Optionspreisbestimmung nach Cox-Ross-Rubinstein

Optionspreisbestimmung nach Cox-Ross-Rubinstein
Michael Beer
18. Mai 2000
Inhaltsverzeichnis
1 Einführung und Problembeschreibung
1
1.1 Was sind Optionen? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2 Modellspezifikation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.3 Exkurs: Martingale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
2 Herleitung der Optionspreisformeln
3
2.1 Allgemeine Schritte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
Abdiskontierte Wertschriftenpreise . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
Arbitrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
Verteilung der Zufallsvariablen (Tn )0≤n≤N . . . . . . . . . . . . . . .
4
Der Wert von Call- und Put-Optionen . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.2 Konkrete Anwendung des Modells zur Bestimmung der Optionspreise .
6
1
1.1
Einführung und Problembeschreibung
Was sind Optionen?
Im Zusammenhang mit dem Handel auf Finanzmärkten hatten Instrumente zum
Management finanzieller Risiken schon seit jeher eine grosse Bedeutung. Termingeschäfte, auch Derivate genannt, sind da ein wichtiger Bestandteil. Sie zeichnen
sich dadurch aus, dass der Zeitpunkt eines Vertragsabschlusses nicht mit dem Zeitpunkt der darin vereinbarten Leistung und Gegenleistung durch die Vertragsparteien
zusammenfällt.
Der Inhaber einer Option, worauf wir hier im Detail eingehen wollen, besitzt beispielsweise das Wahlrecht, eine festgelegte Menge eines bestimmten Guts (Basiswert)
zu einem im Voraus festgelegten Preis (Ausübungspreis) an einem bestimmten, in der
Zukunft liegenden Stichtag (Fälligkeitstag) zu kaufen resp. zu verkaufen. Kaufsoptionen werden als Call-Optionen, Verkaufsoptionen als Put-Optionen bezeichnet. (Man
unterscheidet ausserdem zwischen amerikanischen und europäischen Optionen. Letztere können nur am Fälligkeitstag selbst, erstere auch bereits in der Zeitspanne zuvor
ausgeübt werden.)
Für das dem Käufer einer Option abgegebene Wahlrecht verlangt deren Aussteller
(sog. Schreiber oder Stillhalter ) eine Prämie, den Optionspreis. Dieser wird von
verschiedenen Grössen beeinflusst, so zum Beispiel vom aktuellen Preis und der Volatilität des Basiswerts, der Restlaufzeit der Option, der Höhe des Ausübungspreises
sowie vom aktuellen risikolosen Zinssatz.
1
Im Folgenden wollen wir nun ein Modell studieren, welches uns erlaubt, diesen Optionspreis unter Berücksichtigung der erwähnten unabhängigen Variablen quantitativ
zu bestimmen.
1.2
Modellspezifikation
Wir konstruieren unser Modell eines Finanzmarktes auf einem endlichen Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, F, P ). F versehen wir ausserdem mit einer steigenden Folge von
σ-Unteralgebren F0 , . . . FN , wobei Fn die zum Zeitpunkt n verfügbaren Informationen darstellen soll. N sei der Fälligkeitszeitpunkt der zu betrachtenden Optionen.
Weiter spezifizieren wir unser Modell wie folgt:
• Als Basiswert betrachten wir eine risikobehaftete Wertschrift (Aktie, Obligation
o. ä.), deren Preis/Kurs zum Zeitpunkt n mit Sn bezeichnet werde (0 ≤ n ≤ N ).
Sn ist eine Zufallsvariable mit Werten in R≥0 , wobei der Preis zum Zeitpunkt
0 in S0 gegeben sei.
Für den Verlauf von Sn nehmen wir zunächst an, dass die relative Preisveränderung
von einer Periode zur nächsten nur zwei mögliche Werte a oder b annehmen
kann:
š
Sn (1 + a)
Sn+1 =
Sn (1 + b)
Die möglichen Preisentwicklungen lassen sich somit durch den Raum Ω :=
{1 + a, 1 + b}N darstellen, wobei jedes Element ω ∈ Ω die sukzessiven Werte von SSn+1
zum Ausdruck bringt.
n
• Wir gehen davon aus, dass als Alternativanlage eine risikolose Wertschrift (Bundesobligation o. ä.) zur Verfügung steht, welche pro Periode den relativen Zins
r abwirft. (Eine Kapitalanlage K0 erreicht somit nach n Perioden mit Zinsen
und Zinseszinsen den Wert K0 (1 + r)n .)
• Die oben erwähnte Folge (Fn )0≤n≤N von σ-Unteralgebren von F definieren wir
nun wie folgt:


für n = 0,
{∅, Ω}
Fn := P(Ω)
für n = N ,


σ(S1 , . . . Sn ) für 1 ≤ n ≤ N − 1.
Unter σ(S1 , . . . Sn ) ist dabei die kleinste σ-Algebra zu verstehen, welche S1 , . . . Sn
messbar macht,
Sn : Ω −→
[
i+j=n
{S0 (1 + a)i (1 + b)j } ⊂ R≥0
• Ausserdem soll gelten, dass P ({ω}) > 0 ∀ ω ∈ Ω.
Wir führen nun für 1 ≤ n ≤ N die Zufallsvariablen Tn :=
für ω = (ω1 , . . . ωN ) ∈ Ω schreiben:
Sn
Sn−1
P (ω) = P (T1 = ω1 , . . . TN = ωN )
Insbesondere gilt hierbei Fn = σ(T1 , . . . Tn ).
2
ein und können damit
1.3
Exkurs: Martingale
Für die weiteren Überlegungen benötigen wir das Konzept der Martingale: Sei (Ω, F, P )
ein Wahrscheinlichkeitsraum, F = P(Ω), P ({ω}) > 0 ∀ ω ∈ Ω, (Fn )0≤n≤N eine steigende Folge von σ-Unteralgebren von F und (Xn )0≤n≤N eine Folge von Zufallsvariablen, wobei Xn jeweils Fn -messbar sei.
1.3.1 Definition: (Xn )0≤n≤N heisst Martingal, falls
E(Xn+1 |Fn ) = Xn
∀ n ≤ N − 1.
Stellt Xn zum Beispiel einen Aktienkurs zum Zeitpunkt n dar, so bedeutet diese
Eigenschaft, dass die beste Schätzung des Kurses Xn+1 der Folgeperiode mit den
gegebenen Informationen Fn jeweils direkt der aktuelle Kurs Xn ist.
1.3.2 Eigenschaft: Ist (Xn )0≤n≤N ein Martingal, so gilt
E(Xn+j |Fn ) = Xn
2
∀ j ∈ {1, . . . N − n}
Herleitung der Optionspreisformeln
2.1
Allgemeine Schritte
Abdiskontierte Wertschriftenpreise
Um die Vergleichbarkeit der Wertschriftenpreise zu verschiedenen Zeitpunkten zu
gewährleisten, werden wir diese jeweils mittels des risikolosen Zinssatzes r auf den
Startzeitpunkt 0 abdiskontieren und schreiben:
S̃n :=
Sn
(1 + r)n
Bemerkung: Sinkt S̃n mit steigendem n, so deutet das darauf hin, dass die betrachtete risikobehaftete Wertschrift weniger an Wert gewinnt als die risikolose Wertschrift. Damit ein Investor allerdings das Risiko zu akzeptieren bereit ist, erwartet er
eine höhere Rendite als den risikolose Zinssatz r, also steigende S̃n .
2.1.1 Behauptung: Die Folge der abdiskontierten Preise (S̃n )0≤n≤N ist genau dann
ein Martingal, wenn E(Tn+1 |Fn ) = 1 + r, ∀ n ∈ {0, 1, . . . N − 1}.
Beweis:
E(S̃n+1 |Fn ) = S̃n ⇐⇒ E
↑
 S̃
n+1
S̃n
‘
 Sn+1
‘
(1+r)n+1
|Fn = 1 ⇐⇒ E
|F
n =1
Sn
(1+r)n
S̃n ist Fn -messbar und beschränkt
⇐⇒ E
S
n+1
Sn
‘
|Fn = 1 + r ⇐⇒ E(Tn+1 |Fn ) = 1 + r
ƒ
Arbitrage
Traum jeden Investors ist es, Gewinne zu erzielen, ohne dabei Risiken eingehen zu
müssen. In der Realität ist dies allerdings in der Regel nicht oder nur sehr kurzfristig
möglich. Diese sogenannte Arbitrage soll daher in unserem Modell ausgeschlossen
sein.
3
2.1.2 Definition: Zwei Wahrscheinlichkeiten P und P ∗ heissen äquivalent :⇐⇒
∀ A ∈ Ω : P (A) = 0 ⇔ P ∗ (A) = 0
Bemerkung: In unserem diskreten Fall ist eine Wahrscheinlichkeit P ∗ äquivalent
zur gegebenen Wahrscheinlichkeit P , falls P ∗ ({ω}) > 0 ∀ ω ∈ Ω.
2.1.3 Satz: Eine Arbitrage ist genau dann nicht möglich, wenn eine zu P äquivalente Wahrscheinlichkeit P ∗ existiert, unter der die abdiskontierten Wertschriftenpreise
(S̃n )0≤n≤N ein Martingal sind.
Beweis: [3, S. 17ff.]
2.1.4 Behauptung: Damit in unserem Modell keine Arbitrage möglich ist, muss
notwendigerweise r ∈]a, b[ sein.
Beweis: Unter der Annahme, dass Arbitrage ausgeschlossen ist, existiert nach Satz
2.1.3 eine Wahrscheinlichkeit P ∗ , so dass gilt:
E∗ (S̃n+1 |Fn ) = S̃n ⇐⇒ E∗ (Tn+1 |Fn ) = 1 + r
2.1.1
mit E∗ als der zu P ∗ gehörenden Erwartung.
Es ist nun aber
€

E∗ (Tn+1 ) = E∗ E∗ (Tn+1 |Fn ) = E∗ (1 + r) = 1 + r
und Tn+1 ∈ {1 + a, 1 + b}, so dass gilt:
1 + r = E∗ (Tn+1 )
= (1 + a) P ∗ (Tn+1 = 1 + a) +(1 + b) P ∗ (Tn+1 = 1 + b) ∈]1 + a, 1 + b[
|
{z
}
{z
}
|
>0
>0 n. Vorauss.
⇐⇒ r ∈]a, b[
ƒ
Motivation: Wäre beispielsweise 0 ≤ r ≤ a, so könnte ein Investor zum Zeitpunkt 0 den Betrag S0 (zum risikolosen Zinssatz r) entlehnen und eine Einheit der
risikobehafteten Wertschrift kaufen. Zum Zeitpunkt N würde dann die Wertschrift
zum Preis SN verkauft und der Geldbetrag S0 (1 + r)N zurückbezahlt. Weil nun aber
SN ≥ S0 (1+a)N ≥ S0 (1+r)N , würde ein Arbitragegewinn in der Höhe SN −S0 (1+r)
resultieren, ohne dass der Investor ein Risiko eingegangen wäre.
Aus diesen Gründen sei im Folgenden vorausgesetzt, dass r ∈]a, b[, und wir setzen
p :=
b−r
b−a
Verteilung der Zufallsvariablen (Tn )0≤n≤N
2.1.5 Behauptung: (S̃n )0≤n≤N ist ein Martingal. ⇐⇒ Die Zufallsvariablen (Tn )0≤n≤N
sind voneinander unabhängig und identisch wie folgt verteilt:
P (T1 = 1 + a) = p = 1 − P (T1 = 1 + b)
Beweis:
⇐“ E(Tn+1 |Fn ) = E(Tn+1 ) = p(1 + a) + (1 − p)(1 + b) = 1 + r
”
↑
Tn+1 unabhängig von Fn = σ(T1 , . . . Tn )
4
⇒“ Nach Voraussetzung gilt
”
1 + r = E(Tn+1 |Fn )
€

= E (1 + a) 1{Tn+1 =1+a} + (1 + b) 1{Tn+1 =1+b} |Fn
= (1 + a) E(1{Tn+1 =1+a} |Fn ) + (1 + b) E(1{Tn+1 =1+b} |Fn )
Ausserdem ist E(1{Tn+1 =1+a} |Fn ) + E(1{Tn+1 =1+b} |Fn ) = 1, da {Tn+1 = 1 +
a} ∪ {Tn+1 = 1 + b} = Ω.
Setzen wir nun p0 := E(1{Tn+1 =1+a} |Fn ), so folgt aus der obigen Gleichung, dass
1 + r = (1 + a) p0 + (1 + b) (1 − p0 )
= 1 + b + (a − b) p0
r−b
b−r
p0 =
und somit
=
=p
a−b
b−a
Daraus folgt pn+1 := E(1{Tn+1 =tn+1 } |Fn ) =
(
Dabei ist ausserdem
p
1−p
falls tn+1 = 1 + a
falls tn+1 = 1 + b
€

P (Tn+1 = tn+1 ) = E(1{Tn+1 =tn+1 } ) = E E(1{Tn+1 =tn+1 } |Fn ) = E(pn+1 ) = pn+1
Bleibt zu zeigen, dass die Ti unabhängig sind:
P (T1 = t1 , . . . TN = tN ) =
N
Y
P (Ti = ti )
i=1
Induktion über n:
P (T1 = t1 , . . . Tn = tn ) =
P (Tn = tn |T1 = t1 , . . . Tn−1 = tn−1 ) · P (T1 = t1 , . . . Tn−1 = tn−1 )
|
{z
} |
{z
}
Qn−1
=E(1
|F
)=p =P (T =t )
{Tn =tn }
n−1
n
n
n
=
i=1
P (Ti =ti ) (Ind.vorauss.)
ƒ
Der Wert von Call- und Put-Optionen
Wir betrachten nun europäische Call- und Put-Optionen mit Verfalldatum N und
Ausübungspreis K auf unserer risikobehafteten Wertschrift. Der Wert der Option
zum Zeitpunkt n soll durch Cn für die Call-Option respektive Pn für die Put-Option
ausgedrückt werden.
Eine Call-Option wird selbstverständlich nur ausgeübt, wenn am Fälligkeitsdatum der
Ausübungspreis K unter dem Wertschriftenkurs SN leigt, weil sonst die Wertschrift
über den Kapitalmarkt ja günstiger zu haben wäre. Die Put-Option verhält sich
genau umgekehrt und wird nur ausgeübt, wenn K > SN .
Es liegt daher auf der Hand, für Cn und Pn folgende Ansätze zu machen:

‘
1
∗
(S
−
K)
|F
E
N
+ n
(1 + r)N −n

‘
1
∗
(K
S
|F
Pn =
−
)
E
n
N
+
(1 + r)N −n
Cn =
Daraus leiten wir nun die sogenannte Call-Put-Parität her:
5

‘
Cn − Pn = (1 + r)−(N −n) E∗ SN − K|Fn

‘
= (1 + r)−(N −n) E∗ (SN |Fn ) −K
|
{z
}
= (1 + r)N E∗ (S̃N |Fn )
= (1 + r)N S̃n (1.3.2)
= (1 + r)N −n Sn
= Sn − K(1 + r)−(N −n)
2.2
Konkrete Anwendung des Modells zur Bestimmung der
Optionspreise
Die obige Definition der Werte von Call- und Put-Optionen sind theoretisch valabel,
reichen allerdings zur praktischen Berechnung von Optionspreisen noch nicht aus.
Ausserdem liefern sie uns nur zu endlich vielen Zeitpunkten n = 0, . . . N Informationen. Wir bezeichnen daher im Weiteren das Verfalldatum mit T und lassen die
Anzahl Schritte N bis zum Verfalldatum gegen ∞ streben.
Wir setzen folgende Beziehungen voraus:
• r = RT
N

‘
√σ
• ln 1+a
1+r = − N

‘
1+b
• ln 1+r
= √σN
R lässt sich auf diese Weise als konstanten Momentanzinssatz in der Zeitperiode [0, T ]
interpretieren, denn
’
“N
RT
N →∞
(1 + r)N = 1 +
−−−−−→ eRT
N
σ 2 seinerseits stellt die Grenzvarianz der Zufallsvariable ln(SN ) bezüglich P ∗ dar,
wobei SN den Kurs der risikobehafteten Wertschrift zum Zeitpunkt T ausdrückt.
2.2.1 Behauptung: Sei (YN )N ≥1 eine Folge von Zufallsvariablen der Form
N
YN = X1N + · · · + XN
,
wobei für jedes N die Zufallsvariablen {XiN } mit Werten in {− √σN , √σN }, Erwartung
µN und lim (N µN ) = µ ∈ R unabhängig und identisch verteilt sind.
N →∞
Dann konvergiert (YN )N ≥1 in Verteilung gegen eine N (µ, σ 2 )-Normalverteilung, wenn
N gegen ∞ strebt.
Beweis: Wir betrachten die charakteristische Funktion
N
‘N

Y
N
N
E(eiuXj ) = E(eiuX1 )
ϕYN (u) = E(eiuYN ) =
j=1
’ ’
““N
u2 (X1N )2
N
= E 1 + iuX1 −
+ ...
2
2 2
’ “!N
iuN µN − σ 2u
1
+o
= 1+
N
N

‘ 
‘2

‘2
denn E (X1N )2 = − √σN P (X1N = − √σN ) + √σN P (X1N =
folgt direkt
lim ϕYN (u) = eiuµ−
N →∞
√σ )
N
=
σ2
N .
Daraus
σ 2 u2
2
ƒ
6
Für ein fixes N ist nun der Preis einer Put-Option zum Zeitpunkt 0 wie folgt gegeben:
 

’
“−N
N
Y
RT
(N )
P0 = 1 +
E∗ K − S0
Tj  
N
j=1
+
! !
’
“−N
RT
K − S0 eYN
= E∗
1+
N
+
mit YN = ln
N
Q
j=1
Tj
1+r
!
=
N
P
ln
j=1

Tj
1+r
‘
. Dabei sind die Variablen XjN := ln
{− √σN , √σN } unabhängig und identisch gemäss P ∗ verteilt, also
E
∗
(XjN )
− √σ
Mit e
N

Tj
1+r
‘
∈
““
’
’
’
“
“
“
’ ’
σ
σ
σ
Tj
= p · −√
+ (1 − p) √
= (1 − 2p) √
= E ln
1+r
N
N
N
∗
=
1+a
1+r
√σ
N
und e
1+b
1+r
=
erhalten wir
√σ
p=
b−r
(1 + b) − (1 − r)
e N −1
=
= √σ
− √σ
b−a
(1 + b) − (1 − a)
e N −e N
und somit ist
µN := E
∗
(XjN )
=
1−2
e
e
√σ
N
√σ
N
−1
− √σ
N
−e
!’
σ
√
N
“
∀j
2
Man kann nun zeigen, dass lim (N µN ) = − σ2 =: µ, so dass die Bedingungen von
N →∞
Behauptung 2.2.1 erfüllt sind und die Folge (YN )N ≥1 somit in Verteilung gegen eine
2
N (− σ2 , σ 2 )-Normalverteilung konvergiert.
€

Setzen wir nun ψ(y) := Ke−RT − S0 ey + , so gilt:
(N )
|P0
− E∗ (ψ(YN ))|
Œ ’
!
!Œ
“−N
Œ
€ −RT
 ŒŒ
RT
Œ ∗
YN
YN
− S0 e
1+
K − S0 e
− Ke
= ŒE
+ ŒŒ
Œ
N
Œ+
Œ
“−N
Œ’
Œ
RT
N →∞
Œ
−RT Œ
−e
≤KŒ 1+
Œ −−−−−→ 0
Œ
Œ
N
Da nun aber ψ stetig und beschränkt ist, lässt sich dank der obigen Konvergenzeigenschaft schreiben:
Z +∞ 
‘
y2
σ2
1
(N )
e− 2 dy
lim P0 = lim E∗ (ψ(YN )) = √
Ke−RT − S0 e− 2 +σy
N →∞
N →∞
+
2π −∞
Mit den Substitutionen d1 :=
funktion
1
σ
 € 
ln SK0 + RT +
1
F (d) = √
2π
Z
d
e−
σ2
2
x2
2
‘
, d2 := d1 − σ und der Verteildx
−∞
einer Standard-Normalverteilung lässt sich der obige Ausdruck wie folgt vereinfachen:
(N )
lim P0
N →∞
= Ke−RT F (−d2 ) − S0 F (−d1 )
Unter Verwendung der Call-Put-Parität erhält man schliesslich für den Preis der CallOption:
(N )
lim C0 = S0 F (d1 ) − Ke−RT F (d2 )
N →∞
7
Bemerkung: In den obigen Formeln ist σ der einzige nicht direkt beobachtbare Parameter. Da σ 2 aber als Grenzvarianz (für N → ∞) des logarithmierten Wertschriftenpreises log(SN ) betrachtet werden kann, lässt er sich durch statistische Methoden
schätzen.
Literatur
[1] Black, F., Scholes, M., The Pricing of Options and Corporate Liabilities, in:
Journal of Political Economy, Bd. 81 (1973), Nr. 3, S. 637–654.
[2] Cox, J. C., Rubinstein, M., Options markets, Prentice-Hall, New Jersey, 1985.
[3] Lamberton, D., Lapeyre, B., Introduction au Calcul Stochastique appliqué à la
Finance, Bd. 9 von Mathématiques & Applications, Société de Mathématiques
Appliquées et Industrielles, Paris, 1991.
8