Handout Dunkle Energie

Handout
Dunkle Energie
J ASPER G EIPEL
Hauptseminar Schlüsselexperimente der Teilchenphysik
10. Juni 2010
Inhaltsverzeichnis
1
Einleitung
3
2
Theorie/ART/Friedmann Gleichungen
3
3
Entdeckung der beschleunigten Expansion-Bestimmung der Energiedichten
6
4
Kandidaten
10
5
Fazit
10
6
Quellen
11
2
1 Einleitung
Im Jahr 1916 findet Albert Einstein mit seinen Gleichungen der Allgemeinen Relativitätstheorie Formeln
die die Struktur des Universums beschreiben. Er ging damals noch von einem statischen Universum aus
und führte daher die kosmologische Konstante Λ ein, deren antigravitative Wirkung die Schwerkraft ausgleichen sollte. Edwin Hubble entdeckt 1929 durch Beobachtung der Rotverschiebung von Galxien, dass
das Universum expandiert! (Eigentlich Lemaı̂tre bereits 1927.) Zudem formuliert er den linearen Zusammenhang zwischen zwischen Abstand und Fluchtgeschwindigkeit. Es gilt die Hubble Relation: v = H0 · r
Zudem postuliert Fritz Zwicky 1933 die Dunkle Materie. Man ging damals also von einem stark Materiedominiertem Universum aus. Da die Gravitation num einmal der Expansion entgegensteht, würde man
erwarten, dass sich die Expansion abbremst. Im Jahr 1998 weisen zwei Forscherteams unter der Leitung
von Saul Perlmutter und Adam Riess durch Beobachtung von Supernovae Typ 1a die beschleunigte Expansion nach. Eine Sensation, lässt sie doch auf die Existenz einer unbekannten, dunklen Energie schließen.
2 Theorie/ART/Friedmann Gleichungen
Die Einstein-Feldgleichungen beschreiben die Struktur des Universums. Insbesondere legen sie die Metrik
des Universums fest.
8πG
Gµν = 4 Tµν
c
R
Gµν = Rµν − gµν + Λgµν
2
wobei Gµν der Einstein Tensor ist, in den die kosmologische Konstante eingeht und der die Krümmung der
Raumzeit beschreibt. Tµν ist der Energie-Impuls Tensor. Dieser beschreibt den Zustand der Materie. Der
einfachsten Fall ist die komplette Abwesenheit von Materie.→ Gµν = 0 Die Gravitation wird geometrisch
gedeutet: Die Geometrie sagt der Materie, wie sie sich bewegen soll, und die Materie diktiert der Geometrie wie sie sich zu krümmen hat. Die Objekte im universum bewegen sich auf gekrümmten Geodäten.
Die Einstein-Feldgleichungen umfassen 16 Gleichungen wobei aufgrund der Symmetrie der involvierten
Tenosoren nur zehn davon unabhängig sind. Die Gleichungen sind nichtlinear, die Lösungen daher nicht
superpositonierbar. Die Friedmann-Lemaı̂tre-Robertson-Walker (FLRW) Metrik ist eine exakte Lösung der
einsteinschen Feldgleichungen und beschreibt eine homogene, isotrope Expansion des Universums bzw.
Zusammenziehen des Universums. Es gilt:
ds2 = gµν dx µ dxµ
ds2 = c2 dt2 − a2 (t)[
dr2
+ r2 (dθ 2 + sin2 θdφ2 )]
1 − kr2
Diese Metrik ist eine Erweiterung der Minkowski-Metrik und beschreibt das Raum-Zeit-Gebilde und
Berücksichtigung der Krümmung und der Expansion/Kontraktion. Für ein flaches Universum, daher
k = 1 und einen konstanten Skalen-Faktor a(t) = 1 geht die FLRW-Metrik direkt in die MinkowskiMetrik über. Setzt man diese Metrik nun wieder in die Gleichungen der allgemeinen Relativitätstheorie
ein und verwendet man das kosmologische Prinzip erhält man die Friedmann Gleichungen(Alexandr A.
Friedmann 1922). Das kosmologische Prinzip besagt, dass unser Universum auf großen Skalen homogen
und isotrop ist. Die Friedmann-Gleichungen bestimmen den zeitlichen Verlauf des Skalenfaktors a(t) und
machen je nach Energiegehalt Aussagen über die Kontraktion bzw Expansion des Universums.
H ( t )2 =
ȧ 2
8πG
kc2
Λc2
=
ρ− 2 +
a
3
3
a
4πG
3p
Λc2
ä
=−
· (ρ − 2 ) +
a
3
3
c
Herleitung der ersten Friedmann-Gleichung auf klassische Art: Man betrachte eine Masse mit einer Massenschale:
1
GmM
E = mv2 −
2
r
Ḣ + H 2 =
3
mit
v = H·r
M=
und
4πρr3
3
folgt
8πGρ
2E
1
+
· 2
3
m · konst a
Bestimmen möchten wir aber eigentlich den zeitlichen Verlauf des Skalenfaktors a(t). Derzeit haben wir
2 Gleichungen und drei unbekannte: a(t),ρ,p. Wir verwenden daher zusätzlich die Zustandsgleichungen
die p und ρ verknüpft. Es gilt:
p = w·ρ
H2 =
mit
• w λ = −1
• wM = 0
• w R = 1/3
Zudem verwenden wir den relativistischen Energieerhaltungssatz der besagt: Die Änderung der Energie
in einem mitbewegten Volumenelement ist gleich dem negativen Druck mal der Volumenänderung. Er
lässt sich durch differenzieren der ersten Friedmann-Gleichung und einsetzen in die zweite Gleichung
herleiten. Es gilt:
d(ρa3 ) = − pdρa3
Nun setzen wir die Zustandsgleichung ein und differenzieren.
dρ 3
a + ρa3 da = −wρ3a2 da
ρ
da
dρ
= −3( w + 1)
ρ
a
ρ = ρ 0 a −3( w +1)
Daraus folgt:
• ρΛ ∝ konst Gilt natürlich nur für w = −1 und w = konst!
• ρM ∝ a−3
• ρ R ∝ a −4
Berechnen wir schließlich die Zeitabhängigkeit des Skalenfaktors. Dafür nehmen wir an, dass wir uns in
einem flachen universum befinden, daher k = 1: Die erste Friedmanngleichung wird zu:
H ( t )2 =
8πG
ρ
3
ersetzen wir nun ρ:
−3( w +1)
ȧ
∝a 2
a
ȧ ∝ a−
3w − 1
2
2
Wir führen nun eine Variablenseparation durch:
a
3w + 1
2
2
da ∝ dt
3
t ∝ a 2 ( w +1)
2
1
a ∝ t 3 w +1
Daraus schließen wir:
4
2
• aM ∝ t 3
1
• aS ∝ t 2
Für ρΛ kann man natürlich nicht einfach w = −1 einsetzen, da man ansonsten durch Null teilen würde.
Wir wissen aber dass ρΛ konstant ist und können sofort schreiben.
ȧ
H = konst = H0 = =
a
r
8πG
ρ
3 Λ
→ a ∝ e H0 ·t
Durch Wahl geeigneter Parameter können wir die erste Gleichung noch umschreiben in:
H (t)2 = H02 [Ω R a−4 + Ω M a−3 + Ωk a−2 + ΩΛ a−3(1+w) ]
mit a(t0 ) = 1 folgt:
Ω R + Ω M + Ωk + ΩΛ = 1
wobei Ω X =
ρX
ρC ,
ρC =
3H02
8πG ,
ΩΛ =
Λ
3H0 ,
ΩK =
kc2
.
− H02
Die Ω X sind dabei die auf die kritische Dichte
normierten Energiedichten. Die kritische Dichte ist genau die Dichte für die das Universum flach ist. Wir
definieren: Ω0 = Ω R + Ω M + Ωk + ΩΛ Je nach k haben wir nun zudem verschiedene Geometrien:
• für k = +1 → Ω0 < 1 Wir haben hier eine elliptisches oder sphärisches Geometrie: Ein Universum
mit dies Geometrie wäre geschlossen, unbegrenzt, hat jedoch endliches Volumen. Eine mögliche Manifestation dieses Typs ist das Dodekaeder-Universum postuliert von Luminet et al. (2003), welches
noch nicht abschließend ausgeschlossen werden kann.
• für k = 0 → Ω0 = 1 und Ω0 entspricht genau der kritischen Dichte. Dieses Universum ist flach und
entweder offen/unendlich oder geschlossen/endlich. Es gilt daher die euklidische Geometrie.(Winkelsumme=180◦ ) Dieses Euklidische Universum entspricht dem derzeitigen Konsensmodell der Kosmologie (Λ CDM-Modell).
• für k = −1 → Ω0 > 1 Es handelt sich hierbei um eine hyperbolische Geometrie. Ein Universum mit
dieser Geometrie ist ebenfalls entweder offen/unendlich oder geschlossen/endlich.Eine mögliche
Manifestation dieses Typs ist das Horn-Universum, postuliert von Aurich et al. (2004), welches noch
nicht abschließend ausgeschlossen werden kann.
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Abbildung 1: Friedmann-Weltmodelle
Die Krümmung und daher die Gesamtdichte Ω0 kann über CMB-Experimente ermittelt werden. Es gilt:
0,006
Ω0 = 1,005+
−0,0061
Daher können derzeit weder hyperbolisches noch sphärisches Universum derzeit ausgeschlossen werden. Endgültige Gewissheit erhofft man sich durch das im Jahr 2009 in Betrieb genommene PlanckWeltraumteleskop. Es hat eine gegenüber dem WMAP-Teleskop eine wesentlich höher Winkelauflösung.
Erste Ergebnisse werden Ende 2012 erwartet.
3 Entdeckung der beschleunigten Expansion-Bestimmung der
Energiedichten
Die Entdeckung “der dunklen Energie ist untrennbar verbunden mit der Entdeckung der beschleunigten
”
Expansion des Universums. Die Dunkle Energie wurde also postuliert um durch ihre antigravitative Wirkung der Schwerkraft entgegenwirken und dadurch für die Beschleunigung verantwortlich sein. Es kann
derzeit noch nicht abschließend bestätigt werden, ob es sich um eine physikalische Energie handelt oder
ob sie mathematische Ursachen zugrunde liegt. Ich verwende trotzdem die Bezeichnung Dunkle Energie
als Synonym für den Grund der beschleunigten Expansion. 1998 haben Adam Riess mit seinem High-z
Supernova Search Team und Saul Perlmutter mit seinem Supernova Cosmology Project unabhängig voneinander die Beschleunigung der Expansion des Universums nachgewiesen. Die Beschleunigung ließ sich
durch die Kombination von Rotverschiebungsmessungen und Supernova Beobachtungen bestätigen.
λ0
Zunächst zur Rotverschiebung: Es gilt: z = λobsλ−
wobei λobs die beobachtete bzw direkt gemessene
0
Wellenlänge und λ0 die emittierte Wellenlänge ist. Klassisch kann man die Rotverschiebung als Dopplereffekt deuten. Man kann also direkt von der der Rotverschiebung auf die Geschwindigkeit der Objekte
schließen.
r
1 + v/c
1+z =
1 − v/c
Die Rotverschiebung liegt drei Ursachen zugrunde:
6
• Die Rotverschiebung aufgrund von Bewegungen der Galaxien relativ zu uns.
• Die Rotverschiebung aufgrund der Gravitation: Muss Strahlung ein starkes Gravitationspotential
überwinden verliert die Strahlung an Energie und wird daher rotverschoben.
• Die Rotverschiebung aufgrund der Expansion des Raumes. Dies ist die eigentlich Rotverschiebung
für die wir uns interessieren. Die anderen beiden Effekte müssen aus der tatsächlich gemessenen
Rotverschiebung herausgerechnet werden.
Trägt man die Geschwindigkeit über dem Abstand r auf erhält man die Hubble Relation: v = H · r.
Der zweite Teil beschäftig sich mit der Analyse von Supernova Typ 1a: Supernova vom Typ 1a können
als Standardkerzen verwendet werden, da ihre Explosion immer nach dem selben Schema abläuft. Eine Standardkerze ist ein astronomische Objekt dessen absolute Helligkeit M bekannt ist bzw sich durch
Kalibrierung ermitteln lässt. Die absolute Helligkeit M grenzt sich von der scheinbaren Helligkeit m ab
und bezeichnet die Helligkeit die man messen würde, befände sich das Objekt in einer Entfernung von 10
parsec. Die scheinbare Helligkeit bezeichnet die direkt durch Photometrie ermittelte Helligkeit. Im 1856
hat der Astronom Norman Rovert Pogson eine Relation zwischen scheinbarer und absoluter Helligkeit
hergestellt. Es gilt:
r
)
m − M = 5log(
10pc
Kennt man also durch theoretische Überlegungen M, kann man ganz einfach durch Messung der scheinbaren Helligkeit auf den Abstand r schließen. Der Vorteil der Supernova gegenüber anderen Standardkerzen wie zum Beispiel den Cepheiden liegt in ihrer enormen Helligkeit (Vergleichbar mit der einer Galaxie) und macht sie für Distanzmessungen so interessant. Supernovae von Typ 1a enstehen, wenn in einem
Doppelsternsystem mit einem weißen CO-Zwerge ohne Wasserstofflinie, dieser vom Partnerstern Sternenplasma akkretiert und schließlich, wenn er die die Chandrasekhar-Grenze (≈ 1,4MSonne ) überschreitet,
instabil wird. Er kollabiert, was die thermonukleare Fusion des Kohlenstoffs und des Sauerstoffs zur Folge hat. Der Stern detoniert. Dieser Supernovatyp folgt einer charakteristischen Lichtkurve: (Helligkeit in
Funktion der Zeit.) Die Leuchtkraft wird durch den Zerfall von Nickel in Cobalt in Eisen generiert. Der
Nickelpeak liegt dabei bei allen Supernova Typ 1a bei ca −19,3 Magnituden.
Abbildung 2: Lichtkurve SN Typ 1a
Neuere Erkenntnisse weisen darauf hin, dass die die Supernova eventuell doch nicht so ideale Standardkerzen sind. Insbesondere wird die Chandrasekhar Massengrenze teilweise überboten. Inwiefern dies eine
Neukalibrierung der SN Typ 1a erforderlich macht, kann nocht nicht endgültig abgeschätzt werden. Supernova Typ 1a sind bis zu einer Grenze von z = 1,5 beobachtbar. Dies entspricht einer Distanz von 8
Mrd Lichtjahren. Erwähnt sei noch, dass derzeit daran geforscht wird zukünftig Gamma-Ray-Bursts als
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Standardkerzen zu verwenden. Dies sehr kurze (im Sekundenbereich) Energieausbrüche und die derzeit
hellsten bekannten Quellen elektromagnetischer Strahlug im Universum.Sie können bis Rotverschiebungen von z = 6 beobachtet werden. Mögliche Ursache sind sogenante Hypernova, das heißt Explosionen
von extrem massereichen Sternen oder Kollisionen von Neutronensternen oder schwarzen Löchern.
Zurück zur Beschleunigten Expansions: Nun wurden die Daten aus den beiden Experiment kombiniert.
Das Distanz-Modul m − M wurde über der Rotverschiebung z aufgetragen.
m − M = 5log(
m − M = 5log(
r
)
10pc
cz
)
H0 10pc
Abbildung 3: Nachweis der beschleunigten Expansion
Die Abweichung von linearen Zusammenhang lässt auf die beschleunigte Expansions schließen. Das von
weit entferneten Supernovae emittierte Licht, deren Abstand zur Erde man durch die Hubble Relation zu
wissen meinte, erschien schwächer als man es von Supernovae in diesem Abstand erwarten würde. Dies
lässt nur den Schluss zu, dass das Licht eine längere Wegstrecke durchquert hat als gedacht. Der Expansion des Raumes beschleunigt sich! ä kann nicht direkt gemessen werden, stattdessen aber der sogenante
Deceleration-Parameter q0 Es gilt: q0 = − äa
ȧ = 0,5 ± 0,16. Zusätzlich haben wir noch die Relation:
Ω Λ = − q0 + Ω M
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Wir wollen noch die Energiedichten bestimmen. Dafür verwendet man noch zusätzlich die Daten der
WMAP-Mission. Während dieser wurde die 3-Kelvin Hintergrund-Strahlung und insbesondere die Temperaturfluktuationen/Anisotropien gemessen. Diese haben ihren direkten kausalen Ursprung in Dichtefluktuationen während der Rekombinationsphase. (Fluktuationen im Photon-Baryon-Gas.) Die gewonnnenen Daten werden Fourier-transformiert und in Kugelflächenfunktionen entwickelt. Man erhält eine Himmelskarte der Temperaturfluktuationen. Aus Simulation dieser Himmelskarte bei anderen Öffnungswinkeln,
schließt man auf ein flaches Universum. Wäre das Licht auf gekrümmten Bahnen zu uns gelangt, hätte
dies eine andere Abbildung zu Folge. Daraus folgt:
Ω M + ΩΛ = 1
Trägt man nun diese beiden Geraden in ein Digramm ein, kann man aus dem Schnittpunkt der Geraden
die Werte für ΩΛ und Ω M bestimmen.
Abbildung 4: Nachweis der beschleunigten Expansion
Die dritte Gerade die im Graph eingezeichnet ist, kommt aus der Betrachtung von großen Galaxienhaufen,
sogenannten Clustern. Da das Verhältnis von Materie zu Strahlung während der Rekombinationsphase
direkten Einfluss auf die Bildung dieser Strukturen hat, kann man es abschätzen. Da die Zahl der Photonen
anhand von anderen Experimenten ermittelt werden kann, ist es möglich die Materiedichte zu bestimmen.
Es folgt Ω M = 0,26.
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4 Kandidaten
Da es bisher noch keinen direkten Nachweis der dunklen Energie als physikalische Energie gegeben hat,
kursieren derzeit eine fülle von Theorien die versuchen das Phänomen der Beschleunigten Energie zu erklären. Den Kandidaten, die eine physikalische Energie darstellen, ist gemein, dass folgende Eigenschaften
erfüllen muss:
• Sie strahlen keine EM-Wellen ab, da man sie sonst sie sonst direkt beobachten könnte und nicht
dunkel wäre.
• Sie sind nicht teilchenartig und homogen verteilt,( würde sonst klumpen.)
• Sie haben eine Zustandsgleichung mit w ≤
1
3
Ich werde vier Kandidaten vorstellen:
• Die Kosmologische Konstante Λ(w = −1): Zunächst von Einstein als Erklärung postuliert, dann als
Eselei verworfen und schließlich als Eklärung für die dunkle Energie wieder auferstanden. Sie ist die
derzeit beliebteste Variante und Part des derzeitigen Konsensmodell: das ΛCDM-Modell. Ihre Besonderheit kommt aus der Verknüpfung mit der Quantenmechanik. Die Kosmologische Konstante
lässt sich als Energiedichte des Vakuums beschreiben und findet ihr quantenmechanisches Pendant
in der Nullpunktsenergie und in Vakuumsfluktuationen. Die derzeit wohl schönste Erklärung leidet an einem kleinen Schöhnheitsfehler. Die Theorie ergibt einen um 10120 -Größenordnungen zu
großen Wert an: Die wohl größte Diskrepanz zwischen Experiment und Theorie in der Geschichte
der Physik. Fehlt nur das Fine-Tuning?
• Quintessenz: Sie stellt sich mathematisch als Energiedichte eines sich zeitlich langsam entwickelnden Skalarfeldes dar. Im Gegensatz zur kosmologische Konstante variert w von w = −1. Der Vorteil
dieser Theorie ist, dass man durch eine Art Trigger um das Diskrepanz-Problem der kosmologischen
Konstante umgehen kann. Derzeitige Daten weisen jedoch darauf hin, dass der Wert der Vakuumdichte seit mehreren Millarden Jahren konstant ist.
• f ( R) Gravitation heißen Theorien die die Einstein-Feldgleichungen modifizieren um damit die beschleunigte Expansions zu erklären. Man fügt den Feldgleichungen nichtlineare Terme des RicciSkalars hinzu. Diese Modifikationen werden besonders durch Stringtheorien und M-Theorie motiviert. Derzeit existiert jedoch kein Modell, welches die beschleunigte Expansions schlüssig erklären
könnte.
• Zudem gibt es Theorien die besagen dass die Inhomogenität und Anisotropie des Universums auf
kleinen Skalen Auswirkung auf dessen Expansionsverhalten hat. Das Kosmologische-Prinzip hätte
also keine Gültigkeit mehr und man müsste die θ-und φ-Abhängigkeit der Feldgleichungen explizit
mit einbeziehen. Der Einfluss dieser Effekte wird jedoch als zu gering eingeschätzt, als dass er so
gravierende Konsequenzen nach sich ziehe.
5 Fazit
Die Existenz der dunklen Energie hat enormen Einfluss auf die Dynamik, Struktur und insbesondere auf
das Schicksal unseres Universums. Derzeit macht die dunkle Energie knapp 73% der Energiedichte aus.
Erst die endgültige Entdeckung der wahren Natur der dunklen Energie wird Gewissheit schaffen wie das
Schicksal des Universums aussieht. Derzeit gibt es drei große Endzeitszenarien:
• Der Big “Crunch b ezeichnet einen erneuten Zusammenfall des Universums, der durch ein Zuviel
”
an Materie bzw. Energieinhalt hervorgerufen werden könnte und ist mit Sicherheit der philosphisch
am interssanteste Ansatz, beschreibt er doch die Möglichkeit eines zyklisch Universums. Nach der
jetzigen Datenlage kann der Big Crunch so gut wie ausgeschlossen werden. Selbst eine Materiedichte
von Ω M = 1 würde nicht ausreichen um die Expansion in eine Kontraktion überzuführen.
• Der Big Rip“beschreibt das Ende des Universums im völligen Zerreißen von allem, was sich in ihm
”
befindet. Dieser Fall träte auf wenn durch die Beschleunigung der Expansion, diese irgendwann
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schneller ist als die Lichtgeschwindigkeit. Selbst Galaxien, Sterne, Planeten und Protonen würden
zerreißen. Jede mögliche Art von Wechselwirkung zwischen zwei Teilchen wäre dann ausgeschlossen.
• Der Big Freeze“beschreibt den Kälte-Tod des Universums. Es kühlt langsam aus, weil es ewig ex”
pandiert. Der Energiegehalt des Universums ist zu gering, als dass die Expansion gestoppt oder gar
umgekehr werden könnte. Am Ende dieses Szenarios steht ein mit Schwarzen Zwergen, Schwarzen
Löchern, und Dunkelheit gefülltes Universum.
Abbildung 5: Fate of the Universe
6 Quellen
• www.wissenschaft-online.de/astrowissen
• www-ik.fzk.de/d̃rexlin/astro10/astro10.html
• Dark Energy.Yun Wang 2010 WILEY-VCH Verlag, ISBN:978-3-527-40941-9
• www.wikipedia.org
• www-ekp.physik.uni-karlsruhe.de/ deboer/html/Lehre/
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