AUFGABEN (1) Berechne den Mittelpunkt der Strecke AB für A(2|5|1

AUFGABEN
ANALYTISCHE GEOMETRIE
(1) Berechne den Mittelpunkt der Strecke AB für A(2|5|1) und B(−4|7| − 3).
Bestimme ebenfalls die Symmetrieebene von A und B (also diejenige Ebene,
für die der Spiegelpunkt von A gleich B ist).
(2) M (2|1| − 1) ist der Mittelpunkt der Strecke AB, und es ist A(3|4| − 1).
Bestimme die Koordinaten von B.
(3) Ergänze das Dreieck ABC mit A(8| − 5), B(−1| − 4) und C(0|4) zu einem
Parallelogramm ABCD. Ist ABCD ein Rechteck?
(4) Zeige, dass A(4| − 2|5), B(7|9| − 4), C(9|12| − 2) und D(6|1|7) ein Parallelogramm bilden.
(5) Zeige, dass sich A(11| − 1| − 4), B(6| − 4| − 3) und C(4|0| − 1) zu einem
Rechteck ergänzen ABCD lassen. Bestimme die Koordinaten von D und
den Flächeninhalt des Rechtecks.
Ergebnis: D(9|3| − 2)
(6) Von einem Quadrat ABCD sind die Punkte A(−2|2) und C(5|1) gegeben.
Bestimme B und D.
Lsg: B(1| − 2), D(2|5)
(7) Zeige, dass die Punkte A(0|11|7), B(10|21|2), C(20|10|0) und E(5|13|21)
sich zu einem Würfel ergänzen lassen, und bestimme die Koordinaten der
fehlenden Punkte.
(8) Welcher Punkt auf der Geraden
0 −1 ~x = −3 + t 1
2
2
hat von den Punkten P (3|4|0) und Q(1|4|2) den gleichen Abstand?
(9) Die Gerade
3 1 ~x = −2 + t 1
−5
6
wird senkrecht auf die Ebene
E : x1 − 2x2 + x3 = 1
projiziert. Gib eine Gleichung der Bildgeraden an.
(10) Zeige, dass die Punkte A(0|2|4), B(1|0|5), C(2|2|4) und D(1|4|3) in einer
Ebene liegen.
(11) Die Punkte A(3|1| − 4), B(−1|3|8), −2| − 1|2) und D(1| − 1|z) liegen in
einer Ebene. Bestimme z.
(12) Ein von A(−2| − 4|6) ausgehender Lichtstrahl wird an der Ebene
E : 4x1 − 3x2 − x3 = 24
im Punkt B(2|−6|z) reflektiert. In welchem Punkt schneidet der reflektierte
Strahl die x1 x3 -Ebene?
(Lsg.: P (−4|0| − 1))
1
2
20. Januar 2012
(13) Zeichne die Ebene x1 + 2x2 + 2x3 = 6 und bestimme ihren Neigungswinkel
gegenüber der x1 x2 -Ebene.
(14) Zeichne die Ebene 2x1 + 3x2 = 6 und bestimme die Neigungswinkel gegenüber den drei Koordinatenebenen.
(15) Berechne den Schnittpunkt der Geraden g und der Ebene E:
1
6 −4 3
−5 g : ~x = 4 + t 3 , E : ~x = 2 + r 7 + s 2 .
−5
(16)
(17)
(18)
(19)
(20)
6
7
4
3
Löse das Gleichungssystem direkt (auch mit GTR), und kontrolliere durch
Schneiden nach Umwandeln der Ebenengleichung in Koordinatenform.
Bestimme das Volumen der Pyramide, die von der Ebene E : 6x1 − 9x2 −
2x3 = 18 und den Koordinatenachsen bestimmt ist.
Welche Ebenen haben von E : 2x1 + 2x2 + x3 = 8 den Abstand 4?
Zeige, dass das Dreieck ABC mit A(1| − 1|3), B(2|1|3), C(4|1| − 3) den
Flächeninhalt 7 hat.
Bestimme die Koordinatengleichung der Ebene, die durch P (2| − 1|1) geht
und senkrecht auf E1 : 3x1 + 2x2 − x3 + 4 = 0 und E2 : x1 + x2 + x3 = 3
steht.
(Lsg.: 3x1 − 4x2 + x3 = 11)
Bestimme Lotfußpunkt und Abstand des Punktes P (1| − 1|1) von der Geraden
2 1
~x = 0 + t 1 .
−4
4
(21) Bestimme die Schnittgerade der Ebenen
1
0
4
3
und E2 : ~x = 2 + r
E1 : ~x = 1 + r 0 + s 1
2
0
1
0
0
2
−1
0
+s 0 .
(22) Löse folgende Gleichungssysteme (geometrische Interpretation?):
x1 + x2 + x3
x1 + 2x2 − x3
2x1 + 4x2 − 2x3
= −2
=6
=6
x1 + x2 + x3
2x1 − x2 − 2x3
3x1 + 3x2 + x3
=2
= −2
=0
(Lsg. a) keine Lsg; b) (1| − 2|3))
(23) Löse folgende Gleichungssysteme (geometrische Interpretation?):
= −2
x1 + x2 + x3
= −6
2x1 − x2 − 2x3
= −12
−4 −3 (Lsg. a: Gerade ~x = 0 + t 2 .
x1 + x2 + x3
x1 + 2x2 − x3
2x1 + 4x2 − 2x3
2
1
=2
= −2
1