Institut für Stochastik
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Institut für Stochastik
Prof. Dr. N. Bäuerle · Dipl.-Math. S. Urban
Lösungsvorschlag 8. Übungsblatt zur Vorlesung Finanzmathematik I
Aufgabe 1 (Hedging Amerikanischer Optionen)
Wir sind in einem arbitragefreien endlichen Finanzmarkt mit Periodenende T ∈ N. Sei Q ein äquivalentes
Martingalmaß, H = (Ht )t=0,...,T eine Amerikanische Option und Z := (Zt )t=0,...,T mit
½
¾
Ht
HT
, Zt := max
, EQ [Zt+1 | Ft ] , t = 0, . . . , T − 1,
ZT :=
BT
Bt
die Snell-Einhüllende des diskontierten Anspruchs. Z ist ein Supermartingal. Wir wenden Doob’s
Zerlegungssatz an und finden damit ein Martingal M = (Mt )t=0,...,T und einen P-f.s. fallenden, Fvorhersagbaren Prozess A = (At )t=0,...,T mit A0 = 0 und
Zt = Mt + At , t = 0, . . . , T.
Wie üblich bezeichnen wir mit τ ∗ die optimale Ausübungsstrategie, die wir aus Z ablesen können:
½
¾
Ht
τ ∗ := inf
Zt =
.
Bt
t∈{0,...,T }
∗
Aus der Vorlesung wissen wir, dass die bei τ ∗ gestoppte Snell-Einhüllende Z τ := (Zt∧τ ∗ )t=0,...,T ein
Martingal ist. Vergleichen wir mit der Martingaldarstellung von oben, muss also Zt = Mt bzw. At = 0
gelten für alle 0 ≤ t ≤ τ ∗ .
Ebenfalls aus der Vorlesung bekannt ist, wie man eine Amerikanische Option hedgt: Dazu betrachtet
man den Martingalteil M der Snell-Einhüllenden Z. Sowohl dessen Endwert MT als auch das Vielfache
MT BT =: H̃ davon sind erreichbare Zahlungsansprüche. Die zugehörige Hedgingstrategie sei mit φ
bezeichnet. φ ist dann ebenfalls eine Hedgingstrategie für die Amerikanische Option H.
Mit der risikoneutralen Bewertungsformel läßt sich der Wert des Hedgingportfolios zur Zeit τ ∗ als
Preis von H̃ auffassen. Wir setzen im nächsten Schritt die Definition von H̃ ein und nutzen aus, dass
M ein Martingal ist. Bis einschließlich zur Zeit τ ∗ stimmt Z mit M überein, woraus wir unmittelbar
die gewünschte Gleichheit erhalten:
"
#
¯
¯
H̃
¯ Fτ ∗
Vτφ∗ = Bτ ∗ E
BT ¯
= Bτ ∗ E [MT | Fτ ∗ ]
= Bτ ∗ Mτ ∗
= Bτ ∗ Zτ ∗
Hτ ∗
= Bτ ∗
Bτ ∗
= Hτ ∗ .
Aufgabe 2 (Einen Amerikanischen Put hedgen)
Gegeben sei folgender endlicher Finanzmarkt mit Zinsrate r = 5%:
1
S1 (u) = 22
S0 = 20
S1 (d) = 16
S2 (u, u) = 26
S2 (u, d) = 20
S2 (d, u) = 18
S2 (d, d) = 10
Wir wollen einen Amerikanischen Put H auf S mit Strike K = 21 hedgen. Aus der letzten Übung
kennen wir die optimale Strategie
(
1, ω ∈ {(d, u), (d, d)}
∗
τ (ω) =
.
2, ω ∈ {(u, u), (u, d)}
Eine Amerikanische Option hedgt man, indem man ihre Snell-Einhüllende (Zt ) bestimmt und dieses
Supermartingal mit Doob’s Zerlegungsssatz als Summe aus einem Martingal (Mt ) und einem fallenden
Prozess schreibt. Aus der Vorlesung wissen wir, dass die Strategie, mit der man den erreichbaren
aufdiskontierten Anspruch (Mt Bt ) hedgt, auch eine Hedgingstrategie für (Ht ) ist. In Aufgabe 1 haben
wir gesehen, dass Z bis zum optimalen Stoppzeitpunkt τ ∗ ein Martingal ist, also bis dort hin mit
M übereinstimmt. Da wir ohnehin nur bis τ ∗ hedgen wollen, müssen wir die Doob-Zerlegung nicht
berechnen, sondern können genausogut den Anspruch (Zt Bt )t=0,...,τ ∗ hedgen.
Die benötigten Werte von Z haben wir schon ausgerechnet:
Z0 =
4600
,
3969
Z1 (u) =
580
,
1323
Z2 (u, u) = 0,
400
,
441
400
Z2 (d, u) =
,
147
4400
Z2 (d, d) =
.
441
Z2 (u, d) =
Z1 (d) =
100
,
21
Hedgingstrategien werden immer von “hinten nach vorne” berechnet, weil man den Endwert des Hedgingportfolios kennt. Sei (αt , βt )t=0,1 unsere Hedgingstrategie. Für den Fall, dass wir im ersten Zeitintervall eine Kursentwicklung nach oben beobachtet haben, stoppen wir erst am Ende und beginnen
mit dem Hedging im rechten oberen Teilbaum:
!
Z2 (u, u)B2
=
Z2 (u, d)B2
=
!
α1 (u)S2 (u, u) + β1 (u)B2 ,
α1 (u)S2 (u, d) + β1 (u)B2
⇐⇒
α1 (u)
=
β1 (u)
=
1
Z2 (u, u)B2 − Z2 (u, d)B2
=− ,
S2 (u, u) − S2 (u, d)
6
α1 (u)S2 (u, u)
5200
Z2 (u, u) −
=
.
B2
1323
Den unteren rechten Teilbaum müssen wir nicht betrachten, denn falls der Aktienkurs im ersten
Intervall fällt, stoppen wir bereits zum Zeitpunkt t = 1. Formal setzen wir α1 (d) = β1 (d) = 0. Im
ersten Baum haben wir schließlich
!
Z1 (u)B1
=
Z1 (d)B1
=
!
α0 S1 (u) + β0 B1 ,
α0 S1 (d) + β0 B1
⇐⇒
α0
=
β0
=
Z1 (u)B1 − Z1 (d)B1
143
=−
,
S1 (u) − S1 (d)
189
α0 S1 (u)
64660
Z1 (u) −
=
.
B1
3969
2
Aufgabe 3 (Down-and-Out als Amerikanische Call-Option)
Wir wollen die Amerikanische Option H = (Ht )t=0,...,3 mit
Ht = (St − K)+ 1min{S0 ,...,St }>B ,
Strike K = 12 und Barriere B = 8 im CRR-Modell mit 3 Stufen bewerten, u = 54 , d = 45 , r = 5% und
S0 = 10, und die optimale Ausübungsstrategie herausfinden.
Die Idee zur Lösung ist die selbe wie in Aufgabe 2: Bestimme die Kurswerte von Bond und Aktie zu
jeder Zeit, leite daraus den Wert des Zahlungsanspruchs zu jeder Zeit ab, bestimme das risikoneutrale
Maß und rechne damit die Snell-Einhüllende aus, notiere für jeden Pfad die kleinste Zeit, zu der sie mit
dem diskontierten Zahlungsanspruch übereinstimmt, als Ausübungsstrategie und erhalte schließlich
den Startwert der Snell-Einhüllenden als Preis der Option.
Die notwendigen Rechnungen übernimmt das im Rahmen der Praxisaufgabe (Aufgabe 4 von Blatt 7)
angefertigte Programm. Die einzelnen Ergebnisse sind:
• Kurswerte des Bonds (B0 , . . . , B3 ):
[1,]
1 1.05 1.1025 1.157625
• Kurswerte der Aktie (S0 (ωi ), . . . , S3 (ωi ), i in der ersten Spalte):
[1,]
[2,]
[3,]
[4,]
[5,]
[6,]
[7,]
[8,]
10
10
10
10
10
10
10
10
12.5
12.5
12.5
12.5
8.0
8.0
8.0
8.0
15.625
15.625
10.000
10.000
10.000
10.000
6.400
6.400
19.53125
12.50000
12.50000
8.00000
12.50000
8.00000
8.00000
5.12000
• Zahlungsanspruch H zu jeder Zeit und für jeden Pfad (wie oben):
[1,]
[2,]
[3,]
[4,]
[5,]
[6,]
[7,]
[8,]
0
0
0
0
0
0
0
0
0.5
0.5
0.5
0.5
0.0
0.0
0.0
0.0
3.625
3.625
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
7.53125
0.50000
0.50000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
5
• Es gilt q = 1+r−d
u−d = 9 . Man findet die Snell-Einhüllende Z wie unten angegeben. Hier ist die
Baumstruktur in der Matrix notiert; Wer möchte, kann dort, wo ein NA notiert ist, den Wert von
Z finden, indem er in der selben Spalte mit dem Finger bis zum ersten auf diese Weise erreichten
Eintrag nach oben fährt.
[1,] 1.234027 2.221249 3.8062844 6.5057769
[2,]
NA
NA
NA 0.4319188
[3,]
NA
NA 0.2399549 0.4319188
[4,]
NA
NA
NA 0.0000000
[5,]
NA 0.000000 0.0000000 0.0000000
3
[6,]
[7,]
[8,]
NA
NA
NA
NA
NA 0.0000000
NA 0.0000000 0.0000000
NA
NA 0.0000000
Wir haben hier auch schon den Preis gesehen, es ist der Z0 entsprechende erste Eintrag links
oben: π A (H) = 1.234027.
• Man sieht schon an H (oder an Z), dass es bei einer Abwärtsbewegung im ersten Schritt egal ist,
wann man stoppt, denn die Auszahlung ist dann in jedem Fall und zu jedem noch kommenden
Zeitpunkt Null. Wir haben τ ∗ so definiert, dass in solchen Fällen beim ersten Zeitpunkt gestoppt
wird, zu dem Z mit dem diskontierten Zahlungsanspruch übereinstimmt und erhalten daher
τ ∗ (ω1 ), . . . , τ ∗ (ω8 ) als
[1] 3 3 3 3 1 1 1 1
Genauso optimal wäre es, in jedem Fall bis zum Ende zu halten, eine frühzeitige Ausübung ist
also möglich, aber nicht nötig.
Aufgabe 4 (Optimale Strategie für den Amerikanischen Put)
Wir betrachten eine Amerikanische Put-Option im CRR-Modell, Ht = (K − St )+ für alle t. Sei Ṽt (s)
wie in der Vorlesung der Preis der Option zur Zeit t, wenn St = s der korrespondierende Preis der zu
Grunde liegenden Aktie ist.
a) Wir wollen zeigen, dass s 7→ Ṽt (s)+s nicht-fallend ist für t = 0, . . . , T . Zunächst gilt nach Definition
ṼT (s) = (K − s)+ ≥ 0, s > 0.
(1)
Wir gehen rückwärtsinduktiv vor. Für t = T gilt
(
K,
ṼT (s) + s = (K − s) + s =
s,
+
s≤K
K<s
und das ist eine nicht-fallende Funktion in s. Wegen (1) ist ṼT (s) ≥ 0 und damit auch
Ṽt (s) ≥ 0, t = 0, . . . , T, s > 0,
(2)
als Maximum aus einem ersten Argument und einer nichtnegativen Zahl. Als nächstes rechnen wir
1
(qu + (1 − q)d) = 1
1+r
(3)
durch Einsetzen von q = 1+r−d
u−d nach. Es gelte nun die gewünschte Aussage oberhalb eines festen
t ∈ {0, . . . , T − 1}. Wir gehen induktiv von (t + 1 → t) und folgern aus Obigem für s > 0
½
´¾
1 ³
+
Ṽt (s) = max (K − s) ,
q Ṽt+1 (us) + (1 − q)Ṽt+1 (ds)
1+r
½
´¾
1 ³
(2)
= max K − s,
q Ṽt+1 (us) + (1 − q)Ṽt+1 (ds)
⇐⇒
1+r
½
´¾
1 ³
Ṽt (s) + s = max K, s +
q Ṽt+1 (us) + (1 − q)Ṽt+1 (ds)
1+r
³
´
³
´
1
(3)
q Ṽt+1 (us) + us +(1 − q) Ṽt+1 (ds) + ds .
(4)
= max K,
1+r |
{z
}
|
{z
}
(F)
(F)
Wegen 0 < d < u sind auch ds, us > 0 und wir können die Induktionsvoraussetzung an den mit
(F) markierten Stellen anwenden. Es folgt direkt die Behauptung.
4
b) Wir wollen t 7→ Ṽt (s) ist nicht-wachsend für s > 0 zeigen und bemühen dazu direkt eine Rückwärtsinduktion
über t: Für alle s > 0 erfüllt das Paar (T − 1, T )
½
´¾
1 ³
= ṼT −1 (s).
ṼT (s) = (K − s)+ ≤ max (K − s)+ ,
q ṼT (us) + (1 − q)ṼT (ds)
1+r
Nun gelte die geforderte Eigenschaft für das Paar (t + 1, t). Für alle s > 0 folgern wir daraus
1
+
Ṽt (s) = max (K − s) ,
q Ṽt+1 (us) +(1 − q) Ṽt+1 (ds)
| {z }
| {z }
1+r
≤Ṽt (us)
≤Ṽt (ds)
½
´¾
1 ³
+
= Ṽt−1 (s).
≤ max (K − s) ,
q Ṽt (us) + (1 − q)Ṽt (ds)
1+r
c) Wir wollen zeigen, dass es Zahlen x∗0 ≤ x∗1 ≤ · · · ≤ x∗T = K gibt, sodass die optimale Ausübungsstrategie
τ ∗ geschrieben werden kann als
τ ∗ = inf {St ≤ x∗t } .
t=0,...,T
Betrachte (4). Wir wissen aus Teil a), dass die rechte Seite in s wächst. Da das erste Argument K
der Maximumsfunktion konstant ist, wächst also das zweite Argument der Maximumsfunktion. Wir
wissen aus der Vorlesung und den Eigenschaften der Snell-Einhüllenden, dass wir optimalerweise
stoppen, wenn zum ersten Mal K das Ergebnis der Maximumsfunktion ist. Es gibt also ein kleinstes
s, sodass die rechte Seite gerade genau so groß ist wie K, für das also die Stoppregel ausgelöst wird.
Genauer gilt für den Maximisator der Stufe t ∈ {0, . . . , T − 1}
³ ³
´
³
´´
(
1
Option
jetzt
ausüben,
K
≥
q
Ṽ
(us)
+
us
+
(1
−
q)
Ṽ
(ds)
+
ds
t+1
t+1
1+r
ft∗ (s) =
weiter warten,
andernfalls
und wir wählen
x∗t
½
:= inf
s≥0
´
³
´´¾
1 ³ ³
K=
q Ṽt+1 (us) + us + (1 − q) Ṽt+1 (ds) + ds
.
1+r
Wir dürfen hier Gleichheit fordern, denn wir haben es mit in s stetigen Funktionen zu tun. In der
letzten Stufe t = T stoppen wir, sobald s = K gilt, denn es gilt ja gerade ṼT (s) = (K − s)+ .
Insgesamt gilt für die optimale Stoppzeit also wie behauptet
τ∗ =
inf
t=0,...,T
{St ≤ x∗t } .
Die behauptete aufsteigende Ordnung der x∗t müssen wir noch zeigen. Das ist richtig, da Ṽt (s) in t
fällt, vergleiche Teil b). Gehen wir also von t zu t+1, müssen wir s länger wachsen lassen, bis K das
Ergebnis des Maximums ist. Wir erhalten wie gewünscht die Anordnung x∗0 ≤ x∗1 ≤ · · · ≤ x∗T = K.
5
