Folgen und Reihen

Folgen und Reihen
Katharina Brazda
9. März 2007
Inhaltsverzeichnis
1 Folgen
1.1 Definition von Folgen - explizite und rekursive Darstellung . . . .
1.2 Wachstumsverhalten von Folgen - Monotonie und Beschränktheit
1.3 Konvergenz und Limes von Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Arithmetische Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Geometrische Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2
2
3
5
8
8
2 Reihen
2.1 Definition von Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Konvergenz und Summen von Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
9
9
1
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1
Folgen
1.1
Definition von Folgen - explizite und rekursive Darstellung
Reelle Folgen sind unendlich lange Listen” reeller Zahlen. Formal sind (reelle) Folgen Funktio”
nen von den natürlichen Zahlen N = {0, 1, 2, 3, . . . } in die reellen Zahlen R. Jeder natürlichen
Zahl n ∈ N wird also eine reelle Zahl an ∈ R zugeordnet. Man schreibt für eine Folge:
(an )n∈N
bzw.
(a0 , a1 , a2 , a3 , a4 , . . . )
In der Schule wurde zumeist mit a1 begonnen sowie folgende Notation mit Spitzklammern h . . . i
verwendet:
han i
bzw.
ha0 , a1 , a2 , a3 , a4 , . . . i
Jede einzelne, in einer Folge vorkommende reelle Zahl an heißt Folgenglied zum Index n. Kurz
wird an auch als n-tes Folgenglied bezeichnet. Schließt man eine endliche Menge J ⊆ N an Indizes
aus (d.h. man lässt nur Folgenglieder an mit n ∈ N \ J zu), so zeigt man dies durch (an )n∈N\J
an. Schreibweisen mit anderen Buchstaben als Indizes sind klarerweise völlig gleichwertig, solange diese nur denselben Indexbereich durchlaufen. Anstatt (an )n∈N kann man beispielsweise auch
(ak )k∈N , (aj )j∈N oder gar (aα )α∈N für ein und dieselbe Folge schreiben - n, k, j oder α sind nur
Platzhalter für natürliche Zahlen.
Im Unterschied zu den ungeordneten Mengen sind Folgen, die zwar dieselben Glieder besitzen,
welche aber in anderer Reihenfolge angeordnet sind, verschieden! So gilt etwa für die Mengen
{2, 4, 6, 8, . . .} = {4, 2, 8, 6, . . .}, aber für die entsprechenden Folgen (2, 4, 6, 8, . . .) 6= (4, 2, 8, 6, . . .).
Eine Folge ist durch Angabe aller ihrer Glieder vollkommen bestimmt. Da dies im Fall einer
unendlichen Folge unendlich viele sind, benötigt man ein sogenanntes Bildungsgesetz der Folge,
welches verbal deskriptiv, explizit oder rekursiv angegeben werden kann. Es sei unterstrichen, dass
das Bildungsgesetz einer unendlichen Folge (und damit die Folge selbst) aus nur endlich vielen
bekannten Folgengliedern niemals eindeutig festgestellt werden kann!
Um alle Folgenglieder zu bestimmen ist es ausreichend, die Funktion
f :N→R
mit
an = f (n)
zu kennen. Die Darstellung einer Folge vermöge einem Bildungsgesetz in Form obiger Funktion
f bzw. der zugehörigen Zuordnungsvorschrift n 7→ an heißt explizite Darstellung (oder auch
Termdarstellung) der Folge.
Einfache Beispiele für reelle Folgen in expliziter Darstellung sind gegeben durch:
• an = c ∈ R
• an =
1
n
und damit
(n ≥ 1)
(c)n∈N = (c, c, c, c, c, . . . )
und damit
¡1¢
n n∈N\{0}
= (1, 12 , 13 , 41 , . . . )
• an = (−1)n
und damit
¡
¢
(−1)n n∈N = (1, −1, 1, −1, 1, . . . )
• an = 3 − 2n
und damit
(3 − 2n)n∈N = (3, 1, −1, −3, −5, . . . )
• an = 2n+1
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und damit
(2n+1 )n∈N = (2, 4, 8, 16, 32, . . . )
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Ist die Folge dadurch gegeben, dass jedes Glied mit Hife von vorhergehenden Gliedern bestimmt
ist, so spricht man von einer rekursiven Darstellung der Folge bzw. einer rekursiv definierten
Folge. Das Bildungsgesetz besteht aus einer Rekursionsformel, durch die ein jedes Folgenglied
an mit gewissen früheren Gliedern in Verbindung gebracht wird. Zusätzlich müssen noch entsprechende Anfangsglieder der Folge vorgegeben werden. Im Gegensatz zu einer Folge in expliziter
Darstellung können die Glieder einer rekursiv gegebenen Folge also nur schrittweise nacheinander
berechnet werden.
Das Paradebeispiel einer rekursiv gegebenen Folge ist die sogenannte Folge der Fibonacci-Zahlen”:
”
• an = an−1 + an−2 (n ≥ 2)
mit a0 = 0 und a1 = 1 und damit (an )n∈N = (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, . . . )
Jedes Glied dieser Folge ist (ab dem Index n = 2) die Summe jener zwei Glieder, die unmittelbar
davor kommen.
Die Fakultät mit der Zuordnungsvorschrift n 7→ n! := 1 · 2 · 3 · . . . · (n − 1) · n gibt Anlass
zu einer Folge mit Gliedern an = n!, die sich wie folgt ebenfalls rekursiv definieren lässt:
• n! = n · (n − 1)! (n ≥ 1)
mit 0! = 1 und damit (n!)n∈N = (1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, . . . )
1.2
Wachstumsverhalten von Folgen - Monotonie und Beschränktheit
Stellt man eine reelle Folge als Funktion von N nach R dar, so besteht der Funktionsgraph aus einzelnen Punkten mit den Werten der Folgenglieder als y-Koordinaten, die jeweils über den diskreten
Stellen 0, 1, 2, 3, . . . aufzutragen sind. Genauso wie man nun eine Funktion auf ihr Wachstumsverhalten hin untersuchen kann, stellen sich die Fragen nach Wachstum oder Abfall, ihrer Monotonie
oder der Beschränktheit auch für Folgen.
Gilt für alle Indizes n 6= 0 einer (reellen) Folge (an )n∈N


 an−1 < an







 an−1 ≤ an

an−1 = an ( = const.)
, so nennt man die Folge


 an−1 ≥ an







an−1 > an

streng monoton wachsend




 monoton wachsend
konstant


monoton fallend



streng monoton fallend











.
Nach dieser Definition ist jede streng monoton wachsende (bzw. fallende) Folge auch monoton
wachsend (bzw. fallend). Folgen, deren Glieder abwechselnd positive und negative Werte annehmen, heißen alternierend.
Eine reelle Folge (an )n∈N bezeichnet man als nach oben (bzw. unten) beschränkt, falls es eine
Zahl c ∈ R gibt, sodass alle Folgenglieder kleiner (bzw. größer) gleich c sind. Formal lautet diese
Bedingung:
½
¾
½
¾
an ≤ c
nach oben beschränkt
∃c∈R ∀n∈N:
⇐⇒: (an )n∈N ist
an ≥ c
nach unten beschränkt
Die Zahl c heißt dann obere (bzw. untere) Schranke der Folge. Weist eine Folge (an )n∈N sowohl
eine obere Schranke coben als auch eine untere Schranke cunten auf, so sind alle Folgenglieder
betragsmäßig durch eine Zahl c ≥ max(|coben |, |cunten |) > 0 beschränkt, weshalb man definiert:
∃ c ∈ R ∀ n ∈ N : |an | ≤ c
⇐⇒:
(an )n∈N
ist beschränkt
Demnach ist eine Folge genau dann beschränkt, wenn alle ihre Glieder innerhalb eines beschränkten
Intervalls I ⊆ R liegen. Alle Folgen, die nicht beschränkt sind, werden unbeschränkt genannt.
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Beispiele:
• Monotonie:
Die Folge (3n2 + 1)n∈N ist (streng) monoton wachsend.
Beweis: Sei n ∈ N, n 6= 0, dann ist
an
=
3n2 + 1
an−1
=
3(n − 1)2 + 1
und daher gilt:
an − an−1
=
¡
¢
3n2 + 1 − 3(n − 1)2 + 1
= 3n2 + 1 − (3n2 − 6n + 3 + 1)
= 6n − 3 > 0 (da n ≥ 1 vorausgesetzt ist)
Es ist also an − an−1 > 0 d.h. an−1 < an und somit ist (3n2 + 1)n∈N (streng) monoton
wachsend.
Das Nachweis, dass eine Folge (streng) monoton fällt, geht analog mit der Bedingung an−1 > an .
• Beschränktheit nach oben:
Die Folge ( 2n−1
n+5 )n∈N ist nach oben beschränkt durch 3.
Beweis: Sei n ∈ N, dann gilt:
2n − 1
n+5
2n − 1
−16
Die Ungleichung
2n−1
n+5
≤
3
| · (n + 5)
(wegen n ∈ N ist n + 5 > 0)
≤
≤
3n + 15
n ist wahr für alle n ∈ N
≤ 3 ist somit richtig, d.h. 3 ist eine obere Schranke von ( 2n−1
n+5 )n∈N .
Im Fall der Beschränktheit nach unten verfährt man analog mit einer unteren Schranke.
Weitere Beispiele:
• ( n3 )n∈N
(streng) monoton wachsend, beschränkt nach unten - untere Schranke ist z.B. 0
• (7 − 4n)n∈N
• (1 −
1
n+1 )n∈N
1
• (( n+3
)2 )n∈N
(streng) monoton fallend, beschränkt nach oben - obere Schranke ist z.B. 7
(streng) monoton wachsend, beschränkt - alle Folgenglieder liegen in [0, 1)
(streng) monoton fallend, beschränkt - alle Folgenglieder liegen in (0, 19 ]
• ((−1)n )n∈N
alternierend, beschränkt - alle Folgenglieder liegen in [−1, 1]
• ((−2)n )n∈N
alternierend, unbeschränkt
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1.3
Konvergenz und Limes von Folgen
Falls sich die Folgenglieder an bei stets wachsendem Index n unbegrenzt einer bestimmten reellen
Zahl a nähern (bzw. ihr beliebig nahe kommen), sagt man, dass die Folge (an )n∈N für n gegen
”
Unendlich” gegen a konvergiert. Dann heißt a der Limes oder Grenzwert der Folge (an )n∈N
und man schreibt
lim an = a
oder
an → a für n → ∞
n→∞
Dass sich die Folgenglieder an der Zahl a ∈ R unbegrenzt nähern, bedeutet formal, dass gilt:
∀ε>0
∃N ∈N
∀n≥N :
|an − a| < ε
In Worten: Zu jedem (noch so kleinen) reellen ε > 0 hat es immer einen Folgenindex N ∈ N
zu geben, sodass für alle (späteren Indizes) n ≥ N die Ungleichung |an − a| < ε gilt. Anders
ausgedrückt müssen sich die Glieder an mit n ≥ N um weniger als ε vom Limes a unterscheiden
bzw. sollen sie alle innerhalb des offenen Intervalls
(a − ε, a + ε) = {x ∈ R | a − ε < x < a + ε} ⊆ R
liegen, welches als ε-Umgebung von a ∈ R bezeichnet wird.
Folgen, die einen solchen Grenzwert besitzen, nennt man konvergent und alle anderen Folgen
heißen divergent. Folgen (an )n∈N , die gegen 0 konvergieren (d.h. mit limn→∞ an = 0), bezeichnet
man als Nullfolgen (vgl. Abbildung 1).
Übersteigen ab einem bestimmten Index sämtliche Folgenglieder an alle vorgegebenen Schranken, so sagt man, dass die Folge bestimmt divergent gegen plus Unendlich ist und man
schreibt: limn→∞ an = ∞. Unterlaufen die Folgenglieder analog alle noch so kleinen reellen Zahlen, heißt die Folge bestimmt divergent gegen minus Unendlich, was zu limn→∞ an = −∞
notiert wird.
Es lässt sich zeigen, dass eine jede Folge entweder keinen oder genau einen Limes besitzt - der
Limes einer Folge ist also eindeutig bestimmt (Eindeutigkeit des Limes).
Beispiele (Nachweis der Konvergenz direkt aus ihrer Definition):
• Es gilt: limn→∞
1
n
= 0.
Beweis: Nach der Definition der Konvergenz ist für die Folge mit Gliedern an =
dass
1
∀ ε > 0 ∃ N ∈ N ∀ n ≥ N : | n − 0| < ε
1
n
zu zeigen,
Sei nun ε > 0, dann gilt:
1
| n − 0| < ε
⇐⇒
1
|n | < ε
⇐⇒
1
n
<ε
⇐⇒
n>
1
ε
Wählt man N ∈ N als die zu 1ε ∈ R nächstgrößere natürliche Zahl, so gilt für alle n ≥ N ,
dass | n1 − 0| < ε. Der Beweis ist damit fertig.
Gibt man etwa in obigem Beispiel ε = 0.01 vor, so gilt die entscheidende Ungleichung | n1 − 0| < ε
1
= 100, d.h. ab N = 101.
für alle n ∈ N mit n > 1ε = 0.01
¡ 7
¢
• Es gilt: limn→∞ n+2 + 3 = 3.
Beweis: Sei ε > 0, dann gilt:
¡ 7
¢
| n+2 + 3 − 3| < ε ⇐⇒
7
n+2
<ε
⇐⇒
7
ε
<n+2
⇐⇒
n>
7
ε
−2
7
− 0| < ε für alle Indizes n ≥ N ∈ N mit N > 7ε − 2 erfüllt (ist z.B. ε = 0.1
Damit ist | n+2
vorgegeben, so ist 7ε − 2 = 70 − 2 = 68 und man kann N = 69 wählen).
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• Es gilt: limn→∞ c = c oder c → c (n → ∞) , d.h. konvergent gegen c
(wegen |c − c| = 0 < ε erfüllen die Folgenglieder für jedes ε > 0 die nötige Ungleichung)
3
an=1/n
2
1
0
−1
−1
ε
ε
0
a1
a2
a3
a4
1
2
3
4
a5
a6
a7
a8
a9
a10
5
6
7
8
9
10
n
Abbildung 1: Konvergenz der Nullfolge ( n1 )n∈N\{0} : Man erkennt, dass die Glieder an = n1 der Folge für das
vorgegebene ε > 0 ab dem Index N = 4 innerhalb des Intervalls (−ε, ε) (ε-Umgebung von 0) liegen, bzw. die
Ungleichung |an − 0| < ε erfüllen.
Konvergenzkriterien für Folgen:
Um festzustellen ob eine Folge (an )n∈N gegen eine (erratene oder sonst wie gegebene) reelle Zahl a
konvergiert, hat man per Definition für ein beliebiges, aber vorgegebenes ε > 0 einen Folgenindex
N ∈ N anzugeben, ab dem für alle Folgenglieder an mit n ≥ N die Ungleichung |an − a| < ε
richtig ist. Allerdings muss hierfür bereits ein Kandidat a ∈ R als prospektiver” Limes vorhanden
”
sein. Trifft man die falsche Wahl, d.h. konvergiert die Folge tatsächlich gegen eine andere Zahl
b 6= a, kann direkt aus der Definition auch keine Konvergenz gezeigt werden. Sogenannte Kon”
vergenzkriterien” für Folgen ermöglichen es, über die Konvergenz oder Divergenz einer Folge zu
entscheiden, ohne direkt die Definition der Konvergenz zu benutzen bzw. einen geeigneten Kandidaten als Limes zu benötigen.
Nach dem Konvergenzkriterium von Cauchy ist eine reelle Folge konvergent, falls sich alle Folgenglieder ab einem bestimmten Index beliebig nahe kommen, d.h. formal muss
∀ε>0
∃N ∈N
∀ n, m ≥ N :
|an − am | < ε
gewährleistet sein. Es lässt sich also Konvergenz nachweisen ohne den Limes der Folge zu kennen.
Hierbei ist wichtig, dass es sich um eine reelle Zahlenfolge mit reellem Limes handelt.
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Jede konvergente Folge ist auch beschränkt - umgekehrt kann also eine unbeschränkte
Folge keinen Grenzwert besitzen, was einem Divergenzkriterium” gleichkommt. Ein besonders
”
nützliches Konvergenzkriterium ist der Satz von der monotonen Konvergenz, nachdem jede
monoton wachsende (bzw. fallende) und nach oben (bzw. unten) beschränkte Folge einen Grenzwert besitzt.
Um jedoch konkret den Limes einer konvergenten Folge zu berechnen, bietet es sich an, zu versuchen, in ihr (gliedweise) die Summe, das Produkt oder den Quotienten einfacherer, bereits als
konvergent bekannter Folgen zu erkennen. Der gesuchte Limes ergibt sich dann mit Hilfe der entsprechenden Rechenregeln für Limiten.
Rechenregeln für Limiten:
Sind (an )n∈N und (bn )n∈N zwei konvergente Folgen, so konvergieren auch die (gliedweisen) Summenfolge (an +bn )n∈N , die Produktfolge (an ·bn )n∈N sowie als Spezialfall davon die mit c ∈ R skalar
multiplizierte Folge (c·an )n∈N . Für die entsprechenden Limiten gelten die folgenden Rechenregeln:
lim (an + bn )
lim an + lim bn
n→∞
¢ ¡
¢
lim (an · bn ) =
lim an · lim bn
n→∞
n→∞
n→∞
¡
¢ ¡
¢
lim (an /bn ) =
lim an / lim bn
n→∞
=
n→∞
¡
n→∞
n→∞
n→∞
und insbesondere
falls
lim (c · an ) = c · lim an
n→∞
n→∞
lim bn 6= 0
n→∞
Erfüllen sämtliche Glieder zweier konvergenter Folgen (an )n∈N und (bn )n∈N ab einem Index die
Ungleichung an ≤ bn , so gilt diese auch für die Limiten, d.h. es ist dann limn→∞ an ≤ limn→∞ bn .
Lassen sich die Folgenglieder ab einem bestimmten Index nach oben und unten durch die Glieder
zweier gegen denselben Limes konvergenten Folgen (an )n∈N und (bn )n∈N abschätzen, so konvergiert
auch die Folge (cn )n∈N und besitzt denselben Limes wie (an )n∈N und (bn )n∈N :
lim an = a = lim bn
n→∞
n→∞
und ∃ N ∈ N ∀ n ≥ N : an ≤ cn ≤ bn
=⇒
lim cn = a
n→∞
Weitere Beispiele:
2
• 5 − n+1
→ 3 (n → ∞) , d.h. konvergent gegen 5
(Anwendung des Satzes von der monotonen Konvergenz: es handelt sich um eine beschränkte,
monoton wachsende Folge. Oder mit Hilfe der Rechenregeln für Limiten: die Folge ist Diffe2
renz zwischen der konstanten Folge (5)n∈N und der Nullfolge ( n+1
)n∈N )
8n3 −n
3+4n3
2
•
8
= 8−1/n
3/n3 +4 → 4 = 2 (n → ∞) , d.h. konvergent gegen 2
(Benutzung der Rechenregeln für Limiten)
•
1
n2
→ 0 (n → ∞) , d.h. Nullfolge
(Einschachtelung: für n ∈ N gilt 0 ≤
1
n2
≤
1
n
und wegen 0 → 0,
1
n
→ 0 muss auch
1
n2
→ 0)
• (−1)n 9 (n → ∞) , d.h. divergent
(die betragsmäßige Differenz aufeinanderfolgender Glieder ist stets gleich 2, sodass es keine
reelle Zahl gibt, von der sich alle Folgenglieder ab einem bestimmten Index an um weniger
als 1 unterscheiden - die Folge besitzt demnach keinen Limes)
• 6n → ∞ (n → ∞) , d.h. bestimmt divergent gegen plus Unendlich
(jede noch so große Schranke wird ab einem gewissen Index von allen nachfolgenden Folgengliedern übertroffen)
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1.4
Arithmetische Folgen
Eine Folge, bei der die Differenz je zweier aufeinander folgender Folgenglieder konstant ist, heißt
arithmetische Folge. Rekursiv lauten die Glieder einer arithmetischen Folge (an )n∈N ab n ≥ 1,
wobei von einen gegebenen Startwert a0 ausgegangen wird:
an = an−1 + c
wobei
c ∈ R (const.)
Eine arithmetische Folge beschreibt ein (diskretes) lineares, streng monotones Wachstum (c > 0)
oder Abfallen (c < 0). Für c = 0 handelt es sich um konstante Folgen mit Gliedern an = a0 .
Da die Glieder arithmetischer Folgen stets konstanten Abstand voneinander haben, divergieren
diese Folgen immer (außer im Fall c = 0, wo es sich um konstante und damit konvergente Folgen
handelt).
Setzt man die Rekursionsbedingung sukzessive auch in die Glieder an−1 , an−2 usw. ein und bildet an = an−1 + c = an−2 + 2c = an−3 + 3c = . . . , erkennt man leicht, dass die Glieder einer
arithmetischen Folge durch
an = a0 + n c
für
n∈N
gegeben sind. Dies entspricht einer Geradengleichung im R2 bzw. einer (affin) linearen Funktion
auf R, welche die y-Achse (Ordinate) in a0 schneidet und die Steigung c besitzt (erweitere den
diskreten Index n ∈ N zur kontinuierlichen Variablen x ∈ R).
1.5
Geometrische Folgen
Eine Folge, deren Quotient von unmittelbar aufeinander folgenden Gliedern konstant ist, wird
als geometrische Folge bezeichnet. Die die geometrische Folge (an )n∈N für n ≥ 1 definierende
Rekursionsbedingung ist zusammen mit einem gegebenen Anfangsglied a0 :
an = q an−1
wobei
q ∈ R (const.)
Beginnend mit a0 > 0, stellen geometrische Folgen ein (diskretes) exponentielles, streng monotones Wachstum (q > 1) oder ein ebensolches Abfallen (0 < q < 1) dar. Für q = 1 ergibt sich die
konstante Folge an = a0 und bei q = 0 ist an = 0 (n ≥ 1). Für q < 0 ist die geometrische Folge
alternierend.
Die geometrische Folge (a0 q n )n∈N ist im Fall |q| < 1, d.h. −1 < q < 1 eine Nullfolge. Im Fall
|q| > 1 divergiert sie. Insgesamt ist die geometrische Folge also für −1 < q ≤ 1 konvergent.
Treibt man die einfache Rechnung an = qan−1 = q 2 an−2 = q 3 an−3 = . . . weiter, erhält man
an = q n a0
für
n∈N
als das Bildungsgesetz für geometrische Folgen. Ist q > 0, so erkennt man darin wegen q n = e(ln q) n
die Exponentialfunktion auf R, welche die y-Achse in a0 trifft und um den Faktor ln q im Exponenten skaliert ist.
Etwa wird das Gesamtkapital Kn , welches sich bei jährlicher Verzinsung eines Grundkapitals K0
von p % nach n Jahren angesammelt hat, durch die sogenannte Zinseszinsformel” beschrieben.
”
p n
p
Sie lautet Kn = K0 (1 + 100
) und stellt eine geometrische Folge (Kn )n∈N mit q = 1 + 100
dar.
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2
2.1
Reihen
Definition von Reihen
Grob gesagt sind (unendliche) reelle Reihen unendliche Summen reeller Zahlen. Für eine reelle
Folge (an )n∈N gibt die Folge der Partialsummen (bzw. Teilsummen) mit den Gliedern
k
X
Sk =
an = a0 + a1 + a2 + . . . + ak
n=0
Anlass zur Reihe (Sk )k∈N . Eine Reihe ist demnach eine spezielle Folge der Form
(a0 , a0 + a1 , a0 + a1 + a2 , a0 + a1 + a2 + a3 , . . . )
welche wie folgt notiert wird:
X
an
∞
X
oder
2.2
an
n=0
n∈N
Konvergenz und Summen von Reihen
Eine Reihe heißt konvergent, falls die zugehörige Folge der Partialsummen (Sk )k∈N konvergent ist.
Ihr Limes S wird als Summe der Reihe bezeichnet und man schreibt
S =
∞
X
an
oder
S =
n=0
X
an
n∈N
als Abkürzung für
S = lim Sk = lim
k→∞
k→∞
k
X
an
n=0
P∞
Ist eine Reihe n=0 an konvergent, so haben ihre Glieder eine Nullfolge zu bilden, d.h. es hat
an → ∞ für n → ∞ zu gelten. Die Umkehrung dieser Aussage gilt nicht! Beispiel einer
PReihe,
∞
die divergent ist obwohl ihre Glieder eine Nullfolge bilden, ist die harmonische Reihe n=1 n1 .
Obigem Kriterium kommt daher die Rolle eines Divergenzkriteriums” zu, da es jede Reihe, deren
”
Glieder nicht gegen Null gehen als divergent enttarnt.
P
Die geometrische Reihe n∈N q n = 1 + q + q 2 + q 3 + . . . besteht aus der Partialsummenfolge
der geometrischen Folge (q n )n∈N wobei q ∈ R konstant ist. Zieht man die Gleichungen
Sk
q · Sk
= 1 + q + q2 + . . . + qk
=
q + q 2 + . . . + q k + q k+1
voneinander ab, kürzen sich Terme gleicher Potenz weg und man erhält Sk (1 − q) = 1 − q k+1 .
Daraus folgt die geometrische Summenformel, nach welcher für die k-te Partialsumme der
geometrischen Reihe gilt:
k
X
1 − q k+1
qn =
1−q
n=0
Im Limes k → ∞ stellt (q k+1 )k∈N eine Nullfolge dar, sofern nur |q| < 1 ist. Somit lautet die Summe
der (unendlichen) geometrischen Reihe:
X
n∈N
qn =
1
1−q
sofern nur
|q| < 1
Für |q| ≥ 1 ist die geometrische Reihe divergent.
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Folgen und Reihen
Beispiele:
•
•
P
n∈N
¡ 1 ¢n
2
¡
P
n∈N
−
Katharina Brazda
= 1+
¢
1 n
2
1
2
+
= 1−
1
2
1
4
+
+
1
4
1
8
+ ... =
−
1
8
1
1− 12
+ ... =
= 2
1
1+ 12
10
=
2
3
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