Newtonsche Axiome

1.3 Newtonsche Axiome
• Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, 1687
( Mathematische Prinzipien der Naturlehre)
• Mathematische Präzisierung durch Euler
a) Lex prima: (Galileisches Trägheitsgesetz)
Jeder Körper verharrt im Zustand der Ruhe oder der
gleichförmigen Bewegung, wenn er nicht durch Kräfte
gezwungen wird, seinen Zustand zu ändern.
(1.12)
• mathematische Form: v = konst. für F = 0
• Körper = Massepunkt (später: auch Schwerpunkt von Körpern)
• Gesetz definiert Inertialsysteme (IS) als spezielle BS,
nur in ihnen gelten die Newtonschen Bewegungsgesetze
• Galileisches Relativitätsprinzip:
Verschiedene IS bewegen sich gleichförmig zueinander.
Sie sind alle gleichwertig („Ruhe = gleichförmige Bewegung“).
(siehe Kapitel 1.4)
• Nicht-Inertialsystem: rotierende BS, beschleunigte BS
→ Scheinkräfte wie Zentrifugal-, Corioliskräfte
→ Gesetze sind komplizierter
• Konstruktion von IS:
im Weltraum mit Hilfe von drei senkrecht zueinander
fliegenden, kräftefreien Raumschiffen/ Kometen/
geworfenen Körpern
b) Lex secunda:
Die Änderung der Bewegungsgröße ist der Einwirkung
der bewegenden Kraft proportional und geschieht in
(1.13)
Richtung der Kraft.
Newton
• Bewegungsgröße
= Menge der Materie × v
modern
= träge Masse × v
= Impuls p = m v (1.14)
dp d (mv )
=
• mathematische Form (im IS): F =
(1.15)
dt
dt
variierende Masse m : → Raketenantrieb
• m = konst.
SRT: m =
→ F = m a (1.16)
m0
!!! m0 … "Ruhemasse", m = m0 für v ≪ c
2
1 − vc 2
• 2 neue Größen mit intuitivem Verständnis:
- Kraft F : Muskelkraft, Schwerkraft, Federkraft, ...
quantifizierbar durch z.B. Federn
- träge Masse m : unterschiedlicher Widerstand bei Beschleunigung (vgl. Holz- und Eisenkugel gleicher Größe)
- Präzisierung durch Gesetz: → beide haben ihre Berechtigung
a1 m2
1. F = konst., m variabel: messe m1a1 = m2a2 →
=
a2 m1
F1 F2
a1 F1
2. m = konst., F variabel: messe
=
→
=
a1 a2
a2 F2
messe a1 /a2 → Gesetz legt nur Verhältnisse fest
⇒ Massendefinition: 1 kg
(Normalkörper aus Pt-IrLegierung in Sèvres)
m
⇒ Krafteinheit: [ F ] = 1 kg 2 = 1 N = 1 Newton (1.18)
s
(1.17)
1 × mS 2 × mS
• schwere Masse mS :
über Gewichtskraft G = mS g meßbar/bestimmt!
(g ... Erdbeschleunigung, zunächst beliebige Konstante)
F0
Frage: Ist mS weitere Eigenschaft eines Körpers
(neben m) , etwa analog zur elektr.
Ladung (bestimmt Kraft im elektr. Feld)?
Mache Pendelversuch:
α
G0
G0 = F0
Messe ν für verschiedene Materialien und Massen
→ mS ∝ m
(g als freier Parameter!)
... „empirisch“
2G0
Schwingungsfrequenz
antreibende
Kraft
(
α
≪
1):
−
m
g
α

s
ℓ

ɺɺ  ν =
Trägheit:
mℓα
⇒ Setze: mS = m (1.19)
2F0
1 mS g
2π m ℓ
(s. Übung)
Genauigkeit: 10-10 − 10−12
(mit Drehwaage von Eötvös)
• ART:
schwaches Äquivalenzprinzip: mS = m
(1.20)
... „Axiom“
→ beschleunigte Systeme ≡ Gravitationsfeld
Erde:
Weltall:
−g
−G
−G
G = mg
c) Lex tertia:
„actio = reactio“
Die Kräfte, die zwei Körper aufeinander ausüben, sind (1.21)
stets gleich und von entgegengesetzter Richtung:
K12 = −K 21
• Bsp: Tau ziehen, fallender Stein und Erde
• Grundlage der Statik von Baukonstruktionen
• Annahme: instantane Kraftwirkung, Kraftwirkung breitet sich
mit unendlicher Geschwindigkeit aus (Bsp: Gravitationskraft)
Widerspruch zur SRT: Lichtgeschwindigkeit ist die maximale
Geschwindigkeit
r2
• „Annahme“:
K 21
( r 1 − r 2 ) × K12 = 0 (1.22)
r1
K12
andernfalls würde sich abgeschlossenes System in Drehung
versetzen (Verletzung der Drehimpulserhaltung )
Gegenbeispiel: Lorentzkraft
B
v
e−
K L ⊗B
⊗ −K L
e−
−v
K L = qc ( v × B )
d) Lex quarta (Hilfssatz):
Kräfte sind Vektoren → Superpositionsprinzip: K =
∑ Ki
(1.23)
i
• weitere Annahme, in Lex secunda vorausgesetzt
e) Grundaufgabe:
• Bestimme Bahnkurven von Massepunkten
1. Aufstellen des Kraftgesetzes ( → Kapitel 3)
2. Lösung der Dgl. 2.Ordnung in der Zeit:
m rɺɺ(t ) = K [ r ( t ) , rɺ ( t ) , t ]
(1.24)
(keine anderen Kräfte bekannt)
3. Anfangsbedingung [ Bsp: r ( 0 ) , rɺ ( 0 ) ]
→ Integrationskonstanten
4. Diskussion
• „numerisches“ Schema für die Integration (Lösen) von
m rɺɺ(t ) = K [ r ( t ) , rɺ ( t ) , t ]
(1.24)
Geg: r ( t ) , rɺ ( t ) zur Zeit t
dr ( t ) = rɺ ( t ) dt
  r ( t + dt ) = r ( t ) + dr ( t )
⇒

drɺ (t ) = K [ r ( t ) , rɺ ( t ) , t ] dt / m   rɺ ( t + dt ) = rɺ ( t ) + drɺ ( t )
(1.25)
⇒ (1.24) und r ( 0 ), rɺ ( 0 ) bestimmen die Dynamik
des Massepunktes eindeutig.