Verflixt, warum geht das nicht? Unmöglichkeitsbeweise in der

Verflixt, warum geht das nicht?
Unmöglichkeitsbeweise
in der Mathematik
Daniel Grieser
Institut für Mathematik
Universität Oldenburg
Tag der Mathematik, 5. November 2008
Der Läufer
Ein Läufer im Schach kann nur
schräg ziehen.
Kann er ...
... von hier ...
Der Läufer
Ein Läufer im Schach kann nur
schräg ziehen.
Kann er ...
... von hier ...
... nach hier ...
gelangen?
Der Läufer
Nein!
Der Läufer
Nein!
Warum nicht?
Der Läufer
Nein!
Warum nicht?
Der Läufer bleibt immer auf der
gleichen Farbe.
Domino
Kann man das 5x5 Brett mit
Dominosteinen überdecken
(Überlappungen verboten)?
Domino
Kann man das 5x5 Brett mit
Dominosteinen überdecken
(Überlappungen verboten)?
Domino
Kann man das 5x5 Brett mit
Dominosteinen überdecken
(Überlappungen verboten)?
Domino
Kann man das 5x5 Brett mit
Dominosteinen überdecken
(Überlappungen verboten)?
Domino
Kann man das 5x5 Brett mit
Dominosteinen überdecken
(Überlappungen verboten)?
Nein.
Domino
Kann man das 5x5 Brett mit
Dominosteinen überdecken
(Überlappungen verboten)?
Nein.
Warum nicht?
Domino
Kann man das 5x5 Brett mit
Dominosteinen überdecken
(Überlappungen verboten)?
Nein.
Warum nicht?
Anzahl der Felder ist ungerade.
Domino 2
Kann man das 6x6 Brett mit
Dominosteinen überdecken?
Domino 2
Kann man das 6x6 Brett mit
Dominosteinen überdecken?
Na klar!
Zum Beispiel so.
Domino 3
Jetzt schneiden wir zwei Ecken
ab.
Kann man diese Figur mit
Dominosteinen überdecken?
Domino 3
Jetzt schneiden wir zwei Ecken
ab.
Kann man diese Figur mit
Dominosteinen überdecken?
Anzahl der Felder ist gerade.
Könnte also gehen.
Domino 3
Versuchen wir‘s!
Domino 3
... und weiter ...
Domino 3
... und weiter ...
... und weiter ...
Domino 3
... und weiter ...
... und weiter ...
... Mist!
Domino 3
Noch ein Versuch.
Wieder nichts!
Domino 3
Haben wir nicht genug
probiert, oder geht es
prinzipiell nicht?
Warum es nicht geht
Wir färben die Felder
schachbrettartig.
Warum es nicht geht
Jeder Dominostein bedeckt
ein weißes und ein schwarzes
Feld.
Warum es nicht geht
Jeder Dominostein bedeckt
ein weißes und ein schwarzes
Feld.
Es werden zwei weiße Felder
abgeschnitten.
Warum es nicht geht
Jeder Dominostein bedeckt
ein weißes und ein schwarzes
Feld.
Es werden zwei weiße Felder
abgeschnitten.
Also bleiben zwei schwarze
Felder übrig!
Warum es nicht geht
Jeder Dominostein bedeckt
ein weißes und ein schwarzes
Feld.
Es werden zwei weiße Felder
abgeschnitten.
Also bleiben zwei schwarze
Felder übrig!
(Egal, wie wir es versuchen.)
Zusammenfassung
Keine Domino-Überdeckung
-  obwohl Felderanzahl gerade
Zusammenfassung
Keine Domino-Überdeckung
-  obwohl Felderanzahl gerade
-  erst mittels Schachbrettmuster
erkennbar
Das 15er Puzzle (Boss puzzle, Jeu de Taquin)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
15er Puzzle
Eine Variante
Das 15er Puzzle (Boss puzzle, Jeu de Taquin)
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3
4
5
6
7
8
9
10
11
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Erfunden 1878 von Sam Loyd
Löste eine wahre Epidemie aus
(Sogar im Deutschen Reichstag
wurde gepuzzelt)
Das 15er Puzzle Problem
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
15
14
Sam Loyds 1000$-Problem:
Löse dieses Puzzle!
Das 15er Puzzle Problem
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
15
14
Sam Loyds 1000$-Problem:
Löse dieses Puzzle!
Satz: Es geht nicht!
Warum nicht?
Permutationen (= Anordnungen)
Welche Anordnungen der Zahlen 1, 2, 3 gibt es?
1
2
3
1
3
2
2
3
1
2
1
3
3
1
2
3
2
1
Permutationen
Verstellung = Eine größere Zahl kommt vor einer kleineren
Permutation
Anzahl der Verstellungen
1
2
3
0
1
3
2
1
2
3
1
2
2
1
3
1
3
1
2
2
3
2
1
3
gerade
ungerade
gerade
ungerade
gerade
ungerade
Permutationen
Verstellung = Eine größere Zahl kommt vor einer kleineren
Permutation
Anzahl der Verstellungen
1
2
3
0
1
3
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1
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3
1
2
2
1
3
1
3
1
2
2
3
2
1
3
gerade
ungerade
gerade
ungerade
gerade
ungerade
Permutationen
Verstellung = Eine größere Zahl kommt vor einer kleineren
Permutation
Anzahl der Verstellungen
1
2
3
4
5
6
0
3
6
1
2
5
4
7
gerade
ungerade
Permutationen
Verstellung = Eine größere Zahl kommt vor einer kleineren
Permutation
Anzahl der Verstellungen
1
2
3
4
5
6
0
3
6
1
2
5
4
7
gerade
ungerade
Vertauschen zweier Zahlen
Permutation
1
2
3
4
5
Anzahl der Verstellungen
6
Zwei benachbarte vertauschen:
1
2
3
5
4
6
0
Vertauschen zweier Zahlen
Permutation
1
2
3
4
5
Anzahl der Verstellungen
6
0
Zwei benachbarte vertauschen:
1
2
3
5
4
6
Also: Bei Nachbartausch Farbwechsel!
1
Vertauschen zweier Zahlen
Permutation
1
2
3
4
5
Anzahl der Verstellungen
6
Zwei beliebige vertauschen:
1
2
6
4
5
3
0
Vertauschen zweier Zahlen
Permutation
1
2
3
4
5
Anzahl der Verstellungen
6
0
3
5
Zwei beliebige vertauschen:
1
2
6
4
5
Warum muss die Farbe wechseln?
Vertauschen zweier Zahlen
Satz: Bei Vertauschen irgendeines Paares geschieht ein Farbwechsel.
Beweis:
Permutation
Anzahl der Verstellungen
1
2
3
4
5
6
0
1
2
3
4
6
5
1
1
2
3
6
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5
2
1
2
6
3
4
5
3
1
2
6
4
3
5
4
1
2
6
4
5
3
5
Satz: Bei Vertauschen irgendeines Paares geschieht ein Farbwechsel.
Beweis:
Permutation
Anzahl der Verstellungen
1
2
3
4
5
6
0
1
2
3
4
6
5
1
1
2
3
6
4
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2
1
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3
1
2
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1
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3
5
Man kann zwei Zahlen mit Abstand A vertauschen, indem man A + (A-1) mal Nachbarzahlen
vertauscht. Bei jedem Nachbartausch geschieht ein Farbwechsel.
A + (A–1) = 2A-1 ist ungerade, also hat man am Ende eine andere Farbe als am Anfang.
Das 5er Puzzle Problem
1
2
Kann man von
3
1
2
zu
4
5
3
gelangen?
5
4
Das 5er Puzzle Problem
Jede Puzzlestellung entspricht einer Permutation:
1
2
4
5
1
2
5
3
entspricht
1
2
3
4
5
6
entspricht
1
2
3
5
4
6
3
4
6 = das leere Feld
Das 5er Puzzle Problem
Ein Zug entspricht einer Vertauschung einer Zahl mit 6.
Waagerechter Zug:
1
2
4
5
1
2
4
3
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
6
5
3
5
6 = das leere Feld
Das 5er Puzzle Problem
Ein Zug entspricht einer Vertauschung einer Zahl mit 6.
Senkrechter Zug:
1
2
4
5
1
2
4
5
3
1
2
3
4
5
6
1
2
6
4
5
3
3
6 = das leere Feld
Das 5er Puzzle Problem
Also wechselt die Permutation mit jedem Zug die Farbe.
1
2
4
5
1
2
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1
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1
6
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3
3
2
5
3
Das 5er Puzzle Problem
Nun färben wir zusätzlich die Puzzleunterlage schachbrettartig.
Das freie Feld wechselt bei jedem Zug die Farbe.
1
2
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1
2
4
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3
1
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3
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5
6
1
2
6
4
5
3
3
Die Permutation hat immer dieselbe Farbe wie das freie Feld!
(Denn das ist am Anfang so und beide wechseln gemeinsam.)
Das 5er Puzzle Problem
Satz: Von der Ausgangsstellung sind nur solche Stellungen erreichbar,
deren Permutation dieselbe Farbe wie das freie Feld hat.
Ausgangsstellung:
1
2
4
5
3
1
2
3
4
5
6
1
2
3
5
4
6
Preisrätsel-Stellung:
1
5
2
3
4
Die Preisrätsel-Stellung kann nie erreicht werden!
Zurück zum 15er Puzzle 1000$-Problem
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
15
14
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
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12
13
15
14
16
Zurück zum 15er Puzzle 1000$-Problem
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
15
14
1
2
3
Die Farben sind verschieden.
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
Also ist das 1000$-Problem nicht lösbar.
15
14
16
Andere Stellungen im 15er Puzzle
1
2
3
4
8
7
6
5
9
10
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15
14
13
2
3
1
4
8
7
6
12 Verstellungen. Nicht lösbar.
5
9
10
11
12
16
15
14
13
Andere Stellungen im 15er Puzzle
1
2
3
4
12
13
14
5
15
6
8
7
11
10
1
9
2
3
4
12
13
43 Verstellungen. Lösbar.
14
5
11
16
15
6
10
9
8
7
Die Idee der Invariante
Wenn man eine Größe findet, die bei jedem Schritt
gleich bleibt, erhält man einen Unmöglichkeitsbeweis.
‚Offensichtliche‘ Invarianten:
Schachbrettmuster beim Läufer, gerade/ungerade
Felderzahl bei Dominos
‚Versteckte‘ Invarianten:
Schachbrettmuster bei Domino, Farbe der
Permutationen beim 15er Puzzle
Andere ‚Geht nicht‘-Sätze
Knoten:
Aus
kann man nicht
machen.
Andere ‚Geht nicht‘-Sätze
Knoten:
Aus
kann man nicht
Logik:
Man kann nicht die Widerspruchsfreiheit der
Mathematik beweisen
machen.
Andere ‚Geht nicht‘-Sätze
Knoten:
Aus
kann man nicht
machen.
Logik:
Man kann nicht die Widerspruchsfreiheit der
Mathematik beweisen
Geometrie/Algebra:
Man kann den 60 Grad Winkel mit Zirkel und Lineal
nicht dreiteilen
Wozu ‚Geht nicht‘-Sätze?
Sie zeigen die Grenzen des Machbaren
Wozu ‚Geht nicht‘-Sätze?
Sie zeigen die Grenzen des Machbaren
Datensicherheit / Kryptographie: Große Zahlen kann
man nicht schnell faktorisieren (so hoffen die Banken;
bisher nicht bewiesen)
Wozu ‚Geht nicht‘-Sätze?
Sie zeigen die Grenzen des Machbaren
Datensicherheit / Kryptographie: Große Zahlen kann
man nicht schnell faktorisieren (so hoffen die Banken;
bisher nicht bewiesen)
Alltag: Erklären Sie mal Ihrem Lehrer, dass es nicht
Ihr Fehler ist, wenn Sie eine Aufgabe nicht lösen
können!
Zusammenfassung
•  Läufer beim Schach, Dominoüberdeckung, 15er
Puzzle,...: Invarianten zeigen, was geht und was
nicht
Zusammenfassung
•  Läufer beim Schach, Dominoüberdeckung, 15er
Puzzle,...: Invarianten zeigen, was geht und was
nicht
•  Invarianten können ‚offensichtlich‘ oder ‚versteckt‘
sein
Zusammenfassung
•  Läufer beim Schach, Dominoüberdeckung, 15er
Puzzle,...: Invarianten zeigen, was geht und was
nicht
•  Invarianten können ‚offensichtlich‘ oder ‚versteckt‘
sein
•  Wie findet man Invarianten?
Zusammenfassung
•  Läufer beim Schach, Dominoüberdeckung, 15er
Puzzle,...: Invarianten zeigen, was geht und was
nicht
•  Invarianten können ‚offensichtlich‘ oder ‚versteckt‘
sein
•  Wie findet man Invarianten?
Intuition, Einfallsreichtum, Detektivarbeit
Mathematik ist spannend wie ein Krimi.