2x1 x2 = 1 2x1 x2 = 1 2x1 x2 = 1 3x1 2x2 = 1 3x1 2x2 = 1 x1 + x2 2x1

Aufgaben zu den Abschnitten 11 { 15
S. 1
Aufgaben zu 11: Lineare Gleichungssysteme
Aufgabe 50:
Bestimmen Sie die L
osungsmengen der folgenden linearen Gleichungssysteme:
(i)
x
x
x
x
2 1
2 = 1
14 1 + 7 2 = 14
(iii)
x 2x2 =
x1 + 3x2 =
2x1 + x2 =
3 1
(iv)
x
x2 = 1
x1 + 2x2 = 2
2 1
(ii)
x
x
x2 =
x
2 1
1
14 1 + 7 2 =
7
x 2x2 =
x1 + 3x2 =
x1 + 4x2 =
3 1
1
5
(v)
4
1
5
2
Aufgabe 51:
Bestimmen Sie die L
osungsmengen der folgenden linearen Gleichungssysteme:
(i)
(ii)
x1 + 3x2
2x1 + 3x2
3x1 + 2x2
x1 + 4x2
x1 + x2
=
x1 + x2 + 2x3 =
2x1 + x2 + 3x3 =
u+ v
u v
v
2u
v
u + 2v
2
(iv)
x
x
x
x
x3 2x4 =
7x3 + 6x4 =
5 3 + 4 4 =
4 3 + 4 4 =
4
3
(iii)
x
x
x1
x
x
x
+ 2x
+
1
4
2
x
x
x
2 1 +
2 + 3 = 6
2 1
2 2
= 6
7
w
+ 2w
w
w
1
+
y
y
y
x
+ 3 = 5
=
5
=
3
=
1
=
2
=
14
Aufgaben zu den Abschnitten 11 { 15
S. 2
Aufgaben zu 12: Vektoren
Aufgabe 52:
Rechnen mit Vektoren:
!
(i) Dr
ucken Sie f
ur ein Parallelogramm
BD mit Hilfe von a und b aus.
ABCD
mit
! = a und AD
! = b die Vektoren AC
!, CB
!,
AB
(ii) Beweisen Sie: Verbindet man die Mittelpunkte der benachbarten Seiten eines beliebigen Vierecks
in der Ebene miteinander, so erh
alt man ein Parallelogramm.
Aufgaben zu den Abschnitten 11 { 15
S. 3
Aufgaben zu 13: Skalar- und Vektorprodukt
Aufgabe 53:
Es seien
a, b 2 R3 Vektoren, die nicht beide Null sind. Diskutieren Sie Bedingungen fur das Bestehen
folgender Beziehungen:
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
(v)
(vi)
ka + bk = kak + kbk
ka + bk = kak kbk
ka + bk > kak + kbk
ka + bk < kak + kbk
ka + bk = kak
ka + bk = 0
Aufgabe 54:
(i) Es sei
der Winkel bei A in dem Dreieck ABC mit
A = (2;
; ; B = (1;
1 1)
Bestimmen Sie cos
;
3
5)
; C = (3;
4
;
4)
:
.
(ii) Beweisen Sie den Satz des Thales vektoriell.
 
1
 
0
1
0
(iii) Bestimmen Sie einen Vektor x , der linear abh
angig von 1 und 1 ist, senkrecht steht auf
 
1
0 und die L
ange 1 hat.
1
Aufgabe 55:
Wo liegen alle Vektoren, die mit einem festen Vektor
a 6= 0 ein festes Skalarprodukt haben?
Aufgabe 56:
Berechnen Sie
 
1
(i) das Kreuzprodukt

3

0  2,
2
11

a; b; c ) fur a = 
(ii) Das Spatprodukt (
1

1 ,
2
 
1
 
1
3
0
b = 1 und c = 2.
Aufgaben zu den Abschnitten 11 { 15
Aufgabe 57:
Geben Sie alle L
osungen
 
1
(i) a = 0,
1
(ii) a = 0,
1
von
 
b
 
1
x
0
= 1
0
 
b
0
= 1
1
x a = b an fur
S. 4
Aufgaben zu den Abschnitten 11 { 15
S. 5
Aufgaben zu 14: Geraden und Ebenen
Aufgabe 58:
Geraden:
(i) Geben Sie eine Parameterdarstellung an
P = (1; 2), Q = ( 2; 5),
der Geraden mit der Gleichung y = x + 3,
der Strecke von A = ( 1; 2) nach B = (3; 1).
a) der Geraden durch die Punkte
b)
c)
(ii) Welche der Geraden mit den Parameterdarstellungen

14
g1 : x = 


1 +
15
 
t

6
12
g3 : x = 9 + t 
4

 
4

g2 : x = 6 + t 
9 ,
18
0


3
g4 : x = 
0 ,
4

3
6 +
10
4

3 ,
6

t

6
1
8
sind parallel?
(iii) Liegen die drei Punkte
A = (2; 2; 3), B = ( 2; 3; 1), C = ( 6; 4; 1) auf einer Geraden?
Diskutieren Sie verschiedene M
oglichkeiten, dies zu pr
ufen.
(iv) Beweisen Sie vektoriell, dass die Schwerlinien (Seitenhalbierenden) eines Dreiecks durch einen
Punkt gehen.
;
;
Berechnen Sie diesen Schwerpunkt f
ur das Dreieck mit den Ecken ( 1
;
1), (3 0), ( 2 4).
(v) Bestimmen Sie eine Parameterdarstellung der Mittelsenkrechten auf der Strecke mit den Endpunkten
A = (2; 1), B = ( 1; 3).
Aufgabe 59:
Ebenen:
(i) Liegen die vier Punkte
A = (0; 2; 2) ; B = (2; 0;
1)
; C = (3; 4; 0) ; D = (0;
;
1 1)
in einer Ebene?
(ii) Geben Sie die Normalenform der Gleichung der Ebene
E durch die Gleichung 2x y + 2z = 12 gegeben ist.
E
in vektorieller Schreibweise an, wenn
(iii) Durch folgende Gleichungen sind vier Ebenen gegeben:
E1 : x + 2y
2
z = 5 ; E2 : 3x
y
z = 2 ; E3 : 2x + y + 2z =
6 +3
1
; E4 : x
Stellen Sie fest, welche der Ebenen parallel bzw. senkrecht zueinander sind.
y z =7
2 +
Aufgaben zu den Abschnitten 11 { 15
S. 6
Aufgabe 60:
Geraden und Ebenen:
(i) Welche Punktmenge beschreibt die Gleichung
x +y =3
a) in der Ebene,
b) im Raum?
g mit der Parameterdarstellung
(ii) Berechnen Sie den Schnittpunkt der Geraden


x =
3 +
8
und der Ebene


3
1

3
0
E mit der Parameterdarstellung
 

2
x = 1 + 
1

1
0 +
1



2
1
2
;
indem Sie die Ebene zun
achst in Normalenform bringen.
Aufgabe 61:
Haben die Geraden mit den Parameterdarstellungen
 
6

x = 9 + t 
4
einen Schnittpunkt?


0
; x =
3
4
3

6 +
10

s

6
1
8
Aufgaben zu den Abschnitten 11 { 15
Aufgaben zu 15: Determinanten
Aufgabe 62:
Bestimmen Sie die L
osung des linearen Gleichungssystems
x
x2 = 1
x1 + 2x2 = 2
2 1
mit Hilfe der Cramerschen Regel.
S. 7