Hans Walser, [20080320a] Würfeldurchdringung Prinz Rupert (1619

Hans Walser, [20080320a]
Würfeldurchdringung
Prinz Rupert (1619-1682) zeigte: Durch einen Würfel kann ein derart großes Loch mit
quadratischem Querschnitt gestanzt werden, dass ein zweiter gleich großer Würfel hindurch geschoben werden kann.
In der Figur ist links der Würfel in Grund- und Aufriss gezeichnet. Eine Körperdiagonale ist erstprojizierend. Dem roten Seitenquadrat gegenüber liegt ein grünes Seitenquadrat, dem blauen gegenüber ein oranges und dem gelben gegenüber ein violettes.
Das quadratische Loch durch den Würfel
Rechts der Würfel mit einem Loch. Die Lochachse ist koaxial zur erstprojizierenden
Würfeldiagonalen. Die Lochseiten sind parallel zu Auf- und Seitenrissebene. Der quadratische Querschnitt ist gerade groß genug, um einen zweiten Würfel hindurch zuschieben.
Der Witz der Sache ist, dass im Grundriss das quadratische Loch (knapp) innerhalb des
Würfelumrisses verläuft.
Um dieses einzusehen, arbeiten wir rein planimetrisch im Grundriss mit dem in der folgenden Figur angegebenen Koordinatensystem (beachte die Richtung der x-Achse, aber
das ist in der darstellenden Geometrie so üblich). Wir wählen die Würfelkante gleich
eins. Damit hat die Lochecke unten rechts die Koordinaten 12 , 12 .
(
)
Da der Grundriss eine isometrische Normalaxonometrie ist, ergibt sich das Verkürzungsverhältnis r : s : t = 1 :1 :1. Wegen r 2 + s 2 + t 2 = 2 (das ist eine Formel aus der
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Hans Walser: Würfeldurchdringung
Theorie der Normalaxonometrie) folgt r = s = t = 2 . Dies ist die Seitenlänge und auch
3
der Umkreisradius des regelmäßigen Sechseckes, welches als Würfelumriss erscheint.
Für die eingezeichnete Konturlinie erhalten wir die Gleichung 3x + y = 2 . Einsetzen
der Eckpunktskoordinaten
( 12 , 12 )
liefert 12 3 + 12 1.36602540378 < 2 . Die Ecke
liegt also knapp oberhalb der Konturlinie.
y
1
2
1
2
2
3
x
Im Grundriss
2
Hans Walser: Würfeldurchdringung
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Die folgenden Bilder zeigen zunächst eine Ansicht des ursprünglichen (roten) Würfels
und desselben Würfels in gelochtem Zustand.
Würfel und gelochter Würfel
Und nun fahren wir einen kongruenten (grünen) Würfel durch.
Hans Walser: Würfeldurchdringung
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Der grüne Würfel durchdringt den roten Würfel
Literatur
[Jerrard/Wetzel 2008] Jerrard, Richard P. and John E. Wetzel: Universal Stoppers Are
Rupert. The College Mathematics Journal. Vol. 39, No. 2, March
2008