Ganze algebraische Zahlen -

Seminarvortrag
Ganze algebraische Zahlen
gehalten von Johannes Hölken
an der Universität Duisburg-Essen im Sommersemester 2012
im Rahmen des Seminars über Elementrare Zahlentheorie.
Kontakt: [email protected]
Stand: 27. Juni 2012
Betreuung: Philipp Hartwig, Seminarleitung: Prof. Dr. Ulrich Görtz, Philipp Hartwig
Text: A. Schmidt, Einführung in die algebraische Zahlentheorie (Springer Verlag 2007, Berlin-Heidelberg)
Motivation
Bisher haben wir über Eigenschaften von ganzen Zahlen und insbesondere von Primzahlen gesprochen. Im Vortrag über die Gauß’schen Zahlen sahen wir eine erste Verallgemeinerung des Konzepts
der ganzen Zahlen und betrachteten zum Beispiel die Primfaktorzerlegung in Z[i].
Wir wollen nun allgemeinere Ringe der Form Z[α1 , . . . , αn ] mit αi ∈ C untersuchen. Im weiteren
Verlauf des Seminars werden uns Zahlen aus solchen Ringen zum Beispiel als „ganze Zahlen“ von
Kreisteilungskörpern wieder begegnen.
Fassen wir nun die Objekte, die wir in diesem Vortrag untersuchen wollen, genauer mit der ersten
Definition 7.1 ( [Ganz] algebraische Zahl )
Eine komplexe Zahl α ∈ C heißt
... algebraisch über Q, wenn es ein normiertes Polynom
f (X) = X n + an−1 X n−1 + . . . + a1 X + a0 ∈ Q[X]
mit f (α) = 0 gibt.
... ganz (über Z) oder ganz-algebraisch, wenn es ein normiertes Polynom
f (X) = X n + an−1 X n−1 + . . . + a1 X + a0 ∈ Z[X]
mit f (α) = 0 gibt.
... transzendent, wenn α nicht algebraisch ist.
Beispiel 1 (Algebraische und ganz-algebraische Zahlen)
• Jede rationale Zahl q ∈ Q ist algebraisch über Q, denn X − q ∈ Q[X] ist normiert mit
Nullstelle q. Analog ist jede ganze Zahl z ∈ Z ganz-algebraisch.
• i ∈ C ist ganz-algebraisch, denn X 2 + 1 ∈ Z[X] ist normiert und hat Nullstelle i.
√
√
• 2 ist ganz-algebraisch, denn X 2 − 2 ∈ Z[X] ist normiert und hat Nullstelle 2.
Um zu entscheiden, ob der Begriff „ganz-algebraisch“ eine sinvolle Verallgemeinerung von unserem
aus Z ⊂ Q bekannten Ganzheitsbegriff ist, müssen wir die Frage stellen, wann eine rationale Zahl
ganz algebraisch ist. Die Verallgemeinerung kann nur dann sinnvoll sein, wenn die Begriffe auf Q
übereinstimmen. Und tatsächlich gilt der folgende
Satz 7.2 Eine rationale Zahl ist genau dann ganz-algebraisch, wenn sie ganz ist.
Beweis. Wie gesehen ist jede ganze Zahl ganz algebraisch, wir müssen uns also nur um die andere
Implikation kümmern. Sei dazu α ∈ Q \ Z, dann gibt es p ∈ Z und q ∈ N1 mit α = pq . Insbesondere
können wir ohne Einschränkung p und q so wählen, dass p und q Teilerfremd sind (sonst kürze den
Bruch). Angenommen es gäbe ein normiertes Polynom
f (X) = X n + an−1 X n−1 + . . . + a1 X + a0 ∈ Z[X]
1
Beachte N 6= N0 := N ∪{0}.
1
mit f (α) = 0, dann erhielten wir durch Multiplizieren mit q n
n−1
n
p
p
p
+ a0 = 0
+ an−1
+ . . . + a1
f (q) = 0 ⇔
q
q
q
⇔ pn + pn−1 qan1 + . . . + pq n−1 a1 + q n a0 = 0
also wäre pn durch q teilbar. Das ist ein Widerspruch zur Teilerfremdheit von p und q.
Folgerung 7.3
√
2
2 ist irrational.
√
√
Beweis. Wir haben bereits
gesehen,
dass
2
ganz-algebraisch
ist.
Angenommen
2 wäre eine ratio√
nale Zahl, dann wäre 2 ∈ Z nach Satz 7.2. Das ist offensichtlich falsch.
2
Wir wollen den Zusammenhang von algebraischen und ganz-algebraischen Zahlen noch genauer studieren. Wir wissen, dass es für jede rationale zahl α ∈ Q eine natürliche Zahl n ∈ N gibt, so dass
nq ∈ Z ist. Heraus erhalten wir die folgende Charakterisierung
Lemma 7.4 Eine komplexe Zahl α ∈ C ist genau dann algebraisch, wenn es eine natürliche Zahl
m ∈ N so gibt, dass mα ganz-algebraisch ist.
Beweis. Sei α ∈ C algebraisch, dann gibt es ein Polynom
f (X) = X n + an−1 X n−1 + . . . + a1 X + a0 ∈ Q[X]
mit f (α) = 0. Wähle nun eine natürliche Zahl m ∈ N groß genug, so dass mai ∈ Z für alle
i = 0, . . . , n − 1 gilt. Damit gilt
(mα)n + m an−1 (mα)n−1 + . . . + mn a0 = 0
wir haben also ein normiertes Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten und Nullstelle mα gefunden.
Dass heißt aber gerade, dass mα ganz algebraisch ist. Der Umgekehrte Schluss zeigt, dass aus mα ist
ganz-algebraisch stets folgt, dass α algebraisch ist.
2
Definition und Lemma 7.5 Sei n ∈ N. Für das n-Tupel natürlicher Zahlen i = (i1 , . . . , in ) setzen
wir |i| := i1 + . . . + in sowie die Kurzschreibweisen
ai := ai1 ,...,in
X i := X1i1 · · · Xnin
und
Seien α1 , . . . , αn ∈ C komplexe Zahlen, dann setzen wir
Z[α1 , . . . , αn ] :=
d
n X
o
ai αi d ∈ N ∧ai ∈ Z
|i|=0
und sagen Z adjungiert α1 , . . . , αn . Die Menge Z[α1 , . . . , αn ] ist ein Ring.
2
Beweis. Betrachte den Evaluationshomomorphismus
ev : Z[X1 , . . . , Xn ] → C
7→ αi
Xi
Nach dem Homomorphiesatz ist Im(ev) ⊂ C ein Unterring.
Behauptung Im(ev) = Z[α1 , . . . , αn ]
Die Inklusion „⊆“ ist klar. Für die andere Richtung sei
f =
d
X
ai αi ∈ Z[α1 , . . . , αn ]
|i|=0
dann ist
f˜ :=
d
X
ai X i ∈ Z[X1 , . . . , Xn ]
|i|=0
2
ein Urbild von f unter ev, damit ist f ∈ Im(ev).
Beispiel 2 Wir kennen bereits den Ring der Gaußschen Zahlen Z[i] = { a + ib | a, b ∈ Z }. Es gilt
d
X
n
an i
=
n=0
=
d
X
2
an i
n
2
+
d
X
n=0
n=1
2|n
2-n
d
X
an − 1
an i i2
d
X
n
+i ·
}
|
2
n=0
2
n−1
an − 1 2
n=1
2-n
2|n
|
n−1
{z
∈Z
{z
∈Z
}
Damit passt unsere Definition tatsächlich auf den bekannten Ring Z[i].
Das im Beispiel entdeckte Phänomen gilt noch allgemeiner. Dies zeigt der folgende
Satz 7.6 Seien α1 , . . . , αn ∈ C, dann gilt: (Z[α1 , . . . , αn ], +) ist genau dann eine endlich erzeugte
abelsche Gruppe, wenn α1 , . . . , αn ganz-algebraisch sind.
Beweis. Seien α1 , . . . , αn ganz-algebraisch, dann gibt es für i = 1, . . . , n normierte Polynome
fi (X) = X di +
dX
i −1
ai,j X j ∈ Z[X]
j=0
mit fi (αi ) = 0. Es gilt
fi (αi ) = 0 ⇔
αidi
+
dX
i −1
ai,j αij = 0
j=0
⇔
αidi
= −
dX
i −1
j=0
3
ai,j αij
für alle i = 1, . . . , n. Wir können also erreichen, dass in den beliebigen endlichen Summen, von denen
Z[αi , . . . , αn ] nach Definition 7.5 erzeugt wird, jedes αi höchstens in der Potenz di − 1 vorkommt.
Dann ist aber Z[αi , . . . , αn ] als abelsche Gruppe bereits von den Elementen
e1
α1 · · · αnen 0 ≤ ei ≤ di − 1
erzeugt.
Sei nun (Z[α1 , . . . , αn ], +) endlich erzeugt. Für alle j = 1, . . . , n ist auch
Z[αj ] ⊂ Z[α1 , . . . , αn ]
endlich erzeugt, denn aus dem letzten Vortrag wissen wir: Jede Untergruppe einer endlich erzeugten
abelschen Gruppe ist selbst endlich erzeugt. Wähle nun ein α := αj fest aus, dann gibt es ein endliches
Erzeugendensystem
E =
dj
nX
o
⊂ Z[α]
ai,j αi dj ∈ N ∧ j = 1 . . . N
i=0
Setze nun n := max{d1 , . . . , dN }. Dann ist auch
E 0 = 1, α, α2 , . . . , αn−1 }
ein Erzeugendensystem von Z[α], also gibt es ganze Zahlen a0 , . . . , an−1 ∈ Z mit
αn = −an−1 αn−1 − . . . − a1 α − a0 ⇔ 0 = αn + an−1 αn−1 + . . . + a1 α + a0
Dann ist aber f (X) = X n + an−1 X n−1 + . . . + a0 ∈ Z[X] ein normiertes Polynom mit Nullstelle
α und damit ist α ganz-algebraisch.
2
Definition und Folgerung 7.7 (Ring der ganz-algebraischen und Körper der algebraischen Zahlen)
(i) Die Menge der ganz-algebraischen Zahlen O ⊂ C über Z ist ein Ring.
(ii) Die Menge der algebraischen Zahlen Q ⊂ C über Q ist ein Körper.
Beweis. Für Teil (i) müssen wir zeigen, dass je die Summe und das Produkt zweier ganz-algebraischen
Zahlen wieder eine ganz-algebraische Zahl ist. Seien also α, β ∈ O ganz-algebraisch, dann ist Z[α, β]
nach Satz 7.6 endlich erzeugt. Da Z[α, β] nach Lemma 7.5 ein Ring ist gilt α + β ∈ Z[α, β]. Damit
ist Z[α + β] als Untergruppe der endlich erzeugten abelschen Gruppe Z[α, β] endlich erzeugt. Nach
Satz 7.6 ist α + β dann ganz-algebraisch. Der Nachweis für das Produkt zweier ganzer Zahlen erfolgt
ganz analog.
Für Teil (ii) müssen wir nicht nur, wie oben, zeigen, dass Produkt und Summe zweier algebraischer
Zahlen wieder algebraisch sind, sondern auch, dass das Inverse einer algebraischen Zahl ungleichh
Null wieder eine algebraische Zahl ist. Seien nun α, β ∈ Q algebraisch, dann gibt es nach Lemma 7.4
natürliche Zahlen a, b ∈ N so dass aα und bβ ganz-algebraisch sind. Natürlich sind dann auch abα
und abβ ganz-algebraisch. Nach Teil (i) sind dann abα + abβ = ab(α + β) und aα · bβ = ab(αβ)
ganz-algebraisch. Mit Lemma 7.4 sind damit α + β und αβ algebraisch.
Sei nun α ∈ Q\{0}, dann gibt es ein normiertes Polynom
f (X) = X n + an−1 X n−1 + . . . + a1 X + a0 ∈ Q[X]
4
mit f (α) = 0. Ohne Einschränkung sei a0 6= 0 (sonst teile genügend oft durch X). Dann gilt
f (α)
= 0 ⇔
ao αn
1 n
an−1 1 1
+
·
+ ... +
= 0
a0
a
α
α
|{z}
| {z0 }
=: b0
=: b1
und
g(X) := X n + bn−1 X n−1 + . . . + b1 X + b0 ∈ Q[X]
ist ein normiertes Polynom mit g( α1 ) = 0 also ist
1
α
algebraisch.
2
Anmerkung
Es gibt kein Polynom f ∈ Q[X] mit f (π) = 0, also ist π transzendent. Wegen π ∈ C
√
/ Q sind die Inklusionen
und 2 ∈
Q ( Q ( C
echt.
Definition und Satz 7.8 Sei α ∈ C. Es gelten
• Ist α Nullstelle eines normierten Polynoms f ∈ O[X], so ist α ∈ O
• Ist α Nullstelle eines normierten Polynoms f ∈ Q[X], so ist α ∈ Q
Wir sagen O ist ganz abgeschlossen und Q ist algebraisch abgeschlossen.
Beweis. Sei α eine Nullstelle von
f (X) = X n + an−1 X n−1 + . . . + a1 X + a0 ∈ O[X]
dann ist Z[α, a0 , . . . , an−1 ] als abelsche Gruppe endlich erzeugt, denn wegen
f (α) = 0 ⇔ αn = −an−1 αn−1 − . . . − a1 α − a0
können wir die gleiche Argumentation wie im Beweis von Satz 7.6 anwenden. Aus eben diesem Satz
folgt dann auch die Behauptung.
Sei nun α eine Nullstelle von
f (X) = X n + an−1 X n−1 + . . . + a1 X + a0 ∈ Q[X]
Dann gibt es nach Lemma 7.4 natürliche Zahlen mi ∈ N so dass mi · ai ∈ O für alle i = 0, . . . , n − 1.
Setze m := max{mi |i = 0, . . . , n − 1}, dann ist mf ∈ O[X] und
mf (α) = mαn + man−1 αn−1 + . . . + ma1 α + ma0
= 0
aber das Polynom mf ist nicht normiert. Betrachte daher mn f ∈ O[X], dann gilt
0 = mn f (α) = mn αn + mn an−1 αn−1 + . . . + mn a1 α + mn a0
= (mα)n + man−1 (mα)n−1 + . . . + mn−1 a1 (mα) + mn a0
also ist mα Nullstelle eines normierten Polynoms mit ganz-algebraischen Koeffizienten, also nach
dem bereits bekannten Teil selbst ganz-algebraisch. Schließlich ist α nach Lemma 7.4 algebraisch.
2
5
Definition 7.9 (Minimalpolynom von α)
Sei α ∈ C algebraisch über Q. Ein Polynom fα ∈ Q[X] heißt Minimalpolynom von α, falls die
folgenden Bedingungen gelten:
(1) fα ist normiert, das heißt der höchste Koeffizient ist 1.
(2) α ist eine Nullstelle von fα , also fα (α) = 0.
(3) Für alle f ∈ Q[X] die die Eigenschaft (2) erfüllen gilt deg(fα ) ≤ deg(f ).
Anmerkung Nach dieser Definition ist sofort klar, dass zu jedem α mindestens ein Minimalpolynom
fα existiert, denn α ist genau dann algebraisch, wenn ein Polynom existiert, dass die Bedingungen (1)
und (2) erfüllt. Genaueres über Minimalpolynome zeigt der nächste
Satz 7.10 Sei α ∈ C algebraisch über Q, dann gelten
(i) Das Minimalpolynom fα von α ist eindeutig bestimmt.
(ii) Das Minimalpolynom fα von α ist irreduzibel.
(iii) Das Minimalpolynom fα von α teilt jedes Polynom g ∈ Q[X] mit g(α) = 0.
Beweis. Seien fα ∈ Q[X] ein Minimalpolynom von α und g ∈ Q[X] ein weiteres Polynom, dass
die Eigenschaft g(α) = 0 erfüllt. Sei weiter h ∈ Q[X] ein größter gemeinsamer Teiler von fα und g.
Dann gibt es ϕ, ψ ∈ Q[X] mit h = ϕfα + ψg also ist
h(α) = ϕ(α) · fα (α) + ψ(α) · g(α) = 0
Nach Voraussetzung hat fα unter allen Polynomen, die α als Nullstelle haben, minimalen Grad. Damit
gibt es ein q ∈ Q mit f = qh, also f =h.
ˆ
Da g ein beliebiges Polynom mit der Eigenschaft g(α) = 0 war, ist fα ein größter gemeinsamer Teiler
von allen Polynomen mit dieser Eigenschaft, also folgt Teil (iii).
Für die erste Aussage nimm an, dass auch g normiert sei und minimalen Grad habe, dann gilt
f =
ˆ h=
ˆ g
Es gibt also ein q 0 ∈ Q, so dass f = qg aber der höchste Koeffizient von Beiden Polynomen ist 1, also
müssen die Polynome gleich sein.
Für den Nachweis von (ii) nimm an, dass fα nicht irreduzibel sei. Dann gäbe es Polynome k, r ∈ Q[X]
mit deg(k), deg(r) > 0 und fα = k ·r. Da aber α eine Nullstelle des Minimalpolynoms fα ist, müsste
auch k(α) = 0 oder r(α) = 0 gelten. Dies Widerspräche aber der Bedingung, dass f minimalen Grad
unter allen Polynomen mit dieser Eigenschaft haben soll.
2
Abschließend wollen wir überlegen, was wir über Minimalpolynomen von ganz-algebraischen Zahlen
sagen können. Dafür benötigen wir zunächst ein allgemeineres Ergebnis:
Lemma 7.11 Sei f ∈ Z[X] ein normiertes Polynom. Sei
f = p1 · · · pn
seine Zerlegung in nicht notwendig verschiedene aber normierte Primpolynome aus Q[X]. Dann haben alle Primpolynome pi bereits ganzzahlige Koeffizienten, liegen also in Z[X].
6
Beweis. Wir zeigen zunächst eine noch allgemeinere Aussage
Behauptung Seien f, g ∈ Q[X] normierte Polynome. Gilt f g ∈ Z[X] so sind bereits f, g ∈ Z[X].
Beweis. Seien
f (X) = X n +
n−1
X
ai X i
und
m−1
X
g(X) = X m +
i=0
bi X i
i=0
Seien nun M, N ∈ N die kleinste Natürliche Zahl, mit der Eigenschaft N f, M g ∈ Z[X], dann setze
Ai := N · ai
für alle i = 0, . . . , n − 1
und Bj analog. Es gilt
M N f g = An Bn X n+m + (An Bm−1 + An−1 Bm )X n+m−1 + . . . + A0 B0
Nach Voraussetzung ist f g ∈ Z[X], also sind alle Koeffizienten auf der linken, und damit auch auf der
rechten Seite, der Gleichung durch N M teilbar. Angenommen N M > 1, dann gibt es eine Primzahl
p ∈ Z, die M N teilt. Da p eine Primzahl ist, ist
Z [X] = Fp [X]
pZ
ein Polynomring über einem Körper und als solcher Nullteilerfrei. Da M N von p geteilt wird, ist
(N f ) (M g) = (N f )(M g) = M N f g = 0
also muss bereits N f = 0 oder M g = 0 gelten. Ohne Einschränkung gelte N f = 0, dann werden
alle Ai von p geteilt. Da f normiert ist, wird also insbesondere An = N · an = N von p geteilt. das
heißt es gibt ein N 0 ∈ N mit N = p · N 0 und N 0 < N . Weiter erfüllt N 0 die Eigenschaft N 0 f ∈ Z[X].
Da N aber als minimal mit dieser Eigenschaft gewählt wurde, muss es ein Aj geben, dass nicht von p
geteilt wird. Dies ist offensichtlich Widersprüchlich.
Aus dieser Behauptung folgt die Aussage des Lemmas mit einer einfachen Induktion.
2
Satz 7.12 Ist α ∈ O eine ganz-algebraische Zahl, dann hat das Minimalpolynom fα ganzzahlige
Koeffizienten, also fα ∈ Z[X].
Beweis. Per Definition gibt es ein normiertes Polynom f ∈ Z[X] mit f (α) = 0. Nach Teil Satz 7.10
(iii) wird f von fα geteilt. Nach Teil (ii) des selben Satzes ist fα ein Primpolynom. Also ein Faktor in
der Primzerlegung von f . Mit Lemma 7.11 folgt dann die Behauptung.
2
/·
·O
·O
·
·O
·O 3
·
·
·
·
/·
7
O
33
33
33
33
33
33
33
33
33
33