Von den Kegelschnitten zur
Himmelsmechanik
Gliederung
≈ 360
≈ 200
Menaichmos
Apollonius
0 ≈ 150
Ptolemäus
15./16 Jhd.
16./17. Jhd.
Kopernikus Kepler
Gliederung
≈ 360
≈ 200
Menaichmos
Apollonius
0 ≈ 150
Ptolemäus
15./16 Jhd.
16./17. Jhd.
Kopernikus Kepler
Parabel
Kreis
Ellipse
Menaichmos (um 360 v. Chr.)
• Problem der Würfelverdoppelung führt zu
ersten Kurven
• Zeichnung war aufgrund von Faden- und
Punktkonstruktion sehr ungenau
• Menaichmos visualisiert Kurven an
Kegelschnitten
Hyperbel
Parabel
Kreis
Ellipse
Hyperbel
Bedingungen für Menaichmos Kegelschnitte
Der Kegel sollte von einer Ebene senkrecht zur
Mantellinie geschnitten werden. Das kann nur mit
unterschiedlichen Winkeln der Kegelspitze
realisiert werden.
Aufgabe:
Überlegt, welche Winkel der Kegel bei den jeweiligen
Schnitten haben muss.
Parabel
Kreis
Ellipse
Hyperbel
Winkel α der Kegelspitze:
α = 90°
90° < α < 180°
0° < α < 90°
Gliederung
≈ 360
≈ 200
Menaichmos
Apollonius
0 ≈ 150
Ptolemäus
15./16 Jhd.
16./17. Jhd.
Kopernikus Kepler
Parabel
Kreis
Ellipse
Hyperbel
Apollonius von Perga (265-190 v. Chr.)
• Schreibt „Konika“ – ein Werk von 8
Büchern über die Kegelschnitte
• Bezieht sich auf Euklid
• Neu ist das Schneiden eines Kegels
in unterschiedlichen Winkeln
• Definiert den Scheitelpunkt der
Parabel folgendermaßen:
Parabel
Kreis
Ellipse
Hyperbel
„Als Durchmesser einer ebenen Kurve bezeichne
ich eine Gerade, die irgendeine Schar paralleler
Sehnen halbiert, als Scheitel der Kurve bezeichne
ich den auf der Kurve liegenden Endpunkt des
Durchmessers; jene Parallelen aber bezeichne ich
als zum Durchmesser geordnet gezogen.“
Czwalina 1967: 2
Parabel
Kreis
Ellipse
Hyperbel
„Als Durchmesser einer ebenen Kurve bezeichne
ich eine Gerade, die irgendeine Schar paralleler
Sehnen halbiert, als Scheitel der Kurve bezeichne
ich den auf der Kurve liegenden Endpunkt des
Durchmessers; jene Parallelen aber bezeichne ich
als zum Durchmesser geordnet gezogen.“
Czwalina 1967: 2
Parabel
Kreis
Ellipse
Hyperbel
„Als Durchmesser einer ebenen Kurve bezeichne
ich eine Gerade, die irgendeine Schar paralleler
Sehnen halbiert, als Scheitel der Kurve bezeichne
ich den auf der Kurve liegenden Endpunkt des
Durchmessers; jene Parallelen aber bezeichne ich
als zum Durchmesser geordnet gezogen.“
Czwalina 1967: 2
Parabel
Kreis
Ellipse
Hyperbel
„Als Durchmesser einer ebenen Kurve bezeichne
ich eine Gerade, die irgendeine Schar paralleler
Sehnen halbiert, als Scheitel der Kurve bezeichne
ich den auf der Kurve liegenden Endpunkt des
Durchmessers; jene Parallelen aber bezeichne ich
als zum Durchmesser geordnet gezogen.“
Czwalina 1967: 2
Parabel
Kreis
Ellipse
Hyperbel
Beschreibung und Kennzeichnung der Parabel
Quelle: „Konika“: §11
Parabel
Kreis
Ellipse
Hyperbel
Parabel
Kreis
Ellipse
Hyperbel
Parabel
Kreis
Ellipse
Hyperbel
Apollonius als Astronom
Geozentrisches • Erde = Zentrum des Universums
Weltbild:
• Himmelskörper bewegen sich gleichförmig
• Bewegungen auf perfekten Kreisbahnen
Beobachtungen: • Schleifenbahnen der Planeten
• rückläufige Bewegung
• periodischen Helligkeitsschwankungen
Gliederung
≈ 360
≈ 200
Menaichmos
Apollonius
0 ≈ 150
Ptolemäus
15./16 Jhd.
16./17. Jhd.
Kopernikus Kepler
Parabel
Kreis
Ellipse
Hyperbel
Ptolemäus (ca. 100 – 160 n. Chr.)
• Kreisbewegungen nicht mehr gleichförmig
 gemäßigte Geozentrik
• bis zu 40 Epizykel
• Probleme: einheitliches System für die Veränderung von
Position und Helligkeit der Planeten
• vorherrschende astronomische Theorie für ca. 1300
Jahre
Gliederung
≈ 360
≈ 200
Menaichmos
Apollonius
0 ≈ 150
Ptolemäus
15./16 Jhd.
Kopernikus
16./17. Jhd.
Kepler
Parabel
Kreis
Ellipse
Hyperbel
Nikolaus Kopernikus (1473 – 1543)
• Sonne im Mittelpunkt
• Erde rotiert um die eigene Achse
Heliozentrisches / Kopernikanisches Weltbild
• Epizykeltheorie (!)
Gliederung
≈ 360
≈ 200
Menaichmos
Apollonius
0 ≈ 150
Ptolemäus
15./16 Jhd.
Kopernikus
16./17. Jhd.
Kepler
Parabel
Kreis
Ellipse
Hyperbel
Johannes Kepler (1571 – 1630)
• Studium Apollonius‘ Kegellehre
• Monate lange astronomische
Rechnungen
• Auswertung des Beobachtungsmaterials von Tycho Brahe
• Widerlegung der Epizykeltheorie
Parabel
Kreis
Ellipse
Hyperbel
Kepler´ sche Gesetze
1. Planeten bewegen sich auf Ellipsen, in
deren Brennpunkt die Sonne steht.
2. Der Radiusvektor (Verbindungslinie Sonne – Planet)
überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen
(= Flächensatz).
3. Die Quadrate der Umlaufzeiten verschiedener
Planeten verhalten sich wie die Kuben ihrer großen
Bahnachsen.
Parabel
Kreis
Ellipse
Hyperbel
Kepler´ sche Gesetze
1. Planeten bewegen sich auf Ellipsen, in
deren Brennpunkt die Sonne steht.
2. Der Radiusvektor (Verbindungslinie Sonne –
Planet) überstreicht in gleichen Zeiten gleiche
Flächen (= Flächensatz).
3. Die Quadrate der Umlaufzeiten verschiedener
Planeten verhalten sich wie die Kuben ihrer großen
Bahnachsen.
Parabel
Kreis
Ellipse
Hyperbel
Zweites Kepler´ sches Gesetz
y
5
4
?
3
2
1
1
-1
-1
-2
-3
-4
-5
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
x
Parabel
Kreis
Wie wirken die Kräfte?
• Zentralfeld
Ellipse
Hyperbel
Parabel
Kreis
Ellipse
Hyperbel
Welche Größen müssen bei der Berechnung
des Flächeninhalts berücksichtigt werden?
Drehimpuls
Das war die Reise von den
Kegelschnitten zur
Himmelsmechanik