Vollständige Induktion - BFH
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Vollständige Induktion Beispiele Häufige Fehler Aufgaben Vollständige Induktion Pierre Fierz 30. September 2008 Pierre Fierz Vollständige Induktion Vollständige Induktion Beispiele Häufige Fehler Aufgaben Gliederung 1 Vollständige Induktion 2 Beispiele 3 Häufige Fehler 4 Aufgaben Pierre Fierz Vollständige Induktion Vollständige Induktion Beispiele Häufige Fehler Aufgaben Gliederung 1 Vollständige Induktion 2 Beispiele 3 Häufige Fehler 4 Aufgaben Pierre Fierz Vollständige Induktion Vollständige Induktion Beispiele Häufige Fehler Aufgaben Gliederung 1 Vollständige Induktion 2 Beispiele 3 Häufige Fehler 4 Aufgaben Pierre Fierz Vollständige Induktion Vollständige Induktion Beispiele Häufige Fehler Aufgaben Gliederung 1 Vollständige Induktion 2 Beispiele 3 Häufige Fehler 4 Aufgaben Pierre Fierz Vollständige Induktion Vollständige Induktion Beispiele Häufige Fehler Aufgaben Die Peano Axiome für die Menge der Natürlichen Zahlen N I. 0 ist eine natürliche Zahl, d.h. 0 ∈ N. II. Jede natürliche Zahl hat genau einen Nachfolger d.h. ∀n : (n ∈ N ⇒ ∃! n0 ∈ N) III. 0 ist nicht Nachfolger einer natürlichen Zahl d.h. ∀n¬(n0 = 0) IV. Verschiedene natürliche Zahlen besitzen verschiedene Nachfolger d.h. ∀n, m ∈ N : (n0 = m0 ⇒ m = n) V. Besitzt eine Menge S ⊆ N die zwei folgenden Eigenschaften: 0 ∈ S und ∀n ∈ N : n ∈ S ⇒ n0 ∈ S so gilt S = N (Induktionsprinzip). Pierre Fierz Vollständige Induktion Vollständige Induktion Beispiele Häufige Fehler Aufgaben Addition und Multiplikation Die Addition kann folgendermassen definiert werden. n + 0 := n n + m0 := (n + m)0 Die Multiplikation kann folgendermassen definiert werden. n · 0 := 0 n · m0 := (n · m) + n Das Induktionsaxiom garantiert jeweils, dass Addition und Multiplikation wohldefiniert sind. Setzt man nun noch 1 = 00 , ergibt sich n0 = n + 1. Pierre Fierz Vollständige Induktion Vollständige Induktion Beispiele Häufige Fehler Aufgaben Addition und Multiplikation Die Addition kann folgendermassen definiert werden. n + 0 := n n + m0 := (n + m)0 Die Multiplikation kann folgendermassen definiert werden. n · 0 := 0 n · m0 := (n · m) + n Das Induktionsaxiom garantiert jeweils, dass Addition und Multiplikation wohldefiniert sind. Setzt man nun noch 1 = 00 , ergibt sich n0 = n + 1. Pierre Fierz Vollständige Induktion Vollständige Induktion Beispiele Häufige Fehler Aufgaben Addition und Multiplikation Die Addition kann folgendermassen definiert werden. n + 0 := n n + m0 := (n + m)0 Die Multiplikation kann folgendermassen definiert werden. n · 0 := 0 n · m0 := (n · m) + n Das Induktionsaxiom garantiert jeweils, dass Addition und Multiplikation wohldefiniert sind. Setzt man nun noch 1 = 00 , ergibt sich n0 = n + 1. Pierre Fierz Vollständige Induktion Vollständige Induktion Beispiele Häufige Fehler Aufgaben Vollständige Induktion Das Beweisverfahren der vollständigen Induktion beruht auf dem 5. Peano-Axiom für die Menge der natürlichen Zahlen N , dem Induktionsaxiom. Die vollständige Induktion dient dazu, eine Aussage der Form p(n) mit n ∈ N für alle Natürlichen Zahlen zu beweisen. Pierre Fierz Vollständige Induktion Vollständige Induktion Beispiele Häufige Fehler Aufgaben Das Beweisverfahren Um zu Beweisen, dass eine Aussage der Form p(n) für alle Natürlichen Zahlen gilt, sind die folgenden drei Schritte notwendig: Induktionsanfang: Es muss gezeigt werden, dass die Aussage p(n) für n = 0 (oder n = 1) wahr ist. Induktionsannahme: Man nimmt an, dass die Aussage für n gültig ist. Induktionsschluss: Man muss beweisen, dass wenn die Aussage für n gültig ist, sie auch für n + 1 gültig sein muss. Das 5. Peano Axiom sagt nun aus, dass die Aussage für alle n ∈ N gültig ist. Pierre Fierz Vollständige Induktion Vollständige Induktion Beispiele Häufige Fehler Aufgaben Beispiel 1 Behauptung: n X i= i=1 n · (n + 1) 2 Induktionsanfang n = 1: 1 X i= i=1 1 · (1 + 1) =1 2 Induktionsannahme: Die Aussage gilt für n. Pierre Fierz Vollständige Induktion Vollständige Induktion Beispiele Häufige Fehler Aufgaben Beispiel 1 (2) Induktionsschluss: Die Aussage gilt für n + 1 n+1 X i=1 i = n X i + (n + 1) i=1 Pierre Fierz Vollständige Induktion Vollständige Induktion Beispiele Häufige Fehler Aufgaben Beispiel 1 (2) Induktionsschluss: Die Aussage gilt für n + 1 n+1 X i = n X i + (n + 1) i=1 i=1 = n · (n + 1) + (n + 1) Induktionsannahme 2 Pierre Fierz Vollständige Induktion Vollständige Induktion Beispiele Häufige Fehler Aufgaben Beispiel 1 (2) Induktionsschluss: Die Aussage gilt für n + 1 n+1 X i = n X i + (n + 1) i=1 i=1 n · (n + 1) + (n + 1) Induktionsannahme 2 n = (n + 1)( + 1) ausklammern 2 = Pierre Fierz Vollständige Induktion Vollständige Induktion Beispiele Häufige Fehler Aufgaben Beispiel 1 (2) Induktionsschluss: Die Aussage gilt für n + 1 n+1 X i = n X i + (n + 1) i=1 i=1 n · (n + 1) + (n + 1) Induktionsannahme 2 n = (n + 1)( + 1) ausklammern 2 n+2 = (n + 1)( ) Gleichnamigmachen 2 = Pierre Fierz Vollständige Induktion Vollständige Induktion Beispiele Häufige Fehler Aufgaben Beispiel 1 (2) Induktionsschluss: Die Aussage gilt für n + 1 n+1 X i = n X i + (n + 1) i=1 i=1 n · (n + 1) + (n + 1) Induktionsannahme 2 n = (n + 1)( + 1) ausklammern 2 n+2 = (n + 1)( ) Gleichnamigmachen 2 (n + 1)((n + 1) + 1) = q.e.d. 2 = Pierre Fierz Vollständige Induktion Vollständige Induktion Beispiele Häufige Fehler Aufgaben Beispiel 2 Behauptung: ∀n ∈ N : n2 + n ist eine gerade Zahl (durch 2 teilbar ) Induktionsanfang n = 0: 02 + 0 = 0 O.K. Null ist eine gerade Zahl. Induktionsannahme: Die Aussage gilt für n. Pierre Fierz Vollständige Induktion Vollständige Induktion Beispiele Häufige Fehler Aufgaben Beispiel 2 (2) Induktionsschluss: Die Aussage gilt für n + 1 (n + 1)2 + (n + 1) = n2 + 2 · n + 1 + n + 1 Pierre Fierz Vollständige Induktion Vollständige Induktion Beispiele Häufige Fehler Aufgaben Beispiel 2 (2) Induktionsschluss: Die Aussage gilt für n + 1 (n + 1)2 + (n + 1) = n2 + 2 · n + 1 + n + 1 = (n2 + n) + (2 · n + 2) Pierre Fierz Vollständige Induktion Vollständige Induktion Beispiele Häufige Fehler Aufgaben Beispiel 2 (2) Induktionsschluss: Die Aussage gilt für n + 1 (n + 1)2 + (n + 1) = n2 + 2 · n + 1 + n + 1 = (n2 + n) + (2 · n + 2) = (n2 + n) + 2 · (n + 1) Pierre Fierz Vollständige Induktion Vollständige Induktion Beispiele Häufige Fehler Aufgaben Beispiel 2 (2) Induktionsschluss: Die Aussage gilt für n + 1 (n + 1)2 + (n + 1) = n2 + 2 · n + 1 + n + 1 = (n2 + n) + (2 · n + 2) = (n2 + n) + 2 · (n + 1) Nach Induktionsannahme ist n2 + n gerade und 2 · (n + 1) ist auch gerade. q.e.d. Pierre Fierz Vollständige Induktion Vollständige Induktion Beispiele Häufige Fehler Aufgaben Beispiel 3 Behauptung: Die Summe aller ungeraden Zahlen von 1 bis 2n − 1 ist gleich dem Quadrat von n. Genauer gesagt: n X (2 · i − 1) = n2 i=1 Induktionsanfang n = 1: 1 X (2 · i − 1) = 12 i=1 O.K. Die Aussage stimmt. Induktionsannahme: Die Aussage gilt für n. Pierre Fierz Vollständige Induktion Vollständige Induktion Beispiele Häufige Fehler Aufgaben Beispiel 3 (2) Induktionsschluss: Die Aussage gilt für n + 1 n n+1 X X (2 · i − 1) + 2 · (n + 1) − 1 (2 · i − 1) = i=1 i=1 Pierre Fierz Vollständige Induktion Vollständige Induktion Beispiele Häufige Fehler Aufgaben Beispiel 3 (2) Induktionsschluss: Die Aussage gilt für n + 1 n n+1 X X (2 · i − 1) + 2 · (n + 1) − 1 (2 · i − 1) = i=1 i=1 2 = n + 2 · n + 1 Induktionsannahme Pierre Fierz Vollständige Induktion Vollständige Induktion Beispiele Häufige Fehler Aufgaben Beispiel 3 (2) Induktionsschluss: Die Aussage gilt für n + 1 n n+1 X X (2 · i − 1) + 2 · (n + 1) − 1 (2 · i − 1) = i=1 i=1 2 = n + 2 · n + 1 Induktionsannahme = (n + 1)2 erste binomische Formelq.e.d. Pierre Fierz Vollständige Induktion Vollständige Induktion Beispiele Häufige Fehler Aufgaben Kein Induktionsanfang Behauptung: n X i= i=1 n(n + 1) +7 2 Wir nehmen an, dass die Aussage für n gilt. Dann gilt sie auch für n + 1 Beweis: n+1 X i=1 i = n X i + (n + 1) i=1 Pierre Fierz Vollständige Induktion Vollständige Induktion Beispiele Häufige Fehler Aufgaben Kein Induktionsanfang Behauptung: n X i= i=1 n(n + 1) +7 2 Wir nehmen an, dass die Aussage für n gilt. Dann gilt sie auch für n + 1 Beweis: n+1 X i = n X i + (n + 1) i=1 i=1 = n · (n + 1) + 7 + (n + 1) Induktionsannahme 2 Pierre Fierz Vollständige Induktion Vollständige Induktion Beispiele Häufige Fehler Aufgaben Kein Induktionsanfang Behauptung: n X i= i=1 n(n + 1) +7 2 Wir nehmen an, dass die Aussage für n gilt. Dann gilt sie auch für n + 1 Beweis: n+1 X i = n X i + (n + 1) i=1 i=1 n · (n + 1) + 7 + (n + 1) Induktionsannahme 2 n = (n + 1)( + 1) + 7 ausklammern 2 = Pierre Fierz Vollständige Induktion Vollständige Induktion Beispiele Häufige Fehler Aufgaben Kein Induktionsanfang Behauptung: n X i= i=1 n(n + 1) +7 2 Wir nehmen an, dass die Aussage für n gilt. Dann gilt sie auch für n + 1 Beweis: n+1 X i = n X i + (n + 1) i=1 i=1 n · (n + 1) + 7 + (n + 1) Induktionsannahme 2 n = (n + 1)( + 1) + 7 ausklammern 2 (n + 1)((n + 1) + 1) = + 7 q.e.d. 2 = Pierre Fierz Vollständige Induktion Vollständige Induktion Beispiele Häufige Fehler Aufgaben Kein Induktionsanfang (2) Im obigen Beispiel kann der Induktionsschluss bewiesen werden. Dies nützt aber nichts, da wir kein n ∈ N finden können, für das die Formel n X i= i=1 n(n + 1) +7 2 gültig ist. Pierre Fierz Vollständige Induktion Vollständige Induktion Beispiele Häufige Fehler Aufgaben Falscher Induktionsschluss Behauptung: Wenn sich unter n Tieren ein Elefant befindet, dann sind alle diese Tiere Elefanten. Induktionsanfang: n = 1 : Wenn von einem Tier eines ein Elefant ist, dann sind alle diese Tiere Elefanten. Induktionsvorausetzung: Die Behauptung sei richtig für alle natürlichen Zahlen kleiner oder gleich n. Pierre Fierz Vollständige Induktion Vollständige Induktion Beispiele Häufige Fehler Aufgaben Falscher Induktionsschluss (2) Induktionsschluss: Die Aussage gilt für n + 1 1 2 3 4 Sei unter n + 1 Tieren eines ein Elefant. Wir stellen die Tiere so in eine Reihe, dass sich dieser Elefant unter den ersten n Tieren befindet. Nach Induktionsannahme sind dann alle diese ersten n Tiere Elefanten. Damit befindet sich aber auch unter den letzten n Tieren ein Elefant, womit diese auch alle Elefanten sein müssen. Also sind alle n + 1 Tiere Elefanten. q.e.d. Pierre Fierz Vollständige Induktion Vollständige Induktion Beispiele Häufige Fehler Aufgaben Falscher Induktionsschluss (2) Induktionsschluss: Die Aussage gilt für n + 1 1 2 3 4 Sei unter n + 1 Tieren eines ein Elefant. Wir stellen die Tiere so in eine Reihe, dass sich dieser Elefant unter den ersten n Tieren befindet. Nach Induktionsannahme sind dann alle diese ersten n Tiere Elefanten. Damit befindet sich aber auch unter den letzten n Tieren ein Elefant, womit diese auch alle Elefanten sein müssen. Also sind alle n + 1 Tiere Elefanten. q.e.d. Pierre Fierz Vollständige Induktion Vollständige Induktion Beispiele Häufige Fehler Aufgaben Falscher Induktionsschluss (2) Induktionsschluss: Die Aussage gilt für n + 1 1 2 3 4 Sei unter n + 1 Tieren eines ein Elefant. Wir stellen die Tiere so in eine Reihe, dass sich dieser Elefant unter den ersten n Tieren befindet. Nach Induktionsannahme sind dann alle diese ersten n Tiere Elefanten. Damit befindet sich aber auch unter den letzten n Tieren ein Elefant, womit diese auch alle Elefanten sein müssen. Also sind alle n + 1 Tiere Elefanten. q.e.d. Pierre Fierz Vollständige Induktion Vollständige Induktion Beispiele Häufige Fehler Aufgaben Falscher Induktionsschluss (2) Induktionsschluss: Die Aussage gilt für n + 1 1 2 3 4 Sei unter n + 1 Tieren eines ein Elefant. Wir stellen die Tiere so in eine Reihe, dass sich dieser Elefant unter den ersten n Tieren befindet. Nach Induktionsannahme sind dann alle diese ersten n Tiere Elefanten. Damit befindet sich aber auch unter den letzten n Tieren ein Elefant, womit diese auch alle Elefanten sein müssen. Also sind alle n + 1 Tiere Elefanten. q.e.d. Pierre Fierz Vollständige Induktion Vollständige Induktion Beispiele Häufige Fehler Aufgaben Falscher Induktionsschluss (3) Was daran falsch ist? Im Fall n + 1 = 2 kann man den Elefanten zwar so stellen, dass er bei den ersten n = 1 Tieren steht. Folglich sind alle Tiere unter den ersten n = 1 Tieren Elefanten. In diesem Fall befindet sich unter den letzten n Tieren nicht notwendigerweise ein Elefanten. Der Induktionsschluss funktioniert nur für n > 1, denn nur dann können aus einem Elefanten zwei (oder mehr) werden und ist damit auch ein Elefant unter den letzten n Tieren. Die Induktionsvoraussetzung war aber für n = 1 gezeigt. Pierre Fierz Vollständige Induktion Vollständige Induktion Beispiele Häufige Fehler Aufgaben Falscher Induktionsschluss (3) Was daran falsch ist? Im Fall n + 1 = 2 kann man den Elefanten zwar so stellen, dass er bei den ersten n = 1 Tieren steht. Folglich sind alle Tiere unter den ersten n = 1 Tieren Elefanten. In diesem Fall befindet sich unter den letzten n Tieren nicht notwendigerweise ein Elefanten. Der Induktionsschluss funktioniert nur für n > 1, denn nur dann können aus einem Elefanten zwei (oder mehr) werden und ist damit auch ein Elefant unter den letzten n Tieren. Die Induktionsvoraussetzung war aber für n = 1 gezeigt. Pierre Fierz Vollständige Induktion Vollständige Induktion Beispiele Häufige Fehler Aufgaben Falscher Induktionsschluss (3) Was daran falsch ist? Im Fall n + 1 = 2 kann man den Elefanten zwar so stellen, dass er bei den ersten n = 1 Tieren steht. Folglich sind alle Tiere unter den ersten n = 1 Tieren Elefanten. In diesem Fall befindet sich unter den letzten n Tieren nicht notwendigerweise ein Elefanten. Der Induktionsschluss funktioniert nur für n > 1, denn nur dann können aus einem Elefanten zwei (oder mehr) werden und ist damit auch ein Elefant unter den letzten n Tieren. Die Induktionsvoraussetzung war aber für n = 1 gezeigt. Pierre Fierz Vollständige Induktion Vollständige Induktion Beispiele Häufige Fehler Aufgaben Falscher Induktionsschluss (3) Was daran falsch ist? Im Fall n + 1 = 2 kann man den Elefanten zwar so stellen, dass er bei den ersten n = 1 Tieren steht. Folglich sind alle Tiere unter den ersten n = 1 Tieren Elefanten. In diesem Fall befindet sich unter den letzten n Tieren nicht notwendigerweise ein Elefanten. Der Induktionsschluss funktioniert nur für n > 1, denn nur dann können aus einem Elefanten zwei (oder mehr) werden und ist damit auch ein Elefant unter den letzten n Tieren. Die Induktionsvoraussetzung war aber für n = 1 gezeigt. Pierre Fierz Vollständige Induktion Vollständige Induktion Beispiele Häufige Fehler Aufgaben Aufgaben 1 n3 + 2n ist durch 3 teilbar 2 72·n − 2n ist durch 47 teilbar 3 4 Für a ≥ 2, n ≥ 1 ∈ N gilt: Pn n(n+1)(2n+1) 2 i=1 i = 6 an −1 a−1 = Pn−1 i=0 ai 5 n2 − 2n − 1 > 0 für 6 n Elemente kann man auf n verschiedene Arten anordnen. n≥3 Pierre Fierz Vollständige Induktion
