h=1 F p 1/p (Resultat) C A B rechter Winkel zwischen den grünen

Lösungen zu Übung (2)
1. (a) Wir können bereits ein Dreieck zu einem Parallelogramm ergänzen (mit Zirkel und Lineal!), das dann
offenbar den doppelten Flächeninhalt besitzt. Nun können wir eines der beiden Seitenpaare gleicher Länge
halbieren und haben ein Parallelogramm, dessen Flächeninhalt der des Dreiecks ist. (Führen wir das mit
beiden Paaren gegenüberliegender Seiten aus, so haben wir bereits zwei Möglichkeiten, man sieht natürlich
noch viel mehr, etwa können wir eine Seitenlänge vervierfachen und die andere auf ein Achtel kürzen.)
(b) Die Strecke der Länge 1 (LE) wird als Höhe mit Endpunkten C und F (für ’Fußpunkt’) eines rechtwinkligen
Dreiecks genommen, dazu in F rechtwinklig eine Strecke der Länge p angesetzt, mit Endpunkten A und
F . Dann wird an der Strecke AC in C ein rechter Winkel angetragen und der neue Schenkel mit der
Geraden durch A und F geschnitten, Schnittpunkt B. Die Strecke F B hat die Länge 1/p (LE), aufgrund
des Höhensatzes. Hier ist noch ein illustrierendes Bild - es macht natürlich nichts, wenn Sie die Strecke der
Länge p nach rechts gezeichnet haben, nur liegt dann A rechts und B links, so dass man nicht mehr die
übliche Bezeichnung im Dreieck hat:
rechter Winkel zwischen den grünen
Schenkeln
C
h=1
A
p
1/p (Resultat)
F
B
(c) Der gegebene Halbkreis mit Radius r > 0 hat den Flächeninhalt F = 12 πr2 . Wir suchen daher einen Radius
s > 0, so dass gilt:
1 2
πr = πs2 .
2
Die einzige positive Lösung dieser Gleichung ist offenbar
1
1√
s= √ r=
2r.
2
2
Nun ist die Frage, ob man zu gegebener Streckenlänge r diese Strecke s auch mit Zirkel und Lineal konstruieren kann. Das ist aber ganz einfach: Ein Quadrat mit Diagonalenlänge r hat die Seitenlänge s. Wir müssen
also nur an die Strecke der Länge r beidseitig 450 − Winkel ansetzen und die freien Schenkel miteinander
schneiden, dann haben wir die gesuchte Seitenlänge.
2. Mit F wird der Flächeninhalt des Dreiecks bezeichnet. Die Seitenlängen sind nach Voraussetzung > 0, so dass
die Division und die Quotienten sinnvoll sind:
F
=
sin (γ)
c
=
1
1
1
ab sin γ = bc sin α = ac sin (β) , also nach Division durch abc:
2
2
2
sin (α)
sin (β)
=
.
a
b
1
3. (a) Beispiele: Vereinigen Sie zwei Rechtecke (die sind konvex) zu einem ’L’, oder einen Kreis, der ein Quadrat
nicht vollständig verdeckt, mit diesem Quadrat, usw. Achtung: Hier ist zu präzisieren, dass stets die gesamten Flächen gemeint sind und nicht etwa die Randkurven - diese sind natürlich nicht konvex (ob die
Flächen mit Rand oder ohne genommen werden, ist für diese Aufgabe ohne Belang).
(b) Das Komplement einer Halbebene ist offenbar wieder eine solche (nur die eine offen, die andere mit der
begrenzenden Geraden abgeschlossen). Aber das ist ein seltener Sonderfall: Das Komplement einer Kreisfläche mit Radius > 0 ist offenbar nicht konvex, ’Quadratfläche’ tut es ebenso. Zeichnen Sie Punkte ein,
deren Verbindungsstrecke nicht in der (Komplement-)Menge bleibt!
(c) Seien M, N konvexe Mengen, seien P, Q ∈ M ∩ N. Dann ist P Q ⊂ M, N, weil M und N konvex sind, daher
P Q ∈ M ∩ N, was zu zeigen war.
(d) Selbstverständlich ist die leere Punktmenge konvex: Dazu muss nur gelten:
P, Q ∈ ∅ =⇒ P Q ⊂ ∅.
Diese Aussage ist aber stets wahr, weil der Vordersatz immer falsch ist. Eine weniger ’rein logische’ Begründung wäre damit zu geben, dass Halbebenen leeren Durchschnitt haben können. Wir wissen aber, dass
Halbebenen konvex sind und dass Durchschnitte konvexer Mengen wieder konvex sind (Vorlesung und c).
(e) Es seien g, h zwei parallele Geraden, g ∩ h = ∅. Es seien P = Q zwei verschiedene Punkte auf g, R = S zwei
verschiedene Punkte auf h.
i. Die Menge P QR+ ∩RSP + ist der Streifen zwischen den Geraden g und h, einschließlich dieser Geraden.
ii. Die Menge P QR− ∪ RSP − ist der Bereich (beidseitig!) außerhalb des Streifens aus a, abgesehen von
den wiederum eingeschlossenen Geraden g, h.
(f) Die bezeichnete Menge, zum besseren Verständnis ist sie hier noch einmal aufgezeichnet:
T
Q
S
R
P
,
lässt sich in der gewünschten Weise so darstellen:
F = P QR+ ∩ P RQ+ ∩ RQP + ∪ RST + ∩ ST R+ ∩ T RS + .
(g) Die konvexe Hülle der Menge {P, Q, R} kann sein:
(i) {P }, wenn P = Q = R, (Dieser Fall ist in (ii) tatsächlich bereits enthalten!)
(ii) P Q, wenn R ∈ P Q, analog QR, wenn P ∈ QR, schließlich P R, wenn Q ∈ P R
(iii) die gesamte Fläche des Dreiecks P QR einschließlich des Randes.
2
Kurz zusammengefasst also: Es kann eine Strecke (eventuell auch der Länge Null) oder eine Dreiecksfläche
mit Rand resultieren.
4. (a) Zunächst zur Zusatzfrage (die dient dazu, dass man sich an den Begriff ’Konstruktion mit Zirkel und Lineal’
genauer erinnert): Man darf nur mit dem Lineal gerade Strecken ziehen durch zwei verschiedene Punkte,
die bereits gegeben sind oder konstruiert, ferner mit dem Zirkel einen Kreis um einen bereits gegebenen
oder konstruierten Punkt schlagen, mit einem Radius, der ebenfalls bereits gegeben oder konstruiert ist,
schließlich Geraden zum Schnitt bringen oder eine Gerade mit einem Kreis oder Kreise miteinander schneiden. Das Lineal so zu drehen, bis man eine Tangente zu erkennen glaubt, gehört offenbar nicht dazu letzteres Verfahren ist prinzipiell ungenau, während die erlaubten Operationen bei Idealisierung von Zirkel
und Lineal präzise sind.
Nun die mit den Hinweisen einfache Konstruktion: Man verbindet mit einem Halbkreis (’Thales’-Halbkreis!)
um den Mittelpunkt der Strecke MP (dessen Konstruktion bereits bekannt ist) die Punkte M und P. Der
Schnittpunkt dieses Halbkreises mit der gegebenen Kreiskurve ist der gesuchte Berührungspunkt. Hier ein
illustrierendes Bild:
Tangente
S
senkrecht
M zur
Tangente
P
(b) Betrachten Sie das Bild: Kreiskurve mit einer Tangente. Das ist offenbar spiegelsymmetrisch zu der Geraden
durch den Berührpunkt und den Kreismittelpunkt. Daher muss der Winkel zwischen dieser Geraden und
der Tangente ein rechter sein.
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