Zur Historie
Wellenpakete und Wellenfunktionen
Ortsraum und Impulsraum
Observable und Unschärferelation
Max Planck (1858–1947, Nobelpreis 1918)
Hypothetische Erklärung des (klassisch nicht erklärbaren)
Strahlungsverhaltens “schwarzer Körper”:
eletromagnetische Strahlung wird nur in diskreten Portionen
(“Quanten”) emittiert und absorbiert.
Strahlungsformel von M. Planck (1900)
E =h·ν =~·ω
E = Energie
ν = Frequenz
ω = 2πν
h = “Wirkungsquantum” ≈ 6.62608 · 10−34 Js
~ = h/2π
Information, Codierung, Komplexität 2 –SS 2007–
Einige Grundbegriffe der Quantentheorie
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Ortsraum und Impulsraum
Observable und Unschärferelation
Albert Einstein (1879–1955, Nobelpreis 1921)
Erklärt auf der Basis der Quantenhypothese den photoelektrischen
Effekt. Lichtquanten haben mechanische Eigenschaften:
Licht der Frequenz ν “besteht aus” Quanten mit Impuls p, wobei
Impuls der Lichtquanten
p=
E
ν
h
=h· = =~·k
c
c
λ
λ = Wellenlänge
k = 2π
λ = Wellenzahl
c = Lichtgeschwindigkeit
Konsequenz: → Welle-Teilchen-Dualismus für em. Strahlung
NB: 3-dimensional sind Impuls und Wellenzahl Vektoren: ~p = ~ · ~k
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Observable und Unschärferelation
Niels Bohr (1885–1962, Nobelpreis 1922)
Modell zur Erklärung des Energiespektrums von
Wasserstoffatomen (1912):
Hinweis, dass Elektronen Wellencharakter haben
Experimente von Otto Stern und Walter Gerlach zur
Spin-Messung an Silberatomen (1921) und Wasserstoffatomen
(1927)
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Luis de Broglie (1892–1987, Nobelpreis 1929)
Materieteilchen haben Welleneigenschaften (1923)
Impuls und Energie sind mit Wellenzahl und Frequenz verbunden
durch die
de Broglie Beziehungen
~p = ~ · ~k,
E =~·ω =h·ν
Ein Teilchen mit Impuls p hat also eine Wellenlänge λ = h/p.
Experimentelle Bestätigung durch
Davisson und Germer (Elektronenbeugung an Kristallen, 1927),
Thomson (Elektronenbeugung an Metallfolien, 1927),
Stern (Beugung von Atomen und Molekülen, 1929)
u.v.a.m.
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Formulierung der “Quantenmechanik” auf der Basis einer
“Matrizenmechanik”≈ 1926 durch
Max Born (1882–1970, Nobelpreis 1954)
Pascual Jordan (1902–1980, kein Nobelpreis)
Werner Heisenberg (1901–1976, Nobelpreis 1932)
Formulierung der “Quantenmechanik” auf der Basis einer
“Wellenmechanik”≈ 1926 durch
Erwin Schrödinger (1887–1961, Nobelpreis 1933)
beweist auch die Äquivalenz von Matrizen- und Wellenmechanik
formuliert 1935 paradoxe Verschränkungsphänomene
(“Schrödingers Katze”)
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≈ 1927: “Kopenhagener Deutung” der Quantenmechanik i.w.
durch Niels Bohr und Werner Heisenberg,
Formulierung des Unschärfeprinzips durch Heisenberg,
Vereinigung von Quantentheorie und Relativitätstheorie durch
Paul Dirac (1902–1984, Nobelpreis 1933)
Klassiker:
P. A. M. Dirac: Principles of Quantum Mechanics (1930)
John von Neumann: Mathematische Grundlagen der
Quantenmechanik (1932)
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ebene Welle mit Impuls ~p = ~~k und Energie E = ~ω
~
A · e i(k·~x −ωt)
Die Wellenfronten ~k · ~x − ωt = const. sind Ebenen senkrecht zum
Wellenvektor ~k.
Für die Beziehung zwischen Impuls und Energie gilt wegen
E = p 2 /2m die
Dispersionsbeziehung
ω=
~ 2
k
2m
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Teilchen sind “Wellenpakete”, die durch Überlagerung von ebenen
Wellen entstehen
Wellenpaket
Z
ψ(~x , t) =
d 3k
~
φ(~k) e i(k·~x −ωt)
(2π)3
Ist die Impulsverteilung φ(~k) um k~0 konzentriert, so gilt
dω ~ ~
ω(~k) = ω(~k0 ) +
(k − k0 ) + · · ·
d ~k
Dann gilt mit ω0 = ω(~k0 ) und ~vG = dω~ = (∇~k ω)(~k0 )
dk
Z
d 3k
~
~
ψ(~x , t) ≈ e i(k0 ·~vG −ω0 t) φ(~k) e i k·(~x −~vG t)
= e iω0 t ψ(~x −~vG t, 0)
(2π)3
d.h., das Wellenpaket bewegt sich formstabil (angenähert
wenigstens, in Wirklichkeit “zerfliesst” es mit der Zeit) mit der
“Gruppengeschwindigkeit” ~vG
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~
~
~2
Die ebene Welle f (~x , t) = A · e i(k·~x − 2m k t) genügt offensichtlich
der linearen partiellen Differentialgleichung
i~
∂
~2
f (~x , t) = −
∆~ f (~x , t)
∂t
2m x
mit ∆~x = ∇~x · ∇~x =
∂2
∂x 2
+
∂2
∂y 2
+
∂2
∂z 2
(Laplace-Operator)
Mittels linearer Überlagerung erhält man für Wellenpakete
Schrödinger-Gleichung für freie Teilchen
i~
∂
~2
ψ(~x , t) = −
∆~ ψ(~x , t)
∂t
2m x
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Für die Teilchen-Dichtefunktion
ρ(~x , t) = ψ ∗ (~x , t) · ψ(~x , t) = |ψ(~x , t)|2
~
erhält man mit ~j(~x , t) = m
=(ψ ∗ ∇~x ψ) (“Teilchenstrom”)
Kontinuitätsgleichung
∂
ρ(~x , t) = ∇~x · ~j(~x , t)
∂t
Integriert man über den ganzen Raum, so erhält man (unter
vernünftigen Randbedingungen) den
Erhaltungssatz
Z
R3
ρ(~x , t)d 3 x =
Z
|ψ(~x , t)|2 d 3 x = const.
R3
Man kann ohne Einschränkung
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R
|ψ(~x , t)|2 d 3 x = 1 annehmen.
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Max Borns Interpretation der Wellenfunktion ψ(~x , t)
ρ(~x , t) = |ψ(~x , t)|2 ist die Wahrscheinlichkeitsdichte
dafür, bei Ortsmessung das Teilchen zum Zeitpunkt t
im Punkt ~x ∈ R3 zu finden
R
Entsprechend ist G |ψ(~x , t)|2 d 3 x die Wahrscheinlichkeit dafür, bei
Ortsmessung das Teilchen zum Zeitpunkt t im Gebiet G ⊆ R3 zu
finden.
Im Mittel wird man also bei Ortsmessung “im Zustand ψ” zum
Zeitpunkt t das Teilchen im Punkt
Z
~x |ψ(~x , t)|2 d 3 x
h~x i =
R3
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Wellenfunktionen lassen sich überlagern (Linearität!) – aber die
Auswirkung auf die Wahrscheinlichkeitsdichten ist nichtlinear:
ψ = ψ1 + ψ2 ⇒ |ψ|2 = |ψ1 |2 + |ψ2 |2 + ψ1 ψ2∗ + ψ1∗ ψ2
Der “Interferenzterm” ψ1 ψ2∗ + ψ1∗ ψ2 ist reell, kann aber positiv oder
negativ sein, was zu Beugungs- und Interferenzerscheinungen führt.
Die Wellenfunktion ψ eines Teilchens (oder irgendeines
quantenmechanischen Systems) ist experimentell nicht direkt
zugänglich (messbar), nur die Dichtefunktion ρ = |ψ|2 ist es.
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Bezüglich des Ausdrucks für ein freies Wellenpaket
Z
d 3k
~
ψ(~x , t) = φ(~k) e i(k·~x −ωt)
(2π)3
kann man
|φ(~k)|2
(2π)3
als Wahrscheinlichkeitsdichte für den Impuls ~p = ~~k auffassen.
Das kann man mittels Fouriertransformation beschreiben:
Fouriertransformation für Wellenfunktionen
Z
~
e ~k, t) =
ψ(
ψ(~x , t) e −i k·~x d 3 x
3
R
Z
3
e ~k, t) e i ~k·~x d k
ψ(~x , t) =
ψ(
(2π)3
R3
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e ~k, t) der Wellenfunktion ψ(~x , t) im
Die Fouriertransformierte ψ(
Ortsraum ist die Wellenfunktion im Impulsraum.
Für das Wellenpaket eines freien Teilchens gilt
e ~k, t) = φ(~k) e −iω(~k)t
ψ(
Die Wellenfunktion ψe im Impulsraum genügt der
Differentialgleichung
Wellengleichung im Impulsraum
∂ e~
e ~k, t)
i~
ψ(k, t) = ~ ω(~k) ψ(
∂t
Mittels Fouriertransformation erkennt man die Äquivalenz zur
Schrödinger-Gleichung im Ortsraum.
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Erwartungswert der Impulsmessung
Mittels der Parseval-Plancherel-Relation in der Form
Z
Z
d 3k
e
f ∗ (~x ) g (x) d 3 x =
f ∗ (~k) ge(~k)
(2π)3
R3
R3
erhält man
Impulsmessung im Impuls- und im Ortsraum
Z
3
e ~k, t)|2 d k
h~p i =
~ ~k |ψ(
(2π)3
3
ZR
~
=
ψ ∗ (~x , t) ∇~x ψ(~x , t) d 3 x
i
R3
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Observable und Unschärferelation
Entsprechend gilt für die Ortsmessung
Ortsmessung im Orts- und im Impulsraum
Z
~x |ψ(~x , t)|2 d 3 x
h~x i =
3
R
Z
d 3k
~
=−
ψe∗ (~k, t) ∇~k ψ(~k, t)
i
(2π)3
R3
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~ und Impulsoperator P
~ operieren auf
Ortsoperator Q
Wellenfunktionen als Multiplikationen oder Ableitungen
(Gradienten), je nach Betrachtungsweise
Orts- und Impulsoperator im Ortsraum und im Impulsraum
Ortsraum
~
Impulsoperator P
~
Ortsoperator Q
~ ψ(~x , t) =
P
~
i
Impulsraum
∇~x ψ(~x , t)
~ ψ(~x , t) = ~x ψ(~x , t)
Q
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~ ψ(
e ~k, t) = ~ ~k ψ(
e ~k, t)
P
~ ψ(
e ~k, t) = − ~ ∇~ ψ(
e ~k, t)
Q
k
i
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Schreibt man (im Ortsraum)
~ = (Px , Py , Pz ) = ~ ( ∂ , ∂ , ∂ )
P
i ∂x ∂y ∂z
~
Q = (Qx , Qy , Qz ) wobei Qa = Multiplikation mit a
so gelten die
Born-Jordansche Vertauschungsrelationen (1925)
[Pa , Qb ] = Pa Qb − Qb Pa =
~
δa,b 1
i
~ 2 = P 2 + P 2 + P 2 = −~2 ( ∂ 22 +
NB: P
x
y
z
∂x
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(a, b ∈ {x, y , z})
∂2
∂y 2
+
∂2
)
∂z 2
= −~2 ∆~x
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Observable sind physikalische Grössen, die gemessen werden
können: Ort, Impuls, Energie, Drehimpuls, . . .
Die mathematische Formalismus besagt (knapp zusammengefasst)
Observable im Formalismus der Quantenmechanik
I
Observable sind selbstadjungierte lineare Operatoren auf
einem (Zustands-)Raum von Wellenfunktionen ψ
I
Mögliche Messwerte einer Observablen A sind ihre
(reellen!) Eigenwerte
I
Messung einer Observablen A im Zustand ψ liefert den
Erwartungswert
Z
hAi = hψ | A | ψi = ψ ∗ · Aψ
mit der Varianz
(∆A)2 = h(A − hAi)2 i = hA2 i − hAi2
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Observable im Formalismus der Quantenmechanik (Forts.)
I
Eine Observable A kann im Zustand ψ genau dann scharf
gemessen werden (d.h. ∆A = 0), wenn ψ ein Eigenvektor von A ist
I
Zwei Observable A und B auf dem gleichen Raum von
Wellenfunktionen sind genau dann gleichzeitig scharf messbar,
wenn sie das gleiche System von Eigenvektoren haben. Das ist
gleichwertig zu
[A, B] = A · B − B · A = 0, d.h. A und B kommutieren
I
Sind A, B zwei Observable, so gilt die Unschärferelation
1
∆A · ∆B ≥ |h [A, B] i|
2
Insbesondere: ∆Pa · ∆Qa ≥ ~2
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Bewegung eines Teilchens in einem Potentialfeld V (~x )
I
Hamiltonfunktion: Energie ist ein Funktion von Impuls und Ort
H(~p , ~x ) =
I
~p 2
+ V (~x )
2m
Hamiltonoperator (im Ortsraum)
H=
~2
P
~2
+ V (Q) = −
∆~ + V (~x )
2m
2m x
Schrödingergleichung (1926)
i~
∂
ψ(~x , t) = H ψ(~x , t)
∂t
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Stationäre Lösungen im zeitunabhängigen Fall
(d.h. H ist nicht von t abhängig)
I
Separation der Variablen: ψ(~x , t) = f (t) · φ(~x )
I
Folgerung: es gibt eine Konstante E ∈ R mit
i~
I
d
f (t) = E · f (t) und H φ(~x ) = E · φ(~x )
dt
stationäre Lösung
E
ψ(~x , t) = e −i ~ t φ(~x )
wobei φ(~x ) Eigenfunktion des Operators H zum Eigenwert E
I
man rechnet leicht nach: hHi = E
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Beispiel: Teilchen im Potentialtopf (1-dimensional)
(
0
falls 0 < x < L
V (x) =
∞ sonst
I
Differentialgleichung für zeitunabhängige Lösungen
φ00 (x) − k 2 φ(x) = 0, φ(0) = φ(L) = 0
wobei
= 2mE
>0
~2
Lösungen erfordern k · L = n · π mit n ∈ Z; man erhält die
Eigenfunktionen
n π φn (x) = A · sin
x ,n ≥ 1
L
zu den jeweiligen Eigenwerten
~2 n π 2
~2 π 2 2
En =
=
n
2m L
2mL2
p
Normierung erfordert A = 2/L.
k2
I
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Bemerkungen
I
Die Eigenfunktionen φn (x) (n ≥ 1) bilden ein orthonormales
System von Funktionen:
Z
0
L
φ∗n (x) φm (x) dx
2
=
L
Z
L
sin
0
nπx L
sin
mπx L
dx = δn,m
I
dieses System ist auch vollständig:
Jede (hinreichend gutartige) Funktion f(x) mit
f (0) = fP
(L) = 0 lässt sich in eine (Fourier-)Reihe
f (x) = n≥1 bn φn (x) entwickeln.
I
In diesem Beispiel ist das Spektrum des Hamiltonoperators
rein diskret. Normalerweise hat man auch ein kontinuierliches
Spektrum (Streulösungen).
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