Einheitswurzeln und Kreisteilungspolynome

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Einheitswurzeln und Kreisteilungspolynome
DEFINITION 1:
Eine komplexe Zahl ζ heit n -te Einheitswurzel, wenn ζ n = 1 ist. Sie heit
primitive n -te Einheitswurzel, wenn alle n -ten Einheitswurzeln als Potenzen von ζ darstellbar
2πi
sind. Insbesondere ist die Zahl ζn = e n eine n -te Einheitswurzel.
SATZ 1:
Die n -ten Einheitswurzeln sind die Zahlen
ζnk = e
2kπi
n
,
1 ≤ k ≤ n.
(1)
Darunter sind genau diejenigen primitiv, fur die ggT(n, k) = 1 gilt.
BEWEIS:
Die erste Aussage folgt unmittelbar aus der Eulerschen Identitat eiϕ = cos ϕ + i sin ϕ
und den Additionstheoremen fur die trigonometrischen Funktionen.
Ersichtlich ist ζn primitiv, denn alle Einheitswurzeln (1) sind Potenzen von ζn . Sei jetzt ξ
eine beliebige primitive Einheitswurzel, dann hat ξ die Gestalt ζnk mit einem gewissen k ,
1 ≤ k ≤ n . Weil ξ primitiv ist, mu es ein eindeutig bestimmbares kleinstes positives x geben,
so da insbesondere die Zahl ζn als Potenz von ξ darstellbar ist:
ξ x = ζnk·x = ζn = e
2πi
n
.
(2)
Daraus folgt e n = e n , und das bedeutet kx ≡ 1 (mod n) . Weil hier x als eindeutige
Losung der Kongruenz aufgefat werden kann, 1) gilt ggT(k, n) = 1 .
Setzt man umgekehrt ggT(k, n) = 1 voraus, so hat die Kongruenz kx ≡ 1 (mod n) eine
2kxπi
2πi
eindeutige Losung (vgl. Funote 1). Daraus folgt e n = e n , gema (2) also ζnk·x = ζn .
Da ζn selber eine primitive Einheitswurzel ist, mu dies auch fur ζnk gelten, denn ist η eine
beliebige Einheitswurzel, so gibt es ein ` mit η = ζn` = ζnk(x·`) .
Damit ist bewiesen, da genau die zu n teilerfremden k die primitiven Einheitswurzeln ζnk
liefern. Folglich gibt es genau ϕ(n) primitive Einheitswurzeln.
DEFINITION 2: Das Polynom
2kxπi
2πi
Φn (x) =
Y
(x − ζ) =
n
Y
(x − e
2kπi
n
)
(3)
1≤k≤n
ggT(k,n)=1
ζ =1
ζ primitiv
heit n -tes Kreisteilungspolynom.
Es ist klar, da das n -te Kreisteilungspolynom den Grad ϕ(n) hat. Dies fuhrt auf den
SATZ 2:
Das Produkt
Y
Φd (x)
(4)
d|n
der Kreisteilungspolynome Φd (x) , bei dem d alle Teiler von n durchlauft, hat den
Grad n.
BEWEIS:
Die Behauptung erfolgt unmittelbar aus der von Gau stammenden Formel
n =
X
ϕ(d)
(5)
d|n
In der elementaren Zahlentheorie beweist man, da die Kongruenz ax ≡ b (mod n) genau dann eine
eindeutige Losung x hat, wenn a teilerfremd zu n ist. Diese Losung kann im strengen Sinne eindeutig
bestimmt werden, weil man x unter den Zahlen 1, 2, . . . , n nden kann.
1)
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und der Tatsache, da das d -te Kreisteilungspolynom Φd (x) den Grad ϕ(d) hat. 2)
Sei ζ eine beliebige n -te Einheitswurzel. Weil ζ n = 1 ist, gibt es gewi ein kleinstes positives
d ≤ n , so da ζ d = 1 gilt. Dieses d wird Ordnung von ζ genannt. F
ur die Ordnung einer
n -ten Einheitswurzel gilt folgender
SATZ 3:
Hat die n -te Einheitswurzel ζ die Ordnung d , so gilt ζ t = 1 dann und
nur dann, wenn d ein Teiler von t ist. Insbesondere gilt stets d|n .
BEWEIS:
Setzen wir d|t voraus, so ist t = dr . Das ergibt ζ t = (ζ d )r = 1r = 1 . Setzen wir
ζ t = 1 voraus, so kann man wegen t = qd + r mit r < d auf
1 = ζ t = (ζ d )q ζ r = 1q ζ r = ζ r
(6)
schlieen. Das ist ein Widerspruch zur Ordnung d als kleinster positiver Zahl mit ζ d = 1 . Weil
fur die n -te Einheitswurzel stets ζ n = 1 gilt, heit das Ergebnis insbesondere, da die Ordnung
einer n -ten Einheitswurzel immer ein Teiler von n ist.
SATZ 4:
Ist d ein Teiler von n , so existiert eine n -te Einheitswurzel der Ordnung d .
BEWEIS:
Aus d|n folgt n = dt mit 1 ≤ t ≤ n . Folglich ist ζnt eine Wurzel der behaupteten
Art, denn es gilt
2tπi
2dtπi
(ζnt )d = e n ·d = e dt = e2πi = 1 .
(7)
Der nachste Satz notiert eine bemerkenswerte Formel:
SATZ 5:
xn − 1 =
Y
Φd (x)
(8)
d|n
BEWEIS:
Weil die beiden Polynome rechter und linker Hand in (8) wegen der Formel (5)
von Gau denselben Grad n und uberdies denselben Leitkoezienten 1 haben, reicht es zu
zeigen, da die beiden Polynome genau dieselben Nullstellen besitzen. Die Nullstellen von
2πi
xn − 1 sind die n -ten Einheitswurzeln ζnk mit 1 ≤ k ≤ n , ζn = e n . Wir sind fertig, wenn
wir zeigen konnen, da jede n -te Einheitswurzel eine primitive d -te Einheitswurzel fur einen
gewissen Teiler d von n ist und da umgekehrt fur jeden Teiler d von n jede d -te primitive
Einheitswurzel eine n -te Einheitswurzel ist.
Ist ζnk eine n -te Einheitswurzel mit ggT(n, k) = 1 , so ist ζnk nach Denition 2 Nullstelle von
Φn (x) . Ist ζnk hingegen eine n -te Einheitswurzel mit t = ggT(n, k) > 1 , so haben wir die
Teilerbeziehungen n = dt und k = `t zur Verfugung. Das ergibt
`t
ζnk = ζdt
= e
2`tπi
dt
= e
2`πi
d
= ζd` .
(9)
Hier gilt ggT(d, `) = ggT( nt , kt ) = 1 . 3) Mithin ist ζnk = ζd` nach Satz 1 eine d -te primitive
Einheitswurzel, also eine Nullstelle von Φd (x) , 1 ≤ d < n . Folglich ist jede n -te Einheitswurzel
ur einen gewissen Teiler d von n und damit Nullstelle von
eine
Q primitive d -te Einheitswurzel f
d|n Φd (x) .
2)
3)
vgl. dazu die Bemerkung im Anschlu an Satz 5
Auch dies wird in der elementaren Zahlentheorie bewiesen.
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Ist umgekehrt d ein beliebiger Teiler von n und ξ eine Nullstelle von Φd (x) , so ist ξ nach
Denition 2 eine d -te primitive Einheitswurzel und damit naturlich auch eine d -te Einheitswurzel.
Also gilt ξ d = 1 . Weil d Teiler von n ist, hat man n = dt und demzufolge (ξ d )t = ξ n = 1 .
Mithin ist jede d -te primitive Einheitswurzel einen jeden Teilers d von n eine Nullstelle von
xn − 1 . Damit ist der Satz vollstandig bewiesen.
BEMERKUNG: Im vorstehenden Beweis wird Bezug auf die Formel (5) von Gau genommen.
Die Formel ist jedoch auch aus Satz 5 ableitbar, wenn man den Beweis unter Verzicht auf (5)
dadurch erganzt, da man zeigt, da keine d -te primitive Einheitswurzel zugleich d0 -te primitive
Teiler d0 von n sein kann. Dann namlich ist
Einheitswurzel fur einen von d verschiedenen
Q
n
klar, da die Polynome x − 1 und d|n Φd (x) genau dieselbe Anzahl von Nullstellen haben,
so da die Gultigkeit von (5) wegen
n = Grad(xn − 1) = Grad
Y
Φd (x) =
d|n
X
ϕ(d) .
(10)
d|n
unmittelbar aus (8) folgt. Weil nun das t in Zeile (9) durch n und festes k eindeutig bestimmt
ist, sind auch die Zahlen d und ` eindeutig bestimmt, woraus sich ergibt, da das ζd` in Zeile
(9) ebenfalls eindeutig ist. Mithin kann man von der Einheitswurzel ζnk auf keine andere d0 -te
primitive Einheitswurzel gefuhrt werden.
BEISPIEL: Ist n = 12 , so lauten die 6 Faktoren des Produktes Qd|12 Φd(x)
mit 12 = ggT(12, 12)
(x − ζ2 ) mit 6 = ggT(12, 6)
(x − ζ3 )(x − ζ32 ) mit 4 = ggT(12, 4) und 4 = ggT(12, 8)
(x − ζ4 )(x − ζ43 ) mit 3 = ggT(12, 3) und 3 = ggT(12, 9)
(x − ζ6 )(x − ζ65 ) mit 2 = ggT(12, 2) und 2 = ggT(12, 10)
5
7
11
)(x − ζ12
)(x − ζ12
) mit 1 = ggT(12, 1)
(x − ζ12 )(x − ζ12
Φ1 (x) = (x − ζ1 )
Φ2 (x) =
Φ3 (x) =
Φ4 (x) =
Φ6 (x) =
Φ12 (x) =
(11)
Hierbei entsprechen die Wurzeln der Polynome links und rechts in (8) gema der Umrechnung
einander in folgender Weise:
(9)
ξ12 ↔ ξ12
5
5
ξ12
↔ ξ12
9
ξ12
↔ ξ43
2
ξ12
↔ ξ6
6
ξ12
↔ ξ2
10
ξ12
↔ ξ65
3
ξ12
↔ ξ4
7
7
ξ12
↔ ξ12
11
11
ξ12
↔ ξ12
4
ξ12
↔ ξ3
8
ξ12
↔ ξ32
12
ξ12
↔ ξ1
(12)
SATZ 6:
Die Koezienten eines jeden Kreisteilungspolynoms Φn (x) sind ganzzahlig. Ist n eine Primzahl p , so hat das Kreisteilungspolynom die Gestalt
xp−1 + xp−2 + · · · + x2 + x + 1 .
(13)
BEWEIS:
Der Beweis erfolgt durch Induktion. Man erkennt ohne Umstande Φ1 (x) = x − 1 und
Φ2 (x) = x + 1 . Sei n > 2 , dann gilt nach (10)
xn − 1 = Φn (x) ·
Y
Φd (x) = Φn (x) · Ω(x) ,
d|n
d6=n
3 (14)
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worin die Koezienten der Polynome Φd (x) , d < n , und deswegen auch die des Produktes Ω(x)
ganzzahlig sind. U berdies hat Ω(x) den Leitkoezienten 1 . Folglich ergibt die Polynomdivision
Φn (x) =
xn − 1
Ω(x)
(15)
ein Kreisteilungspolynom Φn (x) mit ganzzahligen Koezienten. Ist n = p eine Primzahl, so
gibt es nur die beiden Teiler 1 und p von p , so da man
Φp (x) =
xp − 1
= xp−1 + xp−2 + · · · + x2 + x + 1 .
x−1
(16)
erhalt.
Die Kreisteilungspolynome und Einheitswurzeln gehorchen einen ganzen Reihe von Regeln.
REGEL 1:
Ist ζnk = e n eine n -te primitive Einheitswurzel so gilt das auch fur die
2kπi
konjugiert komplexe Zahl ζn−k = e− n .
2kπi
BEWEIS:
Sei ξ eine beliebige n -te Einheitswurzel, dann gibt es ein t mit ξ = (ζnk )t = e
2ktπi
Folglich leistet −t fur ζn−k dasselbe, denn es ist auch (ζn−k )−t = e n = ξ .
2ktπi
n
.
HILFSSATZ 1:
Ist n ≥ 3 ungerade und k eine zu n teilerfremde Zahl, so gilt
ggT(2k + n, 2n) = 1 .
BEWEIS:
Ware d = ggT(2k + n, 2n) > 1 , so gabe es einen Primteiler p ≥ 2 von d . Im Falle
p = 2 hatte man 2k + n = 2t , also n = 2(t − k) , was der Voraussetzung, da n ungerade ist,
widerspricht. Fur p ≥ 3 erhielte man 2n = ps . Wegen ggT(2, p) = 1 hiee das aber p|n , was
zusammen mit p|(2k + n) auf 2k + ps = pr , also auf 2k = p(r − s) fuhrt. Damit ware p ein
Teiler von k und von n . Und das widerspricht der Voraussetzung ggT(n, k) = 1 .
REGEL 2:
−ζnk
Ist n ≥ 3 ungerade und ζnk eine primitive n -te Einheitswurzel, so ist
eine primitive 2n -te Einheitswurzel.
BEWEIS:
Sei ζnk eine primitive n -te Einheitswurzel, dann hat ζnk nach Satz 1 die Gestalt e
mit ggT(n, k) = 1 . Also ist
−ζnk = −e
2kπi
n
= e
2kπi
n +πi
= e
2kπi+nπi
n
= e
(2k+n)πi
n
= e
2(2k+n)πi
2n
2k+n
= ζ2n
.
2kπi
n
(17)
Weil ggT(n, k) = 1 ist, liefert uns der Hilfssatz 1 ggT(2k + n, 2n) = 1 . Das aber heit nach
Satz 1, da wie behauptet −ζnk eine primitive 2n -te Einheitswurzel ist. Mehr primitive 2n te Einheitswurzeln kann es nicht geben, denn wegen der Multiplikativitat der ϕ -Funktion gilt
ϕ(2n) = ϕ(2)ϕ(n) = 1 · ϕ(n) = ϕ(n) .
Wir fuhren jetzt das Polynom
Ψn (x) =
Y
(x + ζ)
n
ζ =1
ζ primitiv
ein und beweisen damit die
REGEL 3:
Ist n ≥ 3 , so gilt Φn (x) = Ψn (−x) und Φn (−x) = Ψn (x) .
4 (18)
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BEWEIS:
Fur jedes n ≥ 3 ist ϕ(n) eine gerade Zahl. Die Zahl der an Φn (x) beteiligten
primitiven Einheitswurzeln ist also gerade. Folglich gilt
Φn (x) =
Y
−(−x + ζ) = (−1)ϕ(n)
n
Y
(−x + ζ) =
n
ζ =1
ζ primitiv
Y
(−x + ζ) = Ψn (−x) . (19)
n
ζ =1
ζ primitiv
ζ =1
ζ primitiv
Der zweite Teil Φn (−x) = Ψn (x) ergibt sich genauso.
BEMERKUNG:
Aus dem Beweis zu Regel 3 ergibt sich fur Kreisteilungspolynome Φn (x) mit n ≥ 3
unmittelbar die Identitat
Y
Y
(20)
(x − ζ) =
(ζ − x) .
ζ n =1
ζ primitiv
REGEL 4:
ζ n =1
ζ primitiv
Ist n ≥ 3 ungerade, so gilt Φ2n (x) = Φn (−x) .
BEWEIS:
2k+n
Nach Regel 2 hat jede primitive 2n -te Einheitswurzel die Form −ζnk = ζ2n
, wobei
eine primitive n -te Einheitswurzel ist. Unter Bezug auf den Beweis zu Regel 3 ergibt sich
damit, wenn wir die primitiven 2n -ten Einheitswurzeln durch die mit negativem Vorzeichen
versehenen primitiven n -ten Einheitswurzeln ersetzen,
ζnk
Φ2n (x) =
Y
2n
(x − ζ) =
ζ =1
ζ primitiv
SATZ 7:
Y
−(−x + ζ) =
Y
(−x − ζ) = Φn (−x) .
(21)
n
2n
ζ =1
ζ primitiv
ζ =1
ζ primitiv
Ist n ≥ 3 , so ist Φn (x) fur alle reellen x positiv.
BEWEIS:
Nach Regel 1 treten die primitiven n -ten Einheitswurzeln als konjugiert komplexe
Paare in Φn (x) auf. Die Zahlen 1 und −1 sind die primitiven Einheitswurzeln von Φ1 (x) bzw.
Φ2 (x) . F
ur n ≥ 3 hingegen sind alle primitiven Einheitswurzeln von 1 und −1 verschieden.
Weil sie aber auf dem Einheitskreis liegen, gilt fur ihren Realteil a stets |a| < 1 .
2kπi
2kπi
Nun gilt ferner, wenn ζnk = e n = a + ib und ζn−k = e− n = a − ib ein in Φn (x) auftretendes
Paar konjugierter primitiver n -ter Einheitswurzeln ist, fur ihr Produkt
(x − ζnk )(x − ζn−k ) =
x − (a + ib) x − (a − ib) = x2 − 2ax + 1 .
(22)
Hier steht rechter Hand eine Parabel, deren Werte durchweg positiv sind, denn ihre Ableitung
lautet 2(x − a) . Sie nimmt ihr Mimimum also an der Stelle x = a an. Dort aber gilt wegen
|a| < 1
x2 − 2ax + 1 = a2 − 2a2 + 1 = 1 − a2 > 0 .
(23)
Folglich sind alle Produkte konjugierter Einheitswurzeln fur jedes reelle x positive Faktoren von
Φn (x) , und andere Faktoren gibt es nicht, was die Behauptung beweist.
SATZ 8:
BEWEIS:
und
Fur k ≥ 1 gilt Φ2k (x) = 1 + x2
k−1
.
Die Behauptung ist fur k = 1 und k = 2 gewi richtig, denn es gilt Φ2 (x) = 1 + x
Φ4 (x) = (x − i)(x + i) = 1 + x2 .
5 (24)
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Angenommen, sie sei fur alle k ≤ ` , ` ≥ 2 , schon bewiesen, dann erhalt man unter Bezug
auf (6)
x2
k+1
Y
−1 =
Φd (x)
d∈{1,2,4,8,... ,2k+1 }
= Φ1 (x)Φ2 (x)Φ4 (x)Φ8 (x) · · · Φ2k (x)Φ2k+1 (x)
= (x − 1)(x + 1)(x2 + 1)(x4 + 1) · · · (x2
= (x2 − 1)(x2 + 1)(x4 + 1) · · · (x2
4
4
= (x − 1)(x + 1) · · · (x
k−1
2
..
.
= (x2
k−1
2k
= (x
− 1)(x2
k−1
k−1
k−1
+ 1)Φ2k+1 (x)
+ 1)Φ2k+1 (x)
(25)
+ 1)Φ2k+1 (x)
+ 1)Φ2k+1 (x)
− 1)Φ2k+1 (x) .
Jetzt fuhrt eine Polynomdivision zum Ziel
k+1
k
x2
Φ2k+1 (x) = 2k
= x2 + 1 .
x −1
(26)
REGEL 5:
Ist n ≥ 3 ungerade und ζ eine primitive n -te Einheitswurzel, so ist
auch ζ eine primitive n -te Einheitswurzel, und wenn ζ alle primitiven n -ten
Einheitswurzeln durchlauft, so gilt dasselbe fur ζ 2 .
2
BEWEIS:
Eine primitive n -te Einheitswurzel ζ hat die Form e n mit ggT(n, k) = 1 . Folglich
2(2k)πi
hat ζ 2 die Form e n mit ggT(n, 2k) = 1 , denn n ist nach Voraussetzung ungerade. Mithin
ist auch ζ 2 eine primitive n -te Einheitswurzel.
2kπi
Sind ζ = e n und ξ = e n , k 6= ` , zwei verschiedene primitive n -te Einheitswurzeln, so
2(2k)πi
2(2`)πi
mu das auch fur ζ 2 und ξ 2 gelten, den andernfalls hatte man e n = e n , und das
hiee 2k ≡ 2` (mod n) . Weil n ungerade ist, kann man diese Kongruenz durch 2 kurzen, was
auf k ≡ ` (mod n) und damit auf ζ = ξ hinauslauft. Widerspruch! Also durchlaufen ζ und
ζ 2 gleichermaen alle primitiven n -ten Einheitswurzeln, wenn k von 1 bis n lauft.
2kπi
2`πi
REGEL 6:
Ist n ≥ 3 beliebig, p ≥ 3 eine zu n teilerfremde Primzahl und ζ eine
primitive n -te Einheitswurzel, so ist auch ζ p eine primitive n -te Einheitswurzel, und
wenn ζ alle primitiven n -ten Einheitswurzeln durchlauft, so gilt dasselbe fur ζ p .
BEWEIS:
Der Beweis lauft genauso wie der zu Regel 5. Es ist lediglich die 2 durch die
ungerade Primzahl p zu ersetzen. Der einzige Unterschied ist der, da im Beweis zu Regel 5
ggT(n, 2k) = 1 verwendet werden konnte, weil n als ungerade vorausgesetzt wurde, und hier
ggT(n, pk) = 1 wegen ggT(n, p) = 1 gilt.
SATZ 8:
Ist die Primzahl p ein Teiler von n , so gilt Φpn (x) = Φn (xp ) .
BEWEIS:
Wir notieren vorab zwei einfache, unmittelbar einzusehende Tatsachen. 1. Ist f ein
Polynom r -ten Grades, so hat das Polynom g(x) := f (xs ) den Grad rs . 2. Ist η eine Nullstelle
1
des Polynoms f , so sind die s Werte η s Nullstellen des Polynoms g(x) := f (xs )
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Wir zeigen zuerst, da die Polynome Φpn (x) und Φn (xp ) denselben Grad haben. Schreibt man
namlich n = p` m mit ggT(p, m) = 1 , so mu ` ≥ 1 sein, weil p|n vorausgesetzt ist, und man
kann sich auf ggT(p` , m) = ggT(p`+1 , m) = 1 stutzen. Nach Satz 1 ist dann
Grad Φpn = ϕ(pn) = ϕ(p`+1 m) = ϕ(p`+1 )ϕ(m) = (p`+1 − p` )ϕ(m) .
(27)
Fur das Polynom Φn hingegen gilt
Grad Φn = ϕ(n) = ϕ(p` m) = ϕ(p` )ϕ(m) = (p` − p`−1 )ϕ(m) .
(28)
Nach der eingangs getroenen ersten Feststellung hat Φn (xp ) aber den Grad
p(p` − p`−1 )ϕ(m) = (p`+1 − p` )ϕ(m) ,
(29)
und somit denselben Grad wie Φpn (x) .
Weil beide Polynome nicht nur denselben Grad, sondern auch denselben Leitkoezienten 1
haben, reicht es zu zeigen, da jede der ϕ(pn) Wurzeln von Φpn (x) auch eine der ϕ(pn)
2kπi
k
Wurzeln von Φn (xp ) ist. 4) Nun haben die Wurzeln von Φpn (x) alle die Gestalt ζpn
= e pn
2kπi
mit ggT(n, k) = 1 . Aus dem Kriterium des Satzes 1 folgt daher, da jede Zahl der Form e n
mit ggT(n, k) = 1 Wurzel des Kreisteilungspolynoms Φn (x) ist, und aus unserer eingangs
2kπi
2kπi 1
getroenen zweiten Feststellung folgt abschlieend, da jede Zahl der Form (e n ) p = e pn
eine Wurzel von Φn (xp ) ist.
SATZ 9:
Ist p eine Primzahl mit ggT(p, n) = 1 , so gilt Φpn (x)Φn (x) = Φn (xp ) .
BEWEIS:
Wir stutzen uns auf die U berlegungen im Beweis zu Satz 8 und gehen wie dort vor.
Das Produktpolynom Φpn (x)Φn (x) hat wegen ggT(p, n) = 1 den Grad
ϕ(p)ϕ(n) + ϕ(n) = (p − 1)ϕ(n) + ϕ(n) = pϕ(n) .
(30)
Das Polynom Φn (xp ) hat ebenfalls den Grad pϕ(n) . Auerdem haben beide den Leitkoezienten 1 . Es reicht also wieder zu zeigen, da Φpn (x)Φn (x) und Φn (xp ) dieselben Wurzeln
besitzen.
des PolyEine Wurzel des Polynoms Φpn (x) hat die Form e pn . Daher ist sie auch Wurzel
2p`πi
2`πi
p
pn
n
=e
. Folglich
noms Φn (x ) . Und eine Wurzel des Polynoms Φn (x) hat die Form e
ist sie ebenfalls eine Wurzel von Φn (xp ) . Damit sind zwar alle Wurzeln des Produktpolynoms
Φpn (x)Φn (x) Wurzeln von Φn (xp ) , aber es ist nicht ohne weiteres sicher, da das Produktpolynom keine mehrfache Wurzeln hat. Im Falle mehrfacher Wurzeln des Produktpolynoms k onnte
namlich Φn (xp ) Wurzeln besitzen, die nicht in Φpn (x)Φn (x) auftreten, was der Tatsache,
da die Grade von Φn (xp ) und Φpn (x)Φn (x) gleich sind, nicht entgegenstunde.
2kπi
Die letzte Lucke wird so geschlossen:
Angenommen
es gabe ganze Zahlen 0 < k ≤ pn und
2p`πi
2kπi
2`πi
2p`πi
0 < ` ≤ n , so da die Gleichung e pn = e n = e pn erf
ullt ist. Dann mute 2kπi
pn = pn ,
2kπi
also k = p` sein. Das bedeutet p|k . Weil aber e pn eine primitive pn -te Einheitswurzel ist,
gilt ggT(k, pn) = 1 . Folglich kann p kein Teiler von k sein. Dieser Widerspruch schliet den
Beweis ab.
Man beachte: hier genugt es, einfach von Wurzeln von Φpn (x) und Φn (xp ), zu sprechen, nicht
notwendig von primitiven Einheitswurzeln.
4)
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SATZ 10:
Ist p eine Primzahl und k ≥ 1 so gilt
Φpk = x(p−1)p
k−1
+ x(p−2)p
k−1
+ · · · + x2p
k−1
+ xp
k−1
+ 1.
(31)
BEWEIS:
Die Behauptung ist fur jede Primzahl p und k = 1 durch den zweiten Teil des Satzes 6,
Formel (13) , bereits bewiesen. Angenommen sie sei schon fur alle 0 ≤ k ≤ 1 bewiesen. Wir
verwenden fur unseren Zweck die in Satz 5 bewiesene Formel (10) zweimal und schreiben
k
Y
k
xp − 1 =
Φpi (x) = Φpk (x) ·
i=0
bzw.
pk+1
x
−1 =
k+1
Y
k−1
Y
Φpi (x)
(32)
i=0
Φpi (x) = Φpk+1 (x) · Φpk (x) ·
i=0
k−1
Y
Φpi (x) ,
(33)
i=0
denn die Teiler von pk bzw. pk+1 sind genau die Primzahlpotenzen pi fur i = 0, 1, 2, . . . , k
bzw. i = 0, 1, 2, . . . , k + 1 . Eine einfache Polynomdivision liefert nun die Behauptung:
k+1
k
k
k
k
xp
−1
Φpk+1 (x) =
= x(p−1)p + x(p−2)p + · · · + x2p + xp + 1
k
p
x −1
BEMERKUNG:
(34)
Es ist klar, da die Formel (34) eine Verallgemeinerung der Formel (26) ist.
Die Formel (10) druckt Polynome der Form xn −1 durch ein Produkt von Kreisteilungspolynomen
oglich, umgekehrt Kreisteilungspolynome Φn durch Polynome
Φd , d|n , aus. Doch ist es auch m
d
der Form x − 1 , d|n , auszudrucken. Um dies zu zeigen benotigt, man die durch
fur n = 1 ,
0 falls p2 |n f
ur eine Primzahl p ,
µ(n) =


r
(−1) falls n = p1 p2 · · · pr mit Primzahlen pi 6= pk f
ur i 6= k .



1
(35)
denierte Mobiusfunktion, die die wegen ihrer Multiplikativitat leicht zu beweisende Eigenschaft
X
µ(d) =
d|n
fur n = 1,
0 f
ur n > 1.
1
(36)
hat. Unter Verwendung der Eigenschaft (36) lat sich der folgende Satz beweisen.
SATZ 11:
Das n -te Kreisteilungspolynom besitzt die Darstellung
Φn (x) =
Y
n
(xd − 1)µ( d ) .
(37)
d|n
BEWEIS:
Weil die Formel fur n = 1 trivialerweise richtig ist, setzen wir n > 1 voraus und
betrachten das Doppelprodukt
YY
d
(38)
(xt − 1)µ( t ) .
d|n t|d
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Hierin ist jedes d ein Teiler von n und zugleich ein Vielfaches von t . Wahlt man ein festes t
d
und fat alle Faktoren (xt − 1)µ( t ) , bei denen d ein Vielfaches von t ist, zusammen, so erhalt
man, wenn die Zahlen t = d1 ≤ d2 ≤ d3 ≤ · · · ≤ dk = n , k ≥ 1 , eben diese d sind,
t
(x − 1)
µ( tt )
t
· (x − 1)
µ(
d2
t
)
t
µ
· · · (x − 1)
dk−1
t
t
µ( n
t)
· (x − 1)
Pk µ
i=1
t
= x −1
di
t
.
(39)
Die Identitat (39) gibt es fur jeden Teiler von n , denn ist d0 ein solcher, so ist mindestens t = d0
ein t , das wir als feste Groe fur (39) wahlen konnen und das d0 als Vielfaches besitzt. Es ist
klar, da die Gesamtheit der Zeilen (39) , also die fur jedes t notierten Zeilen das Doppelprodukt
(38) vollstandig ersch
opfen.
Die Summe rechter Hand in (39) , die den Exponenten von xt − 1 bildet, lauft uber alle MobiusWerte µ( dti ) mit den ganzen Zahlen dti . Jede dieser Zahlen ist Teiler von nt , denn nt / dti = dni
ist fur jedes i eine ganze Zahl. Andererseits mu jeder Teiler von nt die Form dti haben.
Denn ist d ein beliebiger Teiler von nt , so hat man nt = qd , mithin nq = dt mit ganzzahligem
n
n
q . Das aber besagt, da q ein Teiler von n und ein Vielfaches von t ist. Folglich mu sich
d = nq /t unter unseren zu t geh
origen dti benden.
Das Ergebnis der vorstehenden Feststellungen ist, wenn wir der U bersichtlichkeit halber die dti
durch nichtindizierte δ ersetzen,
k
X
X di X
di
µ
=
=
µ(δ) .
µ
t
t
n
d
i=1
i
t
(40)
δ| t
|n
t
Damit konnen wir auf (36) zuruckgreifen und erhalten
Pk µ
i=1
t
x −1
di
t
P n µ(δ)
1
δ|
t
t
=
= x −1
0
fur
fur
n
t
n
t
= 1,
> 1.
(41)
Damit schmilzt die ganze Pracht des Doppelproduktes (38) auf xn − 1 zusammen, denn die
Zeilen (39) verschwinden fur jedes t < n und nur fur t = n bleibt xn − 1 zuruck.
Unter Bezug auf (10) erhalten wir jetzt
Y
Φd (x) =
d|n
YY
(xt − 1)µ( t ) ,
d
(42)
d|n t|d
woraus sich nunmehr durch Induktion nach n der Rest ergibt: Die vorstehende Gleichung ist
fur n = 1 gewi richtig, und ist n > 1 und
Φk (x) =
Y
k
(xr − 1)µ( r )
(43)
r|k
fur alle k < n schon nachgewiesen, so braucht man aus (42) nur noch die Gleichungen (43)
fur alle diejenigen k < n , die Teiler von n sind, herauszudividieren, um die Behauptung (37)
zu erhalten.
ϕ(n) hat, ist ganz am Anfang,
BEMERKUNG: Da das n-te Kreisteilungspolynom den Grad
Q
n
unmittelbar vor Satz 2, schon gesagt worden. Da auch d|n (xd − 1)µ( d ) den Grad ϕ(n) hat,
ist naturlich durch Satz 11 bewiesen. Doch ist das auch ohne Satz 11 leicht
Pzu erkennen, denn
dieses Produkt ist, wie man unmittelbar erkennt, ein Polynom vom Grade d|n µ( nd )d . Wendet
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man die Mobiussche Umkehrformel 5) auf die in (7) notierte Gausche Summe n =
an, so erhalt man genau
X
ϕ(n) =
µ( nd )d ,
P
d|n
ϕ(d)
(44)
d|n
was die U bereinstimmung der Grade bestatigt.
Ferner ist die Formel (37) insofern bemerkenswert, als damit eine explizite Darstellung der
Kreispolynome durch eine im allgemeinen rationale Funktion vorliegt, denn die Exponenten
µ( nd ) k
onnen den Wert −1 annehmen, was durch das folgende Beispiel konkret gezeigt werden
soll.
BEISPIEL:
Φ30 (x) =
(x2 − 1)(x3 − 1)(x5 − 1)(x30 − 1)
= x8 + x7 − x5 − x4 − x3 + x + 1 .
(x − 1)(x6 − 1)(x10 − 1)(x15 − 1)
(45)
HILFSSATZ 2:
Ist n > 1 , so ist die Anzahl der Exponenten µ( nd ) in der Formel
(37) , die den Wert 1 haben, gleich der Anzahl der Exponenten µ( nd ) , die den
Wert −1 haben.
BEWEIS:
d
Weil mit
auft, gilt wegen (36) fur n > 1
n genau alle Teiler von n durchl
P d auch
d
die Beziehung d|n µ( n ) = 0 . Weil die Mobiusfunktion gema ihrer Denition (35) nur die
Werte −1 , 0 oder 1 annehmen kann, ist diese Beziehung nur moglich, wenn die Behauptung
des Hilfssatzes zutrit.
SATZ 12: Ist n ≥ 2 , so gilt stets Φn(0) = 1 .
BEWEIS: Nach Satz 11 und Hilfssatz 2 lat sich Φn(x) stets als Quotient zweier nichtkonstanten
Polynome f (x) und g(x) darstellen, die ihrerseits ein Produkt von Polynomen der Form xd − 1
sind. Das konstante Glied von Produkten der Form xd − 1 ist entweder −1 oder 1 . Nun treten
in Formel (37) fur n > 1 gewi Exponenten µ( nd ) mit wechselnden Vorzeichen auf, und zwar,
wie Hilfssatz 2 besagt, in gleicher Anzahl. Deshalb mu das konstante Glied von f gleich dem
(0)
konstanten Glied von g sein, 6) also entweder −1 oder 1 . Daraus folgt Φn (0) = fg(0)
= 1.
k`
k 1 k2
Sei n = p1 p2 · · · p` > 1 die kanonische Zerlegung von n in Primzahlpotenzen. Nach
Denition (35) nimmt die Mobiusfunktion nur dann fur einen Teiler d von n einen von Null
verschiedenen Wert, namlich −1 oder 1 an, wenn d = 1 oder gleich einer der einzelnen der
Primzahlen pi , 1 ≤ i ≤ ` , oder ein Produkt von j , 2 ≤ j ≤ ` , paarweise verschiedenen
Primzahlen ist, die in der kanonischen Darstellung von n auftreten. Die Anzahl der Produkte
von j der an n beteiligten Primzahlen betragt j` . Insgesamt gibt es also, die 1 als Summand
`
0 eingeschlossen, genau
`
`
`
`
`
2 = (1 + 1) =
+
+
+ ··· +
+
0
1
2
j−1
j
`
`
(46)
Teiler von n fur die µ einen von Null verschiedenen Wert annimmt. Davon liefert die Halfte,
das sind 2n−1 Stuck, den Wert −1 und die andere Halfte den Wert 1 .
5)
Die Mobiussche
P Umkehrformel besagt, da zwei zahlentheoretische FunktionenPF und f , die gema der
Formel F (n) = d|n f (d) zueinander in Beziehung stehen, die Gleichung f (n) = d|n µ( nd )F (d) erfullen.
6)
vgl. zur Verdeutlichung das eben notierte Beispiel Φ30 (x)
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BEMERKUNG:
Der Hilfssatz 2 besagt, da die Formel (37) aus Satz 11 auch in der Form
Φn (x) =
Y
n
(1 − xd )µ( d )
(47)
d|n
(x)
geschrieben werden kann, denn man braucht, um dies zu erkennen, den Quotienten fg(x)
nur
hinreichend oft, namlich 2n−1 -mal, mit −1 zu erweitern. U berdies kann man, weil mit d auch
n
auft, statt (47) auch
d alle Teiler von n durchl
Φn (x) =
Y
n
(1 − x d )µ(d)
(48)
d|n
schreiben.
Ist n > 1 eine quadratfreie Zahl, so lautet ihre Primfaktorzerlegung p1 p2 · · · p` . In diesem Fall
lat sich fur den Grad von Φn (x) mit Hilfe der symmetrischen Grundfunktionen verhaltnismaig
leicht eine geschlossene Formel nden. Dazu bedienen wir uns der Formel (39) , die, wie im
Beweis zu Satz 11 ausgefuhrt, als Quotient zweier Polynome f (x) und g(x) geschrieben werden
kann, die ihrerseits ein Produkt von Polynomen der Form xd − 1 sind:
Φn (x) =
Y
n
f (x)
(xd − 1)µ( d ) =
g(x)
(49)
d|n
Samtliche Teiler d von werden im vorliegen Fall n = p1 p2 · · · p` durch die Summanden der
symmetrischen Grundfunktionen
s0 = 1 ,
s1 = p1 + p2 + · · · + p` ,
s2 = p1 p2 + p1 p3 + · · · + pi pj + · · · + p`−1 p` ,
(50)
..
.
s`−1 = p1 p2 · · · p`−2 p`−1 + p1 p2 · · · p`−2 p` + · · · + p2 p3 · · · p`−1 p` ,
s` = p1 p2 · · · p`
geliefert. Ist hier ` ≥ 3 ungerade (den Fall ` = 1 betrachten durch Formel (16) als erledigt),
dann besteht nd aus einer geraden Anzahl von Primzahlen, sobald d einer der Summanden
der symmetrischen Funktionen s1 , s3 , s5 , . . . , s` ist. Daher nimmt µ( nd ) fur diese d den Wert
1 an, was dazu f
uhrt, da alle Polynome xd − 1 , bei denen d einer der Summanden der
symmetrischen Funktionen s1 , s3 , . . . , s` ist, Faktoren des Zahlerpolynoms f (x) bilden. Ist d
indessen einer der Summanden der symmetrischen Funktionen s0 , s2 , s4 , . . . , s`−1 , so schickt
µ( nd ) = −1 die Polynome xd − 1 in den Nenner g(x) .
Weil nun ferner Grad f die Summe aller d ist, fur die xd − 1 einen Faktor von f (x) bildet,
gilt
(51)
Grad f = s1 + s3 + s5 + . . . + s` .
Auf dieselbe Weise erhalt man
Grad g = s0 + s2 + s4 + . . . + s`−1 .
(52)
Damit ist fur ungerades ` der Grad von Φn gewonnen:
(`−1)/2
Grad Φn = Grad f − Grad g =
X
i=0
11 (s2i+1 − s2i ) .
(53)
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Es bedarf keiner Muhe, zu erkennen, da fur gerades `
Grad f = s0 + s2 + s4 + . . . + s`
und
Grad g = s1 + s3 + s5 + . . . + s`−1
(54)
gilt und daher in diesem Fall
Grad Φn
`/2
X
= Grad f − Grad g = s0 +
(s2i − s2i−1 )
(55)
i=1
die Formel fur den Grad von Φn ist.
SATZ 13:
Sei n =
6 m , dann kann es keine n -te primitive Einheitswurzel geben,
die zugleich m -te primitive Einheitswurzel ist.
BEWEIS:
Ist ξ eine n -te primitive Einheitswurzel, so gilt ξ = e n mit einem k , 0 < k < n ,
das teilerfremd zu n ist. Ware ξ zugleich eine m -te primitive Einheitswurzel, hatte man
2`πi
uberdies ξ = e m mit einem ` , 0 < ` < m , das teilerfremd zu m ist. Daraus folgt nk = m` ,
also km = `n . Mithin ist ` ein Teiler von km . Weil ggT(`, m) = 1 gilt, folgt aus dem
Lemma von Euklid ` | k . Genauso ergibt sich k | ` . Das aber heit k = ` und somit n = m .
Widerspruch.
2kπi
SATZ 14: Fur n ≥ 3 haben die Kreisteilungspolynome Φn(x) alle geraden Grad.
BEWEIS: Nach Regel 1 treten n-te Einheitswurzeln paarig auf, namlich als konjugiert komplexe
Zahlen. Dies gilt ersichtlich erst ab n = 3 , wahrend die Zahlen 1 und −1 ausschlielich
n -te Einheitswurzeln der ersten beiden Kreisteilungspolynome Φ1 (x) bzw. Φ2 (x) sind. Aus
dem Beweis zu Satz 7 geht hervor, jedes solche Paar als Parabel der Form x2 − 2ax + 1 einen
Faktor von Φn (x) , n ≥ 3 bildet. Mithin haben diese Kreisteilungspolynome alle geraden Grad.
U berdies geht hieraus hervor, da sie alle das konstante Glied 1 besitzen.
12