Der Feynman Propagator - Kombinatorik von Feynman

Der Feynman Propagator
Kombinatorik von Feynman-Diagrammen und kombinatorische
Quantenfeldtheorie
Tobias Hanke
Uni Konstanz
Tobias Hanke (Uni Konstanz)
Der Feynman Propagator
1 / 43
1
Einführung
2
Feldgleichungen
Klein-Gordon
Dirac
3
Nichtrelativistische Propagatortheorie
Physikalische Aspekte
Mathematische Aspekte
4
Relativistische Propagatortheorie
Propagatoren für Elektronen und Positronen
5
Zusammenfassung
Tobias Hanke (Uni Konstanz)
Der Feynman Propagator
2 / 43
Einführung
Übersicht
Tobias Hanke (Uni Konstanz)
Der Feynman Propagator
3 / 43
Einführung
Einheiten
klassische Einheiten: [l] = [v ][t]
Konstante: c = 3 · 1010 cm
s
natürliche Einheiten: c = 1
1
⇒ 1 cm =
ˆ 3·10
10 s d.h.
[l] = [t]
klassische Einheiten: [E ] = [~][ω]
Konstante: ~ = 1, 054 · 10−34 Js = 6, 6 · 10−22 MeVs
natürliche Einheiten: ~ = 1
⇒ 1 MeV =
ˆ 6,6·101 −22 s d.h.
[l] = [t] = [E ]−1
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Der Feynman Propagator
4 / 43
Einführung
Einheiten
klassische Einheiten: [E ] = [m][c 2 ]
Konstante: c = 3 · 1010 cm
s
natürliche Einheiten: c = 1
1
⇒ 1 kg =
ˆ 9·10
16 J d.h.
[l] = [t] = [E ]−1 = [m]−1
klassische Einheiten: [p] = [m][v ]
Konstante: c = 3 · 1010 cm
s
natürliche Einheiten: c = 1
1
⇒ 1 kg =
ˆ 3·10
8 Ns d.h.
[l] = [t] = [E ]−1 = [m]−1 = [p]−1
⇒ melectron = 9.109 · 10−28 g = 0, 511MeV = (3, 862 · 10−11 m)−1
|
{z
} | {z } |
{z
}
Teilchenmasse
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Ruheenergie
Der Feynman Propagator
Comptonwellenlaenge
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Feldgleichungen
1
Einführung
2
Feldgleichungen
Klein-Gordon
Dirac
3
Nichtrelativistische Propagatortheorie
Physikalische Aspekte
Mathematische Aspekte
4
Relativistische Propagatortheorie
Propagatoren für Elektronen und Positronen
5
Zusammenfassung
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Der Feynman Propagator
6 / 43
Feldgleichungen
Klein-Gordon
Klein-Gordon-Gleichung
Ausgangspunkt in der QM: Schrödingergleichung:
∂ψ
= Hψ
∂t
mit H: linearer, hermitescher Operator
Hamiltonoperator für freies Teilchen:
i~
H=
(1)
p2
2m
∂
~ auf
führt mit H → i~ ∂t
und ~p → ~i ∇
i~
∂ψ
~2 ∇2
=−
ψ
∂t
2m
(2)
Problem: nicht kovariant!
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Feldgleichungen
Klein-Gordon
spezielle Relativitätstheorie:
µ
p =
E
, px , py , pz
c
transformiert sich wie kovarianter Vierervektor mit invarianter Länge:
pµ p µ =
E2
− ~p 2 ≡ m2 c 2
c2
liefert H für relativistisches freies Teilchen:
p
H = p 2 c 2 + m2 c 4
∂ψ p 2 2
= p c + m2 c 4 ψ
∂t
Problem: nicht-lokale Theorie!
⇒ i~
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Der Feynman Propagator
(3)
8 / 43
Feldgleichungen
Klein-Gordon
Abhilfe quadrieren:
H 2 = p 2 c 2 + m2 c 4
(negative Energie: Antiteilchen)
mit Aψ = Bψ
und [A, B] = 0 ⇒ A2 ψ = B 2 ψ
∂2
−~2 2 ψ = −~2 ∇2 c 2 + m2 c 4 ψ
∂t
mc 2 ψ = 0
2+
~
(4)
Klein-Gordon-Gleichung (homogene Wellengleichung 2. Ordnung)
Problem: Strom liefert keine positiv definite Wahrscheinlichkeitsdichte
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Feldgleichungen
Dirac
Dirac-Gleichung
SGL linear in ∂t ⇒ Hamilton konstruieren, der linear in ∂x:
~c
∂ψ
∂ψ
∂ψ
∂ψ
=
α1
+ α2
+ α3
+ βmc 2 ψ ≡ Hψ
i~
∂t
i
∂x1
∂x2
∂x3
(5)
αi , β keine Skalare, sonst Gleichung gegen räumliche Drehung nicht
invariant
⇒ Matrix-Gleichung, ψ N komp. Dirac-Spinor, αi , β N × N Matrizen
N N
X
∂ψσ
~c X
∂
∂
∂
i~
=
α1
+ α2
+ α3
ψτ +
βστ mc 2 ψτ (6)
∂t
i
∂x1
∂x2
∂x3 στ
τ =1
τ =1
Diracgleichung sollte erfüllen:
1
Energieerhaltung
2
Kontinuitätsgleichung
3
Wahrscheinlichkeitsinterpretation
4
Lorentzkovarianz
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Feldgleichungen
Dirac
1.) jede Komponente muss dazu Klein-Gordon-Gleichung erfüllen:
∂ 2 ψσ
= −~2 c 2 ∇2 + m2 c 4 ψσ
2
∂t
iteriere Dirac-Gleichung:
−~2
−~2
3
3
X
∂ψ
~mc 3 X
αj αi + αi αj ∂ 2 ψ
∂2ψ
2 2
(αi β +βαi )
+β 2 m2 c 4 ψ
=
−~
c
+
∂t 2
2
∂x i ∂x j
i
∂x
i=1
i,j=1
Vergleich liefert (führt auf Clifford-Algebra und γ-Matrizen):
αi αk + αk αi = 2δik
αi β + βαi = 0
αi2 = β 2 = 1
wird z.B. gelöst durch
0
αi =
σi
σi
0
und
β=
1 0
0 −1
wobei σi bzw. 1 die Pauli- bzw Einheitsmatrizen sind
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Feldgleichungen
Dirac
2.) Stromerhaltung: (Dirac mal ψ † )
i~ψ †
3
∂ψ
~c X † ∂ψ
=
ψ αk k + mc 2 ψ † βψ
∂t
i
∂x
k=1
kombiniert mit c.c. liefert:
3
X ~c ∂
∂
i~ ψ † ψ =
ψ † αk ψ
∂t
i ∂x k
k=1
und der Vergleich mit der Kontinuitätsgleichung
∂
ρ + div~j = 0
∂t
liefert die korrekte positiv definite Wahrscheinlichkeitsdichte ρ = ψ † ψ
und den Wahrscheinlichkeitsstrom j k = cψ † αk ψ
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Der Feynman Propagator
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Nichtrelativistische Propagatortheorie
1
Einführung
2
Feldgleichungen
Klein-Gordon
Dirac
3
Nichtrelativistische Propagatortheorie
Physikalische Aspekte
Mathematische Aspekte
4
Relativistische Propagatortheorie
Propagatoren für Elektronen und Positronen
5
Zusammenfassung
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Der Feynman Propagator
13 / 43
Nichtrelativistische Propagatortheorie
Physikalische Aspekte
Physikalischer Zugang
Sei ψ(~x , t) gegeben.
Verallgemeinertes Huygens’sches Prinzip
Wellenfunktion ψ(x~0 , t 0 ) zu späterem t’ dadurch gegeben, dass jeder
Raumpunkt ~x zur Zeit t eine Kugelwelle aussendet.
Proportionalitätskonstante sei iG (x~0 , t 0 ; ~x , t).
⇒ ψ(x~0 , t 0 ) = i
Z
d 3 xG (x~0 , t 0 ; ~x , t)ψ(~x , t)
G: Greensfunktion“ oder Propagator“
”
” Der Feynman Propagator
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(t 0 > t)
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Nichtrelativistische Propagatortheorie
Physikalische Aspekte
Mathematischer Zugang
Schrödingergleichung
i
∂ψ(~x , t)
= (H0 + V (~x , t)) ψ(~x , t)
∂t
(7)
Gleichung ist
von 1.Ordnung in t (→ wenn ψ(~x , t) gegeben, dann ist ψ(~x 0 , t 0 ) für
alle ~x 0 und t’ berechenbar.)
linear in ψ(~x , t) (→ Superpositionsprinzip)
⇒ ψ(~x , t) muss einer linearen homogenen Integralgleichung genügen:
Z
⇒ ψ(~x 0 , t 0 ) = i d 3 xG (~x 0 , t 0 ; ~x , t)ψ(~x , t)
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(8)
15 / 43
Nichtrelativistische Propagatortheorie
Physikalische Aspekte
Zeitordnung
Vorwärtsausbreitung −→ retardierte Greensfunktion:
G falls t 0 > t
+
G =
0 falls t 0 < t
Rückwärtsausbreitung −→ avancierte Greensfunktion:
−G falls t 0 < t
−
G =
0
falls t 0 > t
damit:
0
0
0
Z
d 3 xG + (~x 0 , t 0 ; ~x , t)ψ(~x , t)
Z
d 3 xG − (~x 0 , t 0 ; ~x , t)ψ(~x , t)
Θ(t − t)ψ(~x , t ) = i
Θ(t − t 0 )ψ(~x 0 , t 0 ) = i
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Nichtrelativistische Propagatortheorie
Physikalische Aspekte
Entwicklung der Greensfunktion
G0 der freie Propagator mit (V (~x , t) = 0) sei bekannt.
Wie erhält man den Propagator G mit (V (~x , t) 6= 0) aus G0 ?
Ansatz:
ψ(~x1 , t1 ) = φ(~x1 , t1 ) + ∆ψ(~x1 , t1 )
∂
(φ löst freie SGL: i ∂t
− H0 φ(~x , t) = 0 und ∆ψ = 0 für t < t1 )
In SGL eingesetzt:
[i
(9)
∂
− H0 ]∆ψ(x~1 , t1 ) = V (~x1 , t1 )[φ(~x1 , t1 ) + ∆ψ(~x1 , t1 )]
| {z }
∂t1
vern.klein
Z
t1 +∆t1
⇒ i∆ψ(~x1 , t1 + ∆t1 ) =
t1
dt 0 [H0 ∆ψ(~x1 , t 0 ) +V (~x1 , t 0 )φ(~x1 , t 0 )]
|
{z
}
quadr .klein
∆ψ(~x1 , t1 + ∆t1 ) = −iV (~x1 , t1 )φ(~x1 , t1 )∆t1
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(10)
17 / 43
Nichtrelativistische Propagatortheorie
Physikalische Aspekte
1-fache Streuung
V verschwindet nach ∆t1 ⇒ Streuwelle propagiert frei:
Z
0 0
∆ψ(~x , t ) = i d 3 x1 G0 (x~0 , t 0 ; ~x , t)∆ψ(~x , t)
Z
=
d 3 x1 G0 (x~0 , t 0 ; ~x , t) V (~x1 , t1 )∆t1 φ(~x1 , t1 )
{z
}|
{z
} | {z }
|
freiePropagation
ψ(~x 0 , t 0 )
Streuung
einl.Welle
= φ(~x1 , t1 ) + ∆ψ(~x1 , t1 )
Z
Z
= i d 3 x G0 (~x 0 , t 0 ; ~x , t) + d 3 x1 ∆t1 G0 (~x 0 , t 0 ; ~x1 , t1 )V (~x1 , t1 )
Z
G0 (~x1 , t1 ; ~x , t) φ(~x , t) ≡ i d 3 xG (~x 0 , t 0 , ~x , t)φ(~x , t)
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Der Feynman Propagator
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Nichtrelativistische Propagatortheorie
Physikalische Aspekte
2-fache Streuung
Analog: V (~x2 , t2 ) während Zeit ∆t2 zur Zeit t2 > t1 eingeschaltet:
Z
∆ψ(x 0 ) =
d 3 x2 G0 (x 0 , x2 )V (x2 )ψ(x2 )∆t2
Z
= i d 3 xd 3 x2 ∆t2 G0 (x 0 , x2 )V (x2 )
Z
· G0 (x2 , x) + d 3 x1 ∆t1 G0 (x2 , x1 )V (x1 )G0 (x1 , x) ψ(x)
| {z } |
{z
}
Einfachstreuung
ψ(x 0 )
Zweifachstreuung
Z
Z
= φ(x 0 ) + d 3 x1 ∆t1 G0 (x 0 , x1 )V (x1 )φ(x1 ) + d 3 x2 ∆t2 G0 (x 0 , x2 )V (x2 )φ(
Z
Z
3
+
d x1 ∆t1 d 3 x2 ∆t2 G0 (x 0 , x2 )V (x2 )G0 (x2 , x1 )V (x1 )φ(x1 )
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Nichtrelativistische Propagatortheorie
Physikalische Aspekte
n-fache Streuung
V sei n-mal zu t1 < t2 < . . . < tn für ∆t1 , ∆t2 , . . . eingeschaltet:
XZ
0
0
ψ(x ) = φ(x ) +
d 3 xi ∆t1 G0 (x 0 , xi )V (xi )φ(xi )
i
XZ
+
d 3 xi ∆ti d 3 xj ∆tj G0 (x 0 , xi )V (xi )G0 (xi , xj )V (xj )φ(xj ) + . . .
i,j
ti >tj
Z
≡ i
d 3 xG (x 0 , x)φ(x)
0
0
⇒ G (x , x) = G0 (x , x) +
XZ
d 3 xi ∆t1 G0 (x 0 , xi )V (xi )G0 (xi , x)
i
+
XZ
d 3 xi ∆ti d 3 xj ∆tj G0 (x 0 , xi )V (xi )G0 (xi , xj )V (xj )G0 (xj , x) + . . .
i,j
ti >tj
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Nichtrelativistische Propagatortheorie
Physikalische Aspekte
Lippmann-Schwinger-Gleichung
Es folgt also eine Reihe von Vielfachstreuungen
Z
G + (x 0 , x) = G0+ (x 0 , x) + d 4 x1 G0+ (x 0 , x1 )V (x1 )G0+ (x1 , x)
Z
+
d 4 x1 d 4 x2 G0+ (x 0 , x1 )V (x1 )G0+ (x1 , x2 )V (x2 )G0+ (x2 , x) + . . .
Z
XZ
4
wobei
d xi = lim
d 3 xi ∆ti
∆ti →0
i
Formale Aufsummation liefert Lippmann-Schwinger-Gleichung:
Z
+ 0
+ 0
G (x , x) = G0 (x , x) + d 4 x1 G0+ (x 0 , x1 )V (x1 )G + (x1 , x)
(11)
Iterationsverfahren um G als Funktional von V und G0 zu berechnen und
ψ(~x 0 , t 0 ) zu konstruieren:
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Nichtrelativistische Propagatortheorie
Physikalische Aspekte
Integralgleichung für ψ
0
0
Z
d 3 xG (x 0 , x)φ(x)
Z h
Z
i
0
=
lim i
G0 (x , x) + d 4 x1 G0 (x 0 , x1 )V (x1 )G (x1 , x) φ(x)
t→−∞
Z
0 0
(12)
= φ(~x , t ) + d 4 x1 G0 (~x 0 , t 0 , ~x1 , t1 )V (~x1 , t1 )φ(~x1 , t1 )
ψ(~x , t ) =
lim i
t→−∞
Gesuchte Integralgleichung für ψ
Randbedingungen eingearbeitet
Iteration für kleine V möglich.
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22 / 43
Nichtrelativistische Propagatortheorie
Physikalische Aspekte
Heisenbergsche Streumatrix
lim V (~x , t) = 0 ⇒ ψ(~x , t) = φ(~x , t)
(freierAnfangszustand)
t→−∞
lim V (~x , t) = 0 ⇒ ψ(~x , t) = φf (~x , t)
(verschiedeneEndzustaende)
t→∞
wobei φf (~x , t) =
1
~
3
2
e i(kf ~x
0 −ω t 0 )
f
(2π)
Definition S-Matrix (Wahrscheinlichkeitsamplitude):
Sfi
lim < φf (~x 0 , t 0 )|ψi (~x 0 , t 0 ) >
(13)
Z
Z
h
i
= 0lim
d 3 x 0 φ∗f φi (~x 0 , t 0 ) + d 4 xG0 (~x 0 , t 0 , ~x , t)V (~x , t)φi (~x , t)
t →∞
Z
3 ~
~
= δ (kf − ki ) + 0lim
d 3 x 0 d 4 xφ∗f G0 (~x 0 , t 0 , ~x , t)V (~x , t)φi (~x , t)
| {z } t →∞
|
{z
}
keine Streuung
=
t 0 →∞
Entwicklung der Vielfachstreuung
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Mathematische Aspekte
Nichtrelativistische Propagatortheorie
Formale Definition der Greensfunktion
Ausgangspunkt:
θ(t 0 − t)ψ(x 0 ) = i
Z
d 3 xG (x 0 , x)ψ(x)
(14)
Da ψ(x 0 ) die Schrödingergleichung
i
h ∂
i 0 − H(x 0 ) ψ(x 0 ) = 0
∂t
erfüllt, gilt:
h ∂
i
∂
0
0
0
0
i 0 − H(x ) θ(t − t)ψ(x ) =
i 0 θ(t − t) ψ(x 0 )
∂t
∂t
Z
h ∂
i
= iδ(t 0 − t)ψ(x 0 ) = i d 3 x i 0 − H(x 0 ) G (x 0 , x)ψ(x)
∂t
Da dies für beliebige ψ gilt, folgt:
h ∂
i
i 0 − H(x 0 ) G (x 0 , x) = δ 3 (~x 0 − ~x )δ(t 0 − t) = δ 4 (x 0 − x)
(15)
∂t
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Der Feynman Propagator
24 / 43
Nichtrelativistische Propagatortheorie
Mathematische Aspekte
Stufenfunktion
Θ(t 0
− t) =
1 t0 > t
0 t0 < t
nützliche Integraldarstellung:
−1
Θ(τ ) = lim
→0 2πi
Z
∞
−∞
dωe −iωτ
ω + i
Für τ > 0: Integration über untere Halbebene, Cauchyscher Satz liefert 1
Für τ < 0: Integration über obere Halbebene, Pol liegt außerhalb, Integral
0
Z ∞
−1
d dωe −iωτ
dΘ
=
lim
dτ
2πi →0 −∞ dτ ω + i
Z ∞
1
=
e −iωτ dω = δ(τ )
2π −∞
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25 / 43
Nichtrelativistische Propagatortheorie
Mathematische Aspekte
Berechnungsbeispiel
Hamilton für freies Teilchen:
H0 (x 0 ) = −
1 02
∇
2m
Fouriertransformation:
0
Z
0
G0 (x , x) = G0 (x − x) =
∂
∇02 G0 (x 0 − x) =
i 0+
∂t
2m
Z
d 3 pdω i~p(~x 0 −~x )−iω(t 0 −t)
e
G0 (~p , ω)
(2π)4
0
0
d 3 pdω
p2
[ω −
]G0 (~p , ω)e i~p(~x −~x )−iω(t −t)
4
(2π)
2m
Z 3
d pdω i~p(~x 0 −~x )−iω(t 0 −t)
!
=
e
(2π)4
⇒
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Der Feynman Propagator
G0 (~p , ω) =
1
ω−
p2
2m
26 / 43
Nichtrelativistische Propagatortheorie
Mathematische Aspekte
Rücktransformation
∞
0
dω e −iω(t −t)
G0 (x − x) =
p2
−∞ 2π ω − 2m + i
Z
Z
0 0
d 3 p i~p(~x 0 −~x )−i p2 (t 0 −t) ∞ dω 0 e −iω (t −t)
2m
=
e
(2π)3
ω 0 + i
−∞ 2π
{z
}
|
Z
0
d 3 p i~p(~x 0 −~x )
e
(2π)3
Z
=−iθ(t 0 −t)
i(~
k~
x −ωt)
mit φp (~x 0 , t 0 ) = √12π
Lösung der freien SGL oder allgemein für
Funktionensystem ψn (~x , t) mit Vollständigkeitsrelation folgt
!
X
0
∗
3 0
ψn (~x , t)ψn (~x , t) = δ (~x − ~x )
n
= −iθ(t 0 − t)
Z
d 3 pφp (~x 0 , t 0 )φ∗p (~x 0 , t 0 )
X
= −iθ(t 0 − t)
ψn (x 0 )ψn∗ (x)
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n
Der Feynman Propagator
27 / 43
Nichtrelativistische Propagatortheorie
Mathematische Aspekte
Propagator für Teilchen mit WW
H = H0 + V
∂
⇒ i 0 − H0 (x 0 ) G (x 0 , x) = δ 4 (x 0 − x) + V (x 0 )G (x 0 , x)
∂t
die rechte Seite entspricht einem Quellterm einer inhomogenen SGL
∂
i 0 − H0 (x 0 ) ψ(x 0 ) = ρ(x 0 )
∂t
für die mit der freien Greensfunktion G0 gilt:
Z
0
ψ(x ) = d 4 x1 G0 (x 0 , x)ρ(x1 )
Ersetzung ψ(x 0 ) → G (x 0 , x) liefert Lippmann-Schwinger-Gleichung:
Z
0
G (x , x) =
d 4 x1 G0 (x 0 , x1 ) δ 4 (x1 − x) + V (x1 )G (x1 , x)
Z
0
= G0 (x , x) + d 4 x1 G0 (x 0 , x1 )V (x1 )G (x1 , x)
Tobias Hanke (Uni Konstanz)
Der Feynman Propagator
28 / 43
Nichtrelativistische Propagatortheorie
Mathematische Aspekte
S-Matrix
Sfi
=
=
lim < φf (~x 0 , t 0 )|ψi (~x 0 , t 0 ) >
Z
lim
lim
d 3 x 0 d 3 xφ∗f (x 0 )G (x 0 , x)φi (x)
0
t 0 →∞
t →∞ t→−∞
ungeheurer Informationsgehalt in G
mit Lippmann-Schwinger-Gleichung wieder in Reihe von
Vielfachstreuungen entwickelbar
in der Praxis werden nur die ersten oder die ersten beiden
nichtverschwindenden Beiträge zu S berechnet
Tobias Hanke (Uni Konstanz)
Der Feynman Propagator
29 / 43
Relativistische Propagatortheorie
1
Einführung
2
Feldgleichungen
Klein-Gordon
Dirac
3
Nichtrelativistische Propagatortheorie
Physikalische Aspekte
Mathematische Aspekte
4
Relativistische Propagatortheorie
Propagatoren für Elektronen und Positronen
5
Zusammenfassung
Tobias Hanke (Uni Konstanz)
Der Feynman Propagator
30 / 43
Relativistische Propagatortheorie
Propagatoren für Elektronen und Positronen
Propagatoren für Elektronen und Positronen
Verallgemeinerung von nichtrelativistischem Propagator
neu: Paarerzeugungs- (1) und Vernichtungs-prozesse (3)
e + mit E > 0, die sich vorwärts in Raum-Zeit bewegen, sind in der
Propagatorsprache e − mit E < 0, die sich rückwärts in der Zeit
bewegen.
e − werden mit den Dirac‘schen Wellen positiver Energie, die sich
vorwärts in der Raum-Zeit ausbreiten identifiziert.
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Der Feynman Propagator
31 / 43
Relativistische Propagatortheorie
Propagatoren für Elektronen und Positronen
Definition
Analog zur nichtrelativistischen Gleichung 15 erfüllt der relativistische
Propagator SF0 (x 0 , x) eine Greensfunktion:
4 X
∂
µ 0
SF0 (x 0 , x)λβ = δαβ δ 4 (x 0 − x)
γµ (i 0 − eA (x )) − m0
∂xµ
αλ
(16)
λ=1
e schreibt man kurz:
⇒ SF ist 4 × 4 Matrix, und mit γµ Aµ = A
e − m0 )S 0 (x 0 , x) = δ 4 (x 0 − x)
e − eA
(i ∇
F
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Der Feynman Propagator
(17)
32 / 43
Propagatoren für Elektronen und Positronen
Relativistische Propagatortheorie
Freier Propagator
ist definiert über
e − m0 )SF (x 0 , x) = δ 4 (x 0 − x)
(i ∇
(18)
Lösung wieder im Fourierraum:
0
0
Z
SF (x , x) = SF (x − x) =
d 4 p −ip(x 0 −x)
e
SF (p)
(2π)4
Einsetzen in 18 liefert
Z
Z
d 4 p −ip(x 0 −x)
d 4p
−ip(x 0 −x)
(p̃
−
m
)S
(p)e
=
e
0
F
(2π)4
(2π)4
4
X
⇒ (p̃ − m0 )SF (p) = 1 bzw.
(p̃ − m0 )αλ SF (p)λβ = δαβ
λ=1
Tobias Hanke (Uni Konstanz)
Der Feynman Propagator
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Relativistische Propagatortheorie
Propagatoren für Elektronen und Positronen
Multiplikation von links mit (p̃ + m0 ) liefert
(p 2 − m02 )SF (p) = (p̃ + m0 )
denn
1
p̃p̃ = γµ γν p µ p ν = (γµ γν + γν γµ )p µ p ν = gµν p µ p ν = pµ p ν = p 2
2
p̃ + m0
⇒ SF (p) = 2
(19)
p − m02
e + und e − mit positiver Energie =
ˆ Wellen mit pos. Frequenzen.
⇒ SF (x 0 − x) hat für t 0 > t nur Komponenten mit pos. Frequenzen.
⇒ Integrationsweg wird
qüber untere Halbebene geschlossen.
⇒ nur Pol bei p0 = + p 2 + m02 = E liefert Beitrag
Tobias Hanke (Uni Konstanz)
Der Feynman Propagator
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Relativistische Propagatortheorie
Propagatoren für Elektronen und Positronen
Rücktransformation
Z
0
SF (x , x) =
Z
=
d 3 p ip(x 0 −x)
e
(2π)3
d 3p
e ip(x
(2π)3
0 −x)
Z
CF
0
dp0 e −ip0 (t−t )
(p̃ + m0 )
2π p 2 − m02
Z
CF +C1
0
dp0
e −ip0 (t−t )
(pi γ i + m0 )
2π (p0 − E )(p0 + E )
0
d 3 p ip(x 0 −x)
e −iE (t −t)
=
e
·
(−2πi)
(E γ 0 − ~p~γ + m0 )
(2π)3
2π2E
Z
d 3 p ip(x 0 −x)−iE (t 0 −t) E γ 0 − ~p~γ + m0
= −i
(t 0 > t)
e
(2π)3
2E
Z
und analog
0
Z
SF (x , x) = −i
Tobias Hanke (Uni Konstanz)
d 3 p ip(x 0 −x)+iE (t 0 −t) −E γ 0 − ~p~γ + m0
e
(2π)3
2E
Der Feynman Propagator
(t 0 < t)
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Relativistische Propagatortheorie
Propagatoren für Elektronen und Positronen
Diskussion
andere Integrationswege physikalisch unsinnig
Wellen mit negativer Frequenz, die sich zeitlich rückwärts ausbreiten
entsprechen e + mit positiver Energie
Übergang von Positronen zu Elektronen im Festkörper bei Fermikante
Andere Schreibweise für Polvorschrift:
SF (p) =
0
p̃ + m0
1
=
p̃ − m0 + i
p 2 − m02 + i
SF (x − x) =
Tobias Hanke (Uni Konstanz)
Z
0
d 4p
e ip(x −x)
(p̃ + m0 )
(2π)4 p 2 − m02 + i
Der Feynman Propagator
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Propagatoren für Elektronen und Positronen
Relativistische Propagatortheorie
Feynman-Propagator
0
Kurzschreibweise für SF mit Projektionsoperatoren Λ± (p) = ±p̃+m
2m0
Z
d 3p m
0
0
SF (x − x) = −i
[Λ+ (p)e −ip(x −x) θ(t 0 − t)
3
(2π) E
+Λ− (p)e ip(x
0 −x)
θ(t − t 0 )]
oder mit ebenen Dirac-Wellen ψpr (x):
SF (x 0 − x) = −iθ(t 0 − t)
Z
+iθ(t − t 0 )
Z
d 3p
2
X
r
ψpr (x 0 )ψ p (x)
r =1
d 3p
4
X
r
ψpr (x 0 )ψ p (x)
(20)
r =3
Zwei Anteile:
Vorwärtsausbreitung in der Zeit mit positiver Energie ψ +E
Rückwärtsausbreitung in der Zeit mit negativer Energie ψ −E
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Der Feynman Propagator
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Relativistische Propagatortheorie
Propagatoren für Elektronen und Positronen
Der vollständige Propagator
Konstruktion des exakten Propagators aus dem freien Propagator:
e 0 )S 0 (y , x)
e − m0 )SF0 (x 0 , x) = δ 4 (x 0 − x) + e A(x
(i ∇
F
Entspricht inhomogener Dirac-Gleichung
e − m0 )ψ(x) = ρ(x)
(i ∇
mit der Lösung
Z
ψ(x) = ψ0 (x) +
⇒ SF0 (x 0 , x)
d 4 ySF (x − y )ρ(y )
Z
e )S 0 (y , x)]
d 4 ySF (x 0 − y )[δ 4 (y − x) + e A(y
F
Z
e )S 0 (y , x)
= SF (x 0 − x) + e d 4 ySF (x 0 − y )A(y
F
=
(21)
relativistisches Gegenstück zur Lippmann-Schwinger-Gleichung
Integralgleichung für den vollen Propagator SF0 falls SF bekannt
Iteration führt wieder auf Entwicklung in Vielfachstreureihe
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Der Feynman Propagator
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Relativistische Propagatortheorie
Propagatoren für Elektronen und Positronen
Streuwelle
Die Lösung der Dirac-Gleichung
e
e x − m0 )Ψ(x) = e A(x)Ψ(x)
(i ∇
lässt sich nun mit den Feynman-Randbedingungen exakt angeben:
Z
e )Ψ(y )
Ψ(x) = ψ(x) + e d 4 ySF (x − y )A(y
(22)
Die Streuwelle enthält (im Einklang mit der Löchertheorie) in der Zukunft
nur positive und in der Vergangenheit nur negative Frequenzen.
Die Streumatrix ergibt sich zu:
Z
e )Ψi (y )
Sfi = δfi − ief
d 4 y ψ f (y )A(y
sie beinhaltet jetzt sowohl normale Streuprozesse als auch Paarerzeugungsund Vernichtungsprozesse
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Der Feynman Propagator
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Zusammenfassung
1
Einführung
2
Feldgleichungen
Klein-Gordon
Dirac
3
Nichtrelativistische Propagatortheorie
Physikalische Aspekte
Mathematische Aspekte
4
Relativistische Propagatortheorie
Propagatoren für Elektronen und Positronen
5
Zusammenfassung
Tobias Hanke (Uni Konstanz)
Der Feynman Propagator
40 / 43
Zusammenfassung
Feynmanregeln
Teilchen
Bestimmungsgleichung
Propagator
Fermionen
Mesonen
e x 0 − m)SF
(i ∇
− x) =
− x)
2
0
4
0
(2x 0 + µ )∆F (x − x) = δ (x − x)
p +m)
iSF (p) = p2i(e
−m2 +i
i∆F (q) = q2 −µi 2 +i
Photonen
2x 0 DF (x 0 − x) = δ 4 (x 0 − x)
µν
iDF (q)µν = − q2 +i
(x 0
δ 4 (x 0
ig
Grundlage für viele QED-Prozesse; mögliche Anwendungen sind z.B.:
Coulombstreuung von e − oder e +
e − -Streuung an einem freien Proton
Bremsstrahlung
Comptonstreuung u.s.w.
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Der Feynman Propagator
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Zusammenfassung
Quellenverzeichnis
Bjorken-Drell: Relativistische Quantenmechanik, BI Hochschultaschenbücher
W.Cassing: Quantenfeldtheorie,
theorie.physik.uni-giessen.de/documents/skripte/Cassing QFT2002.pdf
W.Greiner: Theoretische Physik, Band7: QED, Verlag Harri Deutsch
M.Mangano: Introduction to Standard Model,
http://public.web.cern.ch/Public/Content/Chapters/Education/OnlineResources
en.html
M.E.Peskin,D.V.Schröder: An Introduction to Quantum Field Theory,
Perseus Books
R.J.Rivers: Path integral methods in Quantum Field Theory, Cambridge
University Press
F.Schwabl:Quantenmechanik für Fortgeschrittene, Springer
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Der Feynman Propagator
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Zusammenfassung
:-)
At this point we notice
”
that this equation is
beautifully simplified
if we assume that space-time
has 92 dimensions.“
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