WSW-04-Lösungen
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Werkstoffwissenschaft für ET und Wi1 Lösung 04 / 2016 1. Unschärferelation Eine Murmel der Masse 2, 21 g befinde sich in einem Kasten der Länge ` = 3 cm. Berechnen Sie die Unschärfe ihres Impulses, ihre daraus folgende minimale Geschwindigkeit und die zugehörige minimale kinetische Energie unter der Annahme Δx = ` und p = Δp. Berechnen Sie die entsprechenden Größen für ein in einem Raumbereich der Länge ` = 1 Å eingeschlossenes Elektron. Für die Murmel folgt mit m = 2, 21 g und Δx = ` = 3 cm aus der Unschärferelation: ΔpΔx = h h ⇔ Δp = = mv = 2, 21 ∙ 10−32 kgm/s Δx ⇔ v = 10−29 m/s 1 mv 2 = 1, 1 ∙ 10−61 J = 6, 9 ∙ 10−43 eV ⇒ Ekin = 2 Für das Elektron folgt mit m = 9, 109 ∙ 10−31 kg und Δx = 1 Å ΔpΔx = h h = 6.62 ∙ 10−24 kgm/s ⇔ Δp = Δx ⇔ v = 7, 27 ∙ 106 m/s ⇒ Ekin = 2, 4 ∙ 10−17 J = 150 eV 2. Wellenlängen Welche Wellenlänge hat Röntgenstrahlung mit einer Energie von Ex = 31 keV? Welche kinetische Energie bzw. welche Geschwindigkeit hätte ein freies Elektron mit der gleichen Wellenlänge? Welche Wellenlänge hätte ein freies Elektron mit einer kinetischen Energie von 31 keV? Für die Röntgenstrahlung gilt: Ex = hf c = λf c ⇒ Ex = h λ c = 0, 04 nm = 0, 4 Å ⇔λ = h Ex 1 Die Aufgabenzettel und weitere Informationen finden Sie im Servicebereich (Startseite Universit ät für Elektrotechnik Prof. Kip Lehre Übungen zu den Vorlesungen). Fakultät Für das Elektron gilt (De-Broglie-Beziehung): p = ˉhk = h 2π h h = ⇔λ= 2π λ λ p p = mv 1 p2 mv 2 = Ekin = 2 2m Sollen die Wellenlängen von Röntgenstrahlung und Elektron gleich sein, muss gelten: Ekin = ⇒v= q 1 p2 h2 Ex2 Ex2 1 h2 1 h2 = = 1, 41 ∙ 10−16 J = 880, 6 eV mv 2 = = 2 = c 2 = 2 2m λ 2m 2m (h Ex ) 2mh2 c2 2mc2 2Ekin m = q 2 Ex2 m 2mc2 = Ex mc = 1, 76 ∙ 107 m/s Sind die Energien gleich, so folgt: 1 p2 h2 1 = 2 Ekin = Ex = mv 2 = 2 2m λ 2m h −12 = 6, 96 ∙ 10 m ⇒λ = √ 2mEx 3. Helium+ -Ion Im Borschen Atommodell bewegt sich das Elektron mit der Ladung −e und der Geschwindigkeit vn auf einer Kreisbahn mit dem Radius rn um den positiv geladenen Kern mit der Ladung Ze. Diese Bewegung ist vergleichbar mit der Bewegung der Planeten um die Sonne. Im Fall des Elektrons ist die CoulombKraft FC die Zentripetalkraft, die das Elektron auf der Kreisbahn hält. a) Nehmen Sie an, dass sich das Elektron nach den Gesetzen der klassischen Mechanik bewegt. Zeigen Sie, dass in diesem Fall die kinetische Energie gerade halb so groß ist, wie der Betrag der potentiellen Energie. Fc = FZ vn2 1 Ze2 = m 4πε0 rn2 rn 1 Ze2 ⇔ mvn2 = 4πε0 rn Für die potentielle Energie im Coulombfeld des Kernes gilt Z rn Epot = ∞ Fc dr = Ze2 4πε0 Z rn dr ∞ r2 Ze2 1 − 4πε0 r = rn ∞ =− Ze2 1 4πε0 rn Für die Gesamtenergie folgt: Eges = Ekin + Epot Eges 1 = − 2 1 Ze2 1 = mvn2 + − 2 4πε0 rn 1 Ze2 4πε0 rn ! ! 1 = 2 1 Ze2 4πε0 rn ! − Ze2 1 4πε0 rn ! 1 = − Epot = −Ekin 2 b) Der Drehimpuls des Elektrons nehme nur diskrete Werte in der Form L = mvrn = nˉh an. Ermitteln Sie die sich ergebenden Ausdrücke für den Bahnradius rn und die Gesamtenergie En und zeigen Sie, dass diese in der Form rn = a0 n2 /Z bzw En = −E0 Z 2 /n2 geschrieben werden können. Geben Sie außerdem die Ausdrücke und Werte für die Konstanten a0 und E0 an. L = mvrn = nˉh nˉ h n2 ˉh2 ⇔ vn = ⇒ vn2 = 2 2 mrn m rn |Eges | = Ekin h2 1 n2 ˉ ⇒ m 2 2 2 m rn = 1 1 = mvn2 = 2 2 1 Ze2 4πε0 rn 1 2 ! 1 Ze2 4πε0 rn ! n2 ˉh2 n2 = a 0 mZe2 Z 2 h 4πε0 ˉ = 0, 052 nm (Bohrscher Radius) me2 ⇔ rn = 4πε0 ⇒ a0 = Eges = −Ekin = − 1 4πε0 rn ! 1 1 =− 2 4πε0 4πε0 mZ 2 e4 Z2 = −E 0 2 2 n2 32π 2 ε0 ˉ h n2 me4 = 21, 97 ∙ 10−19 J = 13, 6 eV 32π 2 ε20 ˉ h2 |Eges | = − ⇒ E0 = 1 2 Ze2 Ze2 n2 ˉ h2 mZe2 c) Die Bewegung des Elektrons auf der Kreisbahn ist strahlungslos. Beim Übergang vom Zustand En2 in einen Zustand mit niedrigerer Energie En1 wird ein Photon der Energie EP hoton = En2 − En1 emittiert. Zeigen Sie, dass für die Frequenz des Photons f2,1 = cRZ 2 (1/n22 − 1/n21 ) gilt und geben Sie den Ausdruck und den Wert für die Konstante R an. ⇔ f21 = ⇒R = 1 Z2 Z2 1 + E0 2 = E 0 Z 2 − 2 n2 n1 n21 n22 E0 Z 2 1 1 1 1 2 − = cRZ − h n21 n22 n21 n22 E0 = 1, 11 ∙ 107 m−1 Rydberg-Konstante hc Ephoton = hf21 = En2 − En1 = −E0 d) Berechnen Sie die Energie und die Wellenlänge des Photons, dass beim Übergang eines Helium-Ions (Z = 2) von n2 = 6 nach n1 = 4 emittiert wird. f64 = cR4 5 1 1 = cR = 4, 62 ∙ 1014 Hz − 16 36 36 = 3, 06 ∙ 10−19 J = 1, 91 eV E64 = hf64 c λ64 = = 648, 9 ∙ 10−9 m = 648, 9 nm (rotes Licht) f64
