1 Halbgruppen, Monoide und Gruppen 2 Ringe

Dr. T.Sprenger
Gruppen und Ringe
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Materialien zur Vorlesung
COMPUTERALGEBRA I
20.05.2010
Halbgruppen, Monoide und Gruppen
Sei G eine nichtleere Menge und · : G × G → G eine innere Verknüpfung auf G. Wir nennen (G, ·)
eine Halbgruppe, wenn
(i) a · (b · c) = (a · b) · c für alle a, b, c ∈ G.
(Assoziativität)
Gilt zudem
(ii) Es existiert ein e ∈ G mit a · e = e · a = a für alle a ∈ G,
(neutrales Element)
so nennen wir (G, ·) ein Monoid. Wenn außerdem
(iii) Für jedes a ∈ G existiert ein a−1 ∈ G mit a · a−1 = a−1 · a = e.
(inverses Element)
gilt, bezeichnen wir (G, ·) als Gruppe. Ferner nennen wir eine Gruppe (G, ·) abelsch, falls
(iv) Für alle a, b ∈ G gilt a · b = b · a.
(Kommutativität)
Beispiel 1.1
(a) (N, +) ist eine Halbgruppe, da + eine innere Verknüpfung auf N ist und diese zudem assoziativ
ist. Da kein neutrales Element in N existiert (0 6∈ N), ist (N, +) kein Monoid.
(b) (N0 , +) ist ein Monoid mit neutralem Element 0, aber keine Gruppe, da z.B. für 1 kein
inverses Element in N0 existiert (1 + (−1) = 0).
(c) (Z, +) ist eine abelsche Gruppe, da alle Gruppeneigenschaften erfüllt sind (+ ist assoziativ
und kommutativ, 0 ist neutrales Element und −a ist inverses Element zu a ∈ Z).
(d) (Z \ {0}, ·) ist ein Monoid mit neutralem Element 1, aber keine Gruppe, da z.B. für 2 kein
inverses Element in Z \ {0} existiert (2 · 21 = 1).
(e) Sei Sn = {f : M → M | f bijektiv und |M| = n}. Dann ist Sn mit der Komposition ◦ eine
Gruppe (◦ ist assoziativ, i d ist neutrales Element und die Umkehrabbildung von f ist das zu
f inverse Element). Man nennt Sn die symmetrische Gruppe. Sie ist nicht abelsch, da die
Komposition von Abbildungen i.Allg. nicht kommutativ ist.
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Ringe
Sei R eine nichtleere Menge und + : R × R → R und · : R × R → R innere Verknüpfungen. Dann
ist (R, +, ·) ein Ring (mit Einselement), wenn die folgenden Eigenschaften erfüllt sind
(i) (R, +) ist eine abelsche Gruppe
(ii) (R \ {0}, ·) ist ein Monoid
(iii) a · (b + c) = a · b + a · c und (a + b) · c = a · c + b · c für alle a, b, c ∈ R.
(Distributivität)
Ist die Multiplikation · kommutativ, so nennen wir (R, +, ·) einen kommutativen Ring.
Beispiel 1.2
(a) (Z, +, ·) ist ein kommutativer Ring (siehe Beispiel 1.1 (c) und (d)).
(b) Sei Z[i ] := {a + bi | a, b ∈ Z}, wobei i die imaginäre Einheit bezeichne. Dann ist (Z[i ], +, ·)
mit der natürlichen Addition und Multiplikation ein kommutativer Ring. Man bezeichnet
(Z[i ], +, ·) als den Ring der Gaußschen Zahlen.
P
(c) Sei R ein Ring und R[x] = { nk=0 ak x k | ak ∈ R, n ∈ N0 }. Dann ist (R[x], +, ·) ein
kommutativer Ring, der so genannte Polynomring in der Variablen x.
(d) Sei n ∈ N0 und K n×n die Menge der n×n-Matrizen über dem Körper K. Dann ist (K n×n , +, ·)
mit der natürlichen Addition und Multiplikation ein Ring, der so genannte Matrizenring über
K. (K n×n , +, ·) ist kein kommutativer Ring, da die Matrizenmultiplikation nicht kommutativ
ist.
(e) Jeder Körper ist insbesondere ein Ring.