Vorlesung Wirtschaftsmathematik I Kapitel I: Grundlagen

Vorlesung Wirtschaftsmathematik I
Prof. Dr. M. Voigt
Kapitel I: Grundlagen
1
1.1
Elementare Logik
Aussagenlogische Verbindungen
Aussage: Unter einer Aussage versteht man ein sprachliches Gebilde, das die
Eigenschaft hat, entweder wahr oder falsch zu sein.
Beispiele:
5 ist eine Primzahl
3 ist Teiler von 7
Alois besteht die Matheprüfung
-) Beachte: 2+x=4 ist keine Aussage
-) Bezeichnen Aussagen mit: A, B, C, ....
Wahrheitswerte: w (=wahr/1), f (=falsch/0)
½
w f alls Aussage A wahr ist
Wert(A) :=
f f alls Aussage A f alsch ist
Zusammengesetzte Aussagen: s. AB 1
Wahrheitstabellen:
Wahrheitswerte zusammengesetzter Aussagen (Definitionen s. AB 1)
Beispiele:
(1) Alois liebt Ulla oder Jutta
Teilaussagen: A: Alois liebt Ulla, B: Alois liebt Jutta
Verknüpfung: oder; A ∨ B
A B
0 0
0 1
1 0
1 1
A∨B
0
1
1
1
(2) Alois liebt entweder Ulla oder Jutta
Teilaussagen: A: Alois liebt Ulla, B: Alois liebt Jutta
Verknüpfung: entweder oder; A4B
1
A B
0 0
0 1
1 0
1 1
A4B
0
1
1
0
(3) Wenn es heute regnet, trinke ich auf jeden Fall heute abend Bier.
Teilaussagen: A: Es regnet heute, B: Ich trinke heute abend Bier
Verknüpfung: daraus folgt; A ⇒ B
A B
0 0
0 1
1 0
1 1
1.2
A⇒B
1
1
0
1
Tautologien
Gegeben
Aussagenverb. T = T (A, B, ...) und S = S(A, B, ...) mit den Teilaussagen A, B, ...
Definition
(a) T heißt Tautologie (oder allgemeingültig), falls für alle möglichen Wahrheitswerte der Teilaussagen A, B, ... die Aussage T stets wahr ist.
(b) T und S heißen logisch gleichwertig (in Zeichen T ≡ S), falls Wert(T)=Wert(S)
ist für alle möglichen Wahrheitswerte der Teilaussagen A, B...
• Beispiel (4): T = A ∨ ¬A
A
w
f
¬A
f
w
A ∨ ¬A
w
w
T = A ∨ ¬A ist eine Tautologie
• Beispiel (5): T = ¬(A ∧ B), S = ¬A ∨ ¬B
A B
w w
w f
f w
f f
A∧B
w
f
f
f
¬(A ∧ B)
f
w
w
w
¬A ¬B
f
f
f
w
w
f
w
w
T ≡ S, also ¬(A ∧ B) ≡ ¬A ∨ ¬B
2
¬A ∨ ¬B
f
w
w
w
1.3
Wichtige Regeln
s. AB 1
Bemerkungen:
• Kommutativgesetze: Bei Verknüpfung mit ∧ bzw. ∨ können die Teilaussagen vertauscht werden.
• Assoziativgsetze: Bei Verknüpfung mehrerer Aussagen mit ∧ bzw. ∨ können
Klammern weggelassen werden.
1.4
Prädikate und Quantoren
Aussagen=Aussagen über Eigenschaften von Objekten oder über Beziehungen
zwischen Objekten
Prädikat: Widerspiegelung einer Eigenschaft oder einer Beziehung
Beispiele:
... ist Primzahl
... teilt ...
... liegt zwischen ... und ...
Trägt man in gewisse Lehrstellen Variable ein, entsteht eine Aussageform
Beispiele:
A(x): x ist Primzahl
B(a,b): a teilt b
C(y): y liegt zwischen 2 und 3
Eine Aussageform H(x) kann durch Quantifizierung zu einer Aussage werden:
Grundbereich: Menge X von Objekten (z.B. X = N Menge der natürlichen Zahlen)
∀x ∈ X : H(x): Für alle x ∈ X gilt H(x)
∃x ∈ X : H(x): Es existiert ein x ∈ X, für welches H(x) gilt.
Negation:
(a) ¬(∀x ∈ X : H(x)) ≡ ∃x ∈ X : (¬H(x))
(b) ¬(∃x ∈ X : H(x)) ≡ ∀x ∈ X : (¬H(x))
Beispiele:
3
(6) Negation von Beispiel (2): Alois liebt entweder Ulla oder Jutta
Teilaussagen: A: Alois liebt Ulla, B: Alois liebt Jutta
A B
0 0
0 1
1 0
1 1
A4B
0
1
1
0
¬(A4B)
1
0
0
1
¬(A4B): Alois liebt weder Ulla noch Jutta, oder er liebt beide.
(7) A: Alle Studenten bestehen die Matheprüfung,
Gesucht: Negation dieser Aussage: ¬A
X - Menge der Studenten
H(x) - Student x besteht die Matheprüfung
A ≡ ∀x ∈ X : H(x)
⇒ ¬A ≡ ∃x ∈ X : ¬H(x)
¬A: Es gibt einen Studenten, der die Matheprüfung nicht besteht.
(8) A: Für jeden Mann gibt es eine Frau, die ihn nicht liebt.
Gesucht: Negation dieser Aussage: ¬A
M : Menge der Männer
F : Menge der Frauen
H(m, f ): Frau f liebt Mann m
⇒ A ≡ ∀m ∈ M ∃f ∈ F : ¬H(m, f )
⇒ ¬A ≡ ∃m ∈ M ∀f ∈ F : H(m, f )
¬A: Es gibt einen Mann, den alle Frauen lieben.
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