Quantenmechanik II – Aufgabenblatt 11 - Friedrich
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Friedrich-Schiller-Universität Jena WiSe 10/11 Quantenmechanik II – Aufgabenblatt 11 Abgabe: 21. Januar 2011 Diskussion der Lösungen: 26./27. Januar 2011 (21) Erhaltung der elektrischen Ladung (2 Punkte) Zeigen Sie, dass für Felder φ(x), welche die eichinvariante Klein-Gordon-Gleichung m2 c2 ie µ Dµ D + 2 φ(x) = 0, Dµ ≡ ∂µ + Aµ ~ ~c erfüllen, der Viererstrom jµ = erhalten ist. i~ † µ φ D φ − (D µ φ)† φ 2m (22) Schrödinger-Gleichung für ein Klein-Gordon-Feld (7 Punkte) Das freie Klein-Gordon-Feld φ(x) erfüllt eine Schrödinger-Gleichung p i~∂t φ = c2 p2 + m2 c4 φ mit nichtlokalem Hamilton-Operator. Dieses Problem läßt sich mit folgendem Trick umgehen: Der zweikomponentige Spinor“ Ψ = (χ+ , χ− )T möge die Schrödinger-Gleichung ” i~∂t Ψ = HΨ mit Hamilton-Operator H = (σ3 + iσ2 ) p2 + σ3 mc2 2m erfüllen. Zeigen Sie, dass (a) χ+ und χ− dann auch der freien Klein-Gordon-Gleichung genügen. Hinweis: Betrachten Sie (H + i~∂t )(H − i~∂t ). 1 (mcφ 2mc ± i~∂ct φ) obige Schrödinger-Gleichung löst. R (c) H hermitesch ist bezüglich des indefiniten Skalarproduktes hΨ|Φi ≡ d3 r Ψ† σ3 Φ. (b) Ψ mit Komponenten χ± = (d) die elektrische Ladung durch Q = ehΨ|Ψi mit χ± wie in (b) gegeben ist. (e) die Abbildung Ψ 7→ Ψc = σ1 Ψ∗ eine Involution ist, welche Ladungskonjugation beschreibt: Q(Ψc ) = −Q(Ψ).
