Trigonometrie Sachaufgaben Vektor - uwe-home.net

Trigonometrie Sachaufgaben Vektor
Man kann die trigonometrischen Beziehungen direkt für die Vektorrechnung
heranziehen, indem man die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks als Komponenten
eines Vektors auffasst, der entlang der Hypotenuse orientiert ist, und den Satz des
Pythagoras anwendet:
geg.:A und θ ( Theta, achter Buchstabe)
=
geg.: Ax und Ay
=
also ist Ax = A cos θ
also ist Ay = A sin θ
=
+
Kräfte sind Vektoren
Die Maßeinheit für Kräfte ist in der Regel „Newton“ (N). Schreibt man also F = 6 N, dann
ist dies lediglich die Angabe des Betrages der Kraft, oder der Stärke der Kraft.
Um die Vektoreigenschaft einer Kraft zu erkennen, lassen wir an einem punktförmigen
Körper zwei Kräfte der Stärke 6
N angreifen. Nur der
ahnungslose Laie wird dann
meinen, dass insgesamt 12 N
auf den Körper wirken. Man
diese insgesamt wirkende Kraft
die resultierende Kraft, und
deren Richtung und Betrag
hängt davon ab, in welche
Richtung die beiden Einzelkräfte wirken. und welchen Winkel sie zueinander bilden.
Überlagerung zwei gleichgroßer Kräfte
(1)
F1 und F2 sollen rechtwinklig zueinander sein.
Man bildet ein Parallelogramm
aus F1 und F2, das in diesem
Fall zu einem Quadrat wird.
Die resultierende Kraft ist die
Diagonale. Mit Hilfe der
Trigonometrie berechnet man:
= __________
Oder mittels Pythagoras:
= __________
(2)
Nun sollen die Kräfte mit 120°wirken.
Dadurch entsteht ein
Parallelogramm, das durch die
Diagonale FR in zwei
gleichseitige Dreiecke zerlegt
wird. d.h. FR hat __________
Betrag wie F1 und F2
(3)
Nun verwenden wir ALPHA = 100° zwischen F1
und F2 und F1= F2 = 6 N.
Die Berchnung der
resiltierenden Kraft sieht dann
so aus:
Weil F1 = F2 ist, liegt eine
Raute vor (Eigenschaft:
Diagonalen halbieren sich
orthogonal (senkrecht)).
Die beiden Diagonalen
zerlegen die Raute in
rechtwinklige Dreiecke
Im Dreieck ABC gilt:
= __________
Zerlegung in zwei gleichgroße Kräfte
(1)
Zwei gleich große Kräfte greifen unter einem
Winkel von 140° ab´n einem Massenpunkt an.
Ihre resultierende Kraftwirkung hat die Stärke
von 50 N. Wie groß sind beiden ursprünglichen
Kräfte?
Der hier gezeichnet Pfeil AB
stellt die Kraft F1 dar.
Man zeichnet nun die zweite
Diagonale BC ein sodass man
das rechtwinklige Teildreieck
ABE erhält. Darin kann man F1
so berechnen:
= __________
(2)
Zwei gleich große Kräfte der Stärke 40 N
greifen an einem Massenpunkt an. Die
resultierende Kraftwirkung hat die Stärke 50 N.
Berechne den Winkel zwischen den beiden
ursprünglichen Kräften.
Die Rechnung erfolgt wie gehabt
in dem rechtwinkligen Teildreieck
ABE
2
= __________°
= __________°
Rechtwinklige Überlagerung zwei Kräfte
Es sind F1 = 3 N und F2 = 5 N.
Dann gilt nach Pythagoras:
= __________ N
Den Winkel α berechnet man im
rechtwinkligen Teildreieck mit
Tangens:
Berechne den Winkel αzur Angabe, in
welche Richtung von
aus die
resultierende Kraft wirkt und den Betrag
von
= __________°
Berechnung der Richtungsablenkung
Ein Auto fährt von Start bis Ziel
entlang des Vektors r. Eigentlich wollte er in
Richtung x mit 80 km/h fahren, wurde aber durch
den Seitenwind von 20 km/h abgelenkt. mit
welchem Winkel muss er gegenlenken, damit der
Wagen die Spur hält?
Übungsaufgabe
Der Ball ist von der Feldmitte fast in die Ecke geflogen. Das ist also die tatsächliche
Strecke d. Um an den Punkt zu gelangen, wo der Ball aufgeprallt ist, hätte man ihn auch
erst einmal nach rechts schießen können (dx) und dann erst nach vorne (dy).
Dies geschieht auch bei einem entsprechenden Seitenwind entlang der Torlinie, wenn der
Fußballer genau auf das Tor zielt. Berechne Geschwindigkeit und Ablenkungswinkel über
dem Grund, wenn der Ball zwei Sekunden in der Luft war.
Physikalische Beispiele
Die schiefe Ebene
Wir betrachten einen Körper, der
auf einer schiefen Ebene liegt (in
Ruhe oder in Bewegung). In der
Regel wirkt nur die
Erdanziehungskraft
(Gravitationskraft) , die sich uns als
Gewichtskraft
äußert. Doch diese
Kraft könnte nur in ihre Richtung
wirken, wenn darunter keine
Unterlage wäre.
Die schiefe Ebene sorgt dafür, dass
sich zwei Wirkungen herausbilden.
Von der Gewichtskraft ausgehend beobachten wir zwei Kraftwirkungen: zum einen ist
eine Abwärtsbewegung möglich, zum anderen wird der Körper gegen die Unterlage
gedrückt. Um die Größe dieser beiden Kraftwirkungen zu berechnen, zerlegt man die
Gewichtskraft in zwei Komponenten.
Die erste Komponente heißt Hangabtriebskraft . Sie
verursacht eine Bewegung abwärts, falls die bremsende
Reibungskraft dies zuläßt.
Die zweite Komponente heißt Normalkraft . (Dieser Begriff
kommt aus der Mathematik, wo normal auch senkrecht
bedeuten kann. Die Normalkraft drückt den Körper senktecht
gegen die Unterlage, was die Reibung verursacht.
Der Neigungswinkel der Ebene tritt bei der Zerlegung noch
einmal auf. Das Kräfteparallelogramm wird zum Rechteck, so
dass wir mit der Trigonometrie berechnen können.
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
Gegeben sind der Neigungswinkel α
und die Gewichtskraft
Gegeben sind Neigungswinkel α und
Normalkraft
Gegeben sind Neigungswinkel α und
Hangabtriebskraft
Gegeben sind Gewichtskraft und
Normalkraft
Gegeben sind Gewichtskraft und
Hangabtriebskraft
Gegeben sind Normalkraft und
Hangabtriebskraft
⇔
⇔
⇔
⇔
= __________
= __________oder⇔ = __________
= __________
= __________oder⇔ = __________
!" = __________
= __________oder⇔ = __________
² = __________
= __________oder⇔ = __________
Übungen:
Aufgabe:
Neigungswinkel α
Gewichtskraft
Normalkraft
Hangabtriebskraft
(a)
30°
50 N
(b)
20°
(c)
17°
50 N
33 N
(d)
(e)
200 N
80 N
56 N
7N
(f)
20 N
10 N
Beispiel: Berechnungen an der schiefen Ebene
Gegeben sind die Gewichtskraft des
Gegenstandes:
.und die Länge
der schiefen Ebene:
bei einem
Höhenunterschied von 40 cm.
Berechne Neigungswinkel und
Hangabtriebskraft sowie Normalkraft.
Die Gewichtskraft des Gegenstands wird in
zwei Komponenten zerlegt:
die Hangabtriebskraft
der schiefen Ebene;
die Normalkraft
Ebene.
Beispiel Zugkraft:
Die Ausfahrt aus einer Kellergarage soll auf
einer Länge von s = 10 m einen
Höhenunterschied von h = 4 m überwinden.
Welche Zugkraft muss der Motor eines Wagens
der Masse m = 1,2 t aufbringen, wenn von
Reibung abgesehen werden darf?
Lampenprobleme: Ausleger und Seile
in Richtung längs
senkrecht zur schiefen
Beispiel: Straßenlaterne
Zwischen zwei Häusern hängt eine Straßenlaterne;
ihre Gewichtskraft beträgt 80 N. Der Winkel
zwischen den Seilstücken beträgt 155°. Mit
welcher Kraft werden die Seilstücke gespannt?
Die Kraft, die von den Seilstücken aufgebracht werden muss, hält der Gewichtskraft der
Laterne das Gleichgewicht:
.
Diese Kraft ist in zwei Komponenten zu zerlegen. Da nach der Kraft in den Seilstücken
gefragt ist, sind die physikalisch sinnvollen Richtungen der Komponenten die Seilrichtungen.
Bei dem Kräftemaßstab
ergibt sich so
Beispiel: Lastaufhängung
Die Kraft , die auf den Aufhängepunkt der
Last wirkt, spannt das waagerechte Seil und
drückt die Stange schräg gegen die Wand.
Man zerlegt
daher in eine waagerechte
Kraft
in Richtung des Seils und in eine
Kraft
in Richtung der Stange.
Die Daten der Anordnung sind:
F = 200 N; α = 48°
Die gesuchten Komponenten ergeben sich zu F1 = 220 N, F2 = 300 N.
.
Das schwingende Fadenpendel
Das Kreispendel
Strömungsablenkung - Kurs über Grund
Berechnung der Resultierenden
Ein Jogger läuft 145 m in eine
Richtung 20° östlich in Bezug auf
Norden (Vektor ), dann 105 m
35° südlich in Bezug auf Osten
(Vektor ).
• Bestimme Länge und Richtung
des resultierenden Vektors C !
Der Ball ist von der Feldmitte fast in die Ecke geflogen. Das ist also die
tatsächliche Strecke d.
Um an den Punkt zu gelangen, wo der Ball aufgeprallt ist, hätte man ihn
auch erstmal nach rechts schießen können (dx) und dann erst nach vorne
(dy)
Berechnung Geschwindigkeit über Grund
Ein Luftschiff, das eine Eigengeschwindigkeit
von 50 km/h über Grund entwickelt, soll
bei einem Südwestwind der Stärke 20 km/h
exakt von Nord nach Süd fliegen. Fertige zu
der Aufgabe eine Skizze an und berechne
dann
a) den Winkel, den der Pilot sein
Luftschiff gegen den Wind drehen
muss
b) die Geschwindigkeit, die das
Luftschiff über Grund besitzt.
Er muss den Winkel 16,43° nehmen.
Die Geschwindigkeit über Grund
beträgt33,16 km/h
Ausblicke nichtrechtwinkliger Problemstellungen:
Ein Kraft F = 480 N ist in zwei Komponenten zu zerlegen, deren Richtung mit der
Richtung der gegebenen Kraft die Winkel ALPHA = 10° 20‘ und BETA gleich 36° 59‘
bildet. Wie groß sind die Beträge der Komponenten?