Die Newtonschen Axiome der Mechanik

Die Newtonschen Axiome der Mechanik
• Grundprinzipien, auf denen die klassische Mechanik aufbaut.
• Kein Ergebnis reinen Denkens, sondern an der Erfahrung orientiert.
Erstes Newtonsches Axiom, Trägheitsprinzip
Ein Körper bleibt in Ruhe oder bewegt sich mit konstanter
Geschwindigkeit weiter, wenn keine resultierende äußere Kraft auf ihn
einwirkt. Dabei ist die resultierende Kraft die Vektorsumme aller an dem
Körper angreifenden Kräfte.
Alltagserfahrung?
• Ohne wirkende Kraft bewegen sich Körper nicht.
Die Geschwindigkeit eines bewegten Körpers scheint doch ein Maß für
die Größe der wirkenden Kraft zu sein
Galilei: Irrtum!
• Die scheinbar zur Aufrechterhaltung der gleichförmigen Bewegung
notwendige Kraft ist in Wirklichkeit nur dazu nötig die Reibungskräfte und
den Luftwiderstand auszugleichen.
Beispiel: Ein Eishockey-Puck gleitet auf einer rauen Straße weniger weit als
auf einer Eisfläche.
Geschwindigkeit eines Körpers ist kein Maß für die Größe der wirkenden Kraft!
Zweites Newtonsches Axiom, Aktionsprinzip
r
Um einer Masse die Beschleunigung zu erteilen, ist eine Kraft F
erforderlich, die gleich dem Produkt aus der Masse m und der
r
Beschleunigung a ist.
Sonderfall: Trägheitsprinzip
Das zweite Newtonsche Axiom definiert die Kraft, wobei die Masse eine
Basisgröße ist.
Übereinstimmung mit unserer Intuition:
• Die Beschleunigung eines Fahrrades ist umso größer, je mehr Muskelkraft
aufgewendet wird.
• Die durch Muskelkraft erreichte Beschleunigung des Fahrrades ist umso
geringer, je schwerer das Rad beladen ist.
Newton Formulierung:
Wenn eine Kraft auf einen Körper wirkt, so ändert sich
r
r
r
r
r
sein Impuls p.
dv d (mv ) dp
r
F = ma = m
dt
=
dt
=
dt
Übung
Ein Teilchen der Masse m = 0,4 kg sei den beiden Kräften
r
r
r
r
r
r
F1 = 2 Ne x − 4 Ne y und F2 = −2,6 Ne x + 5 Ne y ausgesetzt. Wo befindet
sich das Teilchen bei t = 1,6s , und welche Geschwindigkeit besitzt es
dann, wenn das Teilchen zum Zeitpunkt t = 0 im Ursprung aus der Ruhe
heraus startet?
Lösung
r
r
r
r
r
FR = (2 − 2,6) Ne x + (−4 + 5) Ne y = (−0,6) Ne x + 1Ne y
r
1m r
mr
mr
r F − 0,6m r
a= =
e
+
e
=
−
1
,
5
e
+
2
,
5
e
x
2
2 y
2 x
2 y
m 0,4s
0,4s
s
s
1
mr
mr 
r 1r
r
r
s = at 2 =  − 1,5 2 e x + 2,5 2 e y (1,6s) 2 = −1,92me x + 3,2me y
2
2
s
s

mr
mr 
mr
mr
r r 
v = at =  − 1,5 2 e x + 2,5 2 e y 1,6s = −2,4 e x + 4 e y
s
s
s
s


Drittes Newtonsches Axiom, Reaktionsprinzip,
Wechselwirkungsgesetz
Kräfte treten immer paarweise auf. Wenn Körper A eine Kraft auf den
Körper B ausübt, so wirkt eine gleich große, aber entgegengesetzt
gerichtete Kraft von Körper B auf den Körper A.
Beispiele
• Bei dem Tiefstart eines 100 m Läufers wird das Prinzip von Kraft und
Gegenkraft ausgenutzt.
• Auf einer glatten Eisfläche kann man sich schlecht vorwärts bewegen.
• Bewegung eines Schiffes mit Hilfe einer Schraube.
• Kreisbewegung: Schleuderball und Schleifstein
Zentripetalkraft
Gegenkraft
Abgelöste Teilchen
fliegen in Richtung
der Tangente weg.
Übung
Ein Traktor zieht einen Wagen. Er übt also eine Kraft auf den Wagen aus.
Reaktionsprinzip: Eine Gegenkraft der gleichen Größe und der entgegen
gesetzten Richtung übt der Wagen auf den Traktor aus. Bewirken diese
Kräfte die Bewegung? Wann und wieso bewegen sich Traktor und Wagen?
Lösung
r
FTaufW
r
FWaufT
r
FR
r
FBoden auf Traktor
Merke:
Kraft und Gegenkraft greifen immer an verschiedenen Körpern an, sie
können sich niemals gegenseitig aufheben.
Nicht verwechseln:
Zwei gleich große entgegen gesetzt gerichtete Kräfte, die an einem
Körper angreifen heben sich gegenseitig auf. Solche Kräfte werden als
Kraft und Kompensationskraft bezeichnet.
Kraft und Gegenkraft
r
− FN
Tisch auf Körper
r
FN
r
FG
Erde auf Körper
Körper auf Tisch
r
− FG
Kraft und Kompensationskraft
r
− FN
r
FG
Körper auf Erde
Die Gewichtskraft wird
durch die Kraft, die der
Tisch auf den Körper
ausübt kompensiert.
r r
r
∑ F = FG − FN = 0