logik) bildet eine formale
Sprache.
– Eine formale Sprache wird definiert durch ihre Syntax und
ihre Semantik.
• Die Syntax der Sprache legt durch Regeln fest, welche
Zeichenketten wohlgeformte Ausdrücke sind.
Die wohlgeformten Ausdrücke einer Logik heißen Formeln.
• Die Semantik legt die Bedeutung der Ausdrücke fest.
Eine formale Semantik ordnet jeden Ausdruck einem
mathematischen Objekt zu, welchem als Bedeutung des
Ausdrucks interpretiert wird.
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Formale Syntax.
– Eine formale Syntax besteht aus einem Vokabular und einer
Menge von Formationsregeln.
– Das Vokabular legt fest, welche Zeichen in Ausdrücken
vorkommen dürfen
– Die Formationsregeln legen fest, welche Zeichenketten über
dem Vokabular zulässig oder ‘wohlgeformt’ sind und welche
nicht.
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Syntax der Aussagenlogik: Vokabular
– Das Vokabular setzt sich aus folgenden Zeichenklassen
zusammen:
•
•
•
•
Wahrheitskonstanten: true, false
Aussagenvariablen:
p, q, r, s, t …
Logische Operatoren:
, , ,
Hilfssymbolen:
(, )
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Syntax der Aussagenlogik: Formationsregeln
–
–
–
–
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Regel 0: true und false sind Formeln.
Regel 1: eine Aussagenvariable ist eine Formel.
Regel 2: ist F eine Formel, dann ist auch G eine Formel.
Regel 3: sind F und G Formeln, dann sind
a. (F G)
b. (F G)
c. (F G)
ebenfalls Formeln.
– Regel 4: Ein Ausdruck ist nur dann eine Formel, wenn er
durch Anwendung der obenstehenden Regeln konstruiert
werden kann.
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Syntax der Aussagenlogik: Formationsregeln
– Es lassen sich also durch Anwendung von logischen
Operatoren (Konnektoren) auf Formeln neue Formeln
bilden.
– Ein Operator kombiniert einen oder mehrere Operanden zu
einem komplexeren Ausdruck.
– Monadische/unäre Operatoren haben ein Argument
(z.B. : F), dyadische/binäre Operatoren haben zwei
Argumente (z.B. F Ç G).
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Formeln sind:
((p q) r)
((p (false q))
(( p
q) (q
r)
p))
• Keine Formeln sind:
(q r]
p (p q) )
( q (q p))
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Ableitungsbeispiel
(1)p
Regel 1
(2)q
Regel 1
(3) q
Regel 2,
(2)
Regel 3a,
(1), (2)
(4)(p
q)
(5) (p
q)
Regel 2,
(4)
(6)(q
q)
Regel 3b,
(2), (3)
Regel 3c,
(5), (6)
(7)( (p
q)
(q
q))
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Syntaxbaum für den Ausdruck ( (p
q)
q
p
q
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q
(q
q))
Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Bindungsregeln zur Vereinfachung von Klammerausdrücken
–
–
–
bindet stärker als
bindet stärker als
bindet stärker als
• Beispiele:
–
p q steht für ( p q), nicht für (p q)
– p q r steht für ((p q) r), nicht für (p
– p q r s steht für ((p q) (r s))
• In den Folien:
– Weder p q r s noch ((p
sondern (p q) (r s)
q)
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(r
s)),
q
r ))
Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Semantik der Aussagenlogik.
– Was ist die „Bedeutung“ einer Formel?
• Die Formel F =
p
q kann in vier „Welten“ ausgewertet werden
– Welt 1: p und q sind beide wahr. F ist falsch.
– Welt 2: p ist wahr, q ist falsch. F ist falsch.
– Welt 3: p ist falsch, q ist wahr. F ist wahr
– Welt 4: p ist falsch, q ist falsch. F ist falsch.
– Die Bedeutung einer Formel ist die Funktion, die jede
mögliche „Welt“ dem Wahrheitswert der Formel in dieser
Welt zuordnet: 1 (die Formel ist wahr), oder 0 (die Formel ist
falsch). Man nennt {1, 0} die Booleschen Werte.
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Formale Semantik der Aussagenlogik.
– Eine Belegung („eine Welt“) ist eine Funktion von einer
Menge von Aussagevariablen in die Menge {0,1} der
Wahrheitswerte.
– Eine Belegung ¯ : V ! {0,1} passt zu einer Formel F, wenn
alle Variablen, die in F vorkommen, zu V gehören.
– Beispiel: die Funktionen
• p ↦ 0, q ↦ 1
• p ↦ 1, q ↦ 1, r ↦ 1
sind passende Belegungen der Formel
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p
q.
Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Formale Semantik der Aussagenlogik.
– Die Semantik einer Formel F ist eine Funktion [F], die jede
Belegung ¯ , die zu F passt, („jede Welt“) einem
Wahrheitswert [F](¯) zuordnet.
– Die Funktion [F] ist folgendermaßen definiert in
Abhängigkeit von F:
(1) Semantik der Formeln true und false:
F = true. Für alle Belegungen ¯ gilt: [true](¯)=1
F = false. Für alle Belegungen ¯ gilt: [false](¯)=0
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Formale Semantik der Aussagenlogik.
(2) Semantik der Negation (NICHT) und der Konjunktion (UND):
F = : G für eine Formel G. Für jede Belegung ¯, die zu F
passt:
½
1 falls [G](¯) = 0
[F ](¯) =
0 falls [G](¯) = 1
F = (G Æ H) für Formeln G und H. Für jede Belegung ¯ , die
zu F passt:
½
1 falls [G](¯) = 1 und [H](¯) = 1
[F ](¯) =
0 falls [G](¯) = 0 oder [H](¯) = 0
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Formale Semantik der Aussagenlogik.
 Die Semantik kann mit Hilfe einer Wahrheitstabelle
visualisiert werden
 Die Tabelle gibt den Wahrheitswert der Formel für jede
Kombination von Wahrheitswerten der Operanden an.
G
¬G
1
0
0
1
G H G
0
0
1
1
0
1
0
1
H
0
0
0
1
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Formale Semantik der Aussagenlogik.
(3) Semantik der Disjunktion (ODER):
F = (G Ç H) für Formeln G und H. Für jede Belegung ¯ , die
zu F passt, gilt:
[F ](¯) =
½
1
0
falls [G](¯) = 1 oder [H](¯) = 1
falls [G](¯) = 0 und [H](¯) = 0
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Formale Semantik der Aussagenlogik.
 Wahrheitstabelle:
G H GVH
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
1
 In der Logik ist “G oder H” wahr, wenn G wahr ist, oder H
wahr ist, oder beide wahr sind.
 Der ODER-Operator wird auch als NichtausschließendesOder bezeichnet, da er die Möglichkeit beinhaltet, dass G
und H wahr sind.
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Formale Semantik der Aussagenlogik.
(4) Semantik der Implikation (WENN…DANN):
F = (G ) H) für Formeln G und H. Für jede Belegung ¯, die zu
F passt :
½
1 falls [G](¯) = 0 oder [H](¯) = 1
[F ](¯) =
0 falls [G](¯) = 1 und [H](¯) = 0
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Formale Semantik der Aussagenlogik.
 Wahrheitstabelle:
F G F
0
0
1
1
0
1
0
1
G
1
1
0
1
 Semantik in Worten: F G ist falsch genau dann wenn F
wahr ist und G falsch ist. Andernfalls ist F G wahr.
 In der Implikation F G ist F die Hypothese und G die
Konklusion.
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Formale Semantik der Aussagenlogik.
Die formale Semantik der Implikation ist unterschiedlich von
dem Gebrauch von „wenn … dann“ in der Alltagssprache.
 p ) q sagt nicht, dass p eine Ursache für q ist
 Pinguine schwimmen ) Pferde wiehern ist wahr in unserer Welt.
 p ) q sagt nichts darüber, ob p wahr oder falsch ist
 Frau Merkel wurde bestochen ) Frau Merkel gehört hinter Gitter
ist wahr in unserer Welt.
 Wenn in einer Welt p falsch ist, dann ist in dieser Welt p ) q
wahr, unabhängig davon, was q sagt !!
 Pinguine fliegen ) Pferde sprechen ist wahr in unserer Welt.
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Formale Semantik der Aussagenlogik.
 p ) q sagt nichts darüber, ob : p ) : q wahr ist
 In der Alltagssprache:
aus „Wenn du brav bist, dann bekommst Du ein Bonbon“ folgt
implizit „Wenn Du nicht brav bist, dann bekommst Du kein Bonbon“
 In der Logik:
Die Formel Du bist brav ) Du bekommst ein Bonbon
sagt nichts darüber, was passiert, wenn Du nicht brav bist. Vielleicht
bekommst Du auch ein Bonbon!
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Weitere Operatoren: Ausschließendes-Oder
– Der binäre Operator “ ” (XOR) entspricht dem sprachlichen
Konstrukt “entweder … oder”– er schließt die Möglichkeit
aus, dass beide Operanden wahr sind.
– Wahrheitstabelle:
G H G H
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
0
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Weitere Operatoren: Bikonditional
– Der binäre Operator “,” entspricht dem sprachlichen
Konstrukt “genau dann, wenn ”.
– Wahrheitstabelle:
G H G,H
0
0
1
1
0
1
0
1
1
0
0
1
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Aufgabe: Sind diese Aussagen wahr oder falsch in
unserer Welt?
– Diese Vorlesung wird niemals enden ) die Sonne wird
morgen aufgehen
– Dienstag ist ein Tag der Woche ) Bush ist ein Pinguin.
– 1+1=6 ) Merkel ist Kanzlerin
– Der Mond ist aus grünem Käse ) Frankreich hat einen König
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Wahrheitstabellen
– Sei F eine Formel, und sei VF die Menge der Variablen, die in
F vorkommen.
– Eine Belegung, die zu F passt, ist minimal für F wenn VF = V
– Sei ¯ eine Belegung, die zu F passt, und sei ¯F die Projektion
von ¯ auf VF. Dann ist ¯F ist eine minimale Belegung und es
gilt: [F](¯)=[F](¯F).
– Das heisst: die Funktion [F] wird von den minimalen
Belegungen VF ! {0,1} eindeutig bestimmt.
– Die Wahrheitstabelle von F enthält als Zeilen die minimalen
Belegungen von F und die entsprechenden Werte von [F].
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Wahrheitstabellen.
– Beispiel: Sei F = ((p Ç : q)) r) , : r
p q r
F
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Wahrheitstabellen.
– Wieviele zeilen hat die Wahrheitstabelle einer Formel F, in
der n Variablen vorkommen?
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Berechnung der Wahrheitstabelle einer Formel.
p q r
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
((p Ç : q) ) r) , : r
0
1
0
1
0
1
0
1
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Berechnung der Wahrheitstabelle einer Formel.
p q r
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
((p Ç : q) ) r) , : r
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
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0
1
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0
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0
1
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0
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0
1
Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Berechnung der Wahrheitstabelle einer Formel.
p q r
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
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0
0
1
1
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0
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0
1
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1
((p Ç : q) ) r) , : r
0
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0
0
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1
1
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0
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0
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Berechnung der Wahrheitstabelle einer Formel.
p q r
0
0
0
0
1
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1
0
0
1
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0
0
1
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1
((p Ç : q) ) r) , : r
0
0
0
0
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0
1
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• Berechnung der Wahrheitstabelle einer Formel.
p q r
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
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1
0
1
((p Ç : q) ) r) , : r
0
0
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0
1
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1
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0
1
1
1
1
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0
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1
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• Berechnung der Wahrheitstabelle einer Formel.
p q r
0
0
0
0
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0
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1
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((p Ç : q) ) r) , : r
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
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0
1
1
1
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45
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1
0
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1
Kapitel II – Grundlagen; Logik
• (Allgemein)gültigkeit, Tautologie.
– Eine Formel F ist (allgemein)gültig wenn für jede Belegung ¯,
die zu F passt, gilt: [F](¯)=1.
– Intuitiv: eine Formel ist gültig wenn sie überall (“in allen
Welten”) wahr ist. Achtung! “Eine Formel ist gültig” ist nicht
dasselbe wie “Eine Formel ist wahr”.
– Wir sagen auch: F ist eine Tautologie.
– Eine Formel F ist gültig genau dann, wenn für jede minimale
Belegung ¯, die zu F passt, gilt: [F](¯)=1.
– Tautologietest: berechne die Wahrheitstabelle und prüfe, ob
die Spalte für F ausschließlich Einsen enthält.
46
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Allgemeingültigkeit, Tautologie.
– Beispiele von Tautologien:
pÇ:p
(p Æ q) ) p
p ) (p Ç q)
p ) (q ) p)
(p ) (q ) r)) ) ((p ) q) ) (p ) r))
47
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Widerspruch.
– Eine Formel F ist ein Widerspruch wenn für jede Belegung ¯,
die zu F passt, gilt: [F](¯)=0.
– Intuitiv: eine Formel ist ein Widerspruch wenn sie überall
(“in allen Welten”) falsch ist.
– Eine Formel F ist ein Widerspruch genau dann, wenn für
jede minimale Belegung ¯, die zu F passt, gilt: [F](¯)=0.
– Widerspruchstest: berechne die Wahrheitstabelle und prüfe,
ob die Spalte für F ausschliesschlich Nullen enthält.
48
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Erfüllbarkeit.
– Eine Formel F ist erfüllbar wenn es eine Belegung ¯ gibt, die
zu F passt, und [F](¯)=1 erfüllt.
– Intuitiv: eine Formel ist erfüllbar wenn sie in mindestens
einer Welt wahr ist.
– Erfüllbarkeitstest: berechne die Wahrheitstabelle und prüfe,
ob die Spalte für F mindestens eine 1 enthält.
– Das Erfüllbarkeitsproblem (satisfiability problem, SAT) ist
eines der am meisten untersuchten Problemen der ganzen
Informatik:
49
• Gegeben: eine aussagenlogische Formel F
• Entscheiden: ob F erfüllbar ist.
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Aufgabe.
Gültig
Erfüllbar
Widerspruch
p
pÇq
pÇ:p
pÆ:p
p):p
p)q
p ) (q ) p)
p )(p) q)
p,:p
50
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Aufgabe: Stimmt es oder nicht?
J/N
Wenn F gültig, dann F erfüllbar
Wenn F erfüllbar, dann : F unerfüllbar
Wenn F gültig, dann : F unerfüllbar
Wenn F unerfüllbar, dann : F gültig
51
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Gegenbeispiel
Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Logische Äquivalenz
52
– Zwei Formeln F und G sind logisch äquivalent (symbolisch: F
´ G) genau dann, wenn für jede Belegung ¯, die zu F und zu
G passt, gilt: [F](¯) = [G](¯)
Intuitiv: wenn F und G äquivalent sind, dann sind sie zwei
verschiedene Schreibweisen der selben Aussage.
– Sei V die Menge der Variablen, die in F oder G vorkommen.
F und G sind äquivalent genau dann, wenn für jede Belegung
¯: V ! {0,1} gilt: [F](¯) = [G](¯).
– Aquivalenztest: Konstruiere die Wahrheitstabelle von F,G
und prüfe, ob die Spalte für F,G ausschliesschlich Einsen
enthält.
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Aufgabe: stimmt es oder nicht?
F
G
p Æ (p Ç q) p
: (p Ç q)
p Æ (q Ç r)
:pÇ:q
(p Æ q) Ç r
p Æ (q Ç r)
(p Æ q) Ç (p Æ r)
53
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F´G
Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Logischen Inferenzen: Formalisierung.
54
– Eine logische Inferenz ist eine Formel der Gestalt F ) G.
Dabei ist F die Annahme und G die Konklusion. Eine logische
Inferenz ist korrekt wenn sie gültig ist.
– Notation: F ² G (in Worten: G folgt aus F) bezeichnet, dass
F ) G gültig ist.
Achtung! “G folgt aus F” ist nicht dasselbe wie “F impliziert
G”
– Fast immer ist die Annahme F eine Konjunktion
F1 Æ … Æ Fn . Man spricht dann von den Annahmen F1, …, Fn
Statt F1 Æ … Æ Fn ² F schreibt man platzsparend F1 , …, Fn² F.
– Folgerungstest: berechne die Wahrheitstabelle und prüfe,
ob die Spalte für F ) G ausschließlich Einsen enthält.
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Aufgabe: stimmt es oder nicht?
A
p
p
p, q
p, q
pÆq
pÇq
p, p ) q
F
pÇq
A²F
pÆq
pÇq
pÆq
p
p
q
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Beziehungen
– F ist gültig (eine Tautologie), genau dann, wenn
• : F ist ein Widerspruch.
• F ´ true
• true ² F
– F ist ein Widerspruch, genau dann, wenn
• : F ist gültig.
• F ´ false
• F ² false
– F ist erfüllbar genau dann, wenn
• : F ist nicht gültig
– F ´ G gilt, genau dann, wenn
• F , G ist eine Tautologie
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Aufgabe: Wahr oder falsch?
– Eine Formel F ist eine Tautologie, genau dann, wenn : F ein
Widerspruch ist.
– Eine Formel F ist keine Tautologie, genau dann, wenn : F
erfüllbar ist.
– Wenn F ein Widerspruch ist, dann ist F ) G eine Tautologie.
– F ist ein Widerspruch genau dann, wenn F ´ false.
– F ist ein Widerspruch genau dann, wenn F ) false
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Kapitel II - Grundlagen
• Eigenschaften der Äquivalenz
– Die Relation ´ ist reflexiv, symmetrisch und transitiv. Damit
ist ´ eine Äquivalenzelation (wie zu erwarten war).
– Diese Transitivität erlaubt es, die Äquivalenz zweier Formel F
und G nachzuweisen , in dem man eine Kette von
Äquivalenzen
F ´ F1 ´ F 2 ´  ´ Fn ´ G
angibt.
– Das ist eine alternative Methode zur Wahrheitstabelle.
58
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Kapitel II - Grundlagen
• Eigenschaften der Äquivalenz
– Die Relation ´ ist eine Kongruenz. Das heißt: wenn in einer
Formel F eine Teilformel durch eine äquivalente Formel
ersetzt wird, dann ist die resultierende Formel äquivalent zu
F.
– Die Kongruenz-Eigenschaft erlaubt es, eine Äquivalenz
Fi ´ Fi+1 zu finden, in dem man einen kleinen Teil von Fi
durch eine äquivalente Formel ersetzt.
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Kapitel II - Grundlagen
• Vergleich mit arithmetischen Ausdrücken:
– Syntax:
• 0,1,2, … sind arithmetische Ausdrücke
• Wenn A und B arithmetische Ausdrücke sind, dann sind
(A+B) und (A£ B) auch arithmetische Ausdrücke
– Semantik eines Ausdrucks: eine natürliche Zahl
– Relation „=„ : zwei Ausdrücke sind äquivalent, wenn ihre
Semantik dieselbe Zahl ist.
• 3 + 4 =2 + 5
3 + (5 £ 4) = 17 + 6
60
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Kapitel II - Grundlagen
• Vergleich mit arithmetischen Ausdrücken:
– Die Relation „=„ ist eine Äquivalenzrelation und eine
Kongruenz.
– Beweis, dass (9 + 7) £ (3 + (4 £ 2)) = 176:
(9 +7) £ (3 + (4 £ 2)) = (9 + 7) £ (3 + 8)
= 16 £ (3 + 8)
= 16 £ 11

= 176
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Äquivalenzregeln
– Um Äquivalenzketten zu konstruieren können wir
Äquivalenzregeln verwenden: Äquivalenzschemen, die instanziert
werden können, um äquivalente Formeln zu gewinnen.
– Regeln enthalten Formelvariablen (Platzhalter für Formeln).
– Beispiel: Die Regel (F Ç G) Æ H (F Æ H)Ç (G Æ H) sagt
“Für alle Formeln F, G, H gilt: die Formel (FÇ G)Æ H und die Formel
(FÆ H)Ç (GÆ H) sind äquivalent”
– Vergleiche mit der arith. Regel: (x + y) £ z = (x £ z) + (y £ z)
– Eine Regel kann mit verschiedenen Formeln instanziert werden:
• (p Ç q) Æ r (p Æ r) Ç (q Æ r)
• ((p) q) Ç q) Æ : p ´ ((p) q) Æ : p) Ç (q Æ : p)
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Äquivalenzregeln
– Wie zeigt man, dass eine Regel korrekt ist? Jede Instanz kann
mit einer Wahrheitstabelle geprüft werden, aber es gibt
unendlich viele Instanzen!
– Die folgende Eigenschaft (ohne Beweis) gibt die Lösung:
Eine Regel ist korrekt genau dann, wenn sie korrekt ist für
die Instanz, in der die Formelvariablen F, G, H, … jeweils
durch die Variablen p,q,r, … ersetzt werden.
– D.h.: Um die Korrektheit einer Regel nachzuweisen reicht es
zu zeigen, dass sie für diese eine Instanz gilt. Das kann mit
einer Wahrheitstabelle gemacht werden.
63
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Äquivalenzregeln für , ,
–
–
–
–
–
–
Identität:
F true F
F false
Dominanz:
F true true F false
Idempotenz:
F F F
F F F
Doppelte Negation:
F F
Kommutativität: F G G F
F G G
Assoziativität:
(F G) H F (G H)
(F G) H F (G H)
– Distributivität:
F (G H) (F G) (F H)
F (G H) (F G) (F H)
– De Morgan’s:
(F G)
F
G
(F G)
F
G
– Triviale Tautologie/Kontradiktion:
F
F true
F
F
64
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F
false
F
Augustus
De Morgan
(1806-1871)
false
Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Äquivalenzregeln für andere Operatoren
– Mit Hilfe von Äquivalenzregeln lassen sich logische
Operatoren durch andere Operatoren ausdrücken.
– Exklusives-Oder:
F
F
G (F G)
G (F G)
– Implikation:
F
F
G
G
– Bikonditional:
F
F
65 Beachte: die Konnektoren ¬, ∧, ∨,
F
F
(F G)
(G F)
G
G
G (F G) (G
G
(F G)
sind nicht unabhängig!
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F)
Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Beweis von Äquivalenzen mit Äquivalenzregeln
– Zeige
(p
(p
( p
( p
q))
q)) ´ p
q
p
( p
p ( p
p (p
( p p) (
false ( p
( p
q)
p
q
66
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q)
q)
q)
p
q)
q)
false
Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Beweis von Äquivalenzen mit Äquivalenzregeln
– Zeige, dass p
q
p
q
p.
q
p
q
q
q
p
q
p
p
67
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Beweis von Äquivalenzen mit Äquivalenzregeln
– Beobachtung: Eine Formel F ist eine Tautologie gdw.
F ´ true
– Zeige, dass ((p ∨ q) ∧ ( p ∨ r) ∧ (s ∨ s)) (q ∨ r) eine
Tautologie ist.
((p ∨ q) ∧ ( p ∨ r) ∧ (s ∨ s)) (q ∨ r)
((p ∨ q) ∧ ( p ∨ r) ∧ true) (q ∨ r)
((p ∨ q) ∧ ( p ∨ r)) (q ∨ r)
((p ∨ q) ∧ ( p ∨ r)) ∨ (q ∨ r)
( (p ∨ q) ∨ ( p ∨ r)) ∨ (q ∨ r)
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Beweis von Äquivalenzen mit Äquivalenzregeln
(p ∨ q) ∨ ( p ∨ r)) ∨ (q ∨ r)
p ∧ q) ∨ (p ∧ r) ∨ q ∨ r
p ∧ q) ∨ q ∨ (p ∧ r) ∨ r
p ∨ q) ∧ ( q ∨ q)) ∨ ((p ∨ r) ∧ ( r ∨ r))
p ∨ q) ∧ true) ∨ ((p ∨ r) ∧ true)
p ∨ q ∨ p ∨ r (Beachte: Klammern weggelassen)
p∨p∨q∨r
true ∨ q ∨ r
true
(
(
(
((
((
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Vorlesung Diskrete Strukturen WS 08/09
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Beweis von nicht-Äquivalenzen
– Um zu zeigen, dass F und G nicht äquivalent sind reicht es,
eine Belegung anzugeben, die zu F und G passt, und F wahr
macht und G falsch (oder umgekehrt).
– Eine solche Belegung kann systematisch mit einer
Wahrheitstabelle gesucht werden, aber nicht mit
Äquivalenzregeln.
– In der Praxis oft besser:
• Finde mit Hilfe von Regeln “einfachere” Formeln F’ und G’ mit F ´ F’
und G ´ G’.
• Finde eine Belegung, die zeigt, dass F’ und G’ nicht äquivalent sind.
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Vorlesung Diskrete Strukturen WS 08/09
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Beweis von nicht-Äquivalenzen
– Zeige: ((p q)
äquivalent.
1. ((p q)
2. (p (q
3. ((p
q)
((p
q)
( p
q
r) und (p
(q
r)) sind nicht-
r) ´ ( ( p q) r) ´ ((p
q) r)
r)) ´ ( p
q r)
r) und ( p
q r) sind nicht äquivalent:
r) falsch für p  0, q 1, r  0
r) wahr für p  0, q 1, r  0
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Vorlesung Diskrete Strukturen WS 08/09
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Vergleich: Wahrheitstabelle vs. Äquivalenzregeln
– Vorteile der Wahrheitstabellen:
• Automatische und einfache Methode.
• Terminiert garantiert mit der richtigen Antwort
– Nachteile der Wahrheitstabellen:
• Die Wahrheitstabelle einer Formel mit n Variablen enthält 2n
Zeilen. Die Methode ist daher völlig ungeignet für großes n.
• Die Wahrheitstabelle jeder Formel mit n Variablen enthält 2n
Zeilen, egal wie „dumm“ die Formel ist
(p1 Ç : p1) Æ (p2 Ç : p2)Æ  Æ (pn Ç : pn)
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Vorlesung Diskrete Strukturen WS 08/09
Prof. Dr. J. Esparza – Institut für Informatik, TU München
Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Vergleich: Wahrheitstabelle vs. Äquivalenzregeln
– Vorteile der Äquivalenzregeln:
• Ab vier/fünf Variablen die bessere Methode für Menschen.
• Richtige Sequenz von Regelanwendungen kann schnell zum
Ziel führen.
– Nachteile der Äquivalenzregeln:
• Die „richtige“ Regel muss erraten werden.
• Terminierung ist nicht garantiert
• Kann nur zeigen , das F ´ G gilt, aber nicht, dass es nicht gilt.
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Ein Kalkül für logische Inferenzen.
– Wir beschreiben eine Menge von Inferenzregeln (ein Kalkül),
Mit den Inferenzregeln können Ausdrücke A ` F mechanisch
erzeugt werden, wobei A eine Konjunktion von Annahmen
und F eine Formel ist.
– Es wird gelten: wenn A ` F, dann A ² F. Das Kalkül bietet
damit eine alternative zum Folgerungstest.
– Die Regeln sind ähnlich zu den Formationsregeln:
• Basisregeln: “A ` F für die Konjunktion A und die Formel F”
• Induktive Regeln: “wenn A1 ` F1, …, An ` Fn , dann B ` F ”
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Ein Kalkül für logische Inferenzen
– Grafische Darstellung der Basisregeln:
_______
A`F
– Grafische Darstellung der induktiven Regeln
A1 ` F1 … An` Fn
_________________
B`F
Intuition: um B ² F zu beweisen, reicht es zu zeigen,
dass A1 ² F1 und A2 ² F2 und … und An ² Fn gelten.
75
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Ein Kalkül für logische Inferenzen
– Annahmeregel. Für jede A, für jede Annahme F in A :
_______
A`F
– Regel für true. Für jede A :
_________
A ` true
– Regel für false. Für jede A, für jede Formel F :
A`F A`:F
________________
A ` false
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Ein Kalkül für logische Inferenzen
– Konjunktionseinführung. Für alle A, für alle F, G :
A`F A`G
_____________
A`FÆG
– Konjunktionsbeseitigung. Für alle A, für alle F, G :
A`FÆG
__________
A`F
A`FÆG
__________
A`G
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Ein Kalkül für logische Inferenzen
– Disjunktionseinführung. Für alle A, für alle F, G :
A`F
__________
A`FÇG
A`F
__________
A`GÇF
– Disjunktionsbeseitigung. Für alle A, für alle F, G, H :
A`FÇG
A,F`H
A,G`H
_________________________________________
A`H
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Ein Kalkül für logische Inferenzen
– Negationseinführung. Für alle A, für alle F :
A , F ` false
______________
A`:F
– Negationssbeseitigung. Für alle A, für alle F :
A , : F ` false
_________________
A`F
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Ein Kalkül für logische Inferenzen
– Implikationseinführung. Für alle A, für alle F, G:
A,F `G
____________
A`F)G
– Implikationsbeseitigung. Für alle A, für alle F, G:
A`F)G
A `F
_____________________
A`G
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Ein Kalkül für logische Inferenzen
– Theorem: Die Regelmenge hat die folgenden zwei
Eigenschaften:
• Wenn F ` G , dann F ² G. (Korrektheit, soundness)
“Aus der Regelmenge werden nur gültige Inferenzen
hergeleitet”.
• Wenn F ² G , dann F ` G. (Vollständigkeit, completeness)
“Jede gültige Inferenz kann mit der Regelmenge
hergeleitet werden ”.
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Beispiel eines formalen Beweises.
– Wir betrachten nochmal die Inferenz
Wenn
es heute bewölkt ist, und
wir nur dann schwimmen gehen, wenn es sonnig ist, und
wir immer dann rudern, wenn wir nicht schwimmen, und
wir immer früh nach Hause kommen wenn wir rudern,
dann
werden wir heute früh nach Hause kommen.
– Wir formalisieren sie in der Aussagenlogik und zeigen ihre
Korrekheit mit Hilfe der Inferenzregeln.
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Beispiel eines formalen Beweises
– Wir führen Variablen für die Aussagen ein
sonnig
= “es ist sonnig”
schwimmen
= “wir werden schwimmen”
rudern
= “wir werden rudern”
früh
= “wir werden früh nach Hause kommen”.
– Annahmenmenge A: (a)
sonnig
(b) schwim
(c)
schwim
(d) rudern
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sonnig
rudern
früh
Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Beispiel eines formalen Beweises
– Eine Herleitung von A ` F ist eine endliche Sequenz A1 ` F1,
A2 ` F2, …, An` Fn mit:
• An = A und Fn = F
• Für alle i, 1· i· n, der Ausdruck Ai ` Fi kann aus einer
Teilmenge der Ausdrücke A1 ` F1 , …, Ai-1 ` Fi-1 durch
Anwendung einer Regel gewonnen werden.
– Ein formaler Beweis der Aussage “F folgt aus den Annahmen
A1, …, An’’ ist eine Herleitung von A1 , A2 ,…, An ` F
84
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Beispiel eines formalen Beweises
Schritt
1. A , schwim ` schwim
2. A , schwim ` schwim ) sonnig
3. A , schwim ` : sonnig
4. A , schwim ` sonnig
5. A , schwim ` false
6.
A ` schwim ) false
7.
A ` : schwim
8.
A ` : schwim ) rudern
9.
A ` rudern
10.
A ` rudern ) früh
11.
A ` früh
85
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Bewiesen durch
An.
An. (b)
An. (a)
Imp.Bes. 1,2
false.Ein. 3,4
Imp.Ein. 5
Neg.Ein. 6
An. (c)
Imp.Bes. 7,8
An. (d)
Imp.Bes. 9,10
Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Wieviele verschiedene Operatoren gibt es?
– Die Semantik von Operatoren (Konnektoren, Junktoren)
kann durch Wahrheitstabellen dargestellt werden.
– Da die Wahrheitstabelle einer Formel mit n Variablen 2n
n
Einträge (1/0) hat, gibt es genau 22 verschiedene
Wahrheitstabellen für Formeln mit n Variablen.
n
– Es gibt also 22 Operatoren der Arität n (insbesondere 4
unäre und 16 binäre Operatoren).
86
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Vollständige Mengen von Operatoren.
– Einige Operatoren können durch andere „ausgedrückt
werden“. Z.B. aus p ) q ´ : p Ç q folgt F ) G ´ : F Ç G
für beliebige Formeln F und G.
– Formal: Ein Operator OP der Stelligkeit k ¸ 0 kann durch die
Operatoren OP_1, …, OP_n ausgedrückt werden wenn es
eine Formel F über OP_1, …, OP_n gibt mit
OP(p1, , pk) ´ F
– Eine Menge M von Operatoren ist vollständig wenn jeder
Operator (egal welcher Arität) durch die Operatoren von M
ausgedrückt werden kann.
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Vollständige Mengen von Operatoren.
– Theorem: Die Menge {:, Ç, Æ} ist vollständig.
Beispiel. Wir betrachten den 3-stelligen Operator ITE mit
folgender Wahrheitstabelle:
p q r
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
ITE(p,q,r)
0
1
0
1
0
0
1
1
Es gilt:
ITE(p,q,r) ´
(: p Æ : q Æ r)
Ç (: p Æ q Æ r)
Ç ( p Æ q Æ : r)
Ç ( p Æ q Æ r)
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Vollständige Mengen von Operatoren.
– Theorem: Die Mengen {:, Ç} und {:, Æ} sind vollständig.
Beweisidee.
Beobachtung: Sei V eine vollständige Menge und sei M eine
Menge von Operatoren. Wenn jeder Operator aus V durch die
Operatoren von M ausgedrückt werden kann, dann ist M auch
vollständig.
Fall {:, Ç}. Es reicht zu zeigen, dass Æ durch : und Ç ausgedrückt
werden kann. Das wird mit der De Morgan´sche Regel erreicht:
p Æ q ´ : (: p Ç : q).
Fall {:, Æ}. Symmetrisch.
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Vollständige Mengen von Operatoren.
– Wir betrachten die Operatoren
nand: (F nand G) ( (F G))
nor:
(F nor G) ( (F Ç G))
F
G F nand G
0
0
1
1
0
1
0
1
F
G F nor G
0
0
1
1
0
1
0
1
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1
1
1
0
1
0
0
0
Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Vollständige Mengen von Operatoren.
– Theorem: Die Mengen {nand} und {nor} sind vollständig.
Beweisskizze für die Menge {nand}:
( F)
(F G)
(F G)
(F nand F)
(F nand G) nand (F nand G)
(F nand F) nand (G nand G)
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Zusammenfassung Boolesche Operatoren
Formaler Name
Umg.spr.
Stelligkeit
Negation
NICHT
Mon.
Konjunktion
UND
Dyad.
Disjunktion
ODER
Dyad.
Exclusives-Oder
XOR
Dyad.
Implikation
IMPLIZIERT
Dyad.
Bikonditional
IFF (GDW)
Dyad.
NAND
NAND
Dyad.
NAND
NOR
NOR
Dyad.
NOR
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Symbol
¬
Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Zusammenfassung Aussagenlogik
– Syntax und Semantik.
• Operatoren und Wahrheitstabellen.
– Logische Begriffe.
• Tautologie, Widerspruch, Erfüllbarkeit, Äquivalenz, Folgerung
– Äquivalenzregeln, Folgerungsregeln.
• Formale Beweise
– Vollständige Operatorenmengen.
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Aussagenlogik - Technische Universität München