Boltzmann

Experimentelle Physik II
Sommersemester 08
Vladimir Dyakonov
(Lehrstuhl Experimentelle Physik VI)
VL#21
25-06-2008
Tel. 0931/888 3111
[email protected]
Experimentelle Physik II
8. Bandstruktur und Transporteigenschaften
8.1
Ströme in Bändern
8.2
Boltzmann-Gleichung
8.3
Elektrische Leitfähigkeit in Metallen (revisited)
8.4
Thermoelektrische Effekte
8.2 Boltzmann-Gleichung
Stromdichte in einem Band:
r
r
r
2e
3 r
j ="
d k v (k ) f (k )
3 !
(2# ) BZ
Gruppengeschwindigkeit
eines Bloch-Wellenpakets:
r
r
1
r
v(k ) = h " k ! (k )
Verteilungsfunktion im elektrischen
Feld oder die Besetzung des
Blochzustands k im äußerem feld
Zusammenspiel zweier Mechanismen:
1) treibende Einfluss von äußeren Felder bzw. T-Gradienten
2) hemmende Wirkung durch Stöße mit Störstellen, Streuung an
Phononen
bestimmt die Nichtgleichgewicht-Verteilungsfunktion f(k) und wird durch
die s.g. Boltzmann-Gleichung beschrieben.
8.2 Boltzmann-Gleichung
Thermischer Gleichgewichtszustand:
r
E = 0 , d.h. kein elektrisches Feld
r
T( r ) = const. , d.h. eine homogene Temperaturverteilung
r
r
" f ( k ) = f 0 (#( k ),T) =
!
!
!
1
e
r
# ( k )$ µ
kB T
- Fermi-Dirac-Verteilung
+1
Außerhalb des Gleichgewichts (Ain- oder Ausschalten von E-Feld + TInhomogenitäten in der Probe) kann die gesuchte
Nichgleichgewichtsverteilung:
r
f ( k ,T,t)
r
r
Wir bestimmen die zeitliche Entwicklung von f ( k ,T,t) im Feld E :
Im Phasenraum befindet sich das Elektron (=Wellenpaket) zur Zeit t am
Ort r mit Impuls!
k.
Zum Zeitpunkt
t + dt :
r
r
!r
!
rr (t + dt) = rr(t) + v dte r
k (t + dt) = k (t) + (" E )dt
h
8.2 Boltzmann-Gleichung
r r r e r
r r
Ohne Stöße: f ( r + v dt, k " Edt,t + dt) = f ( r , k ,t)
hr
r
$ #f '
r r
r r
e
Mit Stößen:
f ( r + v dt, k " Edt,t + dt) = f ( r , k ,t) + & ) dt
% #t ( St
h
Entwicklung bis zu linearen Gliedern in dt ergibt:
!
r
rr
% (
r
"
f
e
! + v # rr f $ E# s f = ' "f *
k
& "t ) St
"t
h
Driftterme
!
Boltzmann-Gleichung:
Stoßterm
Man macht für den Stoßterm einen Ansatz - Relaxationszeitnäherung -
r
r
# "f &
f ( k ) ) f 0 (k )
r
% ( =)
$ "t ' St
* ( k ,t)
Es wird angenommen, dass Stöße eine Nichtgleichgewichtsverteilung
ins thermische Gleichgewicht zurücktreiben; je größer die Abweichung,
desto größer die Relaxationsrate
!
8.2 Boltzmann-Gleichung
Berechnung stationärer Nichtgleichgewichtsverteilung, welche sich
unter dem Einfluß eines äußeren E-Feldes:
r
r
r
r
r
e
f ( k ) " f 0 (k )
r
" E# ks f ( k ) = "
h
$ ( k ,t)
r
r e r rr
r
f ( k ) = f 0 ( k ) + " ( k ) E# ks f ( k )
h
!
!
Lösen durch das Iterationsverfahren - im 1. Schritt wird f im " kr f # Term
durch die f0 angenähert , die B.-Gl. Gelöst und die Lösung eingesetzt etc.
r
r e r rr
r
f ( k ) " f 0 ( k ) + # ( k ) E$ ks f 0 ( k )
h
!
Kleine elektrische Felder; f(k) lässt sich als Entwicklung von f0(k) um den
Punkt k wie folgt darstellen:
!
!
r
r e r r
f ( k ) " f 0 (k + # (k ) E )
h
Δk
verschobene GleichgewichtsFermiverteilung
Experimentelle Physik II
8. Bandstruktur und Transporteigenschaften
8.1
Ströme in Bändern
8.2
Boltzmann-Gleichung
8.3
Elektrische Leitfähigkeit in Metallen (revisited)
8.4
Thermoelektrische Effekte
8.3 Elektrische Leitfähigkeit in Metallen (revisited)
Stromdichte in einem Band:
r
r
r
2e
3 r
j ="
d k v (k ) f (k )
3 !
(2# ) BZ
Gruppengeschwindigkeit
eines Blochwellen-Pakets:
r
r
1
r
v(k ) = h " k ! (k )
Verteilungsfunktion im elektr. Feld:
r
r
r r
r
e
r
f (k ) = f 0 (k ) + h # (k ) E " ! k f 0 (k )
also:
r
j =#
r
r r
r
2e
3 r
d k v (k ) % (k ) E " ! kr f 0 (k )
$
3
(2& ) h BZ
⇒ Ohm´sches Gesetz mit tensorieller Leitfähigkeit:
r t r
j = ( # E bzw.
ji = % ( il El
mit i, l = x, y, z
l
r
r !f 0
2e
3
( il = "
d k vi (k ) & (k )
$
3
!kl
(2' ) h BZ
8.3 Elektrische Leitfähigkeit in Metallen (revisited)
r
Vereinfachung: - Feld in x-Richtung: E = ( E x ,0,0)
- isotrope Leitfähigkeit: ! xx = ! yy = ! zz =: ! , alle Diag.terme = 0
⇒ j ="
x
r
r
2e
!f 0
3
d
k
v
(
k
)
$
(
k
)
E
x
x
#
!k x
(2% )3 h BZ
also :
r
r !f 0
2e
3
& ="
d k vx (k ) $ (k )
#
3
!k x
(2% ) h BZ
wegen
"f 0 "f 0 "!
"f
=
#
= hvx 0 folgt:
"k x "! "k x
"!
r
r
r
2e
%f 0 (k )
3
2
$ =&
d
k
v
(
k
)
"
(
k
)
x
'
%!
(2# )3 BZ
Als Funktion von Energie gilt für die Fermiverteilung:
→ Umformung der k-Integration in eine E-Integration!
%f 0 (! )
$ #" (! # ! F )
%!
8.3 Elektrische Leitfähigkeit in Metallen (revisited)
Umformung der k-Integration in eine E-Integration:
BZ
d 3k = df# " dk!
ky
kx
df!
r
! (k ) = ! F
r
! (k ) = const
dk# =
r
! (k ) = !
d!
d!
r = r
" kr! (k ) h v
r
! (k ) = ! + d!
r
r &f 0
2e
r ! (k )
$ ='
d# % df#
3 %
r
&#
(2" ) h
v(k )
⇒
# ( k ) =#
vx2 (k )
r
r
2e
r ! (k )
=
df#
%
3
r
(2" ) h # ( k )=# F v(k )
vx2 (k )
d.h. es gehen nur die Zustände
auf der Fermi-Oberfläche ein !!
8.3 Elektrische Leitfähigkeit in Metallen (revisited)
Beispiel: Freie Elektronen
r h 2k 2
! (k ) =
2m
r
2e
v (k ) r
"=
df$
r & (k )
%
3
r
(2# ) h $ ( k )=$ F v( k )
2
x
2#
2
#
v F cos ( )
2e
(
2
=
d' % kF sin (d(
& ($F )
%
3
(2# ) h 0
vF
0
e 2 kF3
= 2 & ($F )
3# m
(
Mit dem Zusammenhang kF = 3" 2 n
!
1/ 3
)
folgt schließlich:
ne 2" (! F )
#=
m
!
- Ausdruck nur formal
identisch mit Drude-Modell
- tatsächlich sind nur die Zustände an der Fermi-Energie relevant (→ τ(εF) )
- gesamte Leitungselektronendichte n erscheint nur wegen des
Zusammenhangs n ↔ kF