6.2 Kongruenzen

6.2 Kongruenzen
j
0
1
2
3
4
j
22 + 1
3
5
17
257
65537
105
Primzahl?
ja
ja
ja
ja
ja
6.2.1
Definition
a ≡ b mod m
5
22 + 1 = 4294967297 = 641 · 6700417
keine Primzahl ist. Inzwischen hat man viele Zahlen durchprobiert und keine weitere Primzahl
gefunden, so daß man heute vermutet – im Gegensatz zu Fermat –, daß es keine weiteren gibt.
382447
+ 1, eine
Die größte Zahl dieser Form, von der man weiß, daß sie keine Primzahl ist, ist 22
Zahl, von der es Mühe macht die Anzahl der Stellen anzugeben. Die Anzahl der Stellen dieser
Zahl hat selbst mehr als 100000 Stellen.
Allerdings ist von vielen Zahlen dazwischen unbekannt, ob sie Primzahlen sind oder nicht.
33
Im Augenblick ist 22 + 1 die kleinste Zahl, die eine Primzahl sein könnte. Diese Zahl hat
2585827973 Dezimalstellen.
Die Fermatschen Primzahlen haben auch eine wichtige geometrische Bedeutung. Man kann
zeigen (und das tat Gauß im Alter von 19 Jahren), daß sich genau dann ein regelmäßiges n-Eck
mit Zirkel und Lineal konstruieren läßt, wenn n eine Fermatsche Primzahl, das Produkt solcher
Zahlen oder das Produkt solcher Zahlen und einer Zweierpotenz ist. Gauß konstruierte
√ als erster
ein 17-Eck mit Zirkel und Lineal (siehe hierzu den Artikel im Maiheft 2002 der WURZEL).
Kongruenzen
Der letzte Abschnitt zeigte, daß es sinnvoll ist, mit großen Zahlen möglichst einfach rechnen zu
können. Oft kommt es nicht darauf, an eine Zahl im Detail zu kennen, sondern es genügt zu
wissen, welchen Rest sie bei Division durch eine andere Zahl läßt. Das ist meistens wesentlich
einfacher, als die Zahl oder den Quotienten explizit zu berechnen.
Jede ganze Zahl n läßt bei Division durch eine andere Zahl – etwa m – einen wohldefinierten
Rest, der eine der m Zahlen 0, 1, ..., m − 1 ist.
n = k · m + r, 0 ≤ r ≤ m − 1 .
6 ZAHLENTHEORIE
Zwei ganze Zahlen a und b heißen restgleich bezüglich m, wenn a − b durch m teilbar ist. Die
beiden Zahlen gehören dann in die gleiche Restklasse bezüglich m. Das wird
Fermat untersuchte solche Zahlen (deshalb werden sie Fermatsche Zahlen genannt) und äußerte
die Vermutung, daß alle Zahlen dieser Form Primzahlen sind. Erst Euler konnte über 100 Jahre
später – ohne Computer – zeigen, daß die nächste Zahl
6.2
106
(61)
Alle ganzen Zahlen kann man in m Teilmengen (Restklassen) unterteilen in Abhängigkeit davon,
welchen Rest sie bei Division durch m lassen. Interessiert man sich dafür, welchen Rest n bei
Division durch m läßt, muß man weder die Zahl selbst noch den Quotienten (in (61) mit k
bezeichnet) kennen. Es genügt zu wissen, in welche Restklasse die Zahl gehört. Ist z.B. m = 7,
gibt es die 7 Reste 0, 1, 2, 3, 4, 5 und 6. Die Zahlen 1, 8, −6 und 2123456 lassen alle bei Division
durch 7 den Rest 1. Für 1 und 8 ist das klar. Für −6 sieht man das, weil −6 = (−1) · 7 + 1 gilt.
Auch für 2123456 ist das leicht zu zeigen. Da 123456 = 3 · 41152, ist 2123456 − 1 durch 23 − 1 = 7
teilbar. Also läßt der Nachfolger von 2123456 − 1, d.h. 2123456 , den Rest 1 bei Division durch 7.
geschrieben und
”
a ist kongruent b modulo m“
gelesen. Die drei Ausdrücke
a ≡ b mod m ⇐⇒ ma − b ⇐⇒ ∃k ∈ Z : a − b = k · m .
sind also äquivalent. Das Symbol ∃ bedeutet es existiert“. Der letzte Ausdruck bedeutet
”
”
Es existiert eine ganze Zahl k, so daß a − b = k · m.“
6.2.2
Rechenregeln
Das besondere an diesen Kongruenzen ist, daß man mit ihnen fast wie mit ganzen Zahlen
rechnen kann. Es sei a ≡ b mod m und c ≡ d mod m. Dann gilt
a + c ≡ b + d mod m
a − c ≡ b − d mod m
a · c ≡ b · d mod m
Die Beweise sind einfach. Die letzte Zeile wird hier exemplarisch vorgeführt: Es ist zu zeigen,
daß a · c − b · d durch m teilbar ist, wenn a − b und c − d es sind. Nach Definition gibt es also
ganze Zahlen k und j, so daß gilt:
a−b = k·m
c−d = j·m
Das sind richtige Gleichungen. Man kann wie gewohnt mit ihnen rechnen. Multipliziert man
die erste Gleichung mit c und die zweite mit b, folgt
a·c−b·c = c·k·m
c·b−d·b = b·j·m
Addiert man diese beiden Gleichungen, erhält man
a · c − d · b = c · k · m + b · j · m = (c · k + b · j)m .
a · c − d · b ist somit ein Vielfaches von m. Also sind a · c und d · b restgleich.
Multipliziert man die Kongruenz a ≡ b mod m mit sich selbst, erhält man
a2 ≡ b2 mod m .
Das kann man n-mal ausführen und erhält
an ≡ bn mod m .
107
6.2 Kongruenzen
Kongruenzen lassen sich daher auch potenzieren. Anders als mit ganzen Zahlen funktioniert
die Division. Das sieht man an folgendem Beispiel:
Aus 22 ≡ −2 mod 8 folgt 11 6≡ −1 mod 8, aber aus 33 ≡ −3 mod 4 folgt und 11 ≡ −1 mod 4.
Man kann also nicht in jedem Fall beide Seiten einer Kongruenz durch einen gemeinsamen
Faktor teilen. Es gilt
ac ≡ bc mod m =⇒ a ≡ b mod m falls ggt(m, c) = 1
c
c
m
ac ≡ bc mod m =⇒ a ≡ b mod
falls ggt(m, c) = d
d
d
d
m
falls ggt(m, c) = d
ac ≡ bc mod m =⇒ a ≡ b mod
d
(62)
(63)
(64)
Das läßt sich leicht mit der Definition der Kongruenzen beweisen. ac ≡ bc mod m bedeutet, es
existiert eine ganze Zahl k mit
ac − bc = k · m
(65)
oder
a−b=
k·m
.
c
(66)
Es sei als erstes ggt(m, c) = 1 Die linke Seite von (66) ist eine ganze Zahl, die rechte Seite daher
auch. Aber ggt(m, c) = 1, somit muß k durch c teilbar sein. Es ist folglich
k
a−b= ·m
c
mit einer ganzen Zahl kc . Das bedeutet aber gerade a ≡ b mod m. Damit ist (62) bewiesen.
Ist ggt(m, c) = d, so ist m und c durch d teilbar und aus (65) folgt
c
c
m
a −b =k·
.
d
d
d
Beispielaufgaben
Aufgabe 1:
Für welche ganzzahligen n ist 4n2 + 1 durch 5 teilbar?
Wir stellen eine Restetabelle bezüglich der Division durch 5 auf:
n
n2
4n2
2
4n + 1
≡
≡
≡
≡
0
0
0
1
1
1
4
0
2
4
1
2
3
4
1
2
4
1
4
0
mod
mod
mod
mod
5
5
5
5
Durch 5 teilbar ist 4n2 + 1 also genau dann, wenn n ≡ ±2 mod 5 ist. Das sind die Zahlen
n = 5k − 2 und n = 5k + 2.
Aufgabe 2:
Beweise, daß n7 − n stets durch 42 teilbar ist!
6 ZAHLENTHEORIE
7
Diese Aufgabe kann man auf verschiedene Weise lösen. Unter anderem sieht man, daß fn = n 42−n
die Bildungsvorschrift für eine arithmetische Folge 7-ter Ordnung ist. Falls sie 7 aufeinanderfolgende ganzzahlige Glieder enthält, ist sie also ganzzahlig. Besonders einfach lassen sich die
Glieder f0 , f±1 , f±2 und f±3 berechnen. Eine Lösung mit Kongruenzen erhält man, wenn man
n7 − n in Faktoren zerlegt. Es gilt
n7 − n = (n − 1)n(n + 1)(n2 − n + 1)(n2 + n + 1) .
Hieran erkennt man sofort, daß n7 − n durch 2 und durch 3 – also durch 6 – teilbar ist (Produkt
von drei aufeinanderfolgenden Zahlen). Es bleibt die Teilbarkeit durch 7 zu zeigen (42 = 2 ·3·7).
Dazu stellen wir eine Restetabelle bezüglich der Division durch 7 auf:
n n − 1 n + 1 n2 − n + 1 n2 + n + 1
0
6
1
1
1
0
2
1
3
1
2
1
3
3
0
2
4
0
6
3
3
5
6
0
4
4
6
0
3
5
5
0
3
1
6
Wir sehen, daß es stets einen Faktor gibt, der durch 7 teilbar ist, gleichgültig, welchen Rest n
läßt. Damit ist die Teilbarkeit des Produkts gesichert und die Aufgabe gelöst.
Aufgabe 3:
Bestimme alle ganzzahligen Lösungen x, y und z der Gleichung 2x + 7y = z 3 − 1
Wir lösen die Gleichung nach y auf
y=
Damit ist (63) bewiesen.
(64) folgt aus (63) und (62), denn wenn ggt(m, c) = d, dann ist ggt( md , dc ) = 1 und man kann
(63) durch den gemeinsamen Faktor dc teilen.
6.2.3
108
2x − z 3 + 1
7
und stellen fest, daß es nur eine ganzzahlige Lösung geben kann, wenn 2x − z 3 + 1 durch 7
teilbar ist.
Wir sehen, daß die Reste von 2x bei Division durch 7
20
21
23
24
25
26
...
≡
≡
≡
≡
≡
≡
1
2
4
1
2
4
mod
mod
mod
mod
mod
mod
7
7
7
7
7
7
periodisch die Werte 1, 2 und 4 annehmen und an der Restetabelle
z ≡ 0 1 2 3 4 5 6 mod 7
1 − z 3 ≡ 1 0 0 2 0 2 2 mod 7
daß 1 − z 3 nur die Reste 0, 1 und 2 annehmen kann. Die Summe 2x + 1 − z 3 kann also nie durch
7 teilbar sein. Folglich kann die gegebene Gleichung keine Lösung haben.