LK Physik - Immanuel-Kant

Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
2 Grundlagen der Quantenphysik
2.1 Heisenbergsche Unschärferelation . . .
2.2 Die Natur des Lichts . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Welle oder Teilchen? . . . . . . . .
2.2.2 Polarisiertes Licht . . . . . . . . . .
2.2.3 Darstellungen von Polarisationen
2.2.4 Das Gesetz von Malus . . . . . .
2.2.5 Doppelbrechung . . . . . . . . . . .
2.2.6 Verzögerungsplatten . . . . . . . .
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3 Zustandssysteme
3.1 Quantenzustände . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Verschränkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Erzeugen von verschränkten Teilchen . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Beta-Bariumborat(BBO)-Kristall . . . . . . . . . . .
3.3.2 Periodisch gepolter Kaliumtitanylphosphat-Kristall
3.3.3 Unterschiede . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Quantenteleportation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.1 Mathematische Betrachtung . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.2 Bellzustandsanalyse bei Alice . . . . . . . . . . . . . .
3.4.3 Transformation von Bob . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.4 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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4 Qualitätstests für Verschränkung
4.1 Das Gedankenexperiment von Einstein, Podolsky und Rosen
4.1.1 Der gedankliche Versuchsaufbau des EPR-Experiments . .
4.1.2 Bohrs Erwiderung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Verborgene Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Die Bohmsche Mechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 Die Bellsche Ungleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Inhaltsverzeichnis
ii
4.4.1 Versuchsanordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.2 Herleitung der Bellschen Ungleichung . . . . . . .
4.4.3 Beschreibung durch die Quantenmechanik . . . . .
4.4.4 Ergebnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5 Weiterentwicklung von Clauser, Horne, Shimony und
4.6 Die Leggett-Ungleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5 Das Wien Experiment
5.1 Versuchsaufbau . . . . . . . . . . . .
5.2 Die Leggett-Ungleichung . . . . . .
5.2.1 Messung der Koinzidenzen
5.2.2 Versuchsauswertung . . . .
5.3 Die CHSH-Ungleichung . . . . . . .
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6 Nachbetrachtung
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Literaturverzeichnis
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Abbildungsverzeichnis
91
Danksagung
95
1 Einleitung
Niels Bohr stellte im Jahre 1927 auf einem Kongress in Como einen ersten umfassenden Deutungsversuch der Quantenmechanik vor. Diese wurde später als Kopenhagener Deutung bezeichnet. Die Quantenmechanik stellte einen leistungsfähigen,
mathematischen Formalismus dar, der im Wesentlichen von Werner Heisenberg,
Max Born und Erwin Schrödinger entwickelt worden war. Allerdings war die
Interpretation dieses Formalismus bis dahin nicht eingehend diskutiert worden.
Auf der im gleichen Jahr stattfindenden fünften Solvay-Konferenz, auf der
sich die besten Physiker der damaligen
Zeit trafen, war auch der in Como abwesende Albert Einstein anwesend.
Hier kam es zu einer ersten Auseinandersetzung zwischen Einstein und Bohr.
Während Bohr die von ihm maßgeblich entwickelte Kopenhagener Deutung
vertrat, konnte sich Albert Einstein
mit dieser nicht anfreunden und gab seine Kritik öffentlich kund. Dies war der
Beginn intensiver Diskussionen zwischen
Einstein und Bohr, die sich auch im
privaten Bereich fortsetzten.
Der Gedanke, dass entweder der Aufenthaltsort oder der Impuls eines Teilchens nicht eindeutig bestimmbar ist (anders ausgedrückt: Wird ein Quantenobjekt dazu gezwungen, in eine bestimmte
Richtung zu fliegen, weiß es nicht ein- Abbildung 1.1: Zwei intensiv diskutierenmal selbst, wo es sich befindet.), war
de Kollegen und Freunde:
Niels Bohr und Alsehr zum Missfallen Einsteins eine dibert Einstein
rekte Folgerung der Quantenmechanik.
Der unvermeidliche Zufall, der aus der
Heisenbergschen Unschärferelation folgte und eine entscheidende Rolle bei der
Beschreibung von Quantenobjekten einnahm, passte nicht in das kausal realistische
1 Einleitung
2
Weltbild Einsteins.
Ein weiterer Aspekt, den Einstein an der Vollständigkeit der Quantenmechanik
zweifeln lies, war, dass die Quantenmechanik keine Information über den tatsächlichen Aufenthaltsort eines Elektrons bereitstellt. Es werden nur statistische Aussagen über die Wahrscheinlichkeit, dass sich ein Quantenobjekt an einer bestimmten
Stelle aufhält gemacht. Diesen fundamentalen Indeterminismus, der den Charakter der Quantenmechanik maßgeblich bestimmt, konnte Einstein aber keinesfalls
hinnehmen. Er war der festen Überzeugung, dass jede Ursache aus einer Wirkung
resultiert. Dies müsse auch in der Quantenphysik gelten.
Diese Ablehnung gegenüber des Indeterminismus wird in einem Zitat aus einem
Brief an Max Born besonders deutlich:
Die Quantenmechanik ist sehr achtunggebietend. Aber eine innere Stimme sagt mir, daß das noch nicht der wahre Jakob ist. Die Theorie liefert
viel, aber dem Geheimnis des Alten bringt sie uns kaum näher. Jedenfalls bin ich überzeugt, daß der Alte nicht würfelt.
Auch die Nicht-Objektivierbarkeit, die in der Kopenhagener Deutung zwingend
enthalten war, konnte Albert Einstein nicht mit seinem Weltverständnis vereinbaren. Er konnte sich nicht vorstellen, dass ein Elektron keinen bestimmten Aufenthaltsort hatte, solange wir es nicht messen. Für ihn stellte die Tatsache, dass ein
Objekt unabhängig von dem Messprozess betrachtet werden kann, eine essentielle
Bedingung für das Betreiben von Naturwissenschaften dar. Aus dieser Überzeugung
motiviert fragte er einst seinen guten Freund und Kollegen Abraham Pais.
Glaubst du denn wirklich, der Mond existiere nur, wenn du auf ihn
blickst?
Aus Einsteins Kritikpunkten wird seine Meinung von der Quantenmechanik und
der Kopenhagener Deutung ersichtlich. Er war davon überzeugt, dass die Quantenmechanik keine vollständige Beschreibung der Realität liefere.
Deshalb suchte er inständig nach einer Methode, die seiner Meinung nach existente Unvollständigkeit aufzuzeigen. Unter Vollständigkeit einer Theorie verstand er,
dass jedes Element der physikalischen Realität einem Gegenstück in der jeweiligen
Theorie zugeordnet werden kann. Seiner Überzeugung nach stellte die Unschärferelation nur eine scheinbare Barriere dar, die durch einen geschickt gewählten
Versuchsaufbau umgangen werden könne. Diese von der Quantenmechanik möglicherweise nicht erfassten Größen wurden später als verborgene Parameter oder
verborgene Variablen bezeichnet. Er ersann zusammen mit seinen jüngeren Kollegen Podolsky und Rosen ein Gedankenexperiment von dem er meinte einen
3
Beweis für die Unvollständigkeit der Quantenmechanik gefunden zu haben. Dabei
gingen die Physiker von einem verschränkten1 Photonenpaar aus, mit deren Hilfe
sie die Heisenbergsche Unschärferelation umgehen und gleichzeitig Ort und Impuls
eines Teilchens bestimmen können wollten.
Doch Bohr akzeptierte seine Kritik nicht und argumentierte dagegen und warf
Einstein vor, unzulässige Annahmen über verschränkte Teilchensysteme zu teffen.
Die Bohr-Einstein Debatte zeigt auf, wie brisant sich die Interpretation von Ereignissen und speziell der Verschränkung in der Quantenwelt gestaltet. Bemerkenswert
ist jedoch auch, wie die beiden großen Wissenschaftler nicht nur überaus höflich miteinander umgingen, sondern auch ein Höchstmaß an aufrichtiger Hochachtung für
den anderen aufbrachten. Auch heute versuchen Wissenschaftler die Eigenschaften
und das Verhalten verschränkter Objekte zu erklären. Diese Facharbeit soll deshalb einen Einblick in verschiedene Theorien zur Beschreibung von verschränkten
Quantenobjekten bieten. Außerdem werden Aussagen dieser Theorien experimentell
überprüft und Aussagen der Quantenmechanik gegenübergestellt.
Weiterhin wird sich die Facharbeit mit einem interessanten Anwendungsgebiet der
Verschränkung, der Quantenteleportation, auseinandersetzen. Den Wissenschaftlern
Charles H. Bennett, Gilles Brassard, Claude Crépeau, Richard Jozsa, Asher Peres und William K. Wootters gelang es 1992 den Zustand eines
Teilchens auf ein weit entferntes weiteres zu übertragen. Auf dieses Experiment und
die Hintergründe der Quantenteleportation wird in Kapitel 3.4 eingegangen.
Rüsselsheim, 30. Januar 2008
1
Katrin Philipp
Der Begriff der Verschränkung geht auf Erwin Schrödinger(1935) zurück. Er bezeichnet
einen gemeinsamen Quantenzustand zweier Quantenobjekte wie z.B. Photonen, bei denen über
die beiden isoliert betrachteten Quantenobjekte keine Aussagen mehr über den Zustand gemacht werden können. Stattdessen ist nur der Zustand des Gesamtsystems bestimmbar.
1 Einleitung
4
2 Grundlagen der Quantenphysik
2.1 Heisenbergsche Unschärferelation
Werner Heisenberg1 formulierte 1927 die nach
ihm benannte Heisenbergsche Unschärferelation.
Im Jahre 1932 wurde er dafür mit dem Nobelpreis
der Physik ausgezeichnet.
Die Unschärferelation oder Unbestimmtheitsrelation sagt aus, dass jeweils zwei Messgrößen eines
Teilchens (etwa sein Ort und Impuls) nicht gleichzeitig beliebig genau bestimmt sind. Dies ist nicht die
Folge von Unzulänglichkeiten eines entsprechenden
Messvorgangs, sondern prinzipieller Natur.
Im folgendem Abschnitt wird die Unschärferelation mit Hilfe einer Plausibilitätsherleitung veranschaulicht.
Dazu betrachten wir Elektronen am Einzelspalt.
In Abbildung 2.2 (a) ist die Versuchsanordnung dar- Abbildung 2.1: Werner
Heisenberg
gestellt. Ein Strahl von Elektronen trifft auf einen
Spalt der Breite b. Unmittelbar hinter dem Spalt
befindet sich ein hochauflösender Detektor, der die Elektronen mit einer sehr hohen
Auflösung nachweisen kann.
Der Detektor führt Ortsmessungen an den Elektronen durch, die vom Spalt durchgelassen werden. Da sich der Detektor unmittelbar hinter dem Spalt befindet, registriert der Detektor die Elektronen in einem Bereich der Spaltbreite b.
Um die Verteilung der Messwerte innerhalb dieses Gebietes statistisch zu erfassen,
ermittelt man ihren Mittelwert x und ihre Standardabweichung ∆x. Der Mittelwert
gibt den „Schwerpunkt“ der Verteilung der Messwerte an, die Standardabweichung
ist ein Maß für die Streuung.
Die Ortsmessung ergibt die in Abbildung 2.2 (b) dargestellte Verteilung der Werte. Die Elektronen sind gleichmäßig hinter dem Spalt verteilt. Die Standardabweichung der Ortsmesswerte ist von der Größenordnung der Spaltbreite. Vergrößert
man nun die Spaltbreite b, so vergrößert sich auch die Streuung ∆x (Abb. 2.2 (c)).
1 Werner Karl Heisenberg (* 5. Dezember 1901 in Würzburg; † 1. Februar 1976 in München)
war einer der bedeutendsten Physiker des 20. Jahrhunderts und Nobelpreisträger.
2 Grundlagen der Quantenphysik
6
Abbildung 2.2: Elektronen am Einzelspalt
Mit der Standardabweichung ∆x kann die Güte einer Präparation festgelegt werden. Wenn die Streuung der Messwerte Null ist, ist die Präparation perfekt (im Fall
der Ortspräparation mit einem Spalt ist dies nicht zu erreichen, weil man dazu den
Spalt immer enger machen müsste, bis er schließlich ganz verschlossen ist). Wenn
die Standardabweichung nicht Null ist, bedeutet das, dass die Messwerte streuen.
In diesem Fall ist die Präparation nicht perfekt und die Standardabweichung gibt
darüber Auskunft, wie sehr die Präparation der betreffenden Eigenschaft von einer
idealen Präparation abweicht. Eine kleine Standardabweichung bedeutet, dass die
Eigenschaft relativ gut präpariert ist, während bei einer großen Standardabweichung
keine gute Präparation vorliegt.
Nach der Heisenbergschen Unbestimmtheitsrelation kann man an einem Ensemble von Quantenobjekten Ort und Impuls nicht gleichzeitig perfekt präparieren.
Wir werden nun überprüfen, in welchem Ausmaß Orts- und Impulspräparation unvereinbar sind.
Die Güte der Orts- bzw. Impulspräparation wird durch die Streuung der Messwerte einer entsprechenden Testmessung beschrieben. An dem Ensemble von Elektronen, das durch den Spalt präpariert wird, nimmt man also – genau wie im vorigen
Abschnitt – die Verteilung der Ortsmesswerte unmittelbar hinter dem Spalt auf.
Dann ersetzt man den hochauflösenden Ortsdetektor durch ein Impulsmessgerät,
das etwas weiter vom Spalt entfernt platziert wird, und ermittelt damit die Verteilung der Impulsmesswerte.
Wir ermitteln die Orts- und Impulsmesswerte für einen breiten und einen schma-
7
2.1 Heisenbergsche Unschärferelation
Abbildung 2.3: Elektronen am Einzelspalt
Abbildung 2.4: Verteilung der Orts- und Impulsmesswerte für einen breiten und
einen schmalen Einzelspalt
2 Grundlagen der Quantenphysik
8
len Einzelspalt (Abb. 2.3). Die resultierenden Ergebnisse sind in Abbildung 2.4
dargestellt. Für einen breiten Spalt ergibt sich eine relativ große Ortsstreuung, aber
eine kleine Impulsstreuung (Abb. 2.4 (a)). Dagegen ist bei einem schmalen Spalt
die Ortsstreuung klein, aber die Impulsstreuung groß (Abb. 2.4 (b)). Die beiden
Streuungen weisen scheinbar eine indirekte Proportionalität auf. Die Streuung der
Impulsmesswerte nimmt zu, wenn die Streuung der Ortsmesswerte abnimmt und
umgekehrt. Dieser Zusammenhang zwischen Orts- und Impulsstreuung wird im Folgendem verdeutlicht.
Weil die Impulsstreuung bei dem schmalen Spalt gegenüber dem breitem zunimmt
(Abb. 2.4), müssen die Elektronen einen Querimpuls px erfahren haben. Je größer
die Streuung der Querimpulse ist, desto breiter wird das Beugungsbild auf dem
Schirm ausfallen. Daher kann man mit der Breite des Beugungsmusters auf dem
Schirm die Streuung der Impulsmesswerte am Spalt abschätzen. Der Großteil der
Elektronen wird auf dem Schirm innerhalb des Hauptmaximums der Beugungsfigur
registriert, also innerhalb des Winkelbereichs zwischen +α und −α (Abb. 2.5). Zur
Abschätzung der Streuung der Querimpulse ∆px kann man sich daher auf diesen
Bereich beschränken. In Abbildung 2.5 (b) kann man folgende Bedingung ablesen.
sin α =
∆px
p
(2.1)
Der Bereich des Hauptmaximums ist links und rechts durch das erste Beugungsminimum begrenzt. Die Lage des Beugungsminimums ist aus der klassischen Optik
bekannt.
sin α =
λ
λ
=
b
∆x
(2.2)
Nach de Broglie ordnet man Materiewellen die Wellenlänge
λ=
h
p
(2.3)
zu. Setzt man diesen Zusammenhang (2.3 in Gleichung (2.2) ein, erhält man:
sin α =
h
∆x · p
(2.4)
Setzt man (2.1) und (2.4) gleich, ergibt sich folgender Zusammenhang.
∆px · ∆x = p · λ = h
(2.5)
Wir sind bei Gleichung (2.2) vom ersten Beugungsminima (k = 1) ausgegangen.
Verallgemeinert auf alle Minima k ≥ 1 muss in Gleichung (2.5) das Gleichheits-
9
2.2 Die Natur des Lichts
zeichen durch eine Größer-Gleichzeichen ersetzt werden. Wir haben gegenüber der
Originalformulierung der Unschärferelation einige Abschätzungen gemacht. Deshalb
ergibt sich in der allgemeinen Form ein anderer Vorfaktor.
∆px · ∆x ≥
h
2π
(2.6)
Abbildung 2.5: Abschätzung der Impulsstreuung
Die Bedeutung der Relation (2.6) ist fundamental für die Quantenphysik. Es
verbietet eine gleichzeitige genaue Bestimmung zweier komplementärer Größen, in
unsrem Fall Ort und Impuls. Denn bei einer genauen Messung von dem Aufenthaltsort x, gilt für die Ortsunschärfe ∆x = 0. Wenn ∆x in (2.6) Null ist, so geht die
Impulsunschärfe gegen unendlich, d.h. eine Bestimmung des Impuls ist unmöglich.
Umgekehrt kann bei einer genauen Messung des Impulses keine Aussage mehr über
den Aufenthaltsort gemacht werden.
2.2 Die Natur des Lichts
2.2.1 Welle oder Teilchen?
Licht war seit jeher eine Erscheinung, die den Menschen faszinierte und so wurden
viele Überlegungen über die Entstehung und die Natur des lichtes angestellt.
Im 17 Jahrhundert gab es zwei konkurrierende Theorien über das Licht. Christian Huygens1 vertrat die Ansicht, dass das Licht eine Welle sei. Die konkurrierende
1 Christian Huygens (* 14. April 1629 in Den Haag, Niederlande; † 8. Juli 1695 ebenda), auch
Christianus Hugenius, war ein niederländischer Astronom, Mathematiker und Physiker.
2 Grundlagen der Quantenphysik
10
Theorie um Sir Isaac Newton1 vertrat die Vorstellung von Licht als Teilchen.
Die Theorien lieferten sich über mehrere Jahre einen
erbitterten Wettkampf. Da durch die Wellentheorie nicht
erklärt werden konnte, wie das Licht durch das Vakuum
von der Sonne zur Erde kommt, da eine Schwingung im
„Nichts“ nicht möglich ist, glaubten viele Physiker an
den Teilchencharakter des Lichtes.
Jedoch gewann die Wellentheorie am Ende des 18.
Jahrhunderts durch Thomas Young (1773-1829) wieder
an Bedeutung, als dieser das Interferenzprinzip am Doppelspalt entdeckte. Dieses besagt, dass sich Wellentäler
und Wellenberge gegenseitig auslöschen bzw. verstärken. So konnten Interferenzerscheinungen durch Überlagerungen von Licht erklärt werden.
Die Teilchentheorie wurde zu dieser Zeit fast vollkom- Abbildung 2.6: Christian
men verworfen, weil nachgewiesen wurde, dass das von
HuyNewton auf Teilchenbasis aufgestellte Brechungsgesetz
gens
nicht mit der in einem dichten Medium gemessenen Lichtgeschwindigkeit zusammenpasst.
Später konnte auch noch die Polarisation des Lichts durch die Wellentheorie erklärt werden. Somit gab es fast keinen Zweifel mehr an der Gültigkeit der Wellentheorie.
Es folgte jedoch die Erklärung des Photoelektrischen Effekt durch Einstein. Lichtteilchen, die Photonen genannt werden, schlagen Elektronen aus negativ geladenem Metall. Die Energie dieser Photonen wurde mit E = h · f bestimmt.
Einige Effekte des Lichts konnten nur mit der
Teilchen- (z.B. Photoeffekt), andere nur mit der Wellentheorie (z.B. Interferenz) erklärt werden. Aus dieser Tatsache entstand die Bornsche Wahrscheinlichkeitsdeutung, nach der das Quadrat der Amplitude einer Lichtwelle zu der Aufenthaltswahrscheinlichkeit eines Photons in einem bestimmten RaumAbbildung 2.7: Sir Isaac
bereich proportional ist. Folglich kann Licht durch
Newton
Teilchen beschrieben werden, deren Aufenthaltsort
durch eine Wellenfunktion angegeben wird.
1 Sir Isaac Newton (* 4. Januar 1643 in Woolsthorpe-by-Colsterworth in Lincolnshire; † 31.
März 1727 in Kensington) war ein englischer Physiker, Mathematiker, Astronom, Alchemist,
Philosoph und Verwaltungsbeamter.
11
2.2 Die Natur des Lichts
2.2.2 Polarisiertes Licht
Licht kann im Wellenmodell als eine transversale elektromagnetische Welle darge~
~
stellt werden. Das elektrische Feld E(y,t)
und das magnetische Feld B(y,t)
einer sich
in y-Richtung ausbreitenden elektromagnetischen Welle stehen orthogonal aufeinander (Abb. 2.8).
Abbildung 2.8: Darstellung einer elektromagnetischen Welle
~ 0 ist die Schwingungsamplitude des elektrischen FelDer elektrische Feldvektor E
des zu einer bestimmten Zeit t und liegt in Abbildung 2.8 in der x-z-Ebene, die
orthogonal zur Ausbreitungsrichtung ist.
Abbildung 2.9: Linear polarisiertes Licht
Beschreibt der elektrische Feldvektor im Falle einer ebenen elektromagnetischen
Welle entlang einer festen, auf der Ausbreitungsrichtung y senkrecht stehenden Ge-
2 Grundlagen der Quantenphysik
12
raden eine hin- und hergehende Bewegung, so dass die Orientierung des elektrischen
Feldes konstant ist, so bezeichnet man die elektromagnetische Welle als linear polarisiert. Die einzelnen Photonen sind ebenfalls polarisiert.
Abbildung 2.10: Zirkular polarisiertes Licht
Zirkular polarisiertes Licht erhält man aus der Überlagerung zweier Lichtstrahlen,
deren E-Vektoren im rechten Winkel zueinander stehen und betragsmäßig die selbe Amplitude besitzen. Besteht zwischen diesen Strahlen eine Phasenverschiebung
(Schwingungsknoten fallen nicht zusammen), erhält man einen Lichtstrahl, dessen
E-Vektor eine Spirale beschreibt.
Abbildung 2.11: Elliptisch polarisiertes Licht
Dies ist lediglich ein Spezialfall des elliptisch polarisierten Lichtes, dessen EVektoren auch eine Phasendifferenz besitzen, jedoch unterschiedliche Amplituden
aufweisen.
Erzeugung von linear polarisiertem Licht
Am häufigsten wird linear polarisiertes Licht erzeugt, indem man das unpolarisierte
Licht (die einzelnen Photonen besitzen eine zufällige Schwingungsebene) durch einen
Polarisationsfilter schickt, der nur Licht durchlässt, das in eine bestimmte Richtung
13
2.2 Die Natur des Lichts
polarisiert ist. Das heißt, das Licht, das den Polarisationsfilter passiert, hat danach
eine einheitliche Schwingungsebene und wird von einem zweiten Polarisationsfilter,
der normal zum ersten steht, vollständig blockiert (Abb. 2.12).
Abbildung 2.12: Polarisation
2.2.3 Darstellungen von Polarisationen
Poincaré-Sphäre
Die Polarisation von Licht und deren Änderung wird üblicherweise in der PoincaréSphäre dargestellt. Sie wurde ungefähr 1892 von Henri Poincaré entwickelt und
nach ihm benannt. In der Quantenmechanik ist die Bezeichnung Blochkugel nach
dem Physiker Felix Bloch üblich. Der obere und der untere Pol repräsentieren
dabei linear polarisiertes Licht, wobei die Polarisation in H horizontal und in V
vertikal orientiert ist. Alle Punkte in der x-z-Ebene bedeuten lineare Polarisation.
Die Punkte R und L stehen für zirkular polarisiertes Licht. Alle anderen Punkte der
Kugel repräsentieren elliptische Polarisationen. 180◦ auf der Blochkugel entsprechen
hierbei 90◦ in der Realität.
Einige Polarisationen sind exemplarisch in Abbildung 2.13 dargestellt. Folgende
Auflistung beschreibt die verschiedenen Polarisationen in Abbildung 2.13.
1. Das erste Icon stellt lineare Polarisation mit horizontaler Orientierung dar.
2. Elliptische Polarisation gegen den Uhrzeigersinn mit horizontaler Orientierung
2 Grundlagen der Quantenphysik
14
Abbildung 2.13: Polarisationen an der Blochkugel
3. Lineare Polarisation mit Orientierung in −45◦ -Richtung
4. Zirkulare Polarisation gegen den Uhrzeigersinn
5. Elliptische Polarisation gegen den Uhrzeigersinn mit vertikaler Orientierung
6. Lineare Polarisation mit vertikaler Orientierung
7. Elliptische Polarisation gegen den Uhrzeigersinn mit 45◦ Orientierung
8. Lineare Polarisation mit Orientierung in 45◦ -Richtung
15
2.2 Die Natur des Lichts
9. Zirkulare Polarisation mit dem Uhrzeigersinn
Jones-Vektor
Der Jones-Vektor ist ein zweidimensionaler komplexwertiger Vektor, der zur Repräsentation der Polarisation ebener elektromagnetischer Wellen dient. Benannt wurde
der Jones-Vektor nach R. Clark Jones, der dieses Verfahren zur Polarisationsdarstellung 1941 einführte. Wir werden den Jones-Formalismus später zum Darstellen
der Polarisation von Photonen und deren Verhalten beim Durchlaufen von optischen
Bauelementen.
In komplexer Schreibweise hat die Elongation einer monochromatischen ebenen
Welle in einem kartesischen Koordinatensystem die Orts- und Zeitabhängigkeit
~
E(z,t)
=
!
Ẽx i(kz−ωt)
e
,
Ẽy
(2.7)
wobei k die Wellenzahl und ω die Kreisfrequenz bezeichnen und als Ausbreitungsrichtung die z-Achse gewählt ist. Der Jones-Vektor dieser Welle ist dann einfach
J~ =
!
Ẽx
,
Ẽy
(2.8)
d. h. die explizite Raum- und Zeitabhängigkeit der Amplitude wird bei der Beschreibung der Welle unterdrückt.
Der Effekt eines optischen Bauelements auf den Jones-Vektor eines transmittierten Lichtstrahls lässt sich (sofern es keine nichtlinearen Eigenschaften hat) durch
eine komplexwertige 2x2-Matrix A beschreiben,
Polarisierte Photonen können folgendermaßen durch Jones-Vektoren dargestellt
werden:
!
linear in x-Richtung
~ex =
linear in y-Richtung
~ey =
linear in +45°-Richtung
linkshändig zirkular
rechtshändig zirkular
1
0
!
0
1
!
1 1
~e45 = √
2 1!
1 1
~eL = √
2 i !
1
1
~eR = √
2 −i
2 Grundlagen der Quantenphysik
16
Dabei kann beispielsweise ein linear polarisierter Lichtstrahl als Superposition
eines rechts- und eines links-zirkular polarisierten Strahls jeweils halber Intensität
aufgefasst werden. Dies ist in Abbildung ?? illustriert.
1
~ex = √ (~eR + ~eL )
2
1
~ey = √ (~eR − ~eL )
2
Abbildung 2.14: Darstellung von linearer Polarisation durch Überlagerung von
zirkularer Polarisationen
Umgekehrt kann ein zirkular polarisierter Lichtstrahl als Superposition eines horizontal und eines vertikal linear polarisierten Strahls jeweils halber Intensität aufgefasst werden. Dies wird in Abbildung 2.15 grafisch verdeutlicht.
1
i
~eR = √ ~ex + √ ~ey
2
2
1
i
~eL = √ ~ex − √ ~ey
2
2
Abbildung 2.15: Darstellung von zirkularer Polarisation durch Überlagerung von
linearen Polarisationen
Eine genauere Analyse des mathematischen Zusammenhangs folgt in 3.2.
Ein Polarisationsfilter für linear polarisiertes Licht in horizontaler Orientierung,
wird mit der Matrix
!
1 0
0 0
(2.9)
ausgedrückt.
Ein Polarisationsfilter für linear polarisiertes Licht in vertikaler Orientierung,
wird mit durch die Matrix
!
0 0
0 1
(2.10)
17
2.2 Die Natur des Lichts
dargestellt.
Ein λ/2-Plättchen wird mit der Matrix
!
1 0
0 −1
(2.11)
ausgedrückt.
Mit dem Jones-Formalismus können insbesondere optische Systeme analysiert
werden. So kann damit beispielsweise ein linear in 45◦ -Richtung polarisiertes Photon, das auf einen Polarisationsfilter für linear polarisiertes Licht in vertikaler Orientierung trifft, folgendermaßen ausgedrückt werden:
1
√
2
!
1
1
·
!
1
0 0
=√
0 1
2
!
0
1
(2.12)
Diese Rechnung zeigt, dass das Photon nach dem Durchlaufen des Polarisationsfilters vertikal polarisiert ist.
2.2.4 Das Gesetz von Malus
Im Abschnitt 2.2.2 wurden Polarisationsfilter zum Erzeugen von linear polarisiertem
Licht genutzt. Mit dem Gesetz von Malus kann die Intensität von linear polarisierten Licht dem Durchgang durch einen Polarisationsfilter bestimmt werden.
I = I0 · cos2 (α)
(2.13)
Mit der Bornschen Wahrscheinlichkeitsinterpretation ist es ebenfalls möglich die
Wahrscheinlichkeit zum Durchlassen bzw. Absorption eines Photons zu berechnen.
Trifft ein in α-Richtung zur Polarisationsfilterwinkeleinstellung polarisiertes Photon
auf einen Polarisationsfilter, so ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Photon durchgelassen wird:
P („wird durchgelassen“) = cos2 (α)
(2.14)
Die Wahrscheinlichkeit einer Absorption lässt sich folgendermaßen bestimmen:
P („wird absorbiert“) = sin2 (α)
(2.15)
2 Grundlagen der Quantenphysik
18
2.2.5 Doppelbrechung
Um das Prinzip der Doppelbrechung verstehen zu können, betrachten wir zunächst
die einfache Lichtbrechung.
Lichtbrechung
Abbildung 2.16: Lichtbrechung
Das Phänomen der Lichtbrechung tritt beispielsweise auf, wenn man einen Stab
in einen Behälter mit Wasser stellt. Dieser erscheint geknickt, was in einer besonderen Eigenschaft des Lichtes begründet ist. Lichtstrahlen, welche in durchsichtige
Materialien eindringen, ändern bei Eintritt an der Grenzfläche ihre Richtung. Leitet
man einen gebündelten Lichtstrahl in einem schrägen Winkel in Wasser, so wird er
am Übergang zwischen Luft und Wasser abgeknickt.
Das Abknicken des Strahls ergibt sich aus den verschiedenen Ausbreitungsgeschwindigkeiten der beiden Materiale.
Zur Berechnung des Brechungswinkel β müssen die sogenannten Brechzahlen n
der beiden Medien sowie der Einfallswinkel α bekannt sein.
n1 · sin α = n2 · sin β
(2.16)
Doppelbrechung am Kristall
Optisch anisotrope Kristalle haben die Eigenschaft, dass sie einen einfallenden Lichtstrahl in zwei orthogonal zueinander polarisierte Teilstrahlen aufspalten. Optisch
19
2.2 Die Natur des Lichts
Abbildung 2.17: Doppelbrechung am Kristall
anisotrop bedeutet, dass die Kristalle unterschiedliche Brechzahlen für unterschiedlich polarisiertes Licht haben.
Von der einfachen Lichtbrechung ist bekannt, dass für das Abknicken eines Lichtstrahles die verschiedenen Ausbreitungsgeschwindigkeiten in den aneinander grenzenden Medien verantwortlich sind.
in doppelbrechenden Medien hängt die Ausbreitungsgeschwindigkeit des Lichts
zusätzlich von der Schwingungsrichtung des betrachteten Lichtes ab, während bei
der normalen Brechung nur die Einfallsrichtung des Lichtes beachtet werden brauchte.
Zum besseren Verständnis des Prinzips der Doppelbrechung wird im Folgenden
der Begriff der optischen Achse eingeführt.
Es gibt in jedem Kristall eine ausgezeichnete Richtung, in welcher die Lichtgeschwindigkeit für Wellen aller Polarisationsrichtungen gleich ist. Diese Richtung
nennt man die optische Achse eines Kristalls.
Bei einem nicht zur optischen Achse parallelen Lichteinfall wird der Lichtstrahl
stets in zwei Polarisationskomponenten aufgespalten, wie in Abbildung 2.18 veranschaulicht. Diese beiden Komponenten erfahren durch die Doppelbrechung fast
immer eine räumliche Aufspaltung.
Ein Teilstrahl, der sogenannte ordentliche Strahl, setzt bei senkrechtem Lichteinfall seinen Weg in gerader Linie fort, verhält sich also so wie der Lichtstrahl in einem
einfach brechenden Medium. Der andere, sogenannte außerordentliche Strahl erfährt
auch bei senkrechtem Lichteinfall eine Richtungsänderung. Beide Strahlen weisen
unterschiedliche Phasengeschwindigkeiten auf und sind unterschiedlich polarisiert.
Beispiele für doppelbrechende Kristalle sind beispielsweise Kalkspat und Quarz.
2 Grundlagen der Quantenphysik
20
Abbildung 2.18: Aufspaltung des Lichtes in ordentlichen und außerordentlichen
Strahl
2.2.6 Verzögerungsplatten
Verzögerungsplatten sind dünne Schichten aus doppelbrechenden Kristallen die so
geschnitten sind, dass eine Polarisationsrichtung der anderen gegenüber um einen
bestimmten Betrag verzögert wird. Gebräuchlich sind solche Platten mit Verzögerungen von einer halben Wellenlänge (λ/2-Platten) und einer viertel Wellenlänge
(λ/4-Platten). Diese Verzögerung bezieht sich also immer auf eine bestimmte Wellenlänge.
λ/2-Plättchen
Ein λ/2-Plättchen kann zur Drehung der Polarisationsrichtung benutzt werden.
Wird Licht unter dem Winkel θ zu einer optischen Achse eingestrahlt, so kommt
das Licht unter dem Winkel −θ wieder heraus. Es wird folglich um den Winkel 2θ
zur optischen Achse hin gedreht bzw. an ihr gespiegelt.
λ/4-Plättchen
Bei der λ/4-Platte wird die eine Komponente der Polarisation der anderen gegenüber
nur um eine viertel Wellenlänge verzögert. Hierdurch kann man linear polarisiertes
Licht in zirkular polarisiertes Licht umwandeln und umgekehrt. Eine Drehung der
21
2.2 Die Natur des Lichts
Abbildung 2.19: Funktionsweise eines λ/2-Plättchens
λ/4-Platte führt zu elliptischer Polarisation des Lichts.
Trifft nun ein linear in 45◦ -Richtung zur optischen Achse polarisierter Lichtstrahl
auf das Plättchen, dann entsteht zirkular polarisiertes Licht. Ist die Einstellung von
45° verschieden, so entsteht im allgemeinen Fall elliptisch polarisiertes Licht. Ursächlich hierfür ist, dass der Lichtstrahl in zwei senkrecht zueinander polarisierte
Anteile aufgespalten wird, die sich mit unterschiedlicher Geschwindigkeit ausbreiten und sich am Ausgang des Plättchens um eine Viertelphase verschoben wieder
überlagern. Man spricht entsprechend auch von der „schnellen“ bzw. „langsamen“
Achse des Kristalls. Damit entsteht für den resultierenden Feldvektor des austretenden Lichtstrahls ein Kreis oder eine Ellipse, die während jedes Schwingungszyklus
eine vollständigen Drehung der Polarisationsebene um 360° hervorruft.
Ist die Polarisationsrichtung des einfallenden Lichts dagegen parallel zu einer
der Achsen, dann erhält man nach dem Plättchen wieder linear polarisiertes, aber
phasenverschobenes Licht.
2 Grundlagen der Quantenphysik
22
Umgekehrt verwandelt ein λ/4-Plättchen auch zirkular polarisiertes Licht in linear polarisiertes Licht. Zwei hintereinander geschaltete λ/4-Plättchen ergeben bei
paralleler Ausrichtung ihrer optischen Achse ein λ/2-Plättchen, welches in Abschnitt
2.2.6 erläutert wurde.
Abbildung 2.20: Funktionsweise des λ/4-Plättchens: Eine Lichtwelle, die
vor dem Plättchen linear polarisiert ist, wandert durch das λ/4Plättchen und ist dahinter zirkular polarisiert. Die Abbildung
zeigt dieselbe Welle in zwei Darstellungen: unten als resultierende Welle, zunächst linear, dann zirkular polarisiert; oben dieselbe Welle zerlegt in zwei linear polarisierte Anteile parallel bzw.
senkrecht zur ausgezeichneten Richtung des Plättchens. An dieser unteren Darstellung erkennt man, wie die beiden Komponenten innerhalb des Plättchens verschieden schnell laufen, so dass
sie eine immer größere Phasenverschiebung erfahren, die hinter
dem Plättchen dann auf λ/4 angewachsen ist, so dass die Überlagerung der Teilwellen zur zirkular polarisierten Welle führt.
3 Zustandssysteme
Um das Phänomen der Verschränkung und somit auch die Teleportation und das
Wien Experiment verstehen zu können, betrachten wir zunächst die hierfür notwendigen Grundlagen der Quantenmechanik.
Da sich der Formalismus der Quantenmechanik relativ kompliziert gestaltet, beschränken wir und auf das Wesentliche und veranschaulichen die Zusammenhänge
anhand der Polarisation von Photonen.
In 3.1 werden Quantenzustände und ihre Superposition behandelt. In 3.2 wird
auf die Verschränkung eingegangen.
3.1 Quantenzustände
Die Schrödingergleichung ist die fundamentale Gleichung der nichtrelativistischen Quantentheorie und wurde 1926 von Erwin Schrödinger1 aufgestellt. Zustände von Quantenobjekten, z.B. von Elektronen, werden durch die Lösung der Schrödingergleichung beschrieben und
als Wellenfunktion Ψ bezeichnet. Zur Beschreibung von Quantenzuständen wird häufig die DiracNotation verwendet. Diese wurde 1958 von Paul
Dirac2 eingeführt. Hierbei gilt |· · · i als Spaltenvektor und wird als “ket” bezeichnet.
Die Wellenfunktion liefert eine vollständige
Beschreibung eines Quantenzustandes. Der Informationsgehalt ist daher sehr hoch und auf
viele Eigenschaften, wie beispielsweise Energie Abbildung 3.1: Erwin Schrödes Teilchens, Polarisation und Ort verteilt. Da
dinger im Jahre
die Wellenfunktion so auch mathematisch sehr
1933
komplex ist, werden die irrelevanten Teile der
Wellenfunktion nicht explizit aufgeschrieben. In späteren Experimenten ist es zum
Beispiel sinnvoll die Wellenfunktion auf die Beschreibung der Polarisation zu beschränken.
1 Erwin Rudolf Josef Alexander Schrödinger (* 12. August 1887 in Wien-Erdberg;
† 4. Januar 1961 ebenda) war ein österreichischer Physiker. Er gilt als einer der Väter der
Quantenphysik und erhielt 1933 dafür den Nobelpreis für Physik.
2 Paul Adrien Maurice Dirac, Order of Merit (* 8. August 1902 in Bristol; † 20. Oktober 1984 in Tallahassee) war ein britischer Physiker, Nobelpreisträger und Mitbegründer der
Quantenphysik.
3 Zustandssysteme
24
Um |Ψ i zu verstehen, betrachten wir beispielhaft einige verschränkte Photonen.
Wir wählen hierfür ein Koordinatensystem wie in Abbildung 3.2 dargestellt.
Abbildung 3.2: gewähltes Koordinatensystem zur Darstellung der Polarisationen
Zunächst gehen wir von einem in 0◦ -Richtung polarisierten Photon aus (siehe
Abb. 3.3). Wenn man dieses Photon in der {|Hi,|V i}-Basis darstellen will, lautet die
Abbildung 3.3: Ein in 0◦ -Richtung polarisiertes Photon
zugehörige Wellenfunktion
(3.1)
|Ψ1 i = |Hi.
In Abbildung 3.4 sieht man, wie wir die Basisvektoren |Hi und V i gewählt haben.
Analog zur Vektorrechnung im R2 müssen die Basisvektoren linear unabhängig sein,
um damit jeden beliebigen Vektor darstellen zu können.
Abbildung 3.4: Basisvektoren |Hi und |V i
Als nächstes wählen wir ein in 90◦ -Richtung polarisiertes Photon (siehe Abb. 3.5).
Wenn man dieses Photon in der {|Hi,|V i}-Basis darstellen will, lautet die zugehörige
Wellenfunktion
|Ψ2 i = |V i.
(3.2)
Die Wellenfunktion eines in 45◦ -Richtung polarisierten Photons muss als Überlagerung von Basisvektoren dargestellt werden. (siehe Abb. 3.6)
25
3.1 Quantenzustände
Abbildung 3.5: Ein in 90◦ -Richtung polarisiertes Photon
Abbildung 3.6: Ein in 45◦ -Richtung polarisiertes Photon
1
1
1
|Ψ3 i = √ [|Hi + |V i] = √ |Hi + √ |V i
2
2
2
(3.3)
Diesen Zustand nennt man Superposition.
In der Quantenmechanik ist der Messvorgang eng mit der Wellenfunktion verknüpft. Das Quadrat der Koeffizienten vor den Basisvektoren gibt dabei die Wahrscheinlichkeit an, den zugehörigen Basiszustand in der gewählten Basis zu messen.
Bezogen auf |Ψ3 i bedeutet dies, dass man bei einer Messung in der {|Hi,|V i}-Basis
mit einer Wahrscheinlichkeit von
p(|Hi) =
1
√
2
2
= 0.5
(3.4)
den Zustand |Hi misst und analog mit einer Wahrscheinlichkeit von
p(|V i) =
1
√
2
2
= 0.5
(3.5)
den Zustand |V i.
Experimentell kann man dies nachprüfen, indem man viele Photonen mit dem
Zustand |Ψ 3i durch einen Polarisationsfilter mit 90◦ -Orientierung schickt. Man stellt
fest, dass die Hälfte der Photonen den Filter passiert und die andere Hälfte absorbiert wird (siehe Abb. 3.7). Die durchgelassenen Photon sind dann ebenfalls in
90◦ -Richtung polarisiert, haben folglich nach dem Polarisationsfilter den Zustand
|Ψ30 i = |V i.
(3.6)
Da die Betragsquadrate der einzelnen Koeffizienten die Wahrscheinlichkeit angeben, den zugehörigen Basiszustand zu messen, ergibt sich daraus zwangsläufig,
dass die Summe der quadrierten Koeffizienten 1 ergeben muss. (Gesamtwahrschein-
3 Zustandssysteme
26
Abbildung 3.7: Photonen werden durch einen in 0◦ -Richtung orientierten Polarisationsfilter geschickt.
lichkeit beträgt 100%). (siehe Gleichung (3.4) und (3.4)) Bei einem allgemeinen
Zustand
|Ψ i = a|Hi + b|V i
(3.7)
ergibt sich die Normierung
|a|2 + |b|2 = 1
(3.8)
Wollen wir vorhersagen, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein Photon einen Polarisationsfilter in 45◦ -Stellung passiert, so müssen wir die Wellenfunktion in der Basis
{|45◦ i,|135◦ i} darstellen. Auf diese Weise kann man die neuen Koeffizienten direkt
ablesen und erhält mit deren Betragsquadrat die gesuchten Wahrscheinlichkeiten.
Abbildung 3.8: Basisvektoren |45◦ i und |135◦ i
27
3.1 Quantenzustände
Durch Transformation in die {|45◦ i,|135◦ i}-Basis (siehe Abb. 3.8) ergibt sich beispielsweise für den Zustand |Ψ1 i folgende Form
1
1
1
|Ψ1 i = √ [|45◦ i − |135◦ i] = √ |45◦ i − √ |135◦ i.
2
2
2
(3.9)
Bei einer Messung erhält man mit einer Wahrscheinlichkeit
p(|45◦ i) =
1
√
2
2
= 0.5
(3.10)
den Zustand |Hi und analog mit einer Wahrscheinlichkeit von
◦
p(|135 i) =
1
√
2
2
= 0.5
(3.11)
den Zustand |V i.
Für die Zustände |Ψ2 i und |Ψ3 i ergibt sich in der {|45◦ i,|135◦ i}-Basis analog:
1
1
1
|Ψ2 i = √ [|45◦ i + |135◦ i] = √ |45◦ i + √ |135◦ i
2
2
2
(3.12)
Bei einer Messung von |Ψ2 i erhält man mit einer Wahrscheinlichkeit von
◦
p(|45 i) =
1
√
2
2
= 0.5
(3.13)
den Zustand |45◦ i und analog mit einer Wahrscheinlichkeit von
p(|135◦ i) =
1
√
2
2
= 0.5
(3.14)
den Zustand |135◦ i.
Beim letzten Zustand
1
|Ψ3 i = √ [|Hi − |V i] = |45◦ i
2
(3.15)
misst man mit einer Wahrscheinlichkeit von
p(|45◦ i) = 12 = 1
(3.16)
den Basiszustand |45◦ i.
Zusammenfassung: Die Zustände in den verschiedenen Basen ausgedrückt sind eine äquivalente Beschreibung des Photons durch die Wellenfunktion. Durch das Ex-
3 Zustandssysteme
28
periment ist eine Messbasis gegeben. Will man die Wahrscheinlichkeit, ein Photon
nach einer Messung in einem bestimmten Zustand zu finden, vorhersagen, so muss
man die Wellenfunktion, die das Photon vor der Messung beschreibt in diese Basis
transformieren. Das Betragsquadrat der Koeffizienten entspricht dieser Wahrscheinlichkeit. Wir sind nun in der Lage das Phänomen der Verschränkung mathematisch
zu beschreiben.
3.2 Verschränkung
Wir wollen nun Zweiteilchensysteme betrachten. Beide Photonen haben eine Polarisation, die jeweils in den Basiszuständen |Hi und |V i ausgedrückt werden kann.
|Ψ i1 = a|Hi + b|V i
|Ψ i2 = b|Hi + d|V i
(3.17)
Zur Beschreibung des gesamten Systems in einer Wellenfunktion müssen die beiden Einzelzustände multipliziert werden
|Ψ i12 = |Ψ i1 |Ψ i2 = (a|Hi1 + b|V i1 ) (c|Hi2 + d|V i2 ) .
(3.18)
Befindet sich das erste Photon im Zustand |Hi und das zweite im Zustand |V i,
so wird der Gesamtzustand folgendermaßen ausgedrückt:
|Ψ i = |Hi1 |V i2 = |Hi |V i
(3.19)
Die Indizes 1 bzw. 2 für das erste bzw. zweite Photon können weggelassen werden,
sofern eindeutig erkennbar ist, welcher Zustand zu welchem Teilchen gehört.
Multiplizieren wir die Gleichung (3.18) aus, ergibt sich:
|Ψ i12 = ac|Hi1 |Hi2 + ad|Hi1 |V i2 + bc|V i1 |Hi2 + bd|V i1 |V i2
= α|Hi1 |Hi2 + β|Hi1 |V i2 + γ|V i1 |Hi2 + δ|V i1 |V i2
(3.20)
Es wird ersichtlich, dass die Basis des Gesamtsystems durch die vier Basiszustände
|Hi1 |Hi2 , |Hi1 |V i2 , |V i1 |Hi2 und |V i1 |V i2 gegeben ist. (siehe Abb. 3.9) Auch hier ist
wieder jede Überlagerung der vier Basiszustände möglich, d.h. ein allgemeiner ZweiTeilchen-Zustand ist eine Superposition dieser vier Basiszustände.
Das Absolutquadrat der Koeffizienten α, β , γ und δ in (3.18) gibt hier wiederum
die Wahrscheinlichkeit an, dass wir das Gesamtsystem bei einer Messung im entsprechenden Zustand antreffen. Die Summe der Betragsquadrate aller Koeffizienten
29
3.2 Verschränkung
Abbildung 3.9: Die vier Basiszustände.
ist demnach wieder 1
2
2
2
2
|α| + |β| + |γ| + |δ| = 1.
(3.21)
Im Beispiel eines 45◦ - und eines vertikal polarisierten Photons ergibt sich demnach für die Koeffizienten der Gesamtwellenfunktion und die daraus resultierenden
Wahrscheinlichkeiten:
1
|Ψ i12 = √ [|Hi1 + |V i1 ] · |V i2
2
1
= √ [|Hi1 |V i2 + |V i1 |V i2 ]
2
1
1
α = 0,
β=√ ,
γ = 0,
δ=√
2
2
2
1
1
P (|Hi1 |V i2 ) = P (|V i1 |V i2 ) = √
=
2
2
(3.22)
(3.23)
(3.24)
Die oben angeführten Gesamtzustände ergeben sich stets aus der Multiplikation
zweier Einzelzustände. Der resultierende Zustand wird daher auch Produktzustand
genannt. Dieser kann daher auch wieder in die Einzelzustände separiert werden.
Im Gegensatz dazu ist folgender Zustand nicht mehr faktorisierbar.
1
|Ψ − i12 = √ [|Hi1 |V i2 − |V i1 |Hi2 ]
2
(3.25)
Dieser Zustand (3.25) ist aus folgendem Grund in keinen Produktzustand wie in
Gleichung (3.18) umformbar: Im Zustand (3.25) tritt der Term |Hi1 |Hi2 nicht auf.
Dies bedeutet, dass in der Produktzustandsgleichung (3.18) ac|Hi1 |Hi2 = 0 und
somit ac = 0 gelten muss. Wenn ac = 0 gilt, ist aber automatisch ad = 0 oder bc = 0.
Der Term |Hi1 |V i2 oder |V i1 |Hi2 wäre folglich auch nicht in der Zustandsgleichung
enthalten. Im Zustand (3.25) sind aber offensichtlich beide Therme (|Hi1 |V i2 und
|V i1 |Hi2 ) enthalten. Aus diesem Widerspruch folgt, dass der Zustand (3.25) nicht in
3 Zustandssysteme
30
einen Produktzustand umgeformt werden kann.
Einen Zustand, der in keiner Basis als Produktzustand darstellbar ist, nennt man
verschränkt. Im vorigen Absatz haben wir gezeigt, dass der Zustand in Gleichung
(3.25) in der {|Hi1 |Hi2 ,|Hi1 |V i2 ,|V i1 |Hi2 ,|V i1 |V i2 }-Basis nicht faktorisierbar ist.
Um zu verifizieren, dass es sich bei |Ψ − i12 in (3.25) um einen verschränkten Zustand handelt, muss nachgewiesen werden, dass er in keiner Basis in einen Produktzustand übergeht.
Abbildung 3.10: Beliebige Basis, die um α zur {H,V }-Basis gedreht ist.
Wir müssen folglich |Hi und |V i der Gleichung (3.25) in einer beliebigen orthonormalen Basis darstellen. Dafür wählen wir |αi und orthogonal dazu |αi.
31
3.2 Verschränkung
Aus geometrischen Überlegungen ergibt sich:
|Hi = cos(α) · |αi− sin(α) · |αi
|V i = sin(α) · |αi+ cos(α) · |αi
(3.26)
(3.27)
Die Koeffizienten cos(α) bzw. sin(α) bewirken eine Drehung um den Winkel α des
jeweiligen Zustandes |αi bzw. |αi. Der Zustand |αi ist dabei ein um α Zustand, |αi
bezeichnet einen um (α + 90◦ ) gedrehten Zustand.
−
Wir zeigen nun, dass |Ψ12
i auch in der neuen Basis |αi,|αi seinen verschränkten
Zustand behält. Einsetzen von (3.26) und (3.27) in |Hi1 |V i2 und |V i1 |Hi2 ergibt:
|Hi1 |V i2 = cos(α) sin(α) · |αi1 |αi2 − sin2 (α) · |αi1 |αi2
+ cos2 (α) · |αi1 |αi2 − cos(α) sin(α) · |αi1 |αi2
|V i1 |Hi2 = cos(α) sin(α) · |αi1 |αi2 − sin2 (α) · |αi1 |αi2
+ cos2 (α) · |αi1 |αi2 − cos(α) sin(α) · |αi1 |αi2
(3.28)
(3.29)
Beim Einsetzen in Gleichung (3.25) ergibt sich mit sin2 (α) + cos2 (α) = 1:
1
|Ψ − i12 = √ [|αi1 |αi2 − |αi1 |αi2 ]
2
(3.30)
Der Zustand behält folglich seine Gestalt in jeder beliebigen Basis und ist somit wie
bei Gleichung (3.25) verschränkt.
Im Folgenden wird nun darauf eingegangen, dass der soeben ausgeführte Basiswechsel sich auf die Überführung von linear polarisiertem Licht auf zirkulare Polarisation anwenden lässt. Aus Kapitel 2.2.2 und 2.2.3 kennen wir zirkular polarisiertes
Licht. Wir können linear polarisiertes Licht durch die Überlagerung von zirkular
polarisierten Licht darstellen.
Die Jones-Vektoren für linear polarisiertes Licht lauten wie aus 2.2.3 bekannt.
!
1
|Li = √
2
1
i
1
|Ri = √
2
1
−i
(3.31)
!
(3.32)
In Kapitel 2.2.3 wurde genannt, dass sich lineare Polarisation durch die Überlagerung von zirkularer Polarisation darstellen lässt. Folgende kurze Rechnung zeigt
3 Zustandssysteme
32
diesen zusammenhang.
1
1
|Hi = √ (|Li + |Ri) =
2
2
i
i
|V i = √ (|Ri − |Li) = −
2
2
!
2
0
!
1
0
=
0
2i
!
(3.33)
!
=
0
1
(3.34)
Ersetzen wir |Hi und |V i in Gleichung (3.25) durch diese Ausdrücke, so erhalten
wir:
1
|Ψ − i12 = √ (|Hi|V i − |V i|Hi)
2
"
#
1 − 2i (|Li + |Ri) (|Li − |Ri)
=√
2 + 2i (|Li − |Ri) (|Li + |Ri)
"
#
i
−|Li|Li + |Li|Ri − |Ri|Li + |Ri|Ri
= √
2 2 +|Li|Li + |Li|Ri − |Ri|Li − |Ri|Ri
(3.35)
i
= √ (|Li|Ri − |Ri|Li)
2
Wir sehen also, dass der Verschränkungszustand auch bei einer Messung in zirkularer Basis die Form wie in Gleichung (3.25) behält.
Diese Tatsache ist wichtig, um den Messvorgang in Kapitel 5 nachvollziehen zu
können.
Bisher haben wir lediglich gezeigt, dass der Zustand aus Gleichung (3.25) verschränkt ist. Aber wie verhält sich ein verschränktes Photonenpaar im Experiment?
Misst man Photon A in der {|Hi,|V i}-Basis, so nimmt dieses mit 50% Wahrscheinlichkeit den Zustand |Hi an. Beeinflusst durch die Messung befindet sich Teilchen
A im Zustand |Hi und Teilchen B nimmt instantan den Zustand |V i an. Hätte man
umgekehrt den Zustand |V i für Teilchen A gemessen, so befände sich Teilchen B im
Zustand |Hi. Die Teilchen zeigen perfekte Antikorrelation (siehe Abb. 3.11).
Anschaulich lässt sich Verschränkung am besten mit folgender Analogie erklären.
Geht man von zwei Losen in einer Box aus, einer Niete und einem Gewinnlos. Zieht
man nun eines davon und erkennt, dass es sich um die Niete handelt, so weiß man
automatisch, dass das Los in der Box das Gewinnlos sein muss(sofern man nicht
betrogen wurde).
Eine quantenphysikalische Korrelation sieht ganz ähnlich aus. Wir gehen von einem Quantenlospaar bzw. Photonenpaar in einem Zustand, wie in Gleichung (3.25)
beschrieben ist, aus, das sich auch hier wieder in der Losbox befindet. Hat Los A
bzw. Photon A den Zustand |Hi, so weiß man automatisch, dass das Los B bzw.
33
3.2 Verschränkung
Abbildung 3.11: Eine Quelle emittiert ein verschränktes Photonenpaar mit dem
Zustand |Ψ − i12 . An zwei polarisierenden Strahlteilern werden
diese anhand ihrer Polarisation aufgeteilt. Hier sind die beiden
möglichen Messausgänge veranschaulicht. Ist ein Detektor orange markiert, so ist damit gemeint, dass dieser ein Photon registriert.
das Photon B in der Box den Zustand |V i hat.
Zwischen der klassischen und der Quantenkorrelation besteht jedoch ein wichtiger Unterschied. Während sich bei der klassischen Korrelation die ganze Zeit das
Gewinnlos in der Box und die Niete in der Hand des Pechvogels befunden hat, so ist
der Zustand bei der Quantenkorrelation bis zur Messung in einer bestimmten Basis
unbestimmt. Erst beim Messvorgang nimmt Photon A mit einer Wahrscheinlichkeit
von 50% den Zustand |Hi und Photon B somit instantan den Zustand |V i an.
An dem Phänomen der Verschränkung wird auch klar, dass der Informationsbegriff eine zentrale Rolle in der Quantenmechanik einnimmt. Aus der klassischen
Mechanik sind wir es gewohnt Objekten feste Eigenschaften zuzuschreiben. In der
Quantenmechanik kann die Information jedoch auch anders verteilt werden. In diesem fall ist die Beziehung zwischen den beiden Teilchen bekannt, aber über die
einzelnen Teilchen kann keine Aussage mehr gemacht werden, da die Menge an
Information begrenzt ist.
3 Zustandssysteme
34
3.3 Erzeugen von verschränkten Teilchen
Im folgenden werden zwei verschiedene Verfahren zur Erzeugung verschränkter Teilchen im Labor vorgestellt.
3.3.1 Beta-Bariumborat(BBO)-Kristall
Zunächst erzeugt ein Ti:sapphire(Titan-Saphir) Laser (siehe Abb. 3.12) einen gepulsten Laserstrahl mit einer Wellenlänge λ von 395nm und einer Pulsenergie von
∼ 150mW. Gepulste Laser emittieren ihre Leistung periodisch in einem Lichtpuls.
Abbildung 3.12: Teil des Versuchsaufbaus, der die verschränkten Photonen erzeugt
Der darauf folgende β -Barium-Borat(BBO)-Kristall ist der wichtigste Teil zur
Erzeugung verschränkter Photonen. Wichtige Eigenschaften des Kristalls sind seine Nichtlinearität und seine Doppelbrechung. Auf diesen Kristall werden nun die
vom Laser erzeugten Photonen geschossen. Ein auf den Kristall treffendes Photon
teilt sich auf in zwei Photonen mit gleicher Frequenz, die der halben Frequenz des
Ursprungphotons entspricht. Die neue Frequenz lässt sich aus der Energieerhaltung
35
3.3 Erzeugen von verschränkten Teilchen
herleiten.
Evorher = Enachher
EP 1 = EP 2 + EP 3
h · f1 = h · f2 + h · f3
mit f2 = f3
(3.36)
f1 = 2 · f2
1
f2 = f1
2
Aus Gründen der Impulserhaltung ergeben sich für Photonen die Richtungen, in denen sie den Kristall verlassen können. Diese Richtungen bilden zwei Kegel mit einer
gemeinsamen Schnittmenge. Einer der Kegel enthält horizontal polarisierte Photonen, der andere solche mit vertikaler Polarisation. Die Photonen der Schnittmenge
sind polarisationsverschränkt, da sie bezüglich ihres Impulses und ihrer Frequenz
nicht mehr unterscheidbar sind. Es ist schließlich nicht erkennbar, von welchem
Kegel sie stammen.
Wichtig hierbei ist, dass der auf den Kristall einfallende Strahl exakt justiert ist,
damit eine Überlappung der Kegel überhaupt stattfindet.
Die vorherige Erklärung unterliegt einer gewissen Einschränkung: Nur die Photonenpaare, die am hinteren Ende des BBO-Kristalls erzeugt wurden, sind verschränkt. Die durch die Doppelbrechung resultierende unterschiedliche Phasengeschwindigkeit des ordentlichen sowie des außerordentlichen Strahls führt zu einem
Laufzeitunterschied zwischen den beiden Photonen, d.h. die Photon verlassen den
Kristall zeitversetzt. Dies bedeutet, dass eine Unterscheidung der Photonen anhand
dieser Information möglich ist. Eine Verschränkung liegt also noch nicht vor.
Dieser Effekt ist nicht vermeidbar, man muss folglich diesen Laufzeitunterschied
ausgleichen, um somit die momentan noch vorhandenen Informationen, die die Photonen unterscheidbar machen, auslöschen. Dies macht man mithilfe eines sogenannten Quantenradierers. Dies wird hier mit dem λ/2-Plättchen und dem BBO/2Kristall realisiert. Das λ/2-Plättchen verschiebt die passierenden Strahlen um λ2 = π .
Folglich werden aus horizontal polarisierten Photonen vertikal polarisierte und umgekehrt. Dies löscht die Information noch nicht aus. Dafür wird der BBO/2-Kristall
benötigt. Dieser ist halb so dick wie der BBO-Kristall und bremst das schnellere
Photon doppelt so stark wie das andere ab. Dies führt zu einer Halbierung des Laufzeitunterschiedes. Nun haben die Photonen, die in der Mitte des Kristalls erzeugt
wurden, keinen Laufzeitunterschied mehr.
Die um den Abstand x von der Mitte entfernten erzeugten Photonen haben denselben Laufzeitunterschied mit umgekehrten Vorzeichen wie die Photonen, die um
den Abstand -x von der Mitte entfernt erzeugt wurden. Das heißt beispielsweise,
dass Photonen, die ganz vorne am Kristall erzeugt wurden, den nur durch das Vor-
3 Zustandssysteme
36
Abbildung 3.13: Erzeugung verschränkter Photonen: An den Schnittpunkten der Kegel sind die Photonen verschränkt.
zeichen unterschiedlichen Laufzeitunterschied wie die Photonen, die ganz hinten am
Kristall erzeugten wurden, haben. Liegt bei den Photonen, die vorne am Kristall
erzeugt wurden das horizontal polarisierte Photon vorne, so liegt bei den anderen
Photonen das vertikal polarisierte Photon vorne. Da man von den Photonen den
Entstehungsort nicht kennt, kann man dem BBO/2-Kristall nicht mehr sagen, welcher Strahl zuerst aus dem BB0-Kristall ausgetreten ist. Nun bilden alle Photonen
unabhängig des Entstehungsortes Superpositionen und sind somit verschränkt.
Die Photonen haben stets einen unterschiedlichen Polarisationszustand. Ist Photon 1 horizontal polarisiert, so ist Photon 2 vertikal polarisiert. Dieser Zustand ist
bereits aus Gleichung 3.25 bekannt:
1
|Ψ − i12 = √ [|Hi1 |V i2 − |V i1 |Hi2 ]
2
(3.37)
Die Filter vor den Detektoren sorgen dafür, dass nur Photonen gleicher Energie
37
3.3 Erzeugen von verschränkten Teilchen
detektiert werden. Dies ist nötig, da Photonen nur dann verschränkt sind, wenn
sie ununterscheidbar sind, dies bezieht sich also auch auf die Energie. Nun kann
man sich natürlich fragen, warum die Photonen denn unterschiedliche Energiewerte
haben. Das liegt ganz einfach daran, dass in der Anordnung ein gepulster Laser verwendet wird. Im Gegensatz zu einem kontinuierlichem Laserstrahl ist die Energie
eines Laserpulses nicht exakt bestimmt. Dies liegt an der Heisenbergschen Unschärferelation.
∆E · ∆t ≤
h
2π
(3.38)
Wir erhalten also Photonen eines bestimmten Energiebereiches. Mit dem Filter
sortieren wir die ungewollten Photonenpaare aus.
Die Erzeugung von verschränkten Photonenpaaren mit Hilfe des BBO-Kristalls hat einen Nachteil.
Es werden viele Photonen durch den BBO-kristall
geschickt, aber nur die Photonen in der Schnittmenge der Kegel werden verschränkt.
Mit einem periodisch gepolten KaliumtitanylphosphatAbbildung 3.14: Kristall
Kristall kann man die Ausbeute vergrößern. Damit
ist es möglich beinahe1 alle Photonen des Laserstrahls zu verschränken. Auf diesen
Mechanismus wird im folgenden Abschnitt eingegangen.
3.3.2 Periodisch gepolter Kaliumtitanylphosphat-Kristall
In Abbildung 3.3.3 ist ein Schema des Versuchsaufbaus dargestellt. Eine Laserdiode
erzeugt einen Laserstrahl mit der Frequenz f1 . Der dichromatische Filter lässt Photonen mit Frequenz f1 durch, Photonen mit der Frequenz f2 werden reflektiert. Der
Laserstrahl wird folglich durchgelassen. Am polarisierenden Strahlteiler (PBS, polarising beamsplitter) wird der Strahl in eine horizontal und eine vertikal polarisierte
Komponente zerlegt.
Die Photonen mit horizontaler Polarisation werden vom PBS durchgelassen und
treffen über einen Spiegel auf den PPKTP(Periodically Poled Potassium Titanyl
Phosphate)-Kristall. Dort verwandelt sich ein Photon mit der Frequenz f1 in zwei
Photonen mit der Frequenz f2 = f21 . Dies ergibt sich aus dem Energieerhaltungssatz
(siehe Gleichung 3.36). Eines der erzeugten Photonen ist horizontal orientiert, das
andere vertikal. Diese Photonen mit der Frequenz f2 befinden sich nun in Mode D
und treffen erneut auf den polarisierenden Strahlteiler PBS, woraufhin die horizontal
1
Wegen experimenteller Unzulänglichkeiten ist eine geringe Verlustrate vorhanden.
3 Zustandssysteme
38
Abbildung 3.15: Schema des Versuchsaufbaus
orientierten Photonen durchgelassen werden und sich somit in Mode A befinden.
Die vertikal orientierten Photonen werden am PBS reflektiert und gelangen in Mode
B.
Kehren wir zurück zum polarisierenden Strahlteiler PBS. Die vertikale Komponente wird dort reflektiert und über einen Spiegel in den Kristall gelenkt. Hier teilen
sich die Photonen ebenfalls in zwei Photonen mit orthogonaler Polarisation und der
Frequenz f2 auf. Die Photonen befinden sich nun in Mode C. Am polarisierenden
Strahlteiler PBS wird der horizontale Anteil durchgelassen und landet in Mode B.
Der vertikale Anteil dagegen wird reflektiert und landet in A.
Die Photonen in Mode A haben die gleiche Frequenz f2 und einen gleich langen
Weg zurückgelegt. Sie sind also nicht mehr unterscheidbar. Es kommt folglich zur
Superposition der beiden Komponenten. Somit werden verschränkte Photonenpaare
mit folgenden Zustand erzeugt.
1
|Ψ − i12 = √ [|Hi1 |V i2 − |V i1 |Hi2 ]
2
(3.39)
Selbiges gilt für die Photonen in Mode B. Auch diese Photonen sind nicht mehr
unterscheidbar und bilden ebenfalls eine Superposition. Es entstehen verschränkte
39
3.3 Erzeugen von verschränkten Teilchen
Photonenpaare mit dem Zustand 3.39.
3.3.3 Unterschiede
Durch die in Abbildung 3.12 und aufgezeigten Versuchsaufbauten werden zwei unterschiedliche Typen von Anordnungen zur Erzeugung verschränkter Photonen dargestellt. Diese werden als Quellen bezeichnet. Der wesentliche Unterschied der beiden Quellen besteht darin, dass die aus Abbildung 3.3.3 eine bei weitem höhere
Ausbeute an verschränkten Photonen liefert. In Abbildung 3.3.3 werden alle Photonen des Lasers verschränkt, während bei der ersten Variante nur die Schnittmenge
der Kegel verschränkt wird.
3 Zustandssysteme
40
3.4 Quantenteleportation
Mit dem Begriff der Teleportation assoziieren die meisten Menschen das Beamen
von Menschen in Star Trek
oder anderen Science-FictionFilmen. Dies trifft allerdings
nicht auf die Idee der Quantenteleportation zu. Es ist
fraglich, ob die Quantenteleportation es uns eines Tages ermöglichen wird, von
einem Ort zum anderen zu
beamen. Denn bei der Quantenteleportation wird der unbekannte Zustand eines Teil- Abbildung 3.16: Die Väter der Quantenteleportation vorne von links: Gilles Brassard,
chens auf ein anderes überClaude Crepeau, Asher Peres,
tragen, das Teilchen selbst
hinten: Richard Jozsa, William
wird nicht transportiert. Es
Wooters, Charles Bennett
wird keine Materie sondern
Information übertragen. Um die Quantenteleportation zu verwirklichen, muss auf
klassische Weise kommuniziert werden. Deshalb wird die Information auch nicht
instantan übertragen und ist somit mit den Gesetzen der Relativitätstheorie vereinbar.
Im Jahre 1993 schlug eine Arbeitsgruppe um Charles Bennett das Prinzip
der Quantenteleportation vor. Obwohl die Idee der Quantenteleportation schon seit
1993 besteht, konnte die Teleportation erstmals 1997 experimentell durchgeführt
werden. Dies liegt vor allem an der Tatsache, dass die Verschränkung zweier Teilchen
erst vor wenigen Jahren experimentell realisiert werden konnte.
Das Prinzip der Quantenteleportation beruht auf der Verwendung eines verschränkten Zustands. Zwei Parteien, historisch bedingt Alice und Bob genannt,
besitzen jeweils eines der verschränkten Teilchen. Sie befinden sich an räumlich
getrennten Laboren. Alice möchte nun ein weiteres Teilchen mit einem ihr unbekannten Zustand |Ψ i zu Bob teleportieren. Dazu nimmt sie eine sogenannte Bellzustandsanalyse an dem zu teleportierenden und ihrem verschränkten Teilchen vor.
Diese Messung verursacht eine Übertragung der Information über den Zustand |Ψ i
zu Bob. Allerdings ist Bobs Teilchen nun in einem von vier möglichen Zuständen,
41
3.4 Quantenteleportation
die geringfügig oder in einem Fall gar nicht von |Ψ i abweichen.
Um den Zustand |Ψ i zu erhalten, muss Bob eine unitäre Transformation1 durchführen. Um zu wissen, welche Art der Transformation er durchführen muss, ist eine
Kommunikation mit Alice über einen klassischen Kanal notwendig. Dann kann Bob
die Transformation anwenden und sein Photon hat den Zustand |Ψ i. Der Zustand
des zu teleportierenden Teilchens wird gleichzeitig unbestimmt.
Dieser kurze Überblick vermag zwar das
grundlegende Prinzip der Teleportation aber
nicht die Bellzustandsmessung von Alice und
die Transformation von Bob plausibel zu
machen. Die Bellzustandsanalyse und die
unitäre Transformation können nur durch
eine mathematische Betrachtung nachvollzogen werden.
Abbildung 3.17: Schema der Quantenteleportation
3.4.1 Mathematische Betrachtung
Unser zu teleportierendes Teilchen befindet sich in einem Alice unbekannten Zustand, den wir
|Ψ i1 = α|Hi1 + β|V i1
(3.40)
bezeichnen.
Die Photonenquelle emittiert ein verschränktes Photonenpaar mit dem Zustand
1
|Ψ − i23 = √ [|Hi2 |V i3 − |V i2 |Hi3 ] ,
2
(3.41)
wobei Photon 2 zu Alice und Photon 3 zu Bob geschickt wird.
Nun betrachten wir den Zustand des Gesamtsystems
|Ψ iGes = |Ψ1 i1 |Ψ − i23
1
= √ (α|Hi1 + β|V i2 ) (|Hi2 |V i3 − |V i2 |Hi3 )
2
1
(3.42)
Als unitäre Abbildung (auch unitäre Transformation) bezeichnet man in der Mathematik eine
bijektive lineare Abbildung, die längen- und winkelerhaltend ist.
3 Zustandssysteme
42
Zunächst wird der Zustand aus 3.42 ausmultipliziert.
1
|Ψ iGes = √ {α|Hi1 |Hi2 |V i3 − α|Hi1 |V i2 |Hi3 + β|V i1 |Hi2 |V i3 − β|V i1 |V i2 |V i3 }
2
Im nächsten Schritt wird eine Nulladdition durchgeführt.
|Ψ iGes


− (α|Hi1 |V i2 |Hi3 −α|V i1 |Hi2 |Hi3 +β|Hi1 |V i2 |V i3 − β|V i1 |Hi2 |V i3 )





1 − (α|Hi1 |V i2 |Hi3 +α|V i1 |Hi2 |Hi3 −β|Hi1 |V i2 |V i3 − β|V i1 |Hi2 |V i3 )
√
=
+ (α|Hi1 |Hi2 |V i3 −α|V i1 |V i2 |V i3 +β|Hi1 |Hi2 |Hi3 − β|V i1 |V i2 |Hi3 )
2 2






+ (α|Hi1 |Hi2 |V i3 +α|V i1 |V i2 |V i3 −β|Hi1 |Hi2 |Hi3 − β|V i1 |V i2 |Hi3 )
 1

− √2 (|Hi1 |V i2 − |V i1 |Hi2 ) (α|Hi3 + β|V i3 )





1 − √12 (|Hi1 |V i2 + |V i1 |Hi2 ) (α|Hi3 − β|V i3 )
=
+ √12 (|Hi1 |Hi2 − |V i1 |V i2 ) (α|V i3 + β|Hi3 )

2


 1

+ √2 (|Hi1 |Hi2 + |V i1 |V i2 ) (α|V i3 − β|Hi3 )


−|Ψ − i12 (α|Hi3 + β|V i3 )





1 −|Ψ + i12 (α|Hi3 − β|V i3 )
=
2
+|φ− i12 (α|V i3 + β|Hi3 ) 






+|φ+ i12 (α|V i3 − β|Hi3 )
(3.43)
Im obigen Ausdruck tauchen die Bell-Basiszustände auf:
1
|φ+ i12 = √ [|Hi1 |Hi2 + |V i1 |V i2 ]
2
1
|φ− i12 = √ [|Hi1 |Hi2 − |V i1 |V i2 ]
2
1
|Ψ + i12 = √ [|Hi1 |V i2 + |V i1 |Hi2 ]
2
1
−
|Ψ i12 = √ [|Hi1 |V i2 − |V i1 |Hi2 ]
2
(3.44)
(3.45)
(3.46)
(3.47)
Diese vier verschränkten Zustände benutze der Ire John Bell, als er 1965 die
sogenannte Bell-Basis zur Modellierung von Zweiquantensystemen einführte.
Durch die Umformung des Ausgangszustandes (3.42) haben wir erreicht, dass wir
den Zustand des Gesamtsystems in der Bell-Basis ausdrücken können.
Messen wir nun Teilchen 1 und 2 in der Bell-Basis, so werden wir eine der möglichen Bell-Zustände erhalten.
An Gleichung (3.43) können wir dann den Zustand von Teilchen 3 direkt ablesen.
Wir sehen, dass beispielsweise für die Messung des Zustandes |Ψ − i12 Teilchen 3
43
3.4 Quantenteleportation
instantan den Zustand
1
|Ψ i3 = √ (α|Hi3 + β|V i3 )
2
(3.48)
annimmt.
Der Zustand |Ψ i3 hat die selben Koeffizienten wie |Ψ i1 vor der Messung, befindet
sich daher im gleichen Quantenzustand wie vorher |Ψ i1 . Teilchen 1 selbst verliert
beim Messprozess aufgrund der Verschränkung mit Teilchen 2 seine Eigenschaften.
Bei Messung von |Ψ + i oder |Φ± i haben wir geringe Abweichungen zum ursprünglichen Quantenzustand von Teilchen 1, die durch unitäre Transformationen korrigiert
werden können.
Die Konsequenz der Tatsache, dass Teilchen 3 exakt den gleichen Quantenzustand wie Teilchen 1 annimmt, ist, dass die Polarisation von Teilchen 1 vollständig
unbestimmt ist. Es ist mit Teilchen 2 verschränkt.
Die experimentelle Herausforderung liegt nun darin, in der Bell-Basis zu messen.
Diese Bellzustandsanalyse wird im folgenden Kapitel erläutert.
3.4.2 Bellzustandsanalyse bei Alice
Um die Bellzustandsanalyse zu verstehen, müssen wir zunächst die Symmetrieeigenschaften der Bell-Zustände genauer untersuchen.
Symmetrieeigenschaften der Bellzustände
Unter Symmetrieeigenschaften von Zwei- oder Mehrquantensystemen versteht man
das Transformationsverhalten des Zustandes bei Anwendung des Vertauschungsoperators. Bei der Überprüfung der Symmetrie werden zunächst die Indizes vertauscht und die Zustände anschließend neu geordnet. Geht der Zustand in sich
selbst über, so spricht man von einem symmetrischen Zustand. Geht er jedoch in
sein Negatives über, so handelt es sich um einen antisymmetrischen Zustand. Die
Unterscheidung zwischen symmetrischen und antisymmetrischen Zuständen ist in
der Quantentheorie fundamental. Rechnerisch kann das Symmetrieverhalten mit
dem Vertauschungsoperator P̂ ermittelt werden.
P̂ |Ψ i = |Ψ i
P̂ |Ψ i = −|Ψ i
|Ψ i symmetrisch
|Ψ i antisymmetrisch
(3.49)
(3.50)
Nun folgt eine Überprüfung der Symmetrieeigenschaften der Bell-Basiszustände.
Hierfür werden zunächst die Indizes vertauscht und die Zustände dann neugeordnet.
3 Zustandssysteme
1
1
1↔2
|Ψ + i = √ [|Hi1 |V i2 + |V i1 |Hi2 ] −−→ √ [|Hi2 |V i1 + |V i2 |Hi1 ]
2
2
1
= √ [|Hi1 |V i2 + |V i1 |Hi2 ] = |Ψ + i
2
1
1
1↔2
|Ψ − i = √ [|Hi1 |V i2 − |V i1 |Hi2 ] −−→ √ [|Hi2 |V i1 − |V i2 |Hi1 ]
2
2
1
= √ [|V i1 |Hi2 − |Hi1 |V i2 ] = −|Ψ − i
2
1
1
1↔2
+
|φ i = √ [|Hi1 |Hi2 + |V i1 |V i2 ] −−→ √ [|Hi1 |Hi2 + |V i1 |V i2 ] = |φ+ i
2
2
1
1
1↔2
−
|φ i = √ [|Hi1 |Hi2 − |V i1 |V i2 ] −−→ √ [|Hi1 |Hi2 − |V i1 |V i2 ] = |φ− i
2
2
44
(3.51)
(3.52)
(3.53)
(3.54)
Die Zustände |φ± i sowie |Ψ + i sind folglich symmetrisch, während der Zustand |Ψ − i
antisymmetrisch ist. Photonen gehören zur Gruppe der Bosonen. Bosonen besitzen
immer eine symmetrische Gesamtwellenfunktion (bestehend aus Polarisations- und
Impulsanteil).
Liegt eine symmetrische Polarisationswellenfunktion, muss die Impulswellenfunktion folglich ebenfalls symmetrisch sein. Umgekehrt erfordert eine antisymmetrische
Polarisationswellenfunktion eine antisymmetrische Impulswellenfunktion. Diese Impulswellenfunktionen seien hier ohne weitere Herleitung bzw. Begründung angegeben:
1
|Ψ iImpuls
symmetrisch = √ [|ai1 |bi2 + |bi1 |ai2 ]
2
1
|Ψ iImpuls
antisymmetrisch = √ [|ai1 |bi2 − |bi1 |ai2 ]
2
(3.55)
(3.56)
An einer Quelle, die verschränkte Photonen erzeugt, wird die Impulswellenfunktion veranschaulicht.
Die Quelle emittiert die Photonen stets in unterschiedliche Moden1 , es ist aber
unbekannt, welches Photon (1 oder 2) sich in welcher Mode (a oder b) befindet. Es
sind folglich zwei Varianten möglich. Photon 1 wird in Mode a emittiert, während
Photon 2 sich in Mode b befindet und umgekehrt.
Diese Varianten treten sowohl bei der symmetrischen als auch der antisymmetrischen Impulswellenfunktion auf. Die Konsequenzen der Symmetrie bzw. Antisymmetrie der Impulswellenfunktion sind erst bei der Bellzustandsanalyse zu beobachten.
1
Richtung des Impuls
45
3.4 Quantenteleportation
Abbildung 3.18: Zustand des Zweiphotonsystems beim Verlassen der Quelle.
Wie oben bereits festgestellt brauchen wir eine symmetrische Gesamtwellenfunktion, deshalb müssen symmetrische Polarisationswellenfunktionen mit symmetrischen
Impulswellenfunktionen und antisymmetrische mit antisymmetrischen kombiniert
werden. Die vollständigen Bell-Basiszustände für Bosonen lauten daher wie folgt:
|φ+ igesamt = |φ+ i|Ψ iOrt
symmetrisch
1
= [|Hi1 |Hi2 + |V i1 |V i2 ] ⊗ [|ai1 |bi2 + |bi1 |ai2 ]
2
|φ− igesamt = |φ− i|Ψ iOrt
symmetrisch
1
= [|Hi1 |Hi2 − |V i1 |V i2 ] ⊗ [|ai1 |bi2 + |bi1 |ai2 ]
2
+ gesamt
|Ψ i
= |Ψ + i|Ψ iOrt
symmetrisch
1
= [|Hi1 |V i2 + |V i1 |Hi2 ] ⊗ [|ai1 |bi2 + |bi1 |ai2 ]
2
|Ψ − igesamt = |Ψ − i|Ψ iOrt
antisymmetrisch
1
= [|Hi1 |V i2 − |V i1 |Hi2 ] ⊗ [|ai1 |bi2 − |bi1 |ai2 ]
2
(3.57)
(3.58)
(3.59)
(3.60)
3 Zustandssysteme
46
Abbildung 3.19: Schematischer Aufbau eines interferometrischen BellZustandsanalysators für polarisationsverschränkte Zweiphotonzustände.
Nun schicken wir die Photonen 1 und 2 in einen Bellzustandsanalysator. Schematisch sieht solch ein Bell-Zustandsanalysator wie in Abbildung 3.19 dargestellt
aus. Der mit BS (beamsplitter) bezeichnete Strahlteiler lässt ein Photon unabhängig von seiner Polarisation mit 50%er Wahrscheinlichkeit passieren und mit 50%er
Wahrscheinlichkeit wird das Photon absorbiert. Mit PBS (polarising beamsplitter)
wurden die beiden in der H/V-Basis arbeitenden polarisierenden Strahlteiler bezeichnet. Photon 1 startet bei a und Photon 2 bei b. Die beiden Photonen werden
später an einem der Detektoren, die mit DV , DH , DV0 und DH0 bezeichnet wurden,
registriert.
Um die Funktionsweise des Analysators zu verstehen, betrachten wir zunächst
den Strahlteiler BS, der auf den Impulsanteil der Wellenfunktion wirkt.
Ein Photon in Mode a hat die Möglichkeit durch Transmission in Mode a’ oder
durch Reflektion in Mode b’ zu gelangen. Beide Möglichkeiten treten genau zu 50%
auf. Die Reflektion verursacht einen Phasensprung von π2 . (In komplexer Ebene
π
entspricht dies ei 2 = i.)
Entsprechend kann sich Photon 2 durch Transmission in Mode b’ und durch
47
3.4 Quantenteleportation
Reflektion in Mode a’ einfinden. Dazu werden |ai und |bi entsprechend transformiert.
1
|ai ⇒ √ (|a0 i + i · |b0 i)
2
1
|bi ⇒ √ (|b0 i + i · |a0 i)
2
(3.61)
(3.62)
Setzt man dies in die symmetrische Impulswellenfunktion (3.63) ein und multipliziert den Term aus, so erhält man
1
|Ψ iImpuls
symmetrisch = √ [|ai1 |bi2 + |bi1 |ai2 ]
2
1
= √ [(|a0 i1 + i|b0 i1 ) (|b0 i2 + i|a0 i2 ) + (|b0 i1 + i|a0 i1 ) (|a0 i2 + i|b0 i2 )]
2 2
"
#
1
+|a0 i1 |b0 i2 +i|a0 i1 |a0 i2 +i|b0 i1 |b0 i2 −|b0 i1 |a0 i2
= √
2 2 −|a0 i1 |b0 i2 +i|a0 i1 |a0 i2 +i|b0 i1 |b0 i2 +|b0 i1 |a0 i2
i
= √ [|a0 i1 |a0 i2 + |b0 i1 |b0 i2 ]
2
(3.63)
An Gleichung (3.63) ist ersichtlich, dass Terme, bei denen Photon 1 und 2 in
der gleichen Mode gelangen konstruktiv (orange + blau) interferieren, und die, bei
denen sie in unterschiedliche Mode gelangen destruktiv(rot + grün) überlagern.
Physikalisch bedeutet dies, dass ein verschränktes Photonenpaar mit einer symmetrischen Wellenfunktion mit gleicher Wahrscheinlichkeit von 0,5 entweder bei a’
oder bei b’ landet. Beide Photonen befinden sich nach dem Passieren des Strahlteilers in der gleichen Impulsmode a’ oder b’. Dies wird auch mit Bunching bezeichnet.
Analog ergibt sich für die antisymmetrische Wellenfunktion:
1
|Ψ iImpuls
antisymmetrisch = √ [|ai1 |bi2 − |bi1 |ai2 ]
2
1
= √ [(|a0 i1 + i|b0 i1 ) (|b0 i2 + i|a0 i2 ) − (|b0 i1 + i|a0 i1 ) (|a0 i2 + i|b0 i2 )]
2 2
"
#
1
+|a0 i1 |b0 i2 +i|a0 i1 |a0 i2 +i|b0 i1 |b0 i2 −|b0 i1 |a0 i2
= √
2 2 +|a0 i1 |b0 i2 −i|a0 i1 |a0 i2 −i|b0 i1 |b0 i2 −|b0 i1 |a0 i2
1
= √ [|a0 i1 |b0 i2 + |b0 i1 |a0 i2 ]
2
(3.64)
Bei der antisymmetrischen Impulswellenfunktion zeigen die rot bzw. grün markierten Terme konstruktive und die orange bzw. blau markierten Terme destruktive
Interferenz. Dies bedeutet, dass bei einem Photonenpaar mit antisymmetrischer
3 Zustandssysteme
48
Wellenfunktion die beiden Photonen nach dem Passieren des Strahlteilers in unterschiedliche Impulsmoden gelangen. Dies wird auch mit Antibunching bezeichnet.
Im Weiteren untersuchen wir das Verhalten der Photonen an den polarisierenden
Strahlteilern PBS, die auf den Polarisationsanteil der Wellenfunktion wirken. Hierzu
berechnen wir, welche Koinzidenzereignisse1 für unsere vier polarisationsverschränkten Zustände in den vier Detektoren hinter den beiden polarisierenden Strahlteilern
zu erwarten sind. Dazu setzen wir die Ergebnisse der vorherigen Berechnung in die
Wellengleichung der verschiedenen Photonenpaare ein.
i
[|Hi1 |Hi2 + |V i1 |V i2 ] ⊗ [|a0 i1 |a0 i2 + |b0 i1 |b0 i2 ]
2




+|Hi1 |a0 i1 |Hi2 |a0 i2
+|DH 0 i1 |DH 0 i2


0
0
i
i
 +|V i1 |a i1 |V i2 |a i2 
 +|DV 0 i1 |DV 0 i2 
= 
=



2  +|Hi1 |b0 i1 |Hi2 |b0 i2  2  +|DH i1 |DH i2 
+|DV i1 |DV i2
+|V i1 |a0 i1 |V i2 |a0 i2
|φ+ i =
(3.65)
Hierbei wurde beispielsweise |Hi1 |a0 i1 |Hi2 |a0 i2 in |DH 0 i1 |DH 0 i2 umgeschrieben, um das
Detektorverhalte zu veranschaulichen. Dabei bedeutet |DH 0 i1 |DH 0 i2 , dass Photon 1
vom Detektor DH 0 und Photon 2 vom Detektor DH 0 registriert wird.
P
P
P
P
2 i
i
i
1
(|DH 0 i1 |DH 0 i2 ) = = −
=
2
2
2
4
1
(|DV 0 i1 |DV 0 i2 ) =
4
1
(|DH i1 |DH i2 ) =
4
1
(|DV i1 |DV i2 ) =
4
(3.66)
(3.67)
(3.68)
(3.69)
Bei Photonenpaaren mit dem Zustand |φ+ i können die Photonen prinzipiell an jedem
Detektor mit gleicher Wahrscheinlichkeit detektiert werden. Es ist dabei immer so,
dass beide Photonen am gleichen Detektor registriert werden.
1
gleichzeitig auftretende Ereignisse
49
3.4 Quantenteleportation
i
[|Hi1 |Hi2 − |V i1 |V i2 ] ⊗ [|a0 i1 |a0 i2 + |b0 i1 |b0 i2 ]
2




+|Hi1 |a0 i1 |Hi2 |a0 i2
+|DH 0 i1 |DH 0 i2


0
0
i
i
 −|V i1 |a i1 |V i2 |a i2 
 −|DV 0 i1 |DV 0 i2 
=
= 



2  +|Hi1 |b0 i1 |Hi2 |b0 i2  2  +|DH i1 |DH i2 
−|DV i1 |DV i2
−|V i1 |a0 i1 |V i2 |a0 i2
|φ− i =
(3.70)
(3.71)
Photonenpaare mit dem Zustand |φ+ i verhalten sich so wie Photonenpaare mit dem
Zustand |φ− i. Das Vorzeichen zum Beispiel vor |DV 0 i1 |DV 0 i2 spielt in diesem Fall
keine Rolle. Vergleicht man das Verhalten der Zustände |φ− und |φ+ , so ist dieses
anhand der Detektoranschläge nicht unterscheidbar.
i
[|Hi1 |V i2 + |V i1 |Hi2 ] ⊗ [|a0 i1 |a0 i2 + |b0 i1 |b0 i2 ]
2




|Hi1 |a0 i1 |V i2 |a0 i2
+|DH 0 i1 |DV 0 i2

0
0 
i
i
+|V i1 |a i1 |Hi2 |a i2 
+|DV 0 i1 |DH 0 i2 
=
= 



2  +|Hi1 |b0 i1 |V i2 |b0 i2  2  +|DH i1 |DV i2 
+|V i1 |a0 i1 |Hi2 |a0 i2
+|DV i1 |DH i2
#
"
i √12 (|DH 0 i1 |DV 0 i2 + |DV 0 i1 |DH 0 i2 )
=√
2 + √12 (|DH i1 |DV i2 + |DV i1 |DH i2 )
(3.72)
i
= √ [|DH 0 i|DV 0 i + |DH i|DV i]
2
(3.74)
|ψ + i =
(3.73)
Photonenpaaren mit dem Zustand |ψ + i können ebenfalls an jedem Detektor registriert werden. Die einzelnen Photonen des Paares werden aber am jeweils anderen
Detektor auf derselben Seite des Strahlteilers BS registriert. Die letzte mathematischen Umformung lässt die Indizes weg, was bedeutet, dass zum Beispiel |DV i1 |DH i2
und |DH i1 |DV i2 im Experiment nicht unterschieden werden können, da zwar an beiden Detektoren ein Photon registriert wird, man aber nicht erkennen kann, um
welches Ausgangsphoton(1 oder 2) es sich handelt.
3 Zustandssysteme
50
1
[|Hi1 |V i2 − |V i1 |Hi2 ] ⊗ [|a0 i1 |b0 i2 − |b0 i1 |a0 i2 ]
2




+|Hi1 |a0 i1 |V i2 |b0 i2
+|DH 0 i1 |DV i2


0
0 
1
−|V i1 |a i1 |Hi2 |b i2  1 +|DV 0 i1 |DH i2 
=
= 



2 −|Hi1 |b0 i1 |V i2 |a0 i2  2 +|DH i1 |DV 0 i2 
+|DV i1 |DH 0 i2
+|V i1 |b0 i1 |Hi2 |a0 i2
"
#
1
√ (|DH 0 i1 |DV i2 + |DV i1 |DH 0 i2 )
1
2
=√
2 − √12 (|DV 0 i1 |DH i2 + |DH i1 |DV 0 i2 )
1
= √ [|DH 0 i|DV i − |DH i|DV 0 i]
2
|ψ − i =
(3.75)
(3.76)
(3.77)
Photonenpaare mit dem Zustand |ψ − i teilen sich bereits am Strahlteiler BS auf
und schlagen dann am polarisierenden Strahlteiler PBS ebenfalls unterschiedliche
Richtungen ein.
Die folgende Tabelle listet die verschiedenen unterscheidbaren Ereignisse auf. Eingetragen sind die vier verschiedenen Bell-Basiszustände gegenüber den Detektorpaarungen DH DH , DV DV , DH 0 DH 0 , DV 0 DV 0 , DH 0 DV 0 , DH DV , DH 0 DV und DH DV 0 .
Wahrscheinlichkeit DH DH DV DV
|φ+ i
|φ− i
|ψ + i
|ψ − i
DH 0 DH 0 DV 0 DV 0 DH 0 DV 0 DH DV
1
4
1
4
1
4
1
4
1
4
1
4
1
4
1
4
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
2
0
DH 0 DV DH DV 0
1
2
0
0
0
0
0
0
0
1
2
1
2
Tabelle 3.1: unterscheidbare Ereignisse einer interferometrischen BellZustandsmessung
Anhand Tabelle 3.1 wird klar, dass Alice zwischen der Messung von |ψ + i und |ψ − i
unterscheiden kann. |φ+ i und |φ− i können dagegen nicht unterschieden werden. Im
Experiment muss Alice beobachten, welche Detektoren ansprechen um herauszufinden, welcher Bellzustand gemessen wurde und diesen Bob über den klassischen
Kanal mitteilen. Schlagen beispielsweise die Detektoren DH und DV an, erkennt Alice, dass die Photonen den Zustand |Ψ + hatten. Schlagen der Detektor DH doppelt
an, kann Alice dagegen nicht unterscheiden, ob der Zustand φ+ oder φ− vorliegt. Im
Fall von |ψ ± i kann Alice somit nicht zwischen den beiden unterscheiden und Bob
somit nicht mitteilen, wie er sein Photon manipulieren muss. Insgesamt erhalten
wir in 50% aller Fälle brauchbare Ergebnisse.
51
3.4 Quantenteleportation
3.4.3 Transformation von Bob
Messung
|Ψ − i
!
α
β
|Ψ + i
!
α
−β
|Φ− i
!
β
α
|Φ+ i
!
−β
α
Tabelle 3.2: Zuordnungen der Phasenverschiebung von Bobs Teilchen.
Bob erhält von Alice die Nachricht,
welche Bellbasis sie gemessen hat. Anhand von Gleichung (3.43) weiß Bob,
welche Phasenverschiebung bei seinem
Teilchen vorliegt.
Wir überlegen uns nun, welche Transformation
Bob an seinen Teilchen an!
wenden muss, um den gewünschten Zustand
α
β
1
zu erhalten, den ursprünglich
Teilchen 1 besaß:
!
!
1 0
α
=
0 1
β
α
β
!
!
!
1 0
α
=
0 −1
−β
α
β
!
(3.78)
Die hier betrachteten Matrizen sind unitäre Transformationen. Experimentell kann
man diese folgendermaßen realisieren. Bei |Ψ − i hat Teilchen 3 bereits den ursprünglichen Zustand von Teilchen 1. Das Photon muss folglich nicht mehr manipuliert
werden. Bei |Ψ + i muss das Teilchen durch ein λ/2-Plättchen geschickt werden, damit die vertikale Komponente einen Phasensprung von π (e−iπ ) erhält. Nach dieser
Transformation ist der Zustand von Teilchen 3 mit dem ursprünglichen Zustand
von Teilchen 1 identisch. In diesen beiden Fällen war die Teleportation erfolgreich.
Zwischen |φ± i kann nicht unterschieden werden, deshalb ist die experimentelle
Umsetzung der passenden Phasenverschiebung nicht möglich und daher kann die
Teleportation nicht durchgeführt werden.
1
Dieser Ausdruck entspricht der Kurzschreibweise für α|Hi + β|V i.
3 Zustandssysteme
52
3.4.4 Zusammenfassung
Abbildung 3.20: Teleportation
Das Prinzip der Teleportation sei nochmals an Abbildung 3.20 veranschaulicht.
Ein Puls ultravioletter Laserstrahlung trifft auf einen Kristall. Dadurch entstehen
die verschränkten Photonen A und B (vormals 2 und 3), die zu Alice bzw. Bob
wandern. Der durch einen Spiegel reflektierte Puls erzeugt auf seinem Rückweg beim
Durchgang durch den Kristall die beiden verschränkten Photonen C und D. D trifft
auf einen Polarisationsfilter und erhält dadurch einen festen Zustand X (vormals
Photon 1). Photon C wird im Detektor nachgewiesen. Dadurch wird bestätigt, dass
Photon X zu Alice gesandt wurde. Alice führt nun an den Photonen A und X
eine Bellzustandsanalyse durch. Sie übermittelt ihr Ergebnis auf dem klassischen
Kanal Bob, der darauf in 50% der Fälle eine unitäre Transformation an Photon B
durchführt und damit den Zustand X erhält. In den anderen 50% der Fälle kann
Alice den Zustand nicht ermitteln, die Transformation ist dann nicht erfolgreich.
4 Qualitätstests für Verschränkung
Aus dem Formalismus der Quantentheorie geht hervor, dass ein einzelnes Photon nur
ein Qubit an Informationen tragen kann. Dies wurde bereits in Kapitel 3 erläutert.
Konkret bedeutet dies, dass ein Photon, das bereits die Eigenschaft „wird durchgelassen“ bezüglich 0◦ hat, nicht gleichzeitig die Eigenschaft „wird durchgelassen“ bei
45◦ haben kann. Wird solch ein Photon mit der Eigenschaft „wird durchgelassen“
bezüglich 0◦ auf einen 45◦ orientierten Polarisationsfilter geschickt, so gehorcht der
Ausgang des Experiments statistischen Gesetzen.
Einstein kommentierte diese Folgerung
mit dem Ausspruch „Gott würfelt nicht“.
Zufall bei der Messung quantenmechanischer Superpositionen - das passte nicht
in das kausal realistische Weltbild des Wissenschaftlers. Er vermutete die Unvollständigkeit(nicht die Falschheit) der Quantentheorie. Unter Vollständigkeit einer Theorie verstand er, dass jedes Element der
Realität durch ein Element der Theorie
beschrieben werden können muss. Einer
physikalischen Größe entspricht ein Element der Realität, wenn der Wert dieser Größe ohne Störung des Systems mit
Sicherheit vorhergesagt werden kann. Kann
ein Element der Realität nicht durch die
Theorie beschrieben werden, so ist die Theorie unvollständig.
Abbildung 4.1: Albert Einstein wähEinstein, Boris Podolsky und Narend einer Vorlesung in
than Rosen dachten, sie hätten solch
Wien im Jahre 1921
einen Makel bei der Quantentheorie entdeckt. Die Arbeitsgruppe veröffentlichte ein Gedankenexperiment [Ein35], welches
nach den Autoren als Einstein-Podolsky-Rosen-Paradoxon oder kurz EPR-Paradoxon
bezeichnet wird.
4 Qualitätstests für Verschränkung
54
4.1 Das Gedankenexperiment von Einstein, Podolsky
und Rosen
Einstein und seine Mitarbeiter glaubten daran, dass die Unschärfe1 der Quantenobjekte nur scheinbar unvermeidbar sei. In ihrer Veröffentlichung glaubten sie die
Heisenbergsche Unschärferelation in einem geschickt gewählten Versuchsaufbau
umgehen zu können. Durch ihre Überlegungen wollten die Physiker die ihrer Meinung nach offensichtliche Unvollständigkeit der Quantenphysik verdeutlichen.
Der Veröffentlichung legten die Autoren zwei zentrale Definitionen zugrunde.
1. Vollständigkeit: Damit ist gemeint, dass jedes Element der Realität genau
einem Element der Theorie entspricht.
2. Realismus: Damit ist gemeint, dass Objekte einer Theorie feste Eigenschaften besitzen. Diese sind unabhängig von der Messung.
Diese Definitionen sind von elementarer Wichtigkeit, da sie die Sichtweisen bezüglich einer plausiblen Theorie von Einstein und seinem Mitautoren beschreiben. Aus Kapitel 3, das von Zustandssystemen handelt, ist die Beschreibung von
Quantenobjekten durch die Wellenfunktion Ψ geläufig. Aus Abschnitt über die Heisenbergsche Unschärferelation ist bekannt, dass Aufenthaltsort und Impuls eines
Teilchens nicht gleichzeitig beliebig genau bestimmt werden können. Jene Unschärferelation führte Einstein, Podolsky und Rosen zu der Feststellung, dass es nur
zwei mögliche Schlussfolgerungen bezüglich der Realität geben kann.
1. Die Beschreibung durch die Quantentheorie ist unvollständig.
2. Die beiden physikalischen Größen, in diesem Fall Impuls und Aufenthaltsort,
sind nicht gleichzeitig Element der Realität.
Folglich muss einer dieser beiden Sätze wahr sein. Geht man davon aus, dass die
Quantentheorie vollständig ist und sieht damit Satz 1 als falsch an, so muss Satz
2 folglich wahr sein. Nach der Kopenhagener Interpretation wird mit der Heisenbergschen Unschärferelation argumentiert. Bestimmt man den Impuls eines Quantenobjektes exakt, so ist eine genaue Messung des Aufenthaltsortes nicht mehr möglich.
∆x · ∆p ≤
1
h
2π
siehe Heisenbergsche Unschärferelation in Abschnitt 2.1
(4.1)
55
4.1 Das Gedankenexperiment von Einstein, Podolsky und Rosen
Ist ∆p = 0 so geht ∆x → ∞. Die Unschärfe des Aufenthaltsort ist unendlich groß,
d.h. es kann keine Aussage mehr über diesen gemacht werden. Der Aufenthaltsort
ist folglich kein Element der Realität. Allgemein kann man sagen, dass zu jedem
Zeitpunkt nur eine der Größen Impuls bzw. Aufenthaltsort Realität besitzt. Somit
wäre Satz 2 richtig.
Diese Lösung scheint zunächst recht plausibel, laut Einstein, Podolsky und
Rosen lasse man so aber wesentliche Aspekte außer Betracht. Die resultierende
Folgerung sei somit falsch.
Im Folgenden wird darauf eingegangen, wie Einstein und seine Mitarbeiter die
Unvollständigkeit der Quantenmechanik zeigen wollten. Sie versuchten, die Ungültigkeit des Satzes 2 zu zeigen.
4.1.1 Der gedankliche Versuchsaufbau des EPR-Experiments
Die Arbeitsgruppe geht von einer Teilchenquelle wie in Abbildung 5.1 aus, die stets
zwei Teilchen 1 und 2 in entgegengesetzte Richtungen emittiert. Sie gehen weiter-
Abbildung 4.2: EPR-Quelle, die stets zwei Teilchen 1 und 2 in entgegengesetzte
Richtungen emittiert
hin gehen davon aus, dass die beiden Teilchen während der Dauer des Versuches
∆t keine Möglichkeit zur Interaktion haben. Dies ist einfach vorstellbar, da Wechselwirkungen nach der Relativitätstheorie prinzipiell nicht schneller als mit Lichtgeschwindigkeit stattfinden können, da die Lichtgeschwindigkeit die obere Schranke
für die Informationsübertragung vorgibt. Indem man den Abstand ∆s zwischen
Teilchen 1 und 2 so wählt, dass er immer größer ist als der Weg, den das Licht während der Versuchsdauer ∆t zurücklegen kann, kann man eine Interaktion zwischen
den beiden Teilchen ausschließen. Die Mindestentfernung ∆s der Teilchen für den
Versuchszeitraum ∆t muss letztlich folgender Gleichung entsprechen.
∆s = c · ∆t
(4.2)
4 Qualitätstests für Verschränkung
56
c ist hierbei die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum.
Man spricht hierbei von Lokalität, das heißt die Teilchen sind derartig räumlich
voneinander getrennt, dass die beiden Teilchen keine Möglichkeit zur gegenseitigen
Beeinflussung haben. Lokalität resultiert zwingend aus Einsteins Relativitätstheorie.
Nach der Heisenbergschen Unschärferelation kann
von keinem der einzelnen Teilchen der Impuls und der
Aufenthaltsort gleichzeitig genau bestimmt werden. Nach
den Regeln der Quantenmechanik ist jedoch der Gesamtzustand |Ψ i12 des Zweiteilchensystems bekannt. Es können folglich auch der Gesamtimpuls P = P1 + P2 des Systems und der Abstand X = X1 − X2 zwischen den beiden
Teilchen gleichzeitig bestimmt werden.
Hier sehen Einstein, Podolsky und Rosen den
entscheidenden Fehler im Gedankengang der Befürworter der Quantenmechanik. Sie meinen einen Weg zur
Abbildung 4.3: Nathan
Umgehung der Unschärferelation gefunden zu haben.
Rosen
Zuerst erfolgt eine Ortsmessung an Teilchen 1. Da der
Abstand X zwischen den beiden Teilchen bekannt ist, kann der Aufenthaltsort von
Teilchen 2 errechnet werden.
X2 = X + X1
(4.3)
Aufgrund der Lokalitätsannahme kann diese Messung des Aufenthaltsortes von
Teilchen 1 im Zeitraum der Versuchsdurchführung ∆t aber keinerlei Einfluss auf
Teilchen 2 haben. Die Lokalität verbietet einen kausalen Zusammenhang zwischen
1 und 2. Teilchen 2 weiß somit nicht, dass eine Messung bei Teilchen 1 stattgefunden
hat.
Folglich ist es nun möglich, den Impuls P2 von Teilchen 2 zu messen. Daraus lässt
sich mit Hilfe des Gesamtimpulses der Impuls von Teilchen 1 bestimmen.
P1 = P − P2
(4.4)
Entscheidend hierbei ist also auch, dass die Messung an Teilchen 1 frei wählbar
ist, es hätte ebenso eine Impulsmessung durchgeführt werden können.
Da die Art der Messung folglich erst bei dem Messvorgang selbst bekannt wird,
kann Teilchen 2 also auch nicht im Vorhinein wissen, welche Art der Messung an
Teilchen 1 durchgeführt wurde, oder ob evtl. auch gar keine stattfand.
Durch dieses Verfahren könnten laut den Autoren somit sowohl Impuls als auch
Aufenthaltsort eines Teilchen gleichzeitig bestimmt werden. Beide Größen wären
57
4.1 Das Gedankenexperiment von Einstein, Podolsky und Rosen
somit gleichzeitig Elemente der Realität, Satz 2 somit verletzt. Daraus würde die
Richtigkeit von Satz 1 folgen, d.h. die Quantentheorie wäre unvollständig.
Die Vollständigkeit der Quantenmechanik könne nur
gelten, wenn das Konzept der Lokalität aufgegeben wird.
Das bedeutet, es müsse vom Vorhandensein eines Fernwirkungsmechanismus ausgegangen werden, der von EPR
oftmals als „spukhafte Fernwirkung“ betitelt wurde. Dieser Mechanismus könne zwischen zwei räumlich beliebig weit entfernten Objekten instantan1 Informationen
übertragen, so dass die beiden Teilchen im Einklang mit
der Quantenmechanik spontan, im Augenblick der Messung an Teilchen 1, zufällige aber zusammenpassende
Werte für den Aufenthaltsort und den Impuls der Teilchen annehmen könnten.
Abbildung 4.4: Boris
Dieser Fernwirkungsmechanismus stehe im Widerspruch
Podolsky zu der menschlichen Intuition sowie der natürlichen Alltagserfahrung. Weiterhin tauchte solch ein Phänomen in
der gesamten bisherigen Physik nicht auf. Daraus schließen die Urheber, dass Satz
2 falsch und Satz 1 somit richtig ist.
Ihre Folgerung formulieren die Physiker in [Ein35] folgendermaßen:
Die Quantentheorie muss als unvollständig angesehen werden. Sie ist
nicht in der Lage, alle in der Realität auftauchenden physikalischen Größen theoretisch zu erfassen.
4.1.2 Bohrs Erwiderung
Der Sachverhalt scheint eigentlich recht klar: Die Quantenmechanik sei, wenn
auch sehr zum Missfallen von Bohr, Heisenberg usw. unvollständig und die Energie der Wissenschaftler sollte nun in die Entwicklung einer besseren, vollständigen
Theorie fließen, die auch die bisher verborgenen oder besser gesagt die noch nicht berücksichtigten, aber dennoch vorhandenen physikalischen Größen enthält. Das klassische Weltbild hätte über die unanschauliche, von statistischen Gesetzen bestimmte
Quantenmechanik gesiegt. Eine umfassende lokale Theorie mit verborgenen Variablen müsse entwickelt werden, um quantenphysikalische Vorgänge zu beschreiben.
Der durch die Formulierung der Kopenhagener Quantenmechanik heraufbeschworene Paradigmenwechsel des Aufgebens der Lokalität, der Objektivierbarkeit und der
gleichzeitigen Existenz komplementärer Größen sei vollkommen unnötig. Man könne
weiterhin auf den gesunden Menschenverstand vertrauen und am klassischen Weltbild festhalten. Eine um verborgene Parameter ergänzte Theorie sei im Gegensatz
1
sofort, ohne Zeitverzögerung
4 Qualitätstests für Verschränkung
58
zur Quantenmechanik in der Lage, die Realität vollständig zu beschreiben.
Diese gegen die Quantenmechanik gerichtete Meinung klingt zunächst überzeugend, doch der Sachverhalt gestaltet sich nicht so einfach wie es zunächst
scheinen mag.
Bohr war von der Argumentation von Einstein,
Podolsky und Rosen nicht überzeugt. Er hielt
dagegen, dass Quantenphänomene ganzheitlich betrachtet werden müssen. Die Elemente der Realität
können nur unter Einbeziehung der gesamten Messapparatur definiert werden. Nach Bohrs Ansicht
bilden Quantenobjekt und Messapparatur eine untrennbare Einheit. Ein Quantenobjekt enthält somit
keine eigene, von den Messgeräten unabhängigen Eigenschaften.
Bezogen auf das EPR-Gedankenexperiment be- Abbildung 4.5: Niels Bohr
deutet dies: Die Art der Messung, also von Impuls oder Aufenthaltsort, ist zwar
frei wählbar, die beiden notwendigen Messanordnungen schließen sich allerdings
gegenseitig aus. Man kann die aus zwei verschiedenen Versuchsanordnungen gewonnenen Messergebnisse nicht im Gesamtbild betrachten. Man müsse vielmehr
die Gesamtheit der Phänomene betrachten. Nur dann können Aussagen über die
Objekte getroffen werden. Der Begriff der Realität gestaltet sich komplexer als von
Einstein, Podolsky und Rosen in ihrer Veröffentlichung zugrunde gelegt. Bohr
wiest damit die Kritik an der Vollständigkeit der Quantenmechanik als ungerechtfertigt zurück.
Der vorhin erwähnte Fernwirkungsmechanismus ist folglich tatsächlich vorhanden. Verschränkte Teilchen sind in der Lage zu instantanen Wechselwirkungen. Es
besteht wirklich eine objektive Unschärfe in der Quantenwelt, die sich auch nicht
durch einen noch so geschickt gewählten Versuchsaufbau umgehen lässt.
4.2 Verborgene Variablen
Auf der Suche nach einer deterministischen Theorie zur Beschreibung der Quantenwelt diskutierte man auch Theorien mit verborgenen Variablen (auch verborgene
Parameter genannt). Man geht hierbei davon aus, dass die Wellenfunktion noch
keine vollständige Beschreibung von Quantenobjekten ermöglicht. Man vermutet
zusätzliche Variablen, die zum Beispiel beim Doppelspaltexperiment im Voraus festlegen, durch welchen Spalt ein bestimmtes Teilchen geht.
Die Quantenmechanik schließt das Vorhandensein verborgener Parameter im Ge-
59
4.3 Die Bohmsche Mechanik
gensatz zur Lokalität nicht explizit aus.
Eine nicht-lokale Theorie mit verborgenen Parametern ist also prinzipiell möglich. Der Versuch zur Entwicklung solch einer Theorie nahm im Jahre 1927 Louis
de Broglie vor. Er empfand zur Geburtsstunde der Kopenhagener Interpretation eine Abneigung gegenüber der
Bohr- und Heisenbergschen Sichtweise der Quantenmechanik. Er erdachte eine deterministische nicht-lokale,
aber realistische Theorie. Diese fand aber keinen allzu
großen Anklang im damaligen Fachkreis, was de Broglie dazu veranlasste, seine Theorie relativ bald darauf
Abbildung 4.6: John
unvollendet zu verwerfen.
von
Der Mathematiker John von Neumann1 veröffentNeulichte 1932 eine Publikation, der die prinzipielle Unvermann
einbarkeit der Quantenmechanik mit verborgenen Variablen bewies. Daraufhin lies das Bestreben vieler Wissenschaftler die Quantentheorie mit verborgenen Variablen zu vervollständigen nach oder verebbte ganz. Später
stellte sich jedoch heraus, dass von Neuhmanns Beweis zwar richtig geführt war,
aber von falschen Annahmen ausging. Die Quantenmechanik schließt die Existenz
verborgener Variabler folglich nicht prinzipiell aus.
David Bohm2 entwickelte eine Theorie, die exakt die gleichen Vorhersagen wie
die Quantenmechanik lieferte. Allerdings handelte es sich hierbei um eine deterministische und realistische Theorie. Auf die Bohmsche Mechanik wird in Abschnitt
4.3 eingegangen.
4.3 Die Bohmsche Mechanik
Im Wesentlichen erweitert die Mechanik Bohms die quantenmechanische SchrödingerGleichung um Bewegungsgleichungen bezüglich der Ortskoordinaten eines jeweiligen
Quantenobjektes. Ebenso wie die klassischen Bewegungsgleichungen erlauben diese,
einem Quantenobjekt zu jedem beliebigen Zeitpunkt einen konkreten Aufenthaltsort
zuzuordnen. Heisenbergs Unschärferelation wird durch die Bewegungsgleichung
umgangen, so dass es sich bei Bohms Theorie um eine deterministische Beschrei-
1 János von Neumann zu Margitta (* 28. Dezember 1903 in Budapest (Österreich-Ungarn)
als margittai Neumann János Lajos ; † 8. Februar 1957 in Washington, DC) war ein Mathematiker österreichisch-ungarischer Herkunft.
2 David Bohm* 20. Dezember 1917 in Wilkes-Barre, Pennsylvania; † 27. Oktober 1992 in London; US-amerikanischer Quantenphysiker
4 Qualitätstests für Verschränkung
60
bung der Quantenwelt handelt.
In der Bohmschem Mechanik verliert der Messprozess wegen des Determinismus
im Gegensatz zur Wichtigkeit in der Kopenhagener Deutung der Quantenmechanik
seine Bedeutung. Eine Messung beeinflusst wie in den klassischen Theorien das zu
messende Objekt nicht. Man könnte die Bohmsche Mechanik als eine Art vervollständigte Quantenmechanik ansehen, die ohne Zufall und Unschärfe auskommt.
Eigentlich müsste diese Theorie bei Gegnern der Kopenhagener Interpretation der Quantenmechanik auf großen Anklang stoßen, man ist ja schließlich den schwer verständlichen, dem Alltagsverständnis widersprechenden Ballast der
Quantenmechanik los. Doch die Begeisterung der damaligen
physikalischen Fachwelt hielt sich in Grenzen. Sie wurde vielmehr müde belächelt und als künstliches Aufwärmen der De
Broglieschen Theorie gedeutet. Eine Akzeptanz als ernst zu
nehmende Alternative zur Kopenhagener Interpretation der
Quantenmechanik blieb aus.
Auch heute nimmt seine Theorie eher eine Randstellung Abbildung 4.7: David
in der physikalischen Fachwelt ein. Sie wird ebenfalls nicht
Bohm
an Universitäten gelehrt. John Bell kritisierte diese Tatsache
einmal ziemlich treffend mit den Worten.
This theory is equivalent experimentally to ordinary nonrelativistic quantum mechanics - and it is rational, it is clear, and it is exact, and it agrees
with experiment, and I think it is a scandal that students are not told
about it. Why are they not told about it? I have to guess here there
are mainly historical reasons, but one of the reasons is surly that this
theory takes almost all the romance out of quantum mechanics.1
Diese Aussage dürfte die Realität relativ gut widerspiegeln. Auch wenn „historische Gründe“ und „der Verlust der Romantik“ wohl kaum wissenschaftliche Kriterien zur Ablehnung einer Theorie sein sollten.
Die komplexe Mathematik hinter der Theorie dürfte wohl ein weiterer wichtiger
Grund sein.
1
Übersetzt etwa: Diese Theorie entspricht experimentell der gewöhnlichen nicht-relativistischen
Quantenmechanik - und sie ist rational, sie ist klar, und sie ist exakt, und sie stimmt mit
den experimentellen Messergebnissen überein, und ich denke, dass es ein Skandal ist, dass sie
Studenten nicht gelehrt wird. Warum wird sie nicht gelehrt? Ich denke es sind hauptsächlich
historische Gründe, aber eine der Gründe ist sicherlich, dass diese Theorie der Quantenmechanik fast die gesamte Romantik nimmt.
61
4.4 Die Bellsche Ungleichung
4.4 Die Bellsche Ungleichung
John Steward Bell konnte 1964 nachweisen, dass jede Theorie mit verborgenen Variablen nicht-lokale Fernwirkungen aufweisen muss,
wenn sie die gleichen experimentellen Aussagen
wie die Quantenmechanik treffen soll.
Bell ging von einem ähnlichem Versuchsaufbau wie Einstein, Podolsky und Rosen in
ihrem Gedankenexperiment aus. Er nahm an,
dass eine lokale Theorie mit verborgenen Variablen eine gültige Beschreibung der experimentellen Ergebnisse liefern könne. Die dabei gewonnenen Messwerte müssen mit dieser Annahme einer Ungleichung folgen. Jedoch verletzten
die von der Quantenmechanik vorhergesagten
Werte die Ungleichung.
Abbildung 4.8: John Steward
Alain Aspect gelang 1982 die experimentell
Bell
Überprüfung des Versuches. Die Messergebnisse
stimmten mit den Vorhersagen der Quantenmechanik überein und verletzten die
Bellsche Ungleichung.
In diesem Abschnitt wird eine vereinfachte Form dieser Ungleichung nach Rainer
Müller und Josef Küblbeck (siehe [Küb07, S. 74-81]) erläutert.
4.4.1 Versuchsanordnung
Wir bringen ein Kalzium-Atom in einen angeregten Zustand, aus dem es durch die
Abstrahlung von zwei Photonen 1 und 2 in den Grundzustand übergeht. Links und
rechts von dem Kalzium-Atom platzieren wir zwei Blenden. Dadurch wählen wir die
Photonen mit entgegengesetztem Impuls aus. Parallel zu dem Blendenpaar justieren
wir ganz außen jeweils einen Polarisationsfilter. Photon 1 erreicht seinen Polarisationsfilter geringfügig früher, da der zugehörige Polarisationsfilter etwas weniger weit
als der Polarisationsfilter von Photon 2 von der Quelle entfernt ist. (siehe Abb. 4.9)
Wenn die Polarisationsfilter die gleiche Orientierung ϕ aufweisen, macht man
folgende Beobachtungen:
1. Es werden statistisch gesehen jeweils die Hälfte der Photonen am jeweiligen
Filter absorbiert. Dies ist auf das in Abschnitt 2.2.4 eingeführte Gesetz von
Malus zurückzuführen.
2. Die Photonen 1 und 2 weisen das selbe Verhalten am Polarisationsfilter auf.
4 Qualitätstests für Verschränkung
62
Abbildung 4.9: Ein Kalzium-Atom emittiert Photonen. Ein Blendenpaar wählt
Photonen mit entgegengesetztem Impuls aus. Die Photonen bewegen sich letztlich in Richtung der Polarisationsfilter, wobei Photon 1 seinen Filter zuerst erreicht.
Wird Photon 1 absorbiert bzw. durchgelassen, so wird Photon 2 ebenfalls
absorbiert bzw. durchgelassen. Die Photonen sind verschränkt.
Während Ergebnis 1 zu erwarten war und mit dem Gesetz von Malus leicht erklärbar ist, gestaltet sich dies bei Ergebnis 2 nicht so einfach. Zur Beschreibung der
Korrelationen bieten sich zwei verschiedenen Erklärungsansätze an:
1. lokaler Erklärungsversuch: Die Photonen besitzen verborgene Variable,
die das Verhalten an den Polarisationsfiltern mit der Orientierung ϕ vorhersagen.
2. nicht-lokaler Erklärungsversuch: Das erste Photon wird zufällig durchgelassen bzw. absorbiert. Diese Information wird instantan an Photon 2 weitergegeben, woraufhin dieses dasselbe Verhalten zeigt.
Ähnlich wie in dem EPR-Paradoxon im vorherigen Abschnitt 4.1 entspricht Erklärungsversuch 1 unserem natürlichen Alltagsverständnis und unserer Intuition. So
kann man diesen Erklärungsversuch beispielsweise auf folgenden klassischen Sachverhalt anwenden. Man kauft beim Gärtner verschiedene Packungen mit jeweils
gleichen Tulpensamen. Nimmt man nun zwei Samen aus einer Packung und setzt
sie jeweils in ein eigenes Blumenbeet, so stellt man fest, dass die entstehenden Tulpen dieselbe Farbe und Form haben. Wiederholt man den Vorgang mit zwei Samen
aus einer anderen Packung, so erhält man dasselbe Ergebnis.
Der Erklärungsversuch 2 spiegelt die Kopenhagener Interpretation der Quantenmechanik wider. Wie bei dem EPR-Paradoxon im vorherigen Abschnitt 4.1 muss
63
4.4 Die Bellsche Ungleichung
hier ein gewisser Fernwirkungsmechanismus bestehen. Photon 1 teilt Photon 2 instantan das Verhalten am Polarisationsfilter mit der Orientierung ϕ mit.
Wir ziehen zunächst Erklärungsversuch 1 zur Beschreibung der Photonenkorrelationen heran. Betrachten wir ihn dafür zunächst etwas ausführlicher.
Die Korrelation wird bei jeder Polarisationsfiltereinstellung festgestellt. Es ist
folglich auch eine verborgene Variable für jeden Einstellungswinkel nötig. Gäbe es
nur eine verborgene Variable zum Beispiel ϕ1 , so würden zwar beide Photonen nach
dem Gesetz von Malus immer bei ϕ = ϕ1 durchgelassen und bei ϕ = ϕ1 + 90◦
absorbiert werden, bei ϕ = ϕ1 + 45◦ jedoch tritt folgender auf statistischen Gesetzen beruhender Fall auf: Es werden jeweils ca. die Hälfte von den Photonen 1
und 2 durchgelassen. Dies erfolgt jedoch unabhängig voneinander, es wäre keine
Korrelation vorhanden. So lautet unsere erste Folgerung: Eine Beschreibung der
Photonenkorrelation mit Erklärungsversuch 1 benötigt eine unendliche Anzahl verborgener Variablen. Man könnte den Photonen wie in Abbildung 4.10 gedanklich
eine Liste mit den Variablen anhängen. In diesem Fall würde bei beispielhaften
Abbildung 4.10: Photonenpaar mit einer Liste, die exemplarische Auszüge unendlich vieler verborgener Variablen enthält
Schwarze Schrift bedeutet, dass das Photon bei entsprechender
Orientierung durchgelassen wird.
Rote Schrift bedeutet, dass das Photon bei entsprechender Orientierung absorbiert wird.
Polarisationseinstellungen von 4◦ , 8◦ sowie 9,613◦ durchgelassen und bei beispielhaften Einstellungen von 14◦ sowie 16,3◦ absorbiert werden. Beiden Photonen hängt
dieselbe Liste an.
Nachdem wir nun die Bedingungen dieser Theorie behandelt haben, wenden wir
uns nun den Voraussagen dieses Erklärungsversuches zu. Hierzu betrachten wir die
Anordnungen in den Abbildungen 4.11, 4.12 und 4.13. In Anordnung 1 (siehe Abb.
4 Qualitätstests für Verschränkung
64
Abbildung 4.11: Anordnung 1
4.11) wird die relative Häufigkeit H(P1 = 0◦ ∧ P2 = 45◦ ) bestimmt, d.h. dafür dass
Photon 1 bei 0◦ durchgelassen und Photon 2 bei 45◦ absorbiert wird.
Abbildung 4.12: Anordnung 2
In Anordnung 2 (siehe Abb. 4.12) wird die relative Häufigkeit H(P1 = 0◦ ∧ P2 =
22,5◦ ) bestimmt, d.h. dafür dass Photon 1 bei 0◦ durchgelassen und Photon 2 bei
22,5◦ absorbiert wird.
In Anordnung 3 (siehe Abb. 4.13) wird die relative Häufigkeit H(P1 = 22,5◦ ∧ P2 =
◦
45 ) bestimmt, d.h. dafür dass Photon 1 bei 22,5◦ durchgelassen und Photon 2 bei
45◦ absorbiert wird.
Konkrete Messungen [Küb07, Seite 135ff.] ergaben, dass die relativen Häufigkeiten
folgender Ungleichung gehorchen:
H(P1 = 0◦ ∧ P2 = 45◦ ) > H(P1 = 0◦ ∧ P2 = 22,5◦ ) + H(P1 = 22,5◦ ∧ P2 = 45◦ )
(4.5)
Im Folgenden werden wir nachweisen, dass eine Beschreibung dieser Ergebnisse
durch keine lokale Theorie mit verborgenen Variablen ist.
65
4.4 Die Bellsche Ungleichung
Abbildung 4.13: Anordnung 3
4.4.2 Herleitung der Bellschen Ungleichung
Wie vorhin bereits festgestellt, muss eine lokale Theorie mit verborgenen Variablen
für jeden Winkelstellung die Eigenschaft „wird durchgelassen“ oder „wird absorbiert“ haben, um eine Beschreibung der Photonenkorrelationen liefern zu können.
Da die im Experiment ermittelte Ungleichung sich auf die Winkeleinstellungen 0◦ ,
22,5◦ und 45◦ bezieht, werden weiterhin diese Winkeleinstellungen betrachtet. Es
gibt 23 mögliche Kombinationsmöglichkeiten von solchen Listen mit den drei Eigenschaften. Diese sind in Abbildung 4.14 dargestellt.
Abbildung 4.14: Listen für die acht möglichen Eigenschaftskombinationen korrelierter Photonenpaare. In der dritten Liste der zweiten Reihe
werden die Photonen beispielsweise bei 0◦ durchgelassen und bei
22,5◦ und 45◦ absorbiert.
An den Listen kann das Verhalten der Photonen an denen in ϕ-Richtung orientierten Polarisationsfiltern abgelesen werden. In der dritten Liste der zweiten Reihe
werden die Photonen beispielsweise bei 0◦ durchgelassen und bei 22,5◦ und 45◦ absorbiert. Bei der Betrachtung von Photonen mit dieser Liste in Anordnung 1 (siehe
Abb. 4.11) wird Photon 1 durchgelassen und Photon 2 absorbiert.
4 Qualitätstests für Verschränkung
66
Es werden nun alle Photonenpaare gemäß der Merkmalskombinationen, deren
Häufigkeiten in den Anordnungen 1 bis 3 untersucht wurden, in Abbildung 4.14
markiert. Das Ergebnis wird in Abbildung 4.15 dargestellt.
Abbildung 4.15:
Blauer Rahmen:
Schwarzer Rahmen:
Roter Rahmen:
Photonenpaare mit P1 = 0◦ ∧ P2 = 45◦
Photonenpaare mit P1 = 0◦ ∧ P2 = 22,5◦
Photonenpaare mit P1 = 22,5◦ ∧ P2 = 45◦
Man erkennt, dass es weniger Photonenpaare mit den Eigenschaften P1 = 0◦ ∧ P2 =
45 als mit den Eigenschaften P1 = 0◦ ∧ P2 = 22,5◦ ∨ P1 = 22,5◦ ∧ P2 = 45◦ gibt. Daraus
lässt sich folgende Ungleichung aufstellen:
◦
P (P1 = 0◦ ∧ P2 = 45◦ ) ≤ P (P1 = 0◦ ∧ P2 = 22,5◦ ) + P (P1 = 22,5◦ ∧ P2 = 45◦ )
(4.6)
Da keine weiteren Annahmen getroffen wurden, ist diese Gleichung allgemeingültig,
gilt also für alle lokalen Theorien mit verborgenen Parametern.
Der Widerspruch zwischen der Bellschen Ungleichung (4.6) und den experimentellen Ergebnissen (4.5) ist offensichtlich. Die mit Hilfe einer lokalen Theorie mit
verborgenen Variablen vorhergesagten Ergebnisse stimmen nicht mit den experimentell ermittelten Ergebnissen überein.
Da wir bei der Herleitung der Bellschen Ungleichung die verborgenen Variablen
nicht näher spezifiziert, sondern allgemeingültig belassen haben, folglich auch keine zusätzlichen Annahmen über die Natur der Variablen getroffen haben, ist die
Bellsche Ungleichung Repräsentant einer sehr großen Klasse von lokalen Theorien
mit verborgenen Parametern. Durch die experimentelle Verletzung der Ungleichung
kann man folgern, dass das Verhalten korrelierter Photonenpaare nicht durch eine
lokale Theorie mit verborgenen Variablen beschrieben werden kann.
Da Erklärungsversuch 1 die Photonenkorrelationen nicht beschreiben kann, muss
Erklärungsversuch 2 herangezogen werden. Dieser wird in 4.6 näher behandelt.
67
4.4 Die Bellsche Ungleichung
4.4.3 Beschreibung durch die Quantenmechanik
Die Beschreibung der experimentellen Ergebnisse fordert das Vorhandenseins eines
lokalen Elementes. Ein verschränktes Photonenpaar hat nach der Quantenmechanik folgende Eigenschaft. Sobald einer der Photonen von einem Polarisationsfilter
mit Orientierung ϕ durchgelassen bzw. absorbiert wird, erhält das andere die gleiche Eigenschaft bezüglich ϕ. Dieser Effekt wirk instantan auch über große Strecken
hinweg. Eine Präparation des einen Photons zieht die instantane Präparation des
anderen mit sich. Man betrachtet die beiden Photonen nun nicht mehr einzeln, sondern nur noch als Photonenpaar, ein einziges quantenmechanisches Gebilde. Nach
der Quantenmechanik ist die Polarisation des Photonenpaares vor der Messung, also einer Wechselwirkung mit dem Polarisationsfilter völlig unbestimmt. Es handelt
sich hierbei um eine Theorie nach Erklärungsversuch 2. Diese Theorie enthält keine
verborgenen Variablen. Ob ein Photon durchgelassen wird, ist zufällig und für jede
Orientierung des Polarisationsfilters gleich wahrscheinlich, nämlich 50%.
Nach der ersten Messung ist ein Umpräparieren von dem zweiten Photon durch
das erste nicht mehr möglich. Der Versuch zerstört die Verschränkung der Photonen.
Im folgenden wird gezeigt, dass die experimentell gefundene Ungleichung durch
die Quantenmechanik mit Hilfe der Verschränkung beschrieben werden kann.
Es wird von der Verschränktheitsannahme der Quantenmechanik ausgegangen,
d.h. wenn Photon 1 von einem Polarisationsfilter mit der Orientierung ϕ durchgelassen bzw. absorbiert wird, so zeigt das zweite Photon bei gleicher Orientierung ϕ
des Polarisationsfilters dasselbe Verhalten.
Eine Betrachtung der drei Wahrscheinlichkeiten ergibt folgendes.
1. P (P1 = 0◦ ∧ P2 = 45◦ ): Die Wahrscheinlichkeit, dass Photon 1 bei 0◦ durchgelassen wird, beträgt 0,5. Wenn dieser Fall eintritt, hat Photon 2 ebenfalls
eine Polarisation von 0◦ . Die Wahrscheinlichkeit, dass Photon 2 von einem Polarisationsfilter mit der Orientierung 45◦ absorbiert wird, lässt sich mit dem
Gesetz von Malus berechnen: Sie beträgt sin2 (45◦ ) = 0,5. Daraus ergibt sich:
P (P1 = 0◦ ∧ P2 = 45◦ ) = 0,5 · 0,5 = 0,25.
2. P (P1 = 0◦ ∧ P2 = 22,5◦ ): Die Wahrscheinlichkeit, dass Photon 1 bei 0◦ durchgelassen wird, beträgt 0,5. Wenn dieser Fall eintritt, hat Photon 2 ebenfalls
eine Polarisation von 0◦ . Die Wahrscheinlichkeit, dass Photon 2 von einem
Polarisationsfilter mit der Orientierung 22,5◦ absorbiert wird, lässt sich mit
dem Gesetz von Malus berechnen: Sie beträgt sin2 (22,5◦ ). Daraus ergibt sich:
P (P1 = 0◦ ∧ P2 = 22,5◦ ) = 0,5 · sin2 (22,5◦ ) ≈ 0.074.
3. P (P1 = 22,5◦ ∧ P2 = 45◦ ): Wegen derselben Winkeldifferenz wie beim voriegen
Fall gilt: P (P1 = 22,5◦ ∧ P2 = 45◦ ) = 0,5 · sin2 (22,5◦ ) ≈ 0.074
4 Qualitätstests für Verschränkung
68
Da 0,25 > 0,074 + 0,074 gilt nach der Quantentheorie:
H(P1 = 0◦ ∧ P2 = 45◦ ) > H(P1 = 0◦ ∧ P2 = 22,5◦ ) + H(P1 = 22,5◦ ∧ P2 = 45◦ )
(4.7)
Diese Ungleichung stimmt mit dem experimentellen Ergebnis (Ungleichung (4.5))
überein. Die experimentell ermittelten Ergebnisse stehen somit im Einklang mit der
Quantenmechanik.
4.4.4 Ergebnis
Zusammenfassend kann gesagt werden, dass Photonen nur durch eine nicht-lokale
Theorie beschrieben werden können. Eine vorzügliche Beschreibung der experimentellen Ergebnisse liefert die Quantenmechanik.
4.5 Weiterentwicklung von Clauser, Horne, Shimony
und Holt
Im Jahre 1969 leiteten Clauser, Horne, Shimony und Holt eine Variante einer
Bellschen Ungleichung1 her, die meist mit CHSH-Ungleichung bezeichnet wird.
Die CHSH-Ungleichung verallgemeinert die Originalform von Bell auf beliebige
Observablen. Sie ist in mancher Hinsicht experimenteller Unzulänglichkeiten wie
beispielsweise nicht perfekter Polarisationsfilter sowie Detektorineffizienzen besser
angepasst und wird somit meist zur Überprüfung einer Bellschen Ungleichung
genutzt.
Abbildung 4.16: Schema der Versuchsaufbaus zur Überprüfung der CHSHUngleichung
Der Versuchsaufbau ist ähnelt dem zur Bellschen Ungleichung aus dem vorherigen Abschnitt 4.4 (vgl. Abb. 4.9) und ist in Abbildung 4.16 dargestellt. An die
1
Der Begriff Bellsche Ungleichung meint hier eine Ungleichung zur Überprüfung lokaler Theorien mit verborgenen Parametern
69
4.5 Weiterentwicklung von Clauser, Horne, Shimony und Holt
Stelle der Polarisationsfilter sind polarisierende Strahlteiler getreten, die Photonen
mit der Orientierung α auf der linken bzw. β auf der rechten Seite durchlassen und
Photonen mit den Winkeln α+90◦ bzw. β+90◦ reflektiert. Die Photonen werden dann
von den entsprechenden Detektoren registriert. Für jedes emittierte Photonenpaar
gibt es bei jeder Winkelstellung zwei Möglichkeiten.
1. Beide Photonen landen in einander entsprechenden Detektoren d.h. es werden
entweder beide durchgelassen oder beide reflektiert.
2. Ein Photon wird durchgelassen, das andere reflektiert.
Sind die polarisierenden Strahlteiler auf α bzw. β eingestellt, so beträgt ihre Winkeldifferenz α−β . Die Größe E(α−β) wird als die Differenz der Wahrscheinlichkeiten
der beiden genannten Möglichkeiten definiert.
E(α − β) = P (beide durchgelassen oder beide reflektiert)
− P (eins durchgelassen, anderes reflektiert)
(4.8)
Clauser, Horne, Shimony und Holt leiten für diese physikalischen Größen
eine Ungleichung her, die für lokale Theorien mit verborgenen Parametern gilt. Es
gehen vier verschiedene Winkelstellungen (α, α0 , β und β 0 ) in die Ungleichung ein.
Die Ungleichung lautet folgendermaßen.
−2 ≤ E(α − β) − E(α − β 0 ) + E(α0 − β) + E(α0 − β 0 ) ≤ 2
(4.9)
Diese Ungleichung wurde im Experiment von Aspect et al. in [Asp82] mit der
Vorhersage der Quantenmechanik verglichen. Diese verletzte sie bei manchen Winkelstellungen. Aus dem Formalismus der Quantenmechanik ergibt sich E(α − β) =
cos[2(α − β)], und die größte Abweichung tritt für die Winkeleinstellungen α = 67,5◦ ;
β = 45◦ ; α0 = 22,5◦ und β 0 = 0◦ auf. Dies gilt auch für diejenigen Einstellungen die
aus Rotationen der genannten Winkeleinstellungen hervorgehen.
Das experimentelle Ergebnis für E(α − β) ist in Abbildung 4.17 dargestellt. Die
Vorhersage der Quantenmechanik ist gepunktet eingezeichnet. Mit Hilfe der gestrichelten Linie kann man leicht die Werte für 22,5 und 67,5◦ ablesen. Liest man die
Werte der entsprechenden Winkeldifferenzen1 |α − β| in Abbildung 4.17 ab und setzt
sie in die CHSH-Ungleichung ein, erhält man folgendes Ergebnis.
1
Wegen der Achsensymmetrie des Graphen, kann der Betrag der Winkeldifferenz verwendet
werden.
4 Qualitätstests für Verschränkung
70
Abbildung 4.17: Experimentelles Ergebnis von Aspect, Grangier und Roger
für E(α − β). Die Vorhersage der Quantenmechanik ist gepunktet
eingezeichnet.
E(α − β) − E(α − β 0 ) + E(α0 − β) + E(α0 − β 0 )
= E(22,5◦ ) − E(67,5◦ ) + E(−22,5◦ ) + E(22,5◦ )
≈ 0,7 − (−0,7) + 0,7 + 0,7 = 2,8
(4.10)
Da der errechnete Wert über 2 ist, und somit eine Verletzung der Ungleichung
vorliegt, sind lokale Theorien mit verborgenen Variablen experimentell als ungültig
erwiesen worden.
Dennoch gab es Skeptiker, die von so genannten „Schlupflöchern“ in dem Experiment ausgingen. Sie wendeten ein, dass die Stellung der Polarisationsfilter während
der Versuchsdurchführung fixiert ist. So forderte Bell Experimente, bei denen eine
Änderung der Stellung der Polarisationsfilter stattfindet während die Photonen sich
im Flug befinden. Dies solle Beeinflussungen durch die Polarisationsfiltereinstellungen verhindern. Nach der Durchführung solch eines Experimentes [Wei98] im Jahre
1999, der dort ebenfalls vorhandene Übereinstimmung mit der Quantenmechanik
und der deutliche Verletzung der CHSH-Ungleichung (mit 30 Standardabweichungen), gilt dieses Schlupfloch als gestopft.
Weiterhin konnten auf Grund von Detektorineffizienzen nicht alle erzeugten Photonen nachgewiesen werden. Die Skeptiker wendeten nun ein, dass die Ungleichung
zwar für die detektieren Photonenpaare verletzt sei, nicht aber für alle emittierten
Photonen. Dies war allerdings reine Spekulation ohne physikalische Argumente als
Grundlage. Aber auch dieses Schlupfloch konnte gestopft werden, als 2001 ein Experiment [Row01] mit verschränkten Ionen durchgeführt wurde, bei dem es gelang,
alle im Experiment erzeugten verschränkten Paare nachzuweisen.
71
4.6 Die Leggett-Ungleichung
4.6 Die Leggett-Ungleichung
Anthony James Leggett1 veröffentlichte im Februar 2003 eine viel beachtete
Arbeit [Leg03], die sich mit nicht-lokalen realistischen Theorien auseinandersetzt.
Er reagiert damit auf die zahlreichen experimentellen Verletzungen der Bellschen
Ungleichung und der Folge, dass eine Beschreibung des Verhaltens von Photonenkorrelation mit einer lokalen Theorie mit
verborgenen Variablen nicht möglich ist.
Es wird von einem ähnlichem Versuchsaufbau wie in den vorigen Abschnitten ausgegangen: Eine Quelle S emittiert verschränkte Photonenpaare mit entgegengesetztem Impuls. Diese treffen auf Polarisationsfilter P1
und P2 und danach ,falls sie durchgelassen
werden, auf Detektoren D1 und D2 . Die Kombination aus dem Polarisationsfilter P1 und
dem Detektor D1 wird der Einfachheit halber mit Station 1 bezeichnet. Selbiges gilt
für Station 2 aus P2 und D2 . Wir definieren die Variable A, die den Wert +1 (-1)
Abbildung 4.18: Anthony Legannimmt, wenn der Detektor D1 das Angett im Jahre 2003
kommen des Photons registriert (nicht rebei der Verleihung
gistriert). In gleicher Weise nimmt B die
des Nobelpreises
Werte ±1 an abhängig davon ob Detektor
D2 das Photon registriert oder nicht.
Die Orientierungen der Polarisationsfilter werden mit den Vektoren ~a für P1 und
~b für P2 beschrieben.
Mit λ bezeichnet er eine Menge von verborgenen Variablen.
Zunächst geht er auf lokale Theorien mit verborgenen Variablen ein. Bei Theorien
dieser Art, ist das Messergebnis A bzw. B nur von der jeweiligen Polarisationsfiltereinstellung und der Menge an verborgenen Variablen λ abhängig. Das Messergebnis
von A ist beispielsweise nur von der Polarisationsfiltereinstellung ~a an Station 1
abhängig. Station 2 übt keine Beeinflussung auf A aus. Das Gleiche gilt umgekehrt
für B.
A = A(~a, λ),
B = B(~b, λ)
(4.11)
Lässt man zusätzlich eine Beeinflussung der Messergebnisse durch den jeweiligen
1
Sir Anthony James Leggett (* 26. März 1938), ist Professor für Physik an der University
of Illinois in Urbana. Er gilt als anerkannte Autorität in der Theorie der Tieftemperaturphysik
und wurde für seine Pionierarbeit auf dem Gebiet der Suprafluidität mit dem Nobelpreis für
Physik 2003 ausgezeichnet, die die Grundlagen zum theoretischen Verständnis von flüssigem
und superflüssigem Helium und anderen stark gekoppelten Superflüssigkeiten legten.
4 Qualitätstests für Verschränkung
72
Abbildung 4.19: Versuchsaufbau nach Leggett
anderen Polarisationsfilter zu, gibt man das Konzept der Lokalität teilweise auf.
Das Ergebnis der Messung von der Größe A wird durch die Menge der verborgenen
Variablen λ, die Polarisationsfiltereinstellung ~a in Station 1 und die Polarisationsfiltereinstellung ~b in der räumlich getrennten Station 2 beeinflusst, ist aber unabhängig
von den Resultaten der räumlich getrennten Station 2. Selbiges gilt umgekehrt für
das Messresultat B.
A = A(~a, ~b, λ),
B = B(~a, ~b, λ)
(4.12)
Leggett geht sogar noch einen Schritt weiter und lässt das Messergebnis B als
Beeinflussung von Messergebnis A zu. Das Ergebnis der Messung von der Größe
A wird folglich durch die Menge der verborgenen Variablen λ, die Polarisationsfiltereinstellung ~a in Station 1, die Polarisationsfiltereinstellung ~b in der räumlich
getrennten Station 2 und den Resultaten der räumlich getrennten Station 2 beeinflusst. Selbiges gilt umgekehrt für das Messresultat B.
A = A(~a, ~b, λ : B),
B = B(~a, ~b, λ : A)
(4.13)
Leggetts Theorie stellt somit eine Erweiterung der lokalen Bellschen Ungleichung dar. Das Konzept der Lokalität gibt er hierbei auf. Messergebnisse können
von räumlich getrennten Größen beeinflusst werden. Gleichzeitig geht er von der
Existenz verborgener Variablen aus, die ebenfalls Auswirkungen auf die Messergebnisse haben.
Auf der Basis seiner Theorie entwickelt er analog zu Bell in 3.25 eine Ungleichung, die Vorhersagen über die Häufigkeit verschiedener Messresultate bei bestimmten Polarisationsfiltereinstellungen liefert.
In Kapitel 5 wird diese Ungleichung näher behandelt und experimentell überprüft.
5 Das Wien Experiment
Nachdem wir uns nun mit lokalen und nichtlokalen Theorien mit verborgenen Variablen auseinandergesetzt haben, wenden wir uns nun der experimentelle Untersuchung der Leggett- und der CHSH-Ungleichung zu.
Simon Gröblacher, Tomasz Paterek, Rainer Kaltenbaek, Časlav Brukner,
Marek Żukowski, Markus Aspelmeyer und Anton Zeilinger führten im
April 2007 ein Experiment zur Überprüfung der Leggett-Ungleichung durch. Mit ihrem Versuchsaufbau konnten sie zusätzlich alle notwendigen Daten zur Überprüfung
der CHSH-Ungleichung gewinnen.
Abbildung 5.1: Ein Teil der Arbeitsgruppe:
Anton Zeilinger, Simon Gröblacher, Tomasz Paterek,
Časlav Brukner, Markus Aspelmeyer(von links)
©Fakultät für Physik, Universität Wien
5 Das Wien Experiment
74
Mein Physiklehrer Horst Aussenhof, Matthias Stappel, der 2003 ebenfalls eine
Facharbeit zum Thema Quanteninformation an der Immanuel-Kant-Schule in Kooperation mit dem Institut für Quantenoptik und Quanteninformation(IQOQI) erstellte, und ich hatten die Möglichkeit diese Arbeitsgruppe zu besuchen und einen
Einblick in den wissenschaftlichen Alltag zu gewinnen.
5.1 Versuchsaufbau
Zunächst betrachten wir den Versuchsaufbau der Arbeitsgruppe.
Abbildung 5.2
Der Versuchsaufbau setzt sich aus zwei Teilen zusammen, der Quelle und den
beiden Messstationen.
Die Quelle besteht aus dem gepulsten Laser(Pump laser), dem BBO-Kristall, der
λ/2-Plättchen und dem BBO/2-Kristall. Sie erzeugt verschränkte Photonenpaare
mit dem Zustand |Ψ − iAB = √12 [|HiA |V iB − |V iA |HiB ]. Die genaue Funktion solch
einer Quelle ist in Abschnitt 3.3.1 erläutert. Die Filter vor den Detektoren sorgen
dafür, dass nur Photonen gleicher Energie detektiert werden. Nimmt man die Filter
heraus, sinkt die Güte der Verschränkung.
75
5.1 Versuchsaufbau
Weiterhin gibt es zwei Messstationen, eine von Alice und eine von Bob. Die beiden
Blochkugeln1 dienen hierbei zur Darstellung der zu messenden Polarisationsrichtungen.
Die Messstation von Alice enthält einen Polarisationsfilter, mit dem sie die Polarisation der
bei ihr ankommenden Photonen überprüfen kann.
Die Messung erfolgt in der {|Hi,|V i}-Basis. Nach
der Messung in dieser Basis sind die Photonen,
die bei Alice eintreffen stets linear polarisiert.
Die beiden Vektoren ~a1 und ~a2 in der Blochkugel stehen hierbei für bestimmte Polarisationsfiltereinstellungen. ~a1 symbolisiert in diesem Fall
einen horizontal orientierten Polarisationsfilter,
~a2 einen in 45◦ -Richtung orientierten. Zu Alices
Messstation gehört außerdem noch der Detektor. Schlägt dieser an, kommt also ein Photon
Abbildung 5.3
durch den Polarisationsfilter, so nimmt die Größe A per Definition +1 an. Schlägt dieser umgekehrt nicht an, wird A der Wert -1
zugewiesen.
Die Messstation von Bob unterscheidet sich
insofern von der von Alice, dass sich zusätzlich
noch ein λ/4-Plättchen im Strahlengang der zu
messenden Photonen befindet. Bob möchte mit
seinem Polarisationsfilter( der baugleich zu Alices Filter ist) den auf diesen Filter auftreffenden
Photonen nun nicht wie Alice die Frage stellen „Seid ihr H-Polarisiert?“, sondern er fragt:
„Seid ihr zirkularpolarisiert?“ Bob muss also eine Messanordnung verwenden, die genau diese Fragestellung an die Photonen gewährleistet.
Diese Messanordnung ist durch die Kombination Polarisationsfilter und λ/4-Plättchen gegeAbbildung 5.4
ben. Um sicherzugehen, dass seine Messanordnung aus λ/4-Plättchen und Filter auch wirklich die richtige Frage an die Photonen
stellt, was experimentell bedeutet, dass das Plättchen im richtigen Winkel zur optische Achse in den Strahlengang eingebracht wurde, macht Bob einen Vorversuch.
Er erzeugt aus linear polarisiertem Licht mithilfe eines λ/4-Plättchens zirkular polarisiertes Licht. Schickt er nun diese Photonen durch die Messanordnung aus λ/4Plättchen und Filter und er registriert im Detektor alle zuvor ausgesandten Photonen, so kann er sicher sein, dass seine Messanordnung die richtige Frage stellt,
1
ausführliche Erklärung in 2.2.3
5 Das Wien Experiment
76
also in R, L- Basis misst. Es sei nochmals explizit darauf hingewiesen, dass verschränkte Photonen erst durch die Messung einen definierten Polarisationszustand
annehmen. Vor der Messung ist nur ihre Korrelation bekannt, sie selbst tragen keine
Polarisationseigenschaft.
In Gleichung (3.35) haben wir gezeigt, dass |Ψ − i bei einer Messung in der {|Li,|Ri}Basis umgeformt werden kann (|Ψ − i = 2i (|Li|Ri − |Ri|Li)), der verschränkte Zustand
also vorhanden bleibt.
Im Experiment werden die Winkeleinstellungen α1 = 45◦ (der Winkel zwischen |Hi
und ~a1 ), α2 = 0◦ und β3 = 0◦ nicht verändert, während β1 variabel zwischen 45◦ und
160◦ und β2 variabel zwischen 0◦ und 115◦ liegen.
5.2 Die Leggett-Ungleichung
Wir beschäftigen uns zunächst mit der experimentellen Überprüfung nicht-lokaler
Theorien mit verborgenen Variablen. Dazu leitete die Wiener Arbeitsgruppe eine
Ungleichung her, die der von Leggett ähnelt, aber besser für eine experimentelle Überprüfung geeignet ist. Die Herleitung der Ungleichung ist eine langwierige
Prozedur, die den Rahmen dieser Arbeit sprengen würde. Wer die Herleitung nachvollziehen möchte, sei auf [Leg03] und [Grö07] verwiesen. Die Leggett-Ungleichung
lautet:
SN LHV = |E11 (ϕ) + E23 (0)| + |E22 (ϕ) + E23 (0)| ≤ 4 −
4
ϕ
| sin |
π
2
(5.1)
Der Index NLHV bedeutet „non-local hidden-variables“, steht also für nichtlokale Theorien mit unbekannten Parametern. Ekl (ϕ) gibt hierbei die durchschnittliche
Anzahl an Korrelationen, die bei einer Messung in der Ebene von ~ak und ~bl mit
dem Differenzwinkel ϕ registriert wurden, an. Dies wird im Folgenden mit Korrelationsfunktion bezeichnet. E11 (50◦ ) gibt beispielsweise die Häufigkeiten der Koinzidenzen1 an, die durchschnittlich zwischen ~a1 und ~b1 detektiert werden, wenn der
Differenzwinkel 50◦ beträgt. Dies würde bedeuten, dass β1 = 50◦ , da α1 = 0◦ . Damit
die Ungleichung anwendbar ist, müssen die Vektoren ~a1 und ~b1 notwendigerweise in
einer Ebene orthogonal zu der von ~a2 und ~b2 liegen, wobei ~b2 auch als Leggettvektor
~bLeggett bezeichnet wird. Durch die Lage des Vektors ~bLeggett in einer zu der Äquatorialebene orthogonalen Ebene wird eine der Forderungen erfüllt, die in Herleitung
der Leggett-Ungleichung einfließen. Eine andere Forderung ist, dass der Vektor ~b3
ebenfalls in einer zur Äquatorialebene orthogonalen Ebene liegen muss. Hier reicht
es aber aus ~b3 auf die Schnittgerade der beiden Ebenen zu legen, sodass dieser Vektor
1
zeitgleiche Anschläge der beiden Detektoren
77
5.2 Die Leggett-Ungleichung
sowohl zur einen als auch der anderen Ebene gehört. In diesen beiden Bedingungen
an die Lage der Vektoren ~b3 und ~bLeggett kommt der Unterschied von Leggetts
Grundannahmen für eine nichtlokale, realistische Theorie gegenüber den Annahmen, die lokal-realistischen Theorien bestimmen, zum Ausdruck. Während in einer
lokal-realistischen Theorie die Messergebnisse A und B nur von den verborgenen
Parametern λ und den Einstellungen und der jeweils zugehörigen Polarisationsfiltern abhängen dürfen, ist in Leggetts Annahmen für die zu untersuchende Klasse
nichtlokaler-realistischer Theorien auch die Abhängigkeit der Messergebnisse B bzw.
A inbegriffen. Will man eine derartige Theorie testen, müssen die Vektoren ~bLeggett
und ~b3 auf einer Ebene senkrecht zu der Äquatorialebene liegen. Hieraus ergibt sich,
dass man im Versuchsaufbau nicht mehr nur auf Messungen in der {|Hi,|V i}-Basis
beschränken kann, sondern auch in der {|Ri,|Li}-Basis messen muss. Aus diesem
Grunde befindet sich im Strahlengang von Bob ein λ/4 – Plättchen.
Dies ist in Abbildung 5.2 ersichtlich. Dies ist unüblich für Experimente, die die
CHSH Ungleichung prüfen, da die stärksten Abweichungen auf derselben Ebene
messbar sind.
Abbildung 5.5: Überprüfung von nicht-lokalen Theorien mit verborgenen
Parametern
Diese Situation ähnelt in gewisser Weise den Zustand des EPR Paradoxons vor
dem Aufkommen von Bells Ungleichung und deren ersten experimentellen Überprüfungen. Die Experimente von Wu und Shaknov[Wu50] und von Kocher und
Commins[Koc67] sollten die Gültigkeit der quantenphysikalischen Beschreibung
von Korrelationen von Photonenpaaren demonstrieren. Dieser Vorgang benötigte
nur das Überprüfen von Korrelationen entlang der gleichen Polarisationsrichtung,
deshalb stellten ihre Ergebnisse keine Messdaten für die neu hergeleiteten BellUngleichungen bereit(Abb. 5.5a, b). Clauser, Horne, Shimony und Holt zeigten, dass man nur durch eine kleine Veränderung der Messrichtung, so dass die
nicht perfekten Korrelationen eines verschränkten Zustand getestet werden, BellUngleichungen untersuchen kann. Das bahnbrechende Experiment von Freedman
und Clauser[Fre72] war der erste direkte und erfolgreiche Test[Cla78]. Heutzutage
werden alle Bell-Experimenten, also Experimente des lokalen Realismus, durchge-
5 Das Wien Experiment
78
führt, indem man Korrelationen von Messungen, die in derselben Ebene der Blochkugel liegen, untersucht. Ähnlich wie im vorherigen Fall, benötigt man für die Verletzung der Leggett-Ungleichung nur kleine Veränderungen dieses Aufbaus: Für die
Überprüfung der Ungleichung müssen Korrelationen von Messungen entlang wzeier
orthogonaler Ebenen untersucht werden (Abb. 5.5c). Folglich können die existenten
Daten von Bell-Experimenten für die Untersuchungen von nicht-lokalen Theorien
nicht weiterverwendet werden.
Die Korrelationsfunktion ist durch
(+1)(+1)N++ + (−1)(−1)N−− + (+1)(−1)N+− + (−1)(+1)N−+
N++ + N−− + N+− + N−+
N++ + N−− − N+− − N−+
=
N++ + N−− + N+− + N−+
E(~a,~b) =
(5.2)
definiert, wobei NAB die Anzahl der Koinzidenzen zwischen den Messungen von Alice
und Bob während der Dauer der Messung von NAB angibt. Die Koeffizienten vor
NAB in Gleichung (5.2) bestehen aus einer Multiplikation der Werte von A und B,
also den jeweiligen Messergebnissen1 von Alice bzw. Bob. E(~ak ,~bk ) entspricht hierbei
Ekl (ϕ), wobei ϕ der Differenzwinkel zwischen ~ak und ~bk auf der Blochkugel ist.
5.2.1 Messung der Koinzidenzen
Es müssen demnach folgende Ereignisse gemessen werden:
N++ Anzahl aller Fälle, bei denen Alice und Bob das Photon detektieren
N+− Anzahl aller Fälle, bei denen Alice das Photon detektiert und Bob nicht
N−+ Anzahl aller Fälle, bei denen Alice das Photon nicht detektiert und Bob das
Photon detektiert
N−− Anzahl aller Fälle, bei denen Alice und Bob das Photon nicht detektieren
Die nächstliegendste Idee zur Messung wäre folgende: Das Ereignis, dass ein Photon detektiert wird, wird mit +1 beschrieben. Das Gegenteilige Ereignis, dass kein
Photon detektiert wird, mit -1. Man erstellt nun eine Tabelle, die zu jeder Messung,
die Ergebnisse von Alice und Bob auflistet. So eine Tabelle könnte beispielsweise
folgendermaßen aussehen.
Nun wird die Tabelle ausgewertet, d.h. es werden die Häufigkeiten der verschiedenen Ereignisse gezählt. So werden zur Bestimmung von N++ beispielsweise alle
1
(+1), wenn der Detektor anschlägt bzw. (-1), wenn er nicht anschlägt.
79
5.2 Die Leggett-Ungleichung
Messung Alice Bob
1
+1
−1
2
+1
+1
3
−1
−1
...
Tabelle 5.1: Beispiel möglicher Messergebnisse
Messreihen gezählt, bei denen sowohl Alice als auch Bob +1 erhalten haben. Dieses
Ergebnis ist dann relativ genau. Bei der Messung von den anderen Häufigkeiten
tritt jedoch ein Problem auf. Wird zum Beispiel wegen einer Unzulänglichkeit der
Quelle kein oder nur ein Photon emittiert oder die Photonen sind nicht verschränkt,
so wird dennoch -1 in die Tabelle aufgenommen, weil der Detektor nicht anschlägt.
Die so ermittelten Häufigkeiten sind somit größer als die realen und damit fehlerbehaftet. Außerdem ist die manuelle Auswertung der Daten sehr zeitaufwendig und
schwer zu automatisieren, denn die Häufigkeiten der verschiedenen Korrelationen
müssten einzeln aus der Liste abgezählt werden.
Eine Lösung dieses Problems bietet die tatsächlich angewandte Messmethode:
Die Polarisationsfilter werden nun auf ~a beziehungsweise ~b eingestellt, um N++ zu
messen. Bei der Messung von N+− dagegen werden die Polarisationsfilter auf ~a beziehungsweise ~b⊥ eingestellt. Die Photonen, die normalerweise bei Bobs Polarisationsfilter in der Stellung ~b absorbiert wurden, werden nun in der dazu orthogonalen
Orientierung des Polarisationsfilters durchgelassen. Dies ergibt sich aus dem Gesetz
von Malus. Folglich müssen auch die Zuordnungen der Ereignisse verändert werden.
+1 heißt nun, dass das Photon bei ~a durch den Polarisationsfilter gelassen und detektiert wurde. -1 bedeutet nun, dass das Photon bei ~a⊥ durch den Polarisationsfilter
gelassen und detektiert wurde.
Damit ergibt sich für die Korrelationen:
N++ Anzahl aller Fälle, bei denen Alice und Bob das Photon in der Einstellung ~a
beziehungsweise ~b detektieren
N+− Anzahl aller Fälle, bei denen Alice und Bob das Photon in der Einstellung ~a
beziehungsweise ~b⊥ detektieren
N−+ Anzahl aller Fälle, bei denen Alice und Bob das Photon in der Einstellung ~a⊥
beziehungsweise ~b detektieren
N−− Anzahl aller Fälle, bei denen Alice und Bob das Photon in der Einstellung ~a⊥
beziehungsweise ~b⊥ detektieren
5 Das Wien Experiment
80
Der Nachteil von diesem Messverfahren liegt in der Tatsache, dass für die Errechnung von einer Korrelationsfunktion im Gegensatz zum ersten Verfahren 4
Messreihen nötig sind. Allerdings sind so die Ermittlungen der Häufigkeiten leichter automatisierbar und die Ergebnisse weniger fehlerbehaftet. Deshalb wird dieses
Verfahren zur Messung der Koinzidenzen angewandt.
Für eine Überprüfung der Leggett-Ungleichung, müssen wir wie vorhin festgestellt
die Korrelationsfunktionen E11 (ϕ), E22 (ϕ) und E23 (0) bestimmen.
5.2.2 Versuchsauswertung
Wir demonstrieren die Messung der benötigten Korrelationsfunktionswerte für den
Differenzwinkel ϕ = 20◦ in der Blochkugel, was einer realen Differenz zwischen den
Polarisatonsfiltereinstellungen
von 10◦ entspricht.
Zunächst soll E a~1 ; b~1 = E11 gemessen werden. Da sich die beiden Vektoren auf
der x-z-Ebene befinden und wie somit in der {|Hi,|V i}-Basis messen, wird das λ/4Plättchen zunächst nicht vor dem Polarisationsfilter justiert. Der Polarisationsfilter
von Alice wird auf α1 = 45◦ eingestellt, der von Bob auf β1 = 55◦ . Die Winkeldifferenz
ϕ bezieht sich auf die Blochkugel, was einer realen Differenz von Ψ2 = 10◦ entspricht.
Beim Berechnen von E11 betrachten wir die beiden Vektoren ~a1 und ~b1 sowie die
dazu orthogonalen ~a⊥1 und ~b⊥1 (Abb. 5.2). Alle Vektoren befinden sich in der x-zEbene. Der Winkel α1 zwischen H und ~a1 beträgt 45◦ (=
b 90◦ in der Blochkugel)(siehe
~
b 90◦ + 20◦ = 110◦ in der
Abb. 5.2). Der Winkel β1 zwischen H und b1 beträgt 55◦ (=
Blochkugel). Mit den in Tabelle 5.2 dargestellten Messergebnissen lässt sich E11
β1 in
◦
1
2
55
145
α1 = 45◦
4950
...
320
...
9253
α1 = 135◦
4008
4252
7095
275
β2 in
◦
H
V
-9
-8
236 6525
203 6606
...
10 252 6482
...
100 8061 182
Tabelle 5.2: Auszug aus den Versuchsdaten:a
Messung von E11 (ohne
λ/4-Plättchen bei Bob)
Tabelle 5.3: Auszug aus den Versuchsdaten:a
Messung von E22 (mit
λ/4-Plättchen bei Bob)
a Versuchsdaten dürfen nicht komplett veröffentlicht werden.
a Versuchsdaten dürfen nicht komplett veröffentlicht werden.
81
5.2 Die Leggett-Ungleichung
berechnen.
E11 =
N++ + N−− − N+− − N−+
320 + 275 − 9253 − 7095
=
≈ −0,9298
N++ + N−− + N+− + N−+
320 + 275 + 9253 + 7095
(5.3)
Das Ermitteln von E22 findet in der y-z-Ebene statt. Deshalb wird vor die Messstation von Bob ein λ/4-Plättchen geschaltet. Dabei werden die Vektoren ~a1 und ~b1
sowie die dazu orthogonalen ~a⊥1 und ~b⊥1 (Abb. 5.2) betrachtet. Der Winkel α2 beträgt
hierbei 0◦ , β2 = 10◦ . Mit den in Tabelle 5.3 dargestellten Messergebnissen lässt sich
E22 berechnen.
E22 =
252 + 182 − 8061 − 6482
≈ −0,9420
252 + 182 + 8061 + 6482
(5.4)
Die Ungleichung (5.1) benötigt noch E23 bei α2 = β3 = 0. Diese Vektoren liegen wie
bereits erwähnt sowohl auf der x-z- als auch auf der y-z-Ebene. E23 wird zunächst ohne λ/4-Plättchen also für linear polarisiertes Licht ermittelt. Die Messdaten hierfür
sind in Tabelle 5.4 dargestellt.
E23,linear =
72 + 75 − 8061 − 6482
≈ −0,9800
72 + 75 + 8061 + 6482
(5.5)
Nun wird das λ/4-Plättchen wieder aufgestellt und der Erwartungswert E23,RL für
die R/L-Basis ermittelt. Die Messergebnisse dafür befinden sich in Tabelle 5.5.
β1 in
◦
α1 = 45◦
α1 = 135◦
55
72
...
8485
9793
145
75
Tabelle 5.4: Auszug aus den Versuchsdaten:a
Messung von E23 (ohne
λ/4-Plättchen bei Bob)
a Versuchsdaten dürfen nicht komplett veröffentlicht werden.
β2 in
◦
H
V
...
36 7469
...
42
100 6602
10
Tabelle 5.5: Auszug aus den Versuchsdaten:a
Messung von E23 (mit
λ/4-Plättchen bei Bob)
a Versuchsdaten dürfen nicht komplett veröffentlicht werden.
5 Das Wien Experiment
E23,RL =
82
36 + 42 − 6602 − 7469
≈ −0,9890
36 + 42 + 6602 + 7469
(5.6)
Die Werte sind erwartungsgemäß nahezu identisch, da die Vektoren die Schnittmenge der x-z- und y-z Ebene bilden und das λ/4-Plättchen somit fast keinen Einfluss auf die Messergebnisse hat.
Nun sind alle nötigen Werte zur Überprüfung der Ungleichung (5.1) vorhanden.
SN LHV,exp = |E11 (ϕ) + E23,linear (0)| + |E22 (ϕ) + E23,RL (0)|
= | − 0,9298 + (−0,9800)| + | − 0,9420 + (−0,9890)|
(5.7)
= 3,8408
Die obere Grenze für ϕ = 20◦ berechnet sich aus der linken Seite von Gleichung
(5.1):
SN LHV,Grenze = 4 −
4
20◦
| sin
| = 3,7789
π
2
(5.8)
Vergleichen wir nun den experimentell erhaltenen Wert 3,8408 mit denen durch die
Schranke vorgegebenen 3,7789, so ist die Ungleichung (5.1) für ϕ = 20◦ offensichtlich verletzt.
Im Experiment selbst wurden die Werte
für alle Winkel ϕ zwischen 0◦ und 115◦ ermittelt und graphisch die interessanten Werte zwischen 0◦ und 46◦ in (Abb. 5.6) dargestellt. Die Ungleichung wird bei Winkeln
zwischen 4◦ und 32◦ verletzt. Die rot gestri- Abbildung 5.6: Experimentelle Verchelte Linie ist die Höchstgrenze für SN LHV
letzung der Leggettin Gleichung (5.1). Die quantenmechanischen
Ungleichung
Voraussagen sind durchgängig schwarz dargestellt. Aus der Verletzung der Leggett-Ungleichung folgt, dass eine große Klasse
von nicht-lokalen Theorien mit verborgenen Parametern das Phänomen der Verschränkung nicht beschreiben kann.
83
5.3 Die CHSH-Ungleichung
5.3 Die CHSH-Ungleichung
Mit der Versuchsanordnung ist auch eine Überprüfung lokaler Theorien mit verborgenen Parametern möglich. Dazu wird die in 4.5 angesprochene CHSH-Ungleichung,
eine Erweiterung der Bellschen Ungleichung durch Clauser, Horne, Shimony
und Holt, benutzt.
Die CHSH-Ungleichung lautet:
(5.9)
SCHSH = |E11 + E12 − E21 + E22| ≤ 2
Auch hier werten wir die Ungleichung zunächst exemplarisch für ϕ = 20◦ in der
Blochkugel (das entspricht 10◦ realer Winkeldifferenz zwischen den Polarisationsfiltern) aus.
Zur Überprüfung der Ungleichung, müssen wir die Größen E11 , E12 , E21 und E22 ermitteln. Wir demonstrieren die Messung der benötigten Korrelationsfunktionswerte
erneut für ϕ = 20◦ . Wir können die Werte für E11 = −0,9298 und E22 = −0,9420 aus
Kapitel 5.2.2 übernehmen. Das heißt, wir müssen weiterhin E12 und E21 bestimmen.
Die Ermittlung von E12 erfolgt mit den Winkeln α1 und β2 . Hier wird das λ/4Plättchen benötigt, da ~b auf der y-z-Ebene liegt und wir somit in der {|Ri|Li}-Basis
messen.
E12 =
N++ + N−− − N+− − N−+
2806 + 3458 − 2838 − 2974
=
≈ 0,0374
N++ + N−− + N+− + N−+
2806 + 3458 + 2838 + 2974
(5.10)
Die Ermittlung von E21 erfolgt mit den Winkeln α2 und β1 . Da die Vektoren hier
β2 in
◦
α1 = 45◦
α1 = 135◦
55
2806
...
2838
2974
145
3458
β2 in
◦
H
V
55 5146 2322
...
145 2377 4473
Tabelle 5.6: Auszug aus den Versuchsdaten:a
Messung von E12 (mit
Lambda/4-Plättchen bei
Bob)
Tabelle 5.7: Auszug aus den Versuchsdaten:a
Messung von E21 (ohne
Lambda/4-Plättchen bei
Bob)
a Versuchsdaten dürfen nicht komplett veröffentlicht werden.
a Versuchsdaten dürfen nicht komplett veröffentlicht werden.
5 Das Wien Experiment
84
auf der x-z-Ebene liegen, ist kein λ/4-Plättchen nötig.
E21 =
5146 + 4473 − 2377 − 2322
≈ 0,3436
5146 + 4473 + 2377 + 2322
(5.11)
Zur Verletzung von Ungleichung (5.9) sind nun alle Erwartungswerte ermittelt.
SCHSH,exp = |E11 + E12 − E21 + E22 |
= | − 0,9298 + 0,0374 − 0,3436 + (−0,9420)|
(5.12)
= 2,178
Da 2,178 größer als 2 ist, wurde Ungleichung (5.9) hiermit widerlegt.
Im Experiment selbst wurden die Werte für alle Winkel ϕ zwischen 0◦ und 115◦
ermittelt und die Winkel ϕ zwischen 0◦
und 46◦ graphisch in (Abb. 5.7) dargestellt. Die Ungleichung wird bei Winkeln zwischen 6◦ und 46◦ verletzt. Die
grün gestrichelte Linie ist die Höchstgrenze für SCHSH in Gleichung (5.9). Die
quantenmechanischen Voraussagen sind
durchgängig blau dargestellt.
Abbildung 5.7: Experimentelle Verletzung der CHSHUngleichung
6 Nachbetrachtung
Im Verlauf der Arbeit haben wir nun gesehen, dass der Standpunkt Einsteins
in der in der Einleitung erwähnten Bohr-Einstein-Debatte nicht haltbar ist. Einen
Realismus, wie er und seine Kollegen Podolsky und Rosen ihn sich vorstellten,
gibt es nicht. Durch die Verletzung der Bellschen Ungleichung ist bewiesen, dass
keine lokale Theorie mit verborgenen Parametern in der Lage ist, das Phänomen
der Verschränkung zu beschreiben. Weiterhin bedeutet dies, dass mindestens eine
der drei Annahmen, die die Grundlage der lokalen Theorie mit verborgenen Parametern bilden, aufgegeben werden muss. Diese sind die Lokalität, der Realismus
und das Induktionsprinzip, d.h. dass man von einigen Untersuchungen auf die Gesamtheit aller, also auch der nicht untersuchten, schließen darf. Bell vertrat die
Auffassung, die Annahme der Lokalität müsse aufgegeben werden. Er war somit
bereit, die von Einstein als „spukhafte Fernwirkung“ verspotteten nichtlokalen
Effekte zuzulassen.
Doch auch die von Leggett ohne die Annahme der Lokalität hergeleitete Ungleichung wurde experimentell verletzt. Dies schließt nun ebenfalls eine große Klasse von
nichtlokalen Theorien mit verborgenen Parametern aus. Diese Theorien sind zwar
nichtlokal, aber dennoch in einem gewissen Sinne realistisch. Doch mit dem WienExperiment konnte auch diese Ungleichung verletzt und somit nichtlokale Theorien
mit verborgenen Parametern zur Beschreibung von Verschränkung ausgeschlossen
werden.
Dieses Ergebnis deutet darauf hin, dass die Lockerung der Lokalitätsbedingung
nicht ausreicht, um eine zutreffende Interpretation der Quantentheorie zu liefern.
Markus Aspelmeyer aus der Wiener Arbeitsgruppe kommentiert dies folgendermaßen: „Wir haben gezeigt, dass auch eine nichtlokale Erweiterung der Quantentheorie gewisse Einschränkungen des Realismusbegriff in Kauf nehmen muss.“
Worin diese Einschränkungen bestehen, liefert viel Stoff für Diskussionen. Der Wissenschaftsphilosoph Holger Lyre sieht noch keine wesentliche Entscheidung auf
der philosophischen Seite. „Ich kenne keine einzige Interpretation der Quantentheorie, auf welche die von den Wienern gegebene Zuschreibung der Vokabel ‚realistisch‘
zutrifft.“ Nach seiner Auffassung kann das Wien-Experiment aber dazu helfen, „den
Spielraum erlaubter Interpretationen einzugrenzen“, wobei schlussendlich nur jene
Theorien ausgeschlossen werden, die sowieso keine im philosophischen Sinn ‚realistische‘ Beschreibung der Verschränkung böten.
6 Nachbetrachtung
86
Anton Zeilinger hofft darauf, dass man mit dem Verfahren weitere realistische
Theorien ausschließen kann, wobei es dazu nach seiner Aussage noch keine systematischen Untersuchungen gäbe. Er folgert schließlich: „Wie signifikant unsere Arbeit
wirklich ist, muss die Zukunft zeigen.“ Anthony Leggett ist sich da schon etwas
sicherer: „Alle nichtlokalen realistischen Theorien sind etwas an den Haaren herbeigezogen. Aber ich denke, dass die, die nun ausgeschlossen sind, deutlich ‚natürlicher‘
sind als alle anderen. Das Wiener Ergebnis deutet in meinen Augen darauf hin, dass
das Versagen lokaler realistischer Theorien relativ wenig mit ihrer Lokalität, aber
viel mit ihrem Realismus zu tun hat.“
Eine ganz andere Auffassung vertritt
der Philosoph Tim Maudlin von der
Rutgers University in New Jersey. „Dieses Experiment testet nur Leggetts ziemlich obskure Theorie und keine plausiblen, nichtlokalen realistischen Theorien. Seine Implikationen für den Realismus sind damit gleich null.“ Unter einer
plausiblen, nichtlokalen realistischen Theorie versteht Maudlin zum Beispiel die
Bohmsche Mechanik. Diese alternative
Quantentheorie liefert dieselben Voraussagen wie die Quantenmechanik und lieferte bis jetzt keine Voraussagen, die im
Widerspruch zu experimentellen Ergebnissen stehen. Diese Theorie ist weiter- Abbildung 6.1: Unser Mond: Ist er nun
da, wenn niemand hinhin realistisch im klassischen Sinn. In
schaut?
ihr sind Teilchen wirklich Teilchen und
nicht zugleich Wellen. Eigentlich müsste diese Theorie großen Anklang finden, da
sie einen physikalischen Realismus zulässt. Trotzdem wird sie von den meisten Physikern abgelehnt. Dies könnte zum einen an der mathematischen Komplexität und
zum anderen daran, dass diese Theorie alle Romantik aus der Quantenmechanik
verbanne, wie Bell es einmal nannte. Weiterhin erweist sich eine Verallgemeinerung der Bohmschen Theorie über die pure Quantenmechanik hinaus in Richtung
Quantenfeldtheorie als außerordentlich schwierig.
Leggett wundert sich darüber, dass der physikalische Realismus gerade auch
Philosophen so wichtig ist. Er hofft auf einen Denker, der die Quantenphysik endlich
einmal klar auf den philosophischen Punkt bringt. „Davon könnte dann auch die
Physik etwas lernen.“
Das Aufgeben der physikalischen Realität scheint zunächst wirklich unfassbar.
Wenn wir uns nicht auf unsere alltägliche Wahrnehmung, unsere Intuition und un-
87
seren gesunden Menschenverstand verlassen können, auf was dann?
Natürlich ist es schwer ein lange Zeit akzeptiertes Weltbild im Sinne eines erkenntnistheoretischen Paradigmas zu verwerfen und ein anderes anzunehmen, doch dies
wäre nicht das erste Mal, dass ein Paradigmenwechsel bzw. eine wissenschaftliche
Revolution geschieht.
So erfuhr der italienische Galileo Galilei zunächst heftigsten Widerstand,
als er seine Erkenntnis, die Erde drehe sich um die Sonne, öffentlich kund gab.
Dies war für die Menschen zu dieser Zeit ebenso wenig vorstellbar, wie heute die
Aufgabe des Realismus. Trotzdem setzte sich Galileis Erkenntnis durch und ist
heute anerkannt.
Vielleicht sehen wir es in einigen Jahren auch als ‚normal‘ an, dass der Mond
vielleicht doch nicht so ganz da ist, wenn niemand hinschaut, dass Gott doch würfelt,
dass Teilchen mittels einer ‚spukhafter Fernwirkung‘ untereinander wechselwirken
und dass die Welt eben doch nicht so realistisch ist, wie Einstein es gerne hätte.
6 Nachbetrachtung
88
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90
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Abbildungsverzeichnis
1.1
Niels Bohr und Albert Einstein: Foto von Paul Ehrenfest . . . .
2.1
2.2
2.3
2.4
Werner Heisenberg: Deutsches Historisches Museum, Berlin . . . 5
Elektronen am Einzelspalt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Elektronen am Einzelspalt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Verteilung der Orts- und Impulsmesswerte für einen breiten und
einen schmalen Einzelspalt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Abschätzung der Impulsstreuung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Christian Huygens:
http://de.wikipedia.org/wiki/Bild:Christiaan-huygens4.jpg 10
Isaac Newton: Godfrey Kneller, National Portrait Gallery London,
1702 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Darstellung einer elektromagnetischen Welle[Rie03] . . . . . . . . . . . 11
Linear polarisiertes Licht:
http://de.wikipedia.org/wiki/Bild:Linear_polarization_schematic.
png . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Zirkular polarisiertes Licht:
http://de.wikipedia.org/wiki/Bild:Circular_polarization_schematic.
png . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Elliptisch polarisiertes Licht:
http://de.wikipedia.org/wiki/Bild:Elliptical_polarization_
schematic.png . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Polarisation: Microsoft, Encarta Enzyklopädie 2004 . . . . . . . . . . . 13
Ausschnitt von Abb.5.2, bearbeitet von Katrin Philipp . . . . . . . . . 14
Darstellung von linearer Polarisation durch Überlagerung von zirkularer Polarisationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Darstellung von zirkularer Polarisation durch Überlagerung von linearen Polarisationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Lichtbrechung:
http://www.seilnacht.com/Minerale/Brechg.gif . . . . . . . . . . 18
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
2.10
2.11
2.12
2.13
2.14
2.15
2.16
1
Abbildungsverzeichnis
92
2.17 Doppelbrechung:
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/de/9/9d/Doppelbrechung.
png . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.18 Aufspaltung des Lichtes in o- und ao-Strahl:
http://www.chemgapedia.de/vsengine/media/vsc/de/ph/14/ep/
einfuehrung/wellenoptik/bilder/sk2_26.png . . . . . . . . . . . . 20
2.19 λ/2-Plättchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.20 Funktionsweise eines λ/4-Plättchens:
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/de/8/89/Lambda4-Plaettchen1.
png . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
3.9
3.10
3.11
3.12
3.13
3.14
3.15
3.16
3.17
3.18
3.19
Erwin Schrödinger:
http://commons.wikimedia.org/wiki/Image:Erwin_Schrödinger.
jpg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
gewähltes Koordinatensystem zur Darstellung der Polarisationen . . . 24
Ein in 0◦ -Richtung polarisiertes Photon . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Basisvektoren |Hi und |V i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Ein in 90◦ -Richtung polarisiertes Photon . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Ein in 45◦ -Richtung polarisiertes Photon . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Photonen werden durch einen in 0◦ -Richtung orientierten Polarisationsfilter geschickt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Basisvektoren |45◦ i und |135◦ i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Die vier Basiszustände. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Beliebige Basis, die um α zur {H,V }-Basis gedreht ist. . . . . . . . . . 30
Eine Quelle emittiert ein verschränktes Photonenpaar mit dem Zustand |Ψ − i12 . An zwei polarisierenden Strahlteilern werden diese anhand ihrer Polarisation aufgeteilt. Hier sind die beiden möglichen
Messausgänge veranschaulicht. Ist ein Detektor orange markiert, so
ist damit gemeint, dass dieser ein Photon registriert. . . . . . . . . . . 33
Abbildung des Instituts für Experimentalphysik Wien (Arbeitsgruppe Prof. Zeilinger), abgeändert von Matthias Stappel , Januar 2004; . 34
Erzeugung verschränkter Photonen:
http://www.physikclub.de/nachrichten/science-news-quantenkryptographie/
image/image_view_fullscreen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Kristall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Schema des Versuchsaufbaus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Die Väter der Quantenteleportation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Schema der Quantenteleportation: [Bru03] . . . . . . . . . . . . . . . . 41
austauschen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
interferometrischer Bell-Zustandsanalysator [Mic00, S.28] . . . . . . . 46
93
Abbildungsverzeichnis
3.20 Teleportation [Zei06] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
4.8
4.9
4.10
4.11
4.12
4.13
4.14
4.15
4.16
4.17
4.18
4.19
Albert Einstein: Albert-Einstein-Archiv, Jerusalem, Ferdinand Schmutzer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
EPR-Quelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
Nathan Rosen: http://www.technion.ac.il/~peres/Rosen.jpg 56
Boris Podolsky: http://www.epreffect.com/db5/00455/epreffect.
com/_uimages/podolsky.jpg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
Niels Bohr: http://de.wikipedia.org/wiki/Bild:Niels_Bohr.
jpg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
John von Neumann: United States Department of Energy . . . . . 59
David Bohm: http://www.krishnamurtiaustralia.org/images/
2006-7-5-david_bohm_bw.jpg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
John Steward Bell: http://www.phy.mtu.edu/~brpatla/bell.
jpg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
Kalzium-Atom emittiert Photonen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
Photonenpaar mit Liste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
Bell-Versuchsanordnung 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
Bell-Versuchsanordnung 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
Bell-Versuchsanordnung 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
mögliche Listen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
mögliche Listen markiert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
CHSH-Versuchsanordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
Experimentelles Ergebnis von Aspect, Grangier und Roger . . . 70
Anthony Leggett: http://gazette.gmu.edu/images/Leggett.
jpg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
Versuchsaufbau von Leggett . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
5.6
5.7
Wiener Arbeitsgruppe: ©Fakultät für Physik, Universität Wien . .
[Versuchsaufbau Wien; Abbildung des Instituts für Experimentalphysik Wien (Arbeitsgruppe Prof. Zeilinger) . . . . . . . . . . . . . .
Ausschnitt von Abb.5.2, bearbeitet von Katrin Philipp . . . . . . . .
Ausschnitt von Abb.5.2, bearbeitet von Katrin Philipp . . . . . . . .
Überprüfung von nicht-lokalen Theorien mit verborgenen
Parametern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Experimentelle Verletzung der Leggett-Ungleichung . . . . . . . . . .
Experimentelle Verletzung der CHSH-Ungleichung . . . . . . . . . .
6.1
Der Mond: http://www.astrostation.at . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
. 73
. 74
. 75
. 75
. 77
. 82
. 84
Abbildungsverzeichnis
94
Danksagung
An dieser Stelle möchte ich all jenen danken, die zum Gelingen dieser Arbeit beigetragen haben.
Der Arbeitsgruppe des Institut für Quantenoptik und Quanteninformation(IQOQI)
bestehend aus Anton Zeilinger, Simon Gröblacher, Tomasz Paterek, Časlav Brukner, Markus Aspelmeyer, Rainer Kaltenbaek und Marek Żukowski danke ich für den spannenden Einblick in die aktuelle Forschung und vor
allem das in der Arbeit behandelte Experiment. Insbesondere möchte ich Markus
Aspelmeyer hervorheben, der uns geduldig auf unsere Fragen antwortete und uns
interessante Perspektiven eröffnete.
Weiterhin möchte ich meinem Physiklehrer Horst Aussenhof danken, der mich
in der Themenwahl und im gesamten Verlauf der Erstellung der Facharbeit tatkräftig unterstützte. Er hatte immer ein offenes Ohr für Fragen und wies mich konsequent auf Irrwege und Fehler hin. In diesem Zusammenhang ist auch Matthias
Stappel zu erwähnen. Als Physikstudent ermöglichte er mir es, das Fachgebiet über
den schulischen Horizont hinaus zu betrachten. Er beantwortetete geduldig Fragen
und half mir, komplexe Zusammenhänge zu durchschauen. Ohne diese beiden wäre
die Arbeit in dieser Form nicht möglich gewesen.
Außerdem möchte ich Dr. Josef Küblbeck danken, der mein Interesse an der
Physik mehrte und mich in der Themenwahl der Arbeit weiterbrachte.
Zuletzt möchte ich der Dr. H. u. M. Gundermann Stiftung bedanken, die uns den
Aufenthalt in Wien größtenteils finanziert hat.