Eine Menge A besteht aus verschiedenen Elementen a 1,a2,...: A

Menge
Eine Menge A besteht aus verschiedenen Elementen a1 , a2 , . . .:
A = {a1 , a2 , . . .} .
Werden die Elemente durch eine Eigenschaft E charakterisiert, so schreibt
man
A = {a : a besitzt die Eigenschaft E } .
Die Reihenfolge der Elemente ist dabei unerheblich.
Menge
1-1
Menge
Eine Menge A besteht aus verschiedenen Elementen a1 , a2 , . . .:
A = {a1 , a2 , . . .} .
Werden die Elemente durch eine Eigenschaft E charakterisiert, so schreibt
man
A = {a : a besitzt die Eigenschaft E } .
Die Reihenfolge der Elemente ist dabei unerheblich.
Schreibweise
a∈A
a∈
/A
A⊆B
A 6⊆ B
A⊂B
|A|
∅
Bedeutung
a ist Element von A
a ist nicht Element von A
A ist Teilmenge von B
A ist keine Teilmenge von B
A ist echte Teilmenge von B
Anzahl der Elemente in A
leere Menge
Menge
1-2
Gilt |A| < ∞ bzw. = ∞, so spricht man von einer endlichen bzw.
unendlichen Menge. Mengen heißen gleichmächtig, wenn es eine bijektive
Abbildung zwischen ihren Elementen gibt (|A| = |B| für endliche Mengen).
Menge
1-3
Gilt |A| < ∞ bzw. = ∞, so spricht man von einer endlichen bzw.
unendlichen Menge. Mengen heißen gleichmächtig, wenn es eine bijektive
Abbildung zwischen ihren Elementen gibt (|A| = |B| für endliche Mengen).
Die Menge P(A) aller Teilmengen von A wird als Potenzmenge
bezeichnet, d.h.
P(A) = {B : B ⊆ A} .
Dabei gilt ∅ ∈ P(A), A ∈ P(A) und |P(A)| = 2|A| .
Menge
1-4
Zahlenmengen
Für folgende Zahlenmengen benutzt man Standardbezeichnungen.
natürliche Zahlen: N = {1, 2, . . .}
ganze Zahlen: Z = {. . . , −1, 0, 1, . . .}
rationale Zahlen: Q = {p/q : p ∈ Z, q ∈ N, ggT(p, q) = 1}
reelle Zahlen: R = {x : x = limn→∞ qn , qn ∈ Q}
komplexe Zahlen: C = {x + iy : x, y ∈ R, i2 = −1}
Menge
2-1
Zahlenmengen
Für folgende Zahlenmengen benutzt man Standardbezeichnungen.
natürliche Zahlen: N = {1, 2, . . .}
ganze Zahlen: Z = {. . . , −1, 0, 1, . . .}
rationale Zahlen: Q = {p/q : p ∈ Z, q ∈ N, ggT(p, q) = 1}
reelle Zahlen: R = {x : x = limn→∞ qn , qn ∈ Q}
komplexe Zahlen: C = {x + iy : x, y ∈ R, i2 = −1}
Gebräuchlich sind ebenfalls die Schreibweisen N0 = N ∪ {0} und
+
−
+
−
R+ = {x ∈ R : x > 0} und dazu entsprechend Z− , Z−
0 , Q , Q0 , Q , Q0
+
−
R0 , R− , R0 .
Menge
2-2
Mengenoperationen
Für zwei Mengen A und B sind die folgenden Operationen definiert.
Vereinigung:
A ∪ B = {x : x ∈ A ∨ x ∈ B} ,
Durchschnitt:
A ∩ B = {x : x ∈ A ∧ x ∈ B} ,
Differenz, Komplementärmenge:
A \ B = {x : x ∈ A ∧ x ∈
/ B} ,
symmetrische Differenz:
A∆B = (A \ B) ∪ (B \ A) = (A ∪ B) \ (A ∩ B)
Menge
3-1
In der Abbildung sind die Mengenoperationen mit Hilfe sogenannter
Venn-Diagramme illustriert.
B
A
A
A∩B
A∪B
B
A
B
A
B
B
A
B
A
B
A
A\B
A∆B
Menge
3-2
Ist B ⊂ A, fallen einige der Diagramme zusammen:
A
A
B
A=A∪B
A
B
B
B =A∩B
A \ B = A∆B
Menge
3-3
Regeln für Mengenoperationen
Für Mengenoperationen gelten die folgenden Identitäten.
Assoziativgesetze:
(A ∩ B) ∩ C
= A ∩ (B ∩ C )
(A ∪ B) ∪ C
= A ∪ (B ∪ C )
Kommutativgesetze:
A∩B = B ∩A
A∪B = B ∪A
De Morgansche Regeln:
C \(A ∩ B) = (C \A) ∪ (C \B)
C \(A ∪ B) = (C \A) ∩ (C \B)
Menge
4-1
Distributivgesetze:
(A ∩ B) ∪ C
= (A ∪ C ) ∩ (B ∪ C )
(A ∪ B) ∩ C
= (A ∩ C ) ∪ (B ∩ C )
Menge
4-2
Distributivgesetze:
(A ∩ B) ∪ C
= (A ∪ C ) ∩ (B ∪ C )
(A ∪ B) ∩ C
= (A ∩ C ) ∪ (B ∩ C )
Diese Regeln entsprechen den Gesetzen für logische Operationen, wenn
man die Operatoren ∪, ∩ durch ∧, ∨ ersetzt und C \ durch ¬.
Menge
4-3
Beweis:
erste De Morgansche Regel:
C \(A ∩ B) = (C \A) ∪ (C \B)
Menge
5-1
Beweis:
erste De Morgansche Regel:
C \(A ∩ B) = (C \A) ∪ (C \B)
linke Menge
x ∈ C \(A ∩ B) ⇔ x ∈ C ∧ x ∈
/ (A ∩ B)
⇔ x ∈ C ∧ (x ∈
/ A∨x ∈
/ B)
Menge
5-2
Beweis:
erste De Morgansche Regel:
C \(A ∩ B) = (C \A) ∪ (C \B)
linke Menge
x ∈ C \(A ∩ B) ⇔ x ∈ C ∧ x ∈
/ (A ∩ B)
⇔ x ∈ C ∧ (x ∈
/ A∨x ∈
/ B)
Distributivgesetz für logische Operationen
Darstellung
=⇒
äquivalente
(x ∈ C ∧ x ∈
/ A) ∨ (x ∈ C ∧ x ∈
/ B) ⇔ x ∈ (C \A ∪ C \B)
x in rechter Menge
analoge Argumentation für die anderen Gesetze
Menge
5-3