ALP I Induktion und Rekursion

Funktionale Programmierung
ALP I
Induktion und Rekursion
WS 2012/2013
Prof. Dr. Margarita Esponda
Prof. Dr. Margarita Esponda
Funktionale Programmierung
Vollständige Induktion
(Mafi I)
Die Vollständige Induktion ist eine mathematische Beweistechnik,
die auf die Menge der natürlichen Zahlen spezialisiert ist.
Vorgehensweise:
1. Induktionsanfang
Text
Text
Man zeigt die Behauptung für k = 1 bzw. k = 0
2. Induktionsschritt
Man nimmt an, die Aussage sei für
wahr und zeigt damit,
dass die Aussage für k+1 wahr ist.
Wenn beide Schritte erfolgreich durchgeführt wurden, ist die
Behauptung für alle natürlichen Zahlen gezeigt.
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Funktionale Programmierung
Vollständige Induktion
Beispiel:
Vermutung:
Die Summe der ersten n ungeraden Zahlen ist gleich n2
n
n
2
2(i
−
1)
+
1
=
n
∑
2
2i
−
1
=
n
∑
i =1
i =1
Motivation:
1
= 12
1+ 3
= 22
1+ 3+ 5
= 32
1+ 3+ 5+ 7
= 42
...
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…
Funktionale Programmierung
Vollständige Induktion (Mafi I)
Beweis per vollständiger Induktion:
Induktionsanfang:
1
2
2
⋅
i
−
1
=
2
⋅1
−
1
=
1
=
1
∑
für n = 1
i =1
Induktionsschritt:
k
wir nehmen an, dass für n = k
2
2i
−
1
=
k
∑
i =1
dann für n = k+1:
⎛ k
⎞
∑ 2i − 1 = ⎜⎝ ∑ 2i − 1⎟⎠ + 2 ⋅ (k + 1) − 1
i =1
i =1
k +1
= k2 + 2 ⋅ k + 2 − 1
= k2 + 2 ⋅ k + 1
= (k + 1)2
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daraus folgt, dass die
Vermutung für alle n ∈ gilt.
Funktionale Programmierung
Baumeigenschaften und Vollständige Induktion
Definition:
a) Ein einzelner Blatt-Knoten ist ein Baum
o
b) Falls t1, t2,…,tm Bäume sind, dann ist ihre Verknüpfung
unter einem Knoten
o
auch ein Baum (o t1, t2,…,tm )
o
t1
t2 . . .
tm
Ein Baum ist balanciert, falls er ein Blatt oder von der
Form (o t1, t2,…,tm) ist, wobei t1, t2,…,tm balanciert und
von derselben Tiefe sind.
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Funktionale Programmierung
Behauptung:
Induktion über Bäume
Ein balancierter m-Baum (Baum mit maximal m Kindern pro
Knoten) mit m>1 und Tiefe n hat
Motivation:
o
Tiefe 0
Tiefe 1
Tiefe 2
Tiefe n
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o
o
o
t1 t2 . . .tm t1 t2 . . . tm
...
..
.
Funktionale Programmierung
Induktion über Bäume
1. Induktionsanfang
K = Knoten =
mit Tiefe n = 0
2. Induktionsannahme
mit Tiefe n = k,
3. Induktionsschritt
Tiefe n = k+1

m k +1 − 1
K=
m −1
k +1
m
−1
m k +1 − 1
k
+m
⋅
m
=
+ m k +1
K=
m −1
m −1
m k +1 − 1 + (m k +1 ) ⋅ (m − 1) m k +1 − 1 + m k + 2 − m k +1
=
=
m −1
m −1
m k + 2 − 1 m (k +1)+1 − 1
=
=

m −1
m −1
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n +1
m −1
K=
m −1

Funktionale Programmierung
Vollständige Induktion
Weitere Beispiele an der Tafel!
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Funktionale Programmierung
Vollständige Induktion
factorial 0 = 1
factorial n = n * factorial (n-1)
endRecFactorial n = fact_helper 1 n
where
fact_helper a 0 = a
fact_helper a n = fact_helper (a*n) (n-1)
?
factorial = endRecFactorial
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Funktionale Programmierung
Zu beweisen ist:
factorial = endRecFactorial
Für unseren Beweis müssen wir folgende Eigenschaft der
fact_helper-Funktion per Induktion über n zeigen.
fact_helper c n = c * factorial n ……… e.1
Induktionsanfang: für n = 0
fact_helper c 0
=
c =
fact_helper.1
c*1 =
c * factorial 0
factorial.1
Induktionsannahme: fact_helper c k = c * factorial k
Induktionsschritt: für n = k+1
fact_helper c (k+1) = fact_helper (c*(k+1)) k
= c* (k+1) * factorial k
= c * factorial (k+1)
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

Funktionale Programmierung
fact_helper c n = c * factorial n
factorial 0 = 1
factorial n = n * factorial (n-1)
……… e.1
………. factorial.1
………. factorial.2
…………… endRecFactorial.1
endRecFactorial n = fact_helper 1 n
where
………… fact_helper.1
fact_helper a 0 = a
fact_helper a n = fact_helper (a*n) (n-1) .. fact_helper.2
1. Induktionsanfang
n=0
factorial 0
factorial 0
=
factorial.1
?=
endRecFactorial 0
1
= factorial_helper 1 0
factorial_helper.1

= endRecFactorial 0
endRecfactorial.1
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Funktionale Programmierung
fact_helper c n = c * factorial n
……… e.1
………. factorial.1
factorial 0 = 1
factorial n = n * factorial (n-1)
………. factorial.2
…………… endRecFactorial.1
endRecFactorial n = fact_helper 1 n
where
………… fact_helper.1
fact_helper a 0 = a
fact_helper a n = fact_helper (a*n) (n-1) .. fact_helper.2
Induktions-Annahme
2. Induktionsschritt
factorial (k+1)
factorial k = endRecFactorial k
für n = k+1
=
(k+1) * factorial k
factorial.2
= fact_helper (1*(k+1)) k
e.1
= fact_helper 1 (k+1)
fact_helper.2
= endRecFactorial (k+1)
endRecFactorial.1
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

factorial = endRecFactorial
Funktionale Programmierung
Berechnung der Fibonacci-Zahlen
1. Lösung
2. Lösung
fib 0 = 0
…
fib.0
fib 1 = 1
…
fib.1
fib n = fib (n-2) + fib (n-1)
…
fib.2
Endrekursive Funktion
fib' n = quickFib 0 1 n
where
quickFib a b 0 = a
… quickFib.1
quickFib a b n = quickFib b (a+b) (n-1) quickFib.2
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Funktionale Programmierung
Vollständige Induktion
Zu beweisen ist:
?
fib = fib'
… fib˚.1
fib' n = quickFib 0 1 n
where
… quickFib.1
quickFib a b 0 = a
quickFib a b n = quickFib b (a+b) (n-1) quickFib.2
Für unseren Beweis müssen wir folgende Eigenschaft der quickFibFunktion per Induktion über n zeigen.
quickFib (fib i) (fib (i+1)) n = fib (i+n)
Induktionsanfang: für n = 0
quickFib (fib i) (fib (i+1)) 0 = fib i
quickFib.1
= fib (i+0)
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
……… ze.1
Funktionale Programmierung
Induktions-Annahme: n = k
quickFib (fib i) (fib (i+1)) k = fib (i+k)
Induktionsschritt:
?
quickFib (fib i) (fib (i+1)) (k+1) = fib (i+(k+1))
quickFib (fib i) (fib (i+1)) (k+1)
quickFib.2
fib.2
= quickFib fib (i+1) (fib (i) + fib (i+1)) k
= quickFib fib (i+1) (fib ((i+1)+1) k
= fib ((i+1) + k)
Induktions-Annahme
= fib (i + (k+1))


quickFib (fib i) (fib (i+1)) n = fib (i+n)……… ze.1
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Funktionale Programmierung
Sind fib und fib' äquivalent?
Behauptung:
?
fib = fib'
… fib˚.1
fib' n = quickFib 0 1 n
where
… quickFib.1
quickFib a b 0 = a
quickFib a b n = quickFib b (a+b) (n-1) quickFib.2
1. Induktionsanfang: n = 0
fib 0 = 0
fib.0
2. Induktionsanfang: n = 1
fib 1 = 1
fib' 0 = quickFib 0 1 0
… fib˚.1
=0
… quickFib.1
fib' 1
=

quickFib 0 1 1
fib'.1
=
quickFib 1 1 0
quickFib.2
= 1
quickFib.1
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
Funktionale Programmierung
quickFib (fib i) (fib (i+1)) n = fib (i+n)……… ze.1
Induktionsannahme:
fib k = fib' k
3. Induktionsschritt:
fib (k+1)
?
= fib' (k+1)
fib' (k+1) = quickFib 0 1 (k+1)
fib'.1
= quickFib (fib 0) (fib 1) (k+1)
fib.0 und fib.1
= fib (0+(k+1))
aus
ze.1
= fib (k+1)
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
⇒ fib n = fib' n

Funktionale Programmierung
Strukturelle Induktion
Die Strukturelle Induktion ist eine allgemeinere Form der
Vollständigen Induktion.
Mit diesem mathematischen Beweisverfahren lassen sich
Aussagen über die Elemente von rekursiv aufgebauten
Datenmengen wie zum Beispiel Listen, Bäumen oder
Graphen beweisen.
Die Datenmengen, die damit behandelt werden, müssen
aus einer endlichen Anzahl von Konstruktionsschritten
aus Grundelementen entstehen.
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Funktionale Programmierung
Induktion über Listen
Vorgehensweise:
1. Induktionsanfang
Man zeigt eine bestimmte Eigenschaft P für die leere
Liste []
2. Induktionsschritt
Man zeigt die Eigenschaft P(x:xs) unter der Annahme,
dass P(xs) gilt.
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Funktionale Programmierung
Induktion über Listen
Beispiel:
Nehmen wir an, wir möchten zeigen, dass die Verkettung über
Listen assoziativ ist.
Definition von (++):
(++) :: [a] -> [a] -> [a]
(++) [] ys = ys
(++) (x:xs) ys = x : (++) xs ys
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Funktionale Programmierung
Induktion über Listen
Behauptung:
Für alle Listen xs, zs und ys über den Datentyp a gilt
die Assoziativität-Eigenschaft:
(++) ((++) xs ys) zs = (++) xs ((++) ys zs)
oder (xs ++ ys) ++ zs = xs ++ (ys ++ zs)
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Funktionale Programmierung
Induktion über Listen
Definition von (++):
(++) :: [a] -> [a] -> [a]
(++) [] ys = ys
…………… (++).1
(++) (x:xs) ys = x : (++) xs ys …………… (++).2
Behauptung:
(++) ((++) xs ys) zs = (++) xs ((++) ys zs)
Beweis: (Induktion über xs)
Induktionsanfang:
xs = []
(++) ((++) [] ys) zs
=
(++).1
=
(++).1
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(++) ys zs
(++) [] ((++) ys zs)
Funktionale Programmierung
Induktion über Listen
(++) :: [a] -> [a] -> [a]
(++) [] ys = ys
…………… (++).1
(++) (x:xs) ys = x : (++) xs ys …………… (++).2
Induktionsschritt:
(++) (x:xs) ((++) ys zs)
(++) (x:xs) ((++) ys zs)
?
= (++) ((++) (x:xs) ys) zs
=
x : (++) xs ((++) ys zs)
=
x : (++) ((++) xs ys) zs
=
(++) (x:((++) xs ys)) zs
=
(++) ((++) (x:xs) ys) zs
(++).2
i.A.
(++).2
(++).2
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
Funktionale Programmierung
Vollständige Induktion
Weitere Beispiele an der Tafel!
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Funktionale Programmierung
Beispiele endrekursiver Funktionen
Klassisches Beispiel einer nicht endrekursiven Definition ist:
Die Standarddefinition der reverse-Funktion
rev :: [a] -> [a]
rev [] = []
rev (x:xs) = rev xs ++ [x]
(++) :: [a] -> [a] -> [a]
= ys
(++) [] ys
(++) (x:xs) ys = x:(xs ++ ys)
Eine effizientere Version von rev:
quickRev xs = rev_helper xs []
where
rev_helper [] ys = ys
rev_helper (x:xs) ys = rev_helper xs (x:ys)
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Funktionale Programmierung
Sind rev und quickRev äquivalent?
Zu beweisen ist:
Für alle endlichen Listen xs :: [a] gilt:
rev = quickRev
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Funktionale Programmierung
Strukturelle Induktion über Bäume
Beispiel:
data Tree a = Nil | Leaf a | Node (Tree a) (Tree a)
Vorgehensweise:
1. Induktionsanfang
1.1 Wir zeigen eine bestimmte Eigenschaft P
für den leeren Baum Nil
1.2 Wir zeigen die Eigenschaft P für ein Blatt (Leaf a)
2. Induktionsschritt
Wir zeigen die Eigenschaft P für ( Node l r ) unter der
Annahme, dass P für den Teilbaum l und für den Teilbaum
r gilt.
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Funktionale Programmierung
Das allgemeine Induktionsschema
data T a1 a2 . . . am =
C1 t11 … t1n1
| C2 t21 … t2n2
...
Vorgehensweise:
| Ck tk1 … tknk
1. Induktionsanfang
1.1 Wir zeigen eine bestimmte Eigenschaft P für alle
Basis-Daten (alle Ci ohne Rekursion)
2. Induktionsschritt
Wir zeigen die Eigenschaft P für jede rekursive Definition
(Ci ti1 … tini) unter der Annahme, dass P für ti1 … tini gilt.
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