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Bruchrechnung
Bruchrechnung in der Schule
Nach Thüringer Lehrplan für Mathematik
In Klasse 6 drei Themenabschnitte:
 Teilbarkeit, natürliche Zahlen: 5 Wochen
 Rechnen mit gebrochenen Zahlen: 14
Wochen
 Symmetrien und Abbildungen: 9 Wochen
Vier Konzepte zur Behandlung
Größenkonzept
 Äquivalenzklassenkonzept
 Gleichungskonzept
 Operatorenkonzept

Größenkonzept


ausgehend von
konkreten Brüchen
m
e (e… Einheit)
n
gelangt durch
Abstraktion zu fester
Bezugsgröße „Das
Ganze“
m
m
e 
n
n
Größenkonzept
Vorteile
Nachteile
- Nähe zur Anwendung
 Motivation
- Rückgriff auf
Vorkenntnisse
- geeignet für Erweitern,
Kürzen, Anordnung,
Addition, Subtraktion
- Grenzen bei der
Multiplikation und
Division 
Methodenreinheit
Operatorkonzept
Bruchzahl als Operator bzw. Funktion
 ausgehend vom alltäglichen Sprechen
„3/4 von 4 kg“
 Anschaulichkeit: Operatoren als
„Maschinen“
 Einstieg mit Multiplikation und Division

Operatorkonzept
Vorteile
- Einführung der
Multiplikation und
Division
Nachteile
- typische Fehler bei
Addition
- keine anschauliche
Vorstellung für Kürzen
und Erweitern
- Herleitung der
Anordnung der
Bruchzahlen aufwändig
Äquivalenzklassenkonzept
Bruchzahl als Äquivalenzklasse von
quotientengleichen Paaren von natürlichen
Zahlen
 Rechenoperationen (Addition,
Multiplikation, etc.) werden definiert

Äquivalenzklassenkonzept
Vorteile
- mathematisch
einwandfreie Definition
Nachteile
- keine Anwendungsorientierung, zu formal
- knüpft nicht an Vorwissen der Schüler an
Gleichungskonzept

Bruchzahl als Lösung einer linearen
Gleichung
Gleichungskonzept
Vorteile
- einfache, mathematisch
einwandfreie Einführung
der Rechenoperationen
Nachteile
- Lösbarkeit der Gleichung
wird vorausgesetzt
- erforderliche Vorkenntnisse
über Gleichungssysteme
nicht vorhanden
- sehr formal
- Probleme bei Einführung
der Division
Anwendungsaspekte von
Bruchzahlen
Maßzahlaspekt
 Relationsaspekt
 Operatoraspekt
 Skalenwertaspekt
 Quotientenaspekt

Zwei Grundvorstellungen

Bruch als Teil eines Ganzen

Bruch als Teil mehrerer Ganzen
Bruch als Teil eines Ganzen
Bruch als Teil eines Ganzen
Gleichheit beider Vorstellungen
Unterschied zu natürlichen Zahlen

Möglichkeit der Zuordnung mehrerer
Bruchzahlen zu einem Repräsentanten
 Bruchdomino
Addition von Bruchzahlen
Addition zweier gleichnamiger Brüche:
• Veranschaulichung über (z. B.) Flächen
2
dm ²
5
=
+
3
dm ²
5
1
dm ²
5
• weitere Variationen / Beispiele
 (intuitives) Erkennen der Regel für Addition gleichnamiger Brüche:
a
b
ab
e e 
e
c
c
c
bzw. (ohne Größeneinheit e)
a b ab
 
c c
c
Addition zweier ungleichnamiger Brüche:
1
dm ²
4
+
2
dm ²
3
Addition zweier ungleichnamiger Brüche:
 passende Unterteilung des Rechtecks in gleich große
Teilflächen
1
dm ²
4
2
dm ²
3
Addition zweier ungleichnamiger Brüche:
• gröbste gemeinsame Unterteilung wird rechnerisch
durch das Finden des Hauptnenners (kgV der beiden
Nenner) realisiert
• beide Brüche werden entsprechend erweitert und
gemäß der Additionsregel für gleichnamige Brüche
addiert
• allgemeine Regel:
a
c
ad  bc
e e 
e
b
d
bd
bzw.
a c ad  bc
 
b d
bd
Addition von Bruch und natürlicher Zahl:
• Einbettung der natürlichen Zahlen in die Bruchzahlen:
n
n
1
• entsprechende Anwendung der Rechenregeln
Einführung gemischter Zahlen
• Kurzschreibweise, z. B.:
1
1
7 7
3
3
• erleichtert Addition, z. B.:
35 61
2
1
13
 10 3 

 11  12  (11  12)      23
3
5
3
5
15
 15 15 
statt:
35 61 175 183 358




3
5
15
15
15
Typische Schülerfehler bei der
Addition
Addition zweier ungleichnamiger Brüche:
a c ac
 
b d bd
Ursachen:
• Übertragung der Multiplikationsregel
• fehlendes Verständnis
• Übertragung von Alltagssituationen
Typische Schülerfehler bei der
Addition
Addition zweier ungleichnamiger Brüche:
• Fehler beim Erweitern der Brüche auf einen
Hauptnenner
• z. B.:
a c ac
 
b d
bd
Typische Schülerfehler bei der
Addition
Addition von Bruch und natürlicher Zahl:
a
an
n 
•
b
b
bzw.
a na
n 
b
b
• falsche Einbettung der natürlichen Zahlen in die
Bruchzahlen:
n
n
n
Gruppenarbeit
Aufgabe:
Erarbeiten Sie einen schülergerechten Weg
zur Erarbeitung bzw. Einführung der
Rechenregel für die Division zweier
Bruchzahlen!
a c a d ad
:   
b d b c bc
„Wenn man die gemeinen Brüche
eingeführt hat, muss man dann
überhaupt noch die Dezimalbrüche
einführen?
Oder reicht es nur eines von beiden zu
behandeln?“
Quellen





Padberg, F. (1995): Didaktik der Bruchrechnung.
Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg, Berlin,
Oxford
Pietzsch, G. (1985): Zur Behandlung der gebrochenen
Zahlen im Unterricht. Volk und Wissen, Berlin
http://www.fachmoderator-mathematik.de/54.1.html
(Stand: 23.06.2007)
http://www.hattendoerfer.de/friedrich/bruchrechnung/bruc
-0.html (Stand: 23.06.2007)
http://www.math.uniaugsburg.de/prof/dida/Lehre/AlgebraAlt/Algebra.html
(Stand: 23.06.2007)