Spektrographen

1. Kleine Spektrographenkunde
In der Astronomie werden für hohe Spektrale Auflösung stets Gitterspektrographen verwendet. Wie alle Spektrographen bestehen sie aus
einem Spalt, einem Kollimator, (der das Licht parallel macht), einem
dispergierende Element (in diesem Falle einem Gitter) und einer Kamera.
Das Öffnungsverhältnis des Kollimators immer das gleiche, wie das des
Teleskops.
Die Gittergleichung ist :
λ=
a
(sin(α) + sin(β))
n
a : Abstand der Gitterfurchen
n : Ordnung des Gitters
α, β : Winkel des einfallenden und ausfallenden Strahls
Das theoretische Auflösnug des Spektrographen ist gegeben durch:
R=
λ
=N ·n
∆λ
N = Anzahl der Striche auf dem Gitter
n : Verwendete Ordnung des Gitters
Um eine möglichst hohe Auflösung zu erreichen, können entweder Gitter
mit einer großen Anzahl von Strichen (“holographische Gitter”), oder
Gitter in sehr hohen Ordnungen verwendet werden.
1.1 Blaze-Gitter und Littrow Anordnung
Ursprünglich hatten Gitterspektrographen den großen Nachteil, dass
das Licht einer bestimmten Wellenlänge über verschiedene Ordnungen
verteilt wird. Gitterspektrographen waren daher sehr viel weniger empfindlich als Prismenspektrographen.
Dieser Nachteil wurde durch die Entwicklung des Blaze-Gitters behoben. Blaze-Gitter reflektieren das Licht nur in eine bestimmte Richtung und somit bei gegebener Wellenlänge hauptsächlich in eine bestimmte Ordnung.
Gezeigt ist die Effizienz eines Echelle-Gitters mit 31.6 Linien pro mm,
einem Blaze-Winkel von 71o und einer Größe von 308x408 mm.
Echellegitter sind Blaze-Gitter mit Furchen, deren Blaze-Winkel sehr
groß ist (ca. 60-75o ). Sie werden somit immer in hohen Ordnungen
verwendet. Beispielsweise wird beim Tautenburger Echelle Spektrograph
die 62te bis 166te Ordnung verwendet.
Wird das Gitter so eingebaut, dass der Einfallswinkel gleich dem Ausfallswinkel und dieser gleich dem Blaze-Winkel ist (Littrow Anordnung),
so ist die Effizienz des Gitters besonders hoch.
1.2 Auflösungsvermögen
Um das theoretische Aufls̈ungsvermögen eines Spektrographen zu erreichen, ist im Allgemeinen ein sehr schmaler Spalt notwendig. So wurde
für die Erstellung des Arkturus Spektralatlases eine Spaltbreite von 0.1
Bogensekunden verwendet! Da der durch die Luftunruhe verursachte
scheinbare Durchmesser eines Sterns etwa ein Bogensekunden beträgt,
geht bei dieser Methode etwa 95% des Lichts verloren.
Besser ist es einen Spalt von etwa einer Bogensekunde zu verwenden. Um
die Leistungsfähigkeit von Spektrographen zu beurteilen, ist es wichtiger
zu wissen, welchen Auflösungsvermögen ein bestimmter Spektrograph
pro Bogensekunde erreicht. Dies ist gegeben durch:
Rϕ = 2(d/D)tanαB
ϕ: Spaltbreite, eine Bogensekunde=pi/(3600*180)
d : Durchmesser des Kollimators und damit der Durchmesser der Fläche
des Gitters, die vom Kollimator ausgeleuchtet wird.
αB : Blaze-Winkel. Es gibt tanαB = 2 und neuerdings auch tanαB = 4
Gitter.
Wir müssen natürlich die Kamerabrennweite so wählen, dass unser Detektor diese Details auch Auflösen kann. Das bedeutet:
R = (f /p) tan(αB )
f : Brennweite der Kamera
p : Grösse eines Bildelements des Detektors
tan(αB ) : Blaze-Winkel des Gitters
Die Zentralwelllänge ist gegeben durch:
λc =
a
∗ 2 ∗ sin(αB )
n
a : Gitterkonstante
n : Ordnung des Gitters
αB : der Blaze-Winkel.
Die Wellenlänge am Rand des Gesichtsfeldes ist gegeben durch:
λf ree =
a
∗ (sin(αB ) + sin(αB ± β))
n
β : Gesichtsfeld der Kamera.
Um einem Spektrographen zu bauen, mit dem wir das gesammte optische Spektrum simultan und ohne Lücken aufnehmen können, sind Kameras mit relativ großem Öffnungsverhältnis notwendig, etwa f=3 für ein
tan(αB ) = 2-Gitter und sogar f=1.5 für ein tan(αB ) = 4-Gitter. Mit der
Erfindung der Schmidtkamera war es möglich, erstmalig solche Kameras
zu bauen. Die etwa zeitgleiche Erfindung der Schmidtkamera und des
Blaze-Gitters führte zu einer enormen Verbesserung der Spektrographen.
Schmidtkameras haben allerdings den Nachteil, dass der Detektor, oder
ein großer Sekundärspiegel in der Mitte der Kamera sitzt und somit
etwas Licht verloren geht. Heute ist es möglich Spektrographenkameras
mit Linsen zu bauen. Solche Optiken sind allerdings sehr teuer, da es
sich um sehr kurzbrennweitige Systeme mit großem Gesichtsfeld handelt,
die noch dazu vom nahen IR bis zum nahen UV funktionieren müssen.
1.3 Querdispersion
Die Verwendung sehr hoher Ordnungen hat zwar den Vorteil einer guten
Auflösung, aber den Nachteil, dass zunächst Licht aus verschiedenen
Ordnungen sich auf dem Detektor überlagert. Eine Ordnungstrennung
mit Hilfe von Filtern würde zu ein sehr kleinen nutzbaren Spektralbereich
führen und ist daher unpraktisch.
Viel besser ist es, die verschiedenen Ordnungen mit Hilfe eines zweiten
Spektrographen, dessen Dispersionsrichtung senkrecht zur ersten steht,
zu trennen. Dadurch wird das Spektrum praktisch hin- und hergefaltet
und der Detektor optimal ausgenutzt (Echelle Spektrograph).
Der Querdisperser ist ein Spektrograph mit niedriger Auflösung. Als
dispergierndes Element wird entweder ein Gitter (in erster Ordnung),
oder mehre, hintereinander geschaltete Prismen, oder ein Grism (Kombination aus Gitter und Prisma) verwendet.
Spektren von Sternen unterschiedlicher Temperatur.
1.4 White Pupil Design
Leider erzeugt insbesondere das Echelle-Gitter Streulicht. Dieses Licht
ist dem Spektrum überlagert. Das Streulicht läßt sich zwar “zwischen
den Ordnung” messen und bei der Datenreduktion abziehen, besser ist
es aber, einen streulichtfreien Spektrographen zu bauen.
Bei “White Pupil Design” entsteht an einer Stelle im Spektrographen
ein intermediäres Spektrum. An dieser Stelle läßt sich eine Blende anbringen, die das Streulicht beseitigt.
2. Grobanalyse/Feinanalyse
Das Spektrum eines Sterns liefert uns ein enorme Menge an Informationen. Im Folgenden werden nur einige Beispiel angegeben, welche Information sich aus dem Spektrum gewinnen lassen.
Die Wachstumskurve beschreibt den Zusammenhang zwischen der
Äquivalentbreite Wλ und der Anzahl der an der Linienabsorption beteiligten Atome Nabs . Genauer gesagt trägt man log(Wλ /λ) gegen
log(gn fmn λ0 )
auf. Für jede Spektrallinie ist sowohl die Oszillatorenstärke (=Übergangswahrscheinlichkeit) fmn , die Energie des Niveaus χ, und das statischtische Gewicht des Zustandes gn bekannt. Die verschiedenen Multiplets (gleiches χ) haben zueinander ein Abstand von −χ · (5040[K]/T ) +
Konst. Somit läßt sich aus dem Abstand der “Zweige” die Temperatur
des Sterns bestimmen. Diese Verfahren heißt Grobanalyse, da nur die
Äquivalentbreite gemessen wird.
Bei der Feinanalyse werden hingegen die Profile der Linien gefitted. Beispielsweise kann man die Temperatur aus den Flügeln der Balmerlinien
(Hα, Hβ ) gewinnen. Allerdings muß man dazu die Schwerebeschleunigung (log(g)) bekannt sein. Diese kann man sich aus dem “Ionisationsgleichgewicht” von FeII/FeI-Linien verschaffen. Da auch hierbei wiederum die Temperatur eingeht, funktioniert das Verfahren nur iterativ.
3. Die Rotation der Sterne
Alle Sterne rotieren. Somit kommt stets eine Seite des Sterns auf uns
zu, währen sich die andere sich von uns entfernt. Dies führt zu einer
Verbreiterung der Spektrallinien.
ν=
C ∗ ∆λ
λ
Nehmen wir zunächst einmal an, die Rotationachse des Sterns stehe senkrecht auf der Sichtlinie. Die Rotationsgeschwindigkeit ist dann gegeben
als Funktion der “geographischen” Breite auf dem Stern (φ):
vrot = vrot (Aequator) cosφ
Seit nun λ die “geographische Länge” auf dem Stern (gemessen vom
Sternzentrum zum Rand des Sterns), dann ergibt sich die Geschwindigkeit entlang der Sichtlinie als:
vr = vrot sinλ = vrot (Aequator) cosφ sinλ
Die beobachtete Geschwindigkeit entlang der Sichtlinie vr ist konstant
der entlang von Linien mit konstantem cosφ sinλ.
Jetzt führen wir kartesische Koordinaten ein:
z = r sinφ
x = ρ sinλ
y = ρ cosλ
wobei ρ der Querschnitt durch den Stern bei der “geographischen Breite”
φ ist. r ist der Radius des Sterns.
ρ = r cosφ
Also ergibt sich :
x = r cosφ sinλ
y = r cosφ cosλ
Oben haben wir ja bereits gesehen, dass die Radialgeschwindigkeit vr
konstant entlang von Linien mit konstantem cosφ sinλ ist. Also sind
dies Linien für die x = const gilt. Dies sind also einfach senkrechte
Streifen auf dem Stern!
Steht die Rotationsache des Sterns nicht senkrecht auf der Sichtlinie,
so muß man einfach alle vr -Werte mit sin i multiplizieren, wobei i die
Inklination des Sterns (Winkel zwischen Sichtline und Rotationsachse)
ist.
3.1 Mitte Rand Variation:
Im vorigen Teil haben wir Gleichungen entwickelt um für jeden Punkt
der Sternoberfläche die Geschwindigkeit eintlang der Sichtlinie zu bestimmen. Im Prinzip könnten wir nun fröhlich die Verbreiterung von
Spektrallinien berechnen, aber leider gibt es da ein Problem: Die Mitte
Rand Variation.
Leider brauchen wir jetzt ein weitere Koordinate: µ = cosϑ, der Abstand
von der Mitte der Sonnenscheibe: µ = 1 (ϑ = 0o ) ist die Mitte der
Sonnenscheibe; µ = 0 ist der Sonnenrand (ϑ = 90o ). Mit dem RandverdunklungsKoeffizient β ergibt sich das Randverdunklungsgesetz als
(β = 0 ist eine leuchtende Scheibe):
1 + β cos ϑ
Iν (ϑ)
=
Iν (0)
1+β
Für die Sonne ist β = 1.5 und v = 2 km s−1 , der Be-Stern ϕ Pers hat ein
v sin i von 560 km s−1 . Die obere Abbildung zeigt die Verbreiterung einer
hypothetischen Linie bei 6811 Å, beobachtet mit einem Spektrographen
mit einer Auflösung von λ/∆λ = 48 000 (FEROS). Die Rotationsverbreiterungen sind für v sin i = 10, 20, 30, 40, 50 km s−1 berechnet worden.
Die untere Abbildung zeigt für v sin i = 50 km s−1 den Effekt der MitteRand Variation. Gerechnet wurde β = 0.2, 0.5, 1.5, 2.5, 3.5, 4.5. Je
größer β ist, um so tiefer ist die Linie . Bei kleinen Werten von β ist das
Profil breiter.
4. Mikro- und Macro-Tubulenz
Auch vor der Beobachtung der Granulation fiel bereits auf, dass Turbulenz in den äusseren Schichten der Sonne ein Rolle spielt.
Mikro-Turbulenz: Wie bereits erwähnt, wird bei der Messung der
chemischen Häufigkeit und der Temperatur häufig die Wachstumskurve
verwendet. Bei der Analyse der Wachstumskurve am Anfang des 20ten
Jhd. fiel auf, dass es für starke Linien eine Unterschied zwischen gemessener und berechneter Äuquivalentbreite gibt. Die Differenz konnte mit
der Annahme eines turbulenten Geschwindigkeitsfeldes mit einer Amplitude von ξt = 1 − 2 km/s erklärt werden.
Die Linien werden verbreitert durch die Geschwindigkeit der Atome (und
Molekühle) in der Atmosphäre. Diese sogn. Dopplerbreite einer Linie
ist gegeben durch:
q
λ
2vx2
∆λD =
c
...mit Gasgleichung (<=Gaskonstante; mol=Molekulargewicht;
T =absolute Temperatur) ergibt sich daraus:
r
λ 2<T
∆λD =
c mol
...bzw. für die Frequenz:
ν
∆νD =
c
r
2<T
mol
Um nun die berechneten Linienprofile mit der Beobachtung in Einklang
zu bringen, führt man die Turbulenzgeschwindigkeit ξt ein. Diese ist die
sogn. Mikroturbulenz.
r
λ 2<T
+ ξt2
∆λD =
c mol
r
ν 2<T
∆νD =
+ ξt2
c mol
Bei der Sonne ist ξt ∼ 1.4km s−1 .
M/M
g
=
; g = 2.74 104 cm s−1
g
R/R
Makro-Turbulenz: Nachdem die Äquivalentbreiten mit Hilfe der Mikro- Turbulenz “richtig gestellt” wurden, stellte sich bei der Modellierung
der Linienprofile heraus, dass diese im Kern ein bißchen weniger tief
waren als erwartet, dafür waren die Flügel ein bißchen zu breit. Mit
der Annahme eines weiteren turbulenten Geschwindigkeitsfeldes konnte
auch diese Diskrepanz beseitigt werden. Die Makro-Turbulenz kann
tatsächlich mit der Granulation identifiziert werden. Die Granulation
führt auch zu einer Asymmetrie der Linien und der konvektiven Blauverschiebung der Linien.
Makro-Turbulenz: Ursache: optische dicke Turbulenzelemente.
Mikro-Turbulenz: Ursache: optische dünne Turbulenzelemente.
Für Hauptreihensterne fand Gray einen Zusammenhang zwischen der
Makro-Turbulenz < ζRT > und Tef f :
< ζRT >∼ 3.95 Tef f − 19.25 [km s−1 ]
5. Fourier-Analyse der Sternspektren
Die Fourier-Transformierte einer Funktion H(λ) ist h(f ), gegeben durch:
Z +∞
h(f ) =
H(λ)e2πiλf dλ
−∞
wenn λ ist in Å gegeben ist, so hat die Fourier-Transformierte h(f ) die
Einheit Å−1 . “Das Linienprofil wird durch eine Überlagerung von vielen
sinus (cosinus)-Funktionen unterschiedlicher Amplitude und Frequenz
wiedergegeben”.
Um das ursprüngliche Spektrum wieder zu erhalten durch:
Z +∞
h(f )e2πiλf df
H(λ) =
−∞
Zur Veranschaulichung: Je breiter die Linie ist, um so schmaler ist deren
Fourier-Transformierte.
Der große Vorteil der Fourier-Analyse der Spektrallinien ist, dass wir
die einzelnen Funktionen die das Linienprofil verändern nur im FourierRaum multipliziert müssen.
Beispiel: Sei I(λ) die instrumentelle Profil, G(λ) das rotationsverbreiterte Profil and F0 (λ) das intrinsische Linienprofil des Sterns, so ist die
Fourier-Transformierte des beobachteten Linieprofils nur das Produkt
der Fourier-Transformierten (I(f ), G(f ), F0 (f )) dieser Funktionen:
D(f ) = I(f ) ∗ G(f ) ∗ F0 (f )
Mit der oben angegebenen Rücktransformation ließe sich zwar das beobachtete Linieprofil reproduzieren, es ist aber einfacher gleich im Fourierraum zu bleiben.
Auch das “Rauschen” der Fourier-Transformierten läßt sich leicht ableiten:
√
Sf = S λ ∆ λ N
wobei Sλ das Signal-zu-Rausch-Verhältnis ist, N die Anzahl der Datenpunkte im Linienprofil und ∆λ der Abstand zweier Datenpunkte [in Å].
Die Abbildung zeigt die Fourier-Transformierte der Fe II 4352 Linie von
α Aql. Die Dreiecke sind die beobachtetet Werte. Das instrumentelle
Profil wurde bestimmt, fourier-transformiert und die Fourier-Transformierte des beobachteten Spektrum dadurch dividiert: Das Resultat ist die
oberen Kurve (schwarze Quadrate). Diese Kurve wurde dann modelliert.
Es ergab sich einem v sin i von 207 km s−1 .
6. Die Granulation
Die Granulation wird durch die Konvektion hervorgerufen, ist aber nicht
die Konvektion, da wir die Granulation in der (radiativen) Photosphäre
beobachten. Die Granulation entsteht dadurch, dass die konevtiven
Zellen genug Impuls haben um in die konvektivstabile Schicht der Photosphäre “überzuschießen” (Overshoot-Schicht). Diese Overshoot-Schicht
hat ein Dicke von nur etwa 200 km. Die Granulation besteht aus heißen,
aufsteigenden Zellen (den Granulen) und kühlen absteigenden Regionen,
den intergranularen Räumen. Die Granulation ist als zellartiges Muster
zu erkennen.
6.1 Die Typen der Granulation
Es gibt verschiedene Arten von Granulation:
i.) Die Granulation, mit Zellen von etwa 1000 km Durchmesser
ii.) Die Mesogranulation, mit Zellen von etwa 5-10000 km Durchmesser
iii.) Die Super-Granulation, mit Zellen von etwa 20-50000 km
Durchmesser
iv.) Die Giant Cells
6.1.1 Die Granulation selber
Die Zahl der Granulen auf der Sonnenoberfläche beträgt etwa ein Million.
Der Lebensdauer eines Granulums beträgt etwa 10 Minuten (35% fragmentieren, 60% tauchen ab, 4% verschmelzen). Vertikalen Geschwindigkeiten liegen bei 2 km/s (rms). Intensitätskontrast bei etwa 30%.
6.1.2 Die Mesogranulation
Die Zahl der Meso-Granulen auf der Sonnenoberfläche beträgt immer
noch 100000. Die Lebensdauer eines Mesogranulums beträgt etwa 3
Stunden. und die vertikalen Geschwindigkeiten liegen nur bei 60 m/s.
Die Existenz der Mesogranulation lässt sich nur sehr indirekt aus der
Beobachtung des horizontalen Strömungsmusters auf der Sonne ableiten
(Cork-Image).
6.1.3 Die Supergranulation
Die Zahl der Supergranulen auf der Sonnenoberfläche beträgt so etwa
1000. Die Lebensdauer eines Supergranulums beträgt etwa ein Tag. und
die vertikalen Geschwindigkeiten liegen nur bei 40 m/s.
Die Supergranulation lässt sich wieder aus der Beobachtung des horizontalen Strömungsmusters auf der Sonne ableiten, sie ist aber auch
als Zellenmuster bei Beobachtungen mit einem CaII Filter zu erkennen
(“chromospheric emission network”).
6.1.4 Die Giant Cells
Die Giant Cells wurden durch die sehr genaue Analyse der Sonnenrotation entdeckt. Mit einem Durchmesser von 100000 km sind die Zellen
wirklich groß . Es gibt nur einige wenige dieser Zelle auf der Sonne. Die
Giant-Cells sind sehr schwierig nachzuweisen, da sie von der differentiellen Rotation überlagert sind.
6.2 Woher kommen die Strukturen?
Wasserstoff ist in 2000 km Tiefe zu 50% ionisiert −− > Granulation
Helium I ist in 7000 km Tiefe zu 50% ionisiert −− > Mesogranulation
Helium II ist in 30000 km Tiefe zu 50% ionisiert −− > Supergranulation
Giant Cells : Tiefe der Konvektionsschicht.