Quantenmechanik

)ert Messiah
Quantenmechanik
ind2
3 dem Französischen übersetzt von
tchim Streubel
verbesserte Auflage
/
Walter de Gruyter
Berlin- New York 1990
Inhalt
Dritter Teil
Symmetrie und Invarianz
13 Der Drehimpuls in der Quantenmechanik
Einleitung
13.1 Eigenwerte und Eigenvektoren des Drehimpulses
13.1.1 Definition des Drehimpulses
13.1.2 Charakteristische algebraische Beziehungen
13.1.3 Spektrum von ß und / z
13.1.4 Eigenvektoren von J2 und Jz. Konstruktion der invarianten
Unterräume
13.1.5 {/2 Jz}-Standarddarstellung
13.1.6 Zusammenfassung
13.2 Bahndrehimpuls und Kugelfunktionen
13.2.1 Das Spektrum von /2 und 4
13.2.2 Definition und Konstruktion der Kugelfunktionen . . . .
13.3 Drehimpuls und Drehungen
13.3.1 Beschreibung von Drehungen. Eulersche Winkel
13.3.2 Drehung eines physikalischen Systems. Drehoperator . . .
13.3.3 Drehung von Observablen
13.3.4 Drehimpuls und infinitesimale Drehungen
13.3.5 Konstruktion des Operators R (a ß y)
13.3.6 Drehungen um 2 тг und halbzahlige Drehimpulse
. . . .
13.3.7 Irreduzible invariante Unterräume. Drehmatrizen
. . . .
13.3.8 Drehinvarianz und Erhaltung des Drehimpulses. Entartung .
13.4 Der Spin
13.4.1 Die Hypothese vom Spin des Elektrons
13.4.2 Spin \ und Pauli-Matrizen
13.4.3 Observable und Wellenfunktionen eines Teilches mit dem
Spin j . Spinorfelder
13.4.4 Vektorfelder und Teilchen mit dem Spin 1
13.4.5 Spinabhängige Wechselwirkungen in einem Atom . . . .
13.4.6 Spinabhängige Nukleon-Nukleon-Wechselwirkungen . . . .
13.5 Addition von Drehimpulsen
13.5.1 Das Additionsproblem
13.5.2 Additionstheorem für zwei Drehimpulse
13.5.3 Anwendungen und Beispiele
13.5.4 Die Eigenvektoren des Gesamtdrehimpulses. Clebsch-GordanKoeffizienten
13.5.5 Anwendung: Zwei-Nukleonen-Systeme
13.5.6 Addition von drei und mehr Drehimpulsen. Racah-Koeffizienten. 3s /-Symbole
17
17
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61
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68
8
Inhalt
13.6 Irreduzible Tensoroperatoren
13.6.1 Darstellung von skalaren Operatoren
13.6.2 Irreduzible Tensoroperatoren. Definition
13.6.3 Darstellung von irreduziblen Tensoroperatoren. WignerEckart-Theorem
13.6.4 Anwendungen
Aufgaben
14 Systeme identischer Teilchen. Das Pauli-Prinzip
Identische Teilchen in der Quantentheorie
14.1 Das Symmetrisierungspostulat
14.1.1 Gleichartige Teilchen und symmetrische Darstellung . . .
14.1.2 Permutationsoperatoren
14.1.3 Algebra der Permutationsoperatoren. Symmetrisierungs- und
Antisymmetrisierungsoperator
14.1.4 Identische Teilchen und Symmetrisierungspostulat . . . .
14.1.5 Bosonen und Bose-Einstein-Statistik
14.1.6 Fermionen und Fermi-Dirac-Statistik. Das Ausschließungsprinzip
14.1.7 Ist die Symmetrisierung der Wellenfunktion stets notwendig?
14.2 Anwendungen
14.2.1 Stoß zweier identischer Teilchen ohne Spin
14.2.2 Stoß zweier Protonen
14.2.3 Statistik der Atomkerne
14.2.4 Komplexe Atome. Zentralfeldnäherung
14.2.5 Das Thomas-Fermi-Modell des Atoms
14.2.6 Nukleonensysteme und Isospin
14.2.7 Bedeutung des Isospins. Ladungsunabhängigkeit
Aufgaben
15 Invarianz und Erhaltungssätze. Zeitumkehr
Einleitung
15.1 Mathematische Hilfsmittel. Antilineare Operatoren
15.1.1 Drei wichtige Sätze
15.1.2 Antilineare Operatoren im Hilbert-Raum
15.1.3 Antiunitäre Transformationen
15.1.4 Antilineare Operatoren und Darstellungen
15.2 Transformationen und Transformationsgruppen
15.2.1 Transformation von Variablen und Zuständen
15.2.2 Transformationsgruppen
15.2.3 Gruppen von Transformationsoperatoren
15.2.4 Kontinuierliche Gruppen und infinitesimale Transformationen. Translationen. Rotationen
15.2.5 Endliche Gruppen. Spiegelungen
15.3 Invarianz der Bewegungsgleichungen und Erhaltungssätze . . . .
70
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142
145
147
Inhalt
15.3.1 Invariante Observable
15.3.2 Symmetrie des Hamüton-Operators und Erhaltungssätze . .
15.3.3 Invarianz der Bewegungsgleichungen für Zustände . . . .
15.3.4 Symmetrien des Stark- und des Zeeman-Effekts
15.4 Zeitumkehr und Mikroreversibilitätsprinzip
15.4.1 Translation der Zeit und Energieerhaltung
15.4.2 Zeitumkehr in der klassischen und in der Quantenmechanik.
15.4.3 Die Operation der Zeitumkehr. Teilchen ohne Spin . . .
15.4.4 Allgemeine Definition der Zeitumkehr
15.4.5 Zeitumkehr und Komplexkonjugation
15.4.6 Das Prinzip der Mikroreversiblilität
15.4.7 Eine Folgerung: die Kramers-Entartung
15.4.8 Reeller, drehinvarianter Hamilton-Operator
Aufgaben
Vierter Teil Näherungsmethoden
9
147
149
150
153
155
155
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160
162
164
165
168
171
16 Stationäre Störungen
173
Allgemeine Einführung in den vierten Teil
173
16.1 Störung eines nichtentarteten Niveaus
174
16.1.1 Potenzreihenentwicklung nach dem Störparameter . . . . 1 7 4
16.1.2 Störung erster Ordnung
176
16.1.3 Der Grundzustand des Heliumatoms
177
16.1.4 Die Coulombenergie der Atomkerne
179
16.1.5 Korrekturen höherer Ordnung
181
16.1.6 Stark-Effekt bei einem starren Rotator
183
16.2 Störung eines entarteten Niveaus
185
16.2.1 Elementare Theorie
185
16.2.2 Atomniveaus bei Abwesenheit von Spin-Bahnkräften . . . 187
16.2.3 Spin-Bahnkräfte. LS-Kopplung und jj-Kopplung
189
16.2.4 LS-Kopplung beim Atom. Wirkung der Spin-Bahn-Kopplung . 191
16.2.5 Zeeman- und Paschen-Back-Effekt
192
16.2.6 Aufhebung von Entartungen und Symmetrien von H . . . 1 9 5
16.2.7 Quasi-Entartung
197
16.3 Explizite Form der vollständigen Entwicklung
198
16.3.1 Der Hamiltonoperator H und seine Resolvente G(z) . . . 198
16.3.2 Die Entwicklungen von G(z), P und HP nach Potenzen von XV. 200
16.3.3 Berechnung der Eigenwerte und Eigenzustände
202
Aufgaben
205
17 Näherungslösungen der zeitabhängigen Schrödinger-Gleichung
Bildwechsel und Störangsrechnung für einen Teil des Hamüton-Operators.
17.1 Zeitabhängige Störungstheorie
17.1.1 Definition und Störangsrechnung für die Übergangswahrscheinlichkeit
207
207
209
209
10
Inhalt
17.1.2 Halbklassische Theorie der Coulombanregung von
Atomkernen
212
17.1.3 Zeitunabhängiges V. Erhaltung der ungestörten Energie . . 216
17.1.4 Berechnung der Wirkungsquerschnitte in der Bornschen
Näherung
220
17.1.5 Periodische Störung. Resonanzen
221
17.2 Plötzliche und adiabatische Änderung des Hamilton-Operators
. . 223
17.2.1 Problemstellung und Ergebnisse
223
17.2.2 Plötzlicher Übergang
224
17.2.3 Plötzliche Richtungsumkehr eines Magnetfeldes
225
17.2.4 Adiabatischer Übergang. Allgemeines. Trivialer Fall . . . . 226
17.2.5 Das „Bild der sich drehenden Achsen"
228
17.2.6 Beweis des Adiabatensatzes
229
17.2.7 Die adiabatische Näherung
232
17.2.8 Adiabatische Umkehr eines Magnetfeldes
237
Aufgaben
240
18 Die Variationsmethode und damit zusammenhängende Probleme . . . .
Die Variationsmethode von Ritz
18.1 Variationsmethode zur Bestimmung gebundener Zustände . . . .
18.1.1 Variationsform des Eigenwertproblems
18.1.2 Berechnung der diskreten Niveaus
18.1.3 Ein einfaches Beispiel: Das Wasserstoff atom
18.1.4 Diskussion. Berechnung der angeregten Niveaus
18.1.5 Der Grundzustand des Heliumatoms
18.2 Die Atommodelle von Hartree und Hartree-Fock
18.2.1 Die Methode des selbstkonsistenten Feldes
18.2.2 Berechnung von Е(Ф)
18.2.3 Die Hartree-Fock-Gleichungen
18.2.4 Diskussion
18.2.5 Die Hartree-Gleichungen
18.3 Die Struktur der Moleküle
18.3.1 Allgemeines. Separation von Elektronen- und Kernbewegung.
18.3.2 Die Elektronenbewegung bei unbeweglichen Kernen . . .
18.3.3 Die adiabatische Näherung
18.3.4 Der Hamilton-Operator für die Kerne in der adiabatischen
Näherung
18.3.5 Die Born-Oppenheimer-Methode
18.3.6 Zweiatomige Moleküle
Aufgaben
19 Streutheorie
Einleitung
19.1 Greensche Funktion aus freien Wellen und Bornsche Näherung
19.1.1 Integraldarstellungen der Streuamplituden
245
245
246
246
248
249
252
253
255
255
256
258
261
262
263
263
265
267
270
273
273
279
281
281
. . 282
282
Inhalt
11
19.1.2
19.1.3
19.1.4
19.1.5
19.1.6
19.1.7
19.1.8
19.1.9
19.2
19.3
19.4
19.5
Wirkungsquerschnitte und Г-Matrix. Mikroreversibilität
. . 285
Die Bornsche Näherung
287
Die Integralgleichung für die Streuung
289
Die Bornsche Reihe
291
Kriterien für die Gültigkeit der Bornschen Näherung . . . 292
Elastische Elektronenstreuung an einem Atom
294
Zentralpotential. Berechnung der Streuphasen
296
Die Greensche Funktion als Operator. Zusammenhang mit
der Resolvente von H0
297
Verallgemeinerung auf gebundene Wellen
301
19.2.1 Die verallgemeinerte Bornsche Näherung
301
19.2.2 Verallgemeinerte Bornsche Reihe
303
19.2.3 Die Greensche Funktion aus gebundenen Wellen
. . . .
304
19.2.4 Anwendungen. Definition und formale Eigenschaften von T. 308
19.2.5 Anmerkung über 1/r-Potentiale
309
Komplexe Streuung und Bornsche Näherung
310
19.3.1 Allgemeines. Wirkungsquerschnitte
310
19.3.2 Kanäle
311
19.3.3 Berechnung der Wirkungsquerschnitte. Г-Matrizen . . . . 3 1 2
19.3.4 Integraldarstellungen der Übergangsamplitude
314
19.3.5 Die Bornsche Näherung und ihre Verallgemeinerungen . . . 316
19.3.6 Streuung schneller Elektronen an einem Atom
318
19.3.7 Coulombanregung von Kernen
321
19.3.8 Greensche Funktionen und Integralgleichungen für die
stationären Streuwellen
323
19.3.9 Streuung eines Teilchens an zwei Streuzentren
324
19.3.10 Einfachstreuung. Interferenzen
327
19.3.11 Mehrfachstreuung
330
Variationsrechnung für die Übergangsamplituden
332
19.4.1 Stationäre Ausdrücke für die Streuphasen
332
19.4.2 Berechnung der Streuphasen. Diskussion
335
19.4.3 Erweiterung auf komplexe Stöße
337
Allgemeine Eigenschaften der Übergangsmatrix
338
19.5.1 Stromerhaltung. 5-Matrix
339
19.5.2 Die Bohr-Peierls-Placzek-Relation
341
19.5.3 Mikroreversibilität
342
19.5.4 Invarianzeigenschaften der T-Matrix
343
Aufgaben
345
Fünfter Teil Elemente der relativistischen Quantenmechanik
20. Die Dirac-Gleichung
20.1 Allgemeine Einführung
20.1.1 Die relativistische Quantenmechanik
351
351
351
12
Inhalt
20.2
20.3
20.4
20.5
20.1.2 Bezeichnungen, Vereinbarungen und Definitionen . . .
20.1.3 Die Lorentz-Grappe
20.1.4 Erinnerung an die klassische relativistische Dynamik . .
Klein-Gordon- und Dirac-Gleichungen
20.2.1 Die Klein-Gordon-Gleichung
20.2.2 Die Dirac-Gleichung
20.2.3 Konstruktion des Raumes &(Jl Dirac-Darstellung
20.2.4 Kovariante Form der Dirac-Gleichung . .
20.2.5 Die adjungierte Gleichung. Definition des Stroms . . . .
Invarianzeigenschaften der Dirac-Gleichung
20.3.1 Eigenschaften der Dirac-Matrizen
20.3.2 Forminvarianz der Dirac-Gleichung bei einem orthochronen
Wechsel des Bezugssystems
20.3.3 Transformationen der eigentlichen Gruppe
20.3.4 Raumspiegelung und orthochrone Gruppe
20.3.5 Konstruktion von kovarianten Größen
20.3.6 Eine andere Formulierung der Forminvarianz: Transformation der Zustände
20.3.7 Invarianzbedingungen für die Bewegungsgleichung . . . .
20.3.8 Transformationsoperatoren. Impuls, Drehimpuls, Parität .
20.3.9 Erhaltungssätze und Konstanten der Bewegung
20.3.10 Zeitumkehr und Ladungskonjugation
20.3.11 Eichinvarianz
Interpretation der Operatoren und einfache Lösungen
20.4.1 Dirac-Gleichung und Korrespondenzprinzip
20.4.2 Die dynamischen Variablen eines Dirac-Teilchens . . . .
20.4.3 Das freie Elektron. Ebene Wellen
20.4.4 Konstruktion der ebenen Wellen durch Lorentz-Transformation
20.4.5 Zentralpotential
20.4.6 Freie Kugelwellen
20.4.7 Das Wasserstoffatom
Nichtrelativistischer Grenzfall der Dirac-Gleichung
20.5.1 Kleine und große Komponenten
20.5.2 Die Pauli-Theorie als nichtrelativistischer Grenzfall der
Dirac-Theorie
20.5.3 Anwendung: Hyperfeinstruktur und Dipol-Dipol-Kopplung
20.5.4 Korrekturen höherer Ordnung und Foldy-WouthuysenTransformation
20.5.5 Foldy-Wouthuysen-Transformation für ein freies Teilchen .
20.5.6 Foldy-Wouthuysen-Transformation für ein Teilchen in einem
Feld
20.5.7 Elektron in einem elektrostatischen Zentralpotential
. .
20.5.8 Diskussion und Schlußfolgerungen
.352
356.
. 358
'360
360
363
366
367
368
370
370
375
379
382
382
383
385
. 386
388
389
393
393
393
394
396
398
399
402
403
406
406
408
. 411
413
. 414
416
-418
419
Inhalt
13
20.6 Negative Energien und Theorie des Positrons
20.6.1 Eigenschaften der ladungskonjugierten Lösungen
20.6.2 Anomales Verhalten der Lösungen zu negativer Energie .
20.6.3 „Löcher"-Theorie und Positronen
20.6.4 Schwierigkeiten der „Löcher"-Theorie
Aufgaben
420
42Q
.421
424
42g
427
21 Feldquantisierung. Strahlungstheorie
Einleitung
21.1 Quantisierung eines reellen skalaren Feldes
21.1.1 Freies klassisches Feld. Normalschwingungen
21.1.2 Quantisierung des freien Feldes
21.1.3 Lagrange-Funktion des Feldes. Kanonisch konjugierter
Impuls
21.1.4 Komplexe Basisfunktionen
21.1.5 Ebene Wellen. Definition des Impulses
21.1.6 Kugelwellen. Definition des Drehimpulses
21.1.7 Raumspiegelungen und Zeitumkehr
21.2 Kopplung mit einem atomaren System
21.2.1 Kopplung mit einem Teilchensystem
21.2.2 Schwache Kopplung und Störungsrechnung
21.2.3 Niveauverschiebung
21.2.4 Emission eines Feldquants
21.2.5 Quantentheorie des Zerfalls. Linienbreite
21.2.6 Elastische Streuung. Dispersionsformel
21.2.7 Resonanzstreuung. Bildung eines metastabilen Zustands .
21.2.8 Absorption eines Feldquants (photoelektrischer Effekt).
Strahlungseinfang
21.3 Klassische Theorie der elektromagnetischen Strahlung
21.3.1 Die Maxwellschen Gleichungen
21.3.2 Symmetrien und Erhaltungssätze der klassischen Theorie .
21.3.3 Selbstenergie und klassischer Elektronenradius
21.3.4 Elektromagnetisches Potential. Eichung
21.3.5 Longitudinaler und transversaler Anteil eines Vektorfeldes
21.3.6 Elimination des longitudinalen Feldes
21.3.7 Energie, Impuls und Drehimpuls
21.3.8 Die Hamilton-Funktion der freien Strahlung
21.3.9 Die Hamilton-Funktion der mit einem Teilchensystem gekoppelten Strahlung
21.4 Quantentheorie der Strahlung
21.4.1 Quantisierung des freien Strahlungsfeldes. Photonen . .
21.4.2 Ebene Wellen. Strahlungsimpuls
21.4.3 Polarisation
21.4.4 Multipolentwicklung. Photonen mit bestimmtem Drehimpuls und bestimmter Parität
429
429
43 0
43 0
43 0
435
43 8
440
445
446
446
446
450
453
457
459
466
. 470
472
474
474
. 476
478
479
. 480
483
485
489
491
491
. 491
492
494
495
14
Inhalt
21.4.5 Kopplung mit einem atomaren System
21.4.6 Emission eines Photons durch ein Atom. Dipolstrahlung .
21.4.7 Compton-Streuung bei niedrigen Energiea Thomsonsche
Formel
Aufgaben
Anhang
С Vektoradditionskoeffizienten und Drehmatrizen
D Elemente der Gruppentheorie
Index zu Band 1 und 2
498
502
505
508
513
515
539
577