Metall-Isolator Übergang

Theoretische Festkörperphysik Prof. Heermann
1.6
1.6.1
75
Metall-Isolator Übergang
Mott-Übergang
Falls die Atome im Festkörper weit genug auseinander sind, bricht das Blochbild zusammen. Angenommen, wir hätten ein Elektron pro Einheitszelle:
• Wenn die Atome nahe genug zusammen sind (d.h. ein genügender
Überlapp da ist), dann haben wir ein Metall, falls die Blochwellen
die Eigenzustände der Elektronen sind.
• Wenn die Atome weit genug auseinander sind (d.h. ein kleiner Überlapp), dann sind die Elektronen stark gebunden. Es gibt korrelierte
Wellenfunktionen, und der Festkörper ist Isolator.
Nehmen wir nun an, dass wir ein Gas von wechselwirkenden Elektronen mit
der Dichte ρ hätten. Dieses Gas überdeckt einen gleichförmigen positiven
Hintergrund, der die elektrostatische Ladung vernichtet. Weiter sei T = 0.
Wie im Bild 1.46 führen wir nun eine Punktladung Ze ins System.
Abbildung 1.46:
Das Elektronpotenzial ändert sich um δU (r), wobei r die Entfernung von
der zusätzlichen Ladung ist.
Abbildung 1.47: Änderung der Potenzialenergie und Ladungsdichte bei der
Einführung zusätzlicher Ladung
F (∞) − F (r) = δU (r)
δn(r) '
δn(r)
D(F )
=
(−δU (r))
δF (r)
V
76
(N =
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R F
0
D()d, n: Dichte der Elektronen)
δU (r) sollte eigentlich nicht nur die Änderung der Potenzialenergie eines
Elektrons bzgl. einer Ladung Ze sein, sondern sollte auch noch das Feld
der anderen Elektronen beinhalten, die von der Ladung angezogen wurden.
δU (r) ist deshalb ein selbst-konsistentes Potenzial.
Änderungen in der Elektronendichte korrespondieren mit den Änderungen
der Ladungsdichte, also Änderungen im Potenzial. Mit der Poisson-Gleichung
können wir es betrachten:
∇2 δϕ(r) = −
1
δρ(r),
0
wobei δρ(r) die Änderung der Ladungsdichte am Punkt ist, der eine Entfernung r mit der zusätzlichen Ladung hat
1
δρ(r)
0
1
= − (−e) δn(r)
0
1 D(F )
(−δU (r)) .
= − (−e)
0 V | {z }
∇2 δϕ(r) = −
=
−(−e)δϕ
e2
D(F )
δϕ
0 V
Wir nehmen nun an, dass die Lösung wie
δϕ =
Ze −λr
e ,
4π0 r
Ze
4π0 r
λ2 :=
nahe der Ladung sind:
e2 D(F )
0 V
1/λ heißt Thomas-Fermi-Abschirmlänge. Die ist das Analogon zum HochtemperaturPlasma die Debye-Hückel-Abschirmlänge für tiefe Temperatur.
Beim genauen Hinsehen bekommen wir dann eine Oszillation für das Potenzial ϕ und die Ladungsdichte, die Friedel-Oszillation.
Friedel-Oszillationen
Abbildung 1.48: Friedel-Oszillation von dem Potenzial ϕ
77
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1/3
1/3
3π 2
me2 1/3
3π 2
λ =
n
=
π
π 2 h̄2 0
| {z
2
≈1
2
4n1/3
,
} aH
h̄
wobei aH = me
2 4π0 der Bohr’sche Radius von H ist.
Andererseits ist D(F ) für ein freies Elektronengas
D(F ) =
3 N
,
2 kTF
TF : Fermi-Temperatur.
Angenommen, wir hätten H-Atome vorliegen, die sehr nahe beieinander
seien. Dann ist das Blochbild eine gute Approximation, und das System ist
ein Metall, in dem keines der Elektronen an einem H-Atom lokalisiert ist.
Wir erhöhen nun den Abstand zwischen den Protonen. Das Blochbild wird
irgendwann zusammenbrechen.
Wenn λ groß ist (d.h. 1/λ ≤ aH ), dann ist es für das Proton unmöglich,
ein Elektron zu binden, und wir haben Metall. Wenn der Abstand zwischen
Atomen genügend groß ist, dann ist n genügend klein, so dass 1/λ > aH und
die Elektronen können gebunden werden. Dann werden aber alle Elektronen
gebunden, und wir erhalten einen Isolator.
Mott-Kriterium:
Ein Metall-Isolator-Übergang erfolgt, wenn 1/λ ≈ aH :
=⇒
=⇒
1/3
1 3π 2
π
a2H
4n1/3
aH
n−1/3 ' 4aH .
78
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1.6.2
Das Hubbard-Modell
Wir betrachten ein teilgefülltes s-Band mit n Elektronen pro Atom. Seien ψ~k
und ε~k die Blochsche Funktion bzw. die Energie zum Wellenvektor ~k, die im
Rahmen einer Hartree-Fock-Näherung berechnet würden (kein Spin). Weiter
seien c~+ , c~ks die Erzeugungs- bzw. Vernichtungsoperatoren für Elektronen
ks
im Blochzustand (~k, s), s = ±1. Dann ist:
H =
+
X
ε~k c~+ c~ks
~k,s
(1)
ks
X
1
2 ~ ~ ~0
X
k1 ,k2 ,k1 ,~k20 s1 ,s2
−
XX
~k,~k 0 s
1
< ~k1~k2 | |~k10 ~k20 > c~+ c~+ c~k0 s2 c~k0 s1
k1 s 1 k2 s 2 2
1
r
1
1
2 < ~k~k 0 | |~k~k 0 > − < ~k~k 0 | |~k 0~k > µ~k0 c~+ c~ks
ks
r
r
(2)
(3)
(∗)
(Nur die Wellenvektoren in der ersten Brillouin-Zone werden berücksichtigt.)
Hierbei ist:
(1) : Bandenergie der Elektronen
(2) : Wechselwirkung
(3) : Potenzielle Energie der Elektronen bzw. der Wechselwirkung mit den
s-Band-Elektronen, und µ~k ist die Besetzungszahl der Zustände innerhalb der Hartree-FockNäherung.
Definieren wir nun
1 X
φ(~r) := √
ϕ~ (~r),
N ~ k
k
wobei N Anzahl der Atome ist
=⇒
1 X i~k~ai
e φ(~r − ~ai ).
ϕ~k = √
N i
~ai : Orte der Atome (Ein Atom pro Elementarzelle). Weiter sind
1 X iK~
~
c~ks = √
e ai cis
N i
und
1 X −iK~
~ ai +
c~+ = √
e
cis .
ks
N i
Setze dieses in (*) ein. Zunächst der erste Term:
H1 =
=
X
~ks
ε~k c~+ c~ks
ks
1 X X −iK~
~ ai + iK~
~
ε~k
e
cis e ai cis
N
i
j
79
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XXX 1
=
s
i,j
XX
=
|
~k
N
~
ε~k eik(~aj −~ai ) c+
is cjs
{z
}
=:Tij
Tij c+
is cjs .
s
i,j
Für den zweiten Term:
X
1 1
2
N 2 ~ ~ ~0
X
k1 ,k2 ,k1 ,~k20 s1 ,s2
=
X ~
1
~0
−~k2~aj + ~k20 ~al
< ~k1~k2 | |~k10 ~k20 >
e−k1~ai c+
cjs2 e
cls2 ek1~ak css1
is1 e
r
ijlk
X
1XX 1
2
2 ijlk s1 ,s2 N ~ ~ ~ 0
k1 ,k2 ,k1 ,~k20
=
1
~
~
~0
~0
+
e−k1~ai e−k2~aj ek2~al ek1~ak < ~k1~k2 | |~k10 ~k20 > c+
is1 cjs2 cls2 css1
r
1
1XX
+
< ij| |kl > c+
is1 cjs2 cls2 css1 .
2 ijlk s1 ,s2
r
Analog für den dritten Term
−
XX
ijlk s
1
1
+
2 < ij| |kl > − < ij| |lk > µjl c+
is cks
r
r
mit
µjl :=
1 X
~
µ~k eik(~aj −~al ) .
N ~
k
Approximation: Schmales Energieband und damit φ in etwa gleich den sOrbitalen. Weiter müssen wegen des schmalen Energiebandes die s-Orbitale
Schalen bilden, wobei der Radius klein gegenüber dem Gitterabstand ist.
=⇒ < ii| 1r |ii >= I als alle anderen.
=⇒
XX
i,j
mit niσ :=
c+
iσ ciσ .
σ
X
1 XX
Tij c+
niσ ni−σ − I
νii niσ ,
iσ cjσ + I
2 i σ
i,σ
Weiter gilt
def
νii =
1
1 X
ν~k = n
N ~
2
k
=⇒
1 X
1
− In
niσ = − IN n2 = Const.
2
2
i,σ
Dieser Term kann weggelassen werden. Die weit außerhalb liegenden Terme
können wegen des Screenings der Wechselwirkung durch das Elektronengas
weggelassen werden.
Elektronen dürfen von Nachbarn zu Nachbarn hüpfen. Die Coulombsche
Wechselwirkung wird also in das Hüpfen umgesetzt. Wir gehen von einer
Ein-Bandstruktur aus. Die Hamiltonfunktion des Hubbard-Modells ist
H=t
X X
+
c+
i,σ cj,σ + cj,σ ci,σ + U
<ij> σ
X
i
ni↓
|{z}
ni :=c+
i ci
ni↑ ,
80
Theoretische Festkörperphysik Prof. Heermann
Abbildung 1.49:
wobei:
c+
i,σ erzeugt ein Fermion mit Spin σ =↑, ↓ am Gitterplatz i
ci,σ vernichtet ein Fermion mit Spin σ =↑, ↓ am Gitterplatz i
t: Hopping-Matrixelement ≈ 1 eV
U : Coulomb-Energie ≈ 20 eV
< ij >: Nächste Nachbarn.
Es ist allgemein akzeptiert:
• In 2 und 3 Dimensionen weist der Grundzustand für ein halbgefülltes
repulsives Modell (∞ > U > 0) anti-ferromagnetische langreichweitige
Ordnung auf.
• Das Zufügen oder die Wegnahme von Elektronen (Löcher) zerstört die
langreichweitige Ordnung.
• Der Grundzustand für U = ∞ ist ferromagnetisch und hat ein Loch
in einem ansonsten halbgefüllten Band.
• Bei U < 0 bilden die Elektronen singlet gebundene Zustände.
High-Tc : Drei-Band-Hubbard-Modell (Emery-Modell)
Die Hamilton-Funktion hat einen kinetischen Term, der das Hüpfen zwischen Cu − O, sowie zwischen O − O durch die Hopping-Integrale t Cu−O ,
tO−O beschreibt. Weiterhin ist anstatt einer Kopplungsstärke U nun die
Kopplungsstärke UCu und U0 enthalten.
H=
XX
i,j
Tij c+
iσ cjσ +
σ
1 XX
Uij niσ njσ0
2 i,j σ,σ0
(Emery − Modell)
Uij beschreibt die inter-site Wechselwirkung.
Wir wollen nun Lösungsmöglichkeiten für das Problem von wechselwirkenden Fermionen betrachten. Überlicherweise, um thermodynamische Eigenschaften von Systemen mit wechselwirkenden Fermionen zu betrachten, eliminieren wir die fermionischen Freiheitsgrade aus der Zustandsfunktion und
führen an ihre Stelle bosonische Felder ein. Hierzu benötigen wir die Feymann Pfadintegraldarstellung und die Identität:
Z
∞
−∞
e−aφ
2 −bφ
dφ =
r
π b2 /4a
e
,
a
a > 0.
φ seien die bosonischen Felder. Für Gittersysteme können wir alternativ die
Trotter-Suzuky-Formel verwenden. Sei U > 0 (repulsives Hubbard-Modell)
n
Z = T r e−β(H−µN )
o
81
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=
lim T r
m→∞
mit H = K + V
e
− βU
m
PN
l=1
n1↓ n1↑
∝
Z
N
∞ Y
−∞ l=1
Zm = T r
Z
=
(k)
n
e−β(K−µN )/m e−βV /m
dφl e−mφ
n
2 /2βµ−φ
l
(nl↑ −nl↓ )−βU (nl↑ +nl↓ )/2m
e−β(K−µN )/m e−βV /m
dφT r e
(1)
c+
iσ Aij cjσ
m o
···e
m o
(2m)
c+
iσ Aij
cjσ
,
(k)
wobei Aij = Aij (φ, σ): Spur über alle möglichen Konfigurationen der N Fermionen.
Nun gilt:
Tr e
=⇒
Zm ∼
(1)
c+
iσ Aij cjσ
Z Y
l,j
···e
(p)
c+
iσ Aij cjσ
2
= det 1 + eA
(1)
· · · eA
(p)
dφlj eφlj det 1 + e−β K̃/m−Ṽ (φl,1 ) · · · e−β K̃/m−Ṽ (φl,m ) ·
det 1 + e−β K̃/m−Ṽ (−φl,1 ) · · · e−β K̃/m−Ṽ (−φl,m )
mit K̃ = K − (µ − V /2) N : kinetische Energiematrix für ein EinteilchenPropagator auf dem Gitter und Ṽ (φl ) ist Diagonalmatrix.
Die Zustandssumme der m-ten Zeitscheibe hat die Form
Z
Zm =
dφe−S[φ] det
M↑
M↓
|{z}
F ermion−Determinante

B1 −1

B2 −1


B3 −1

det M↑ = det 

..
.

1
Bm
Falls eine Elektron-Loch-Symmetrie vorliegt, dann folgt
P √
2U φi (tm )
−1
det M↑
det M↓ (φ)e m ij
=⇒




 .



det M↓ det M↑ positiv definiert
=⇒
Ebenso für M↓
r
det
=⇒
Resultate:
M↓T M↓
Zm =
=
Z
Z
dφdψ↑ dψ↓ e−Sef f [φ,ψ↑ ,ψ↓ ] .
−1
dφ↑ e−φ↑ σ↑
φ↑
,
σ↑ := M↑T M↓ .
82
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• D = 2, U > 0
– T = 0, halbgefülltes Band: Ferromagnetisch
– T = 0, halbgefülltes Band + Elektron: Paramagnetisch
keine Supraleitung
• D = 2, U < 0
Tc = 0 Grundzustand supraleitend und Ladungsdichtewellen mit langreichweitiger Ordnung
Für ein nicht halbgefülltes Band gilt Tc > 0
Fundamentales Problem: Minuszeichen-Problem
Sei ein Feld mit x bezeichnet, dann ist der Erwartungswert einer Observablen
A
R
A(x)ρ(x)dx
hAi =
,
ρ(x)dx
wobei ρ(x) die Wahrscheinlichkeitsdichte ist.
Für Modelle wie das Ising Modell ist ρ(x) > 0. Für fermionische Systeme
gilt dies nicht im Allgemeinen. Im Rahmen des Hubbard-Modell ist dies
wahrscheinlich eine Konsequenz der Fermi-Statistik.
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83
Abbildung 1.50: Dispersionskurve vom Phonon mit der Elektron-Phonon
Wechselwirkung
1.6.3
Elektron-Phonon-Wechselwirkung
In diesem Abschnitt behandeln wir die Elektronen und Phononen zusammen
als ein Vielteilchensystem. Dafür werden verschiedene Approximationen gebraucht:
• Adiabatische Approximation: Phononen
• Perfektes Gitter: Blochsche Wellen
Wenn wir die Elektronen und die Phononen zusammen behandeln wollen,
dann müssen wir ein Vielteilchen-Problem lösen, wobei wir auf verschiedene
Fragen mit verschiedenen Approximationen losgehen müssen, z.B.:
• Wie beeinflussen die Elektronen die Dispersionsrelation von Phononen
ω(~k) ?
• Wie lange ist die Lebensdauer der Phononen bzw. der Blochschen Wellen, bevor sie zerfallen?
Daraus können wir auch die Wärmeleitfähigkeit bzw. die elektrische Leitfähigkeit untersuchen.
Elektron-Phonon-Streuung
Für den perfekten (ungestörten) Kristall ist die Hamilton-Funktion für die
Elektronen (Blochzustand):
He =
und
Hp =
X
~k,η
X
~ks b~+ b~ks
~k,s
a~+ a~kη
kη
ks
1
+
h̄ω~kη
2
der Phononen. Die gesamte Hamilton-Funktion ergibt sich dann:
Htotal = He + Hp + ∆V,
84
Theoretische Festkörperphysik Prof. Heermann
wobei ∆V die Wechselwirkung zwischen Elektron und Phonon ist.
Nehmen wir an, dass wir die Atome verschieben können, ohne die Wechselwirkungsenergie zwischen Elektron und Atom zu verändern.
Weiterhin angenommen, dass die Potenzialenergie eines Elektrons im ungestörten Kristall
X
V (~r) =
ṽj (~r − ~an + d~j )
n,j
ist. n und j sind Indizes von den Zellen des Bravais-Gitters und von den
Atomen in der Zelle. Wenn es beim j − ten Atom von der n-ten Zelle eine
Verschiebung ~ujn gibt, dann ist die gestörte Potenzialenergie
V 0 (~r) =
X
n,j
ṽj (~r − ~an + d~j + ~ujn ).
Die Wechselwirkung zwischen dem Elektron und dem Phonon ∆V ist dann:
∆V (~r) = V 0 (~r) − V (~r)
=
Xh
n,j
i
ṽj (~r − ~an + d~j + ~ujn ) − ṽj (~r − ~an + d~j ) .
Nehmen wir weiter an, dass ~ujn sehr klein ist:
X
∆V (~r) ≈
n,j
−~ujn · ∇~r ṽj (~r − ~an + d~j ) + O(u2jn ).
(O(u2jn ) ist von mehr als einem Phonon erzeugt.)
Mit der Berücksichtigung der Schwankung des Atoms erweitern wir jetzt die
Potenzialenergie V (~r) des Elektrons mit
V (~r) =
X
n,j
ṽj (~r − ~an − d~j − ~ujn ).
∆V verursacht die Streuung vom Elektron:
< ~ks|∆V |~k 0 s0 > =
Z
≈
Z
mit
~
~0
e−ik~r u~∗ks (~r)∆V (~r)eik ~r u~k0 s d3 r

X
~
e−ik~r u~∗ks (~r)  −~ujn ∇~r ṽj (~r
n,j
~ujn =
X
q~,η
~ j ei~q~an aq~η + a+
A
q~η
−~
qη
und
~ j = √1 ~vj (~q, η)
A
q~η
N
h̄
2M (c) ωq~η
X
~k~k 0 q~ss0 η
!1/2
.
b~+ b~k0 s0 aq~η + a+
−~
q η α~k~k 0 q~ss0 η ,
ks

~0
− ~an + d~j ) eik ~r u~k0 s d3 r
Die zweite Quantisierung von ∆V hat die folgende Form:
∆V =
85
Theoretische Festkörperphysik Prof. Heermann
Abbildung 1.51: Normaler Prozess der Elektron-Phonon-Wechselwirkung:
(a) b~+ b~k0 s0 aq~η ; (b) b~+ b~k0 s0 a+
−~
qη
ks
ks
wobei
α~k~k0 q~ss0 η =
=
=
Z
Z
~ ~0
e−i(k−k )~r u~∗ks (~r)
e
i(~k 0 −~k 0 +~
q +)~r
XZ
~0 ~
X
njη
u~∗ks (~r)
|
~ j ei~q~an u~ 0 0 d3 r
∇~r ṽj (~r − ~an + d~j )A
q~η
ks
X
njη
~ j ei~q(~an −~r) u~ 0 0 d3 r
∇~r ṽj (~r − ~an + d~j )A
q~η
ks
=
Λ~g ei(k −k+~q+~g)~r d3 r,
P {zi~g~r
~
g
e
Λ~g
}
vecg
da u~∗ks (~r)
P
njη
~ j ei~q(~an −~r) u~ 0 0 die Periodizität des Git∇~r ṽj (~r − ~an + d~j )A
q~η
ks
P
ters aufweist und als ~g ei~g~r Λ~g (Blochsche Funktion) dargestellt werden
kann.
α~k~k0 q~ss0 η = 0, falls ~k 0 − ~k + ~q kein reziproker Gittervektor ist.
Falls ~k 0 − ~k + ~q = 0, gibt es einen normalen Prozess der Elektron-Phonon-
Wechselwirkung.
Falls ~k 0 − ~k + ~q = ~g 6= 0, dann gibt es einen Umklapp-Prozss. Die HamiltonFunktion des gesamten Systems kann in der zweiten Ouantisierung dargestellt werden:
H = He + Hp + He−p
86
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Abbildung 1.52: Umklapp-Prozess der Elektron-Phonon-Wechselwirkung
=
X
a~+ a~kη +
kη
~k,η
X
+
~k~k 0 q~ss0 η
X
1
h̄ω~kη +
~ks b~+ b~ks
ks
2
~
k,s
α~k~k0 q~ss0 η b~+ b~k0 s0 aq~η + a+
−~
qη ,
ks
wobei He−p = ∆V .
Polar-Isolator
Betrachten wir die Wechselwirkung zwischen einem Elektron im Leitungsband und genau einem longitudinalen optischen Zweig des Phonons in der
Nähe von k = 0. Mit der Störungstheorie zweiter Ordnung erhalten wir:
~pert = ~0ks +
ks
= ~0ks
= ~0ks
X < ~ks|He−p |n >< n|He−p |~ks >
~0 − n
n
ks
2
X < ~k − q~, s, q~η|He−p |~ks >
~0 − ~0
q~η
ks
X
h̄2 k 2
q~η 2m∗
= ~0ks −
2m∗
h̄2
k−~
q ,s
+ h̄ωq~η
2
~
q, s, q~η|He−p |~ks >
< k − ~
h 2 −
h̄
2m∗
k 2 + q 2 + 2~k~q + h̄ωq~η
2
q , s, q~η|He−p |~ks >
X < ~k − ~
q~η
q2 +
2m∗
ωq~η −2~k~q
h̄
| {z }
ω̃
.
i
87
Theoretische Festkörperphysik Prof. Heermann
Da wir alles in der Nähe von k = 0 betrachten wollen, können wir ~pert in k
ks
entwickeln:
~pert = ~0ks −
ks
2
2m∗ X ~
1
~ks >
<
k
−
q
~
,
s,
q
~
η|H
|
e−p
2
ω̃ + q 2
h̄
q~
h̄2 k 2 h̄2 k 2
+
= const +
2m∗
2m0
2 2 1
h̄ k
1
= const +
+
2
m∗ m0
|
{z
1
:= m̃
}


2~k~q

+
1 +
|{z}

ω̃ + q 2
∗
| {z }
∗∗
*: Eine konstante Verschiebung des Leitungsbands
P 2~k~q
*: q ω̃+q
2 = 0 wegen der Symmetrie k ↔ −k
m̃ ist eine neue renormierte Elektronmasse.
Elektron + Virtuelle Phononwolke = Polaron
Effektive Masse des Elektrons wird durch die Elektron-Phonon-Wechselwirkung
verändert!
2~k~q
ω̃ + q 2
!2




+ · · ·
88
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1.6.4
Transport
Der Transport besteht aus drei Komponenten:
• Strom (Elektronen, Phononen, Photonen, Magnonen)
• Treibende Kraft
• Streumechanismus
Strom
Strom, der durch einen Blochzustand getragen wird:
h̄ R
2mi Einheitszelle
R
h
i
∗ ∇ψ − ψ ∇ ψ ∗ dτ
ψ~ks
~ks
~ks ~ks
Einheitszelle ψ
∗ ψdτ
=
Vakuum:
E=
Kristall:
= v~ks
h̄k 2
2m
⇒
1
∂ω
∇~k E(~k, s) =
,
h̄
∂k
v=
h̄k
m
1 X (ki − kmin,i ) (kj − kmin,j )
Ek ' E0 + h̄2
2
m∗ij
ij
Wenn Isotropie vorliegt, dann ist
Abbildung 1.53:
v = h̄
k − kmin
m∗
Treibende Kraft
~ sei ein elektrisches Feld, welches auf die Elektronen wirkt
E
~ · ~v~ δt
δε~k = −eE
k
=⇒
∂ε~k ~
~ 1 ∂ε~k δt
· δ k = −eE
~
h̄ ∂~k
∂k
(
∂A
≡ ∇~k )
∂~k
E = h̄ω
89
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~
δ~k
E
= −e ,
δt
h̄
d.h., die treibende Kraft ändert die Wellenvektoren.
=⇒
Streumechanismus
~
~j = σ E
=⇒
σ=
j
E
Bei der Streuung ist die Übergangsrate in einen Zustand k:
Z h
i
ω(~k, ~k 0 )n~k0 − ω(~k 0 , ~k)n~k d3 k 0
(klassisch),
wobei ω(~k, ~k 0 ) die Übergangswahrscheinlichkeit vom Zustand ~k 0 zum Zustand ~k und n~k die Besetzungswahrscheinlichkeit vom Zustand ~k ist.
ω(~k, ~k 0 ) ist symmetrisch, deshalb ist der Fermi-Charakter nicht wichtig.
Boltzmann-Gleichung
~ ist ein elektrisches Feld
Betrachten wir eine Verteilungsfunktion n(~r, ~k, t). E
~
mit ddtk = −e Eh̄ .
~
∂n
eE
= −~v · ∇~r n +
∇~ n + A
∂t
h̄ k
i
h
R
A := ω(~k, ~k 0 )n~ 0 − ω(~k 0 , ~k)n~ d3 k 0 Streuterm.
k
k
Theorie der linearen Antwort:
n = n 0 + n1 ,
n0 Verteilung im Gleichgewicht. Da es sich hier um Elektronen handelt, ist
1
n0 =
e
β (ε~k −µ)
+1
.
Wir nehmen eine weitere Vereinfachung durch die Annahme, dass keine
räumlichen Variationen vorhanden sind:



∇~r n = 0

Z
~
eE
∂n


=
∇~ n0 + n1 + n0 (~k 0 ) +n1 (~k 0 ) − n0 (~k) −n1 (~k) ω(~k, ~k 0 )d3 k 0 .
|{z}
| {z }
| {z }
∂t
h̄ k
∗
∗∗
∗∗∗
Terme *, ** und *** können wir in der linearen Antwort vernachlässigen.
Betrachten wir den einfachsten Fall: S-Wellen-Streuung
ω(~k, ~k 0 ) ist als Funktion von ~k 0 bei festem ~k konstruiert.
Z
~
∂n1 (~k)
eE
∂n0
=
h̄~v~k
− n1 (~k)
ω(~k, ~k 0 )d3 k 0
∂t
h̄
∂ε
|
{z
}
1
,Relaxationszeit
τ (~
k)
(∇~k n0 =
∂n0
∂n0
=
h̄~v~ )
∂ε~k
∂ε~k k
90
Theoretische Festkörperphysik Prof. Heermann
• Angenommen, das elektrische Feld wird abgeschaltet, dann ist
∂n1
n1 (~k)
=
∂t
τ (~k)
~
n1 = n0 e−t/τ (k) .
=⇒
1
• Beim stabilen (stationären) Zustand ( ∂n
∂t )
~ · ~v~
n1 (~k) = τ (~k)eE
k
∂n0
.
∂ε
Betrachten wir nun den elektrischen Strom
~j = −
= −
= −
X
n~k,σ e~v~k
~k,σ


X

n0 +n1  e~v~
 ~k,σ
 k
|{z}
~k,σ
X
∗
n1 e~v~k
~k,σ
P
n~0k,σ e~v~k ≡ 0, da im Gleichgewicht ~j = 0
~ richtet in x-Richtung aus:
Angenommen, E
*:
~k,σ
jx = −
=⇒
σxx
in Metallen kT µ =⇒
2 2
d3 k = dΩk 2 dk, ε = h̄2mk∗
Z
k → kF , v =
h̄k
m∗ ,
X
~k,σ
2
jx
=−
=
Ex
(2π)3
∂n0
∂ε
Z
= δ(ε − µ)
h̄kF
m∗
σxx =
N
V
∂n0
∂ε
∂n0 3
d k
τ (~k)e2 vx2
∂ε
D
E
dΩvx2 = 4π vx2 =
=⇒ v 2 =
Dichte der Elektronen =
τ e2 vx2 Ex
2
4π D 2 E
v
3
2τ e2 4π kF 3
(2π)3 3 m∗
3
1 4
=n
= 2 (2π)
3 3 kF
σxx = τ (kF )e2
n
m∗
91
Theoretische Festkörperphysik Prof. Heermann
Abbildung 1.54:
Gehen wir nun über die s-Wellen-Streuung hinaus. Nehmen wir an, dass
die Streuzentren kugelsymmetrisch sind und dass die Fermi-Fläche ebenfalls
kugelsymmetrisch ist
ω(~k, ~k 0 ) = ω(k = ~k , θ)
Z
∂n1
~ ∂n ~v~ + ω(k, θ) n1 (~k 0 ) − n1 (~k) d3 k.
= eE
∂t
∂ε k
Entwickle in Legendre-Polynome bzw. Kugelflächefunktionen
ω(θ) =
X
ωl Pl (cos θ)
l
n1 (~k) =
X
nlm Ylm (θ, ϕ)
lm
Pl (cos θ) =
l
4π X
Y ∗ (θ 0 , ϕ0 ) Ylm (θ, ϕ)
2l + 1 −l | lm {z } | {z }
~k 0
Z
d3 kω(θ) n1 (~k 0 ) − n1 (~k)
= C4π
X
l 0 m0
Z
dΩ0
l
n1l0 m0
= 4πC
X
X
~k
l
ωl X
Y ∗ (θ 0 , ϕ0 )Ylm (θ, ϕ)
2l + 1 −l lm
∗
Ylm
(θ 0 , ϕ0 )
− Ylm (θ, ϕ)
nlm Ylm (θ, ϕ)
lm
ωl
− ω0
2l + 1
~ sei jetzt in z-Richtung:
Annahme: E
~ v~
eE~
k
∂n
∂n0
0
~ = e E
cos θ
~v~k ∂ε
∂ε
92
Theoretische Festkörperphysik Prof. Heermann
3
cos θ
4π
relevant, als Y10
Y10 =
Im stationären Fall ist nur n10
=⇒
r
∂n r 3
ω1
~ 0
e E ~v~k + 4πCn10
− ω0 = 0
∂ε
=⇒
4π
3
n1 = n10 Y10 (θ, ϕ) = −
Schreibe:
τ~k :=
~ e E
v~k ~
4πC
ω1
3
− ω0
1
4πC
ω1
3
− ω0
Magnetischer Transport
~ ist die Kraft auf ein Elektron:
In einem magnetischen Feld B
~
~ = h̄ dk
F~ = −e~v × B
dt
∂n~k
∂t
=
mag
e
~ ∂n~k
~v × B
h̄
∂~k
∂n0 (~k)
∂n0 ∂ε
=
~
∂ε ∂~k
∂k
|{z}
h̄~v
statisch:
d
dt
= 0, n = n0 + n1
~ · ~v
eE
∂n0
e
~ ∂n1 − n1 = 0
~v × B
+
∂
h̄
τ
∂~k
als Funktion von ~v anstatt von ~k
∂n1 ∂~v~k
∂n1
=
,
∂~v~k ∂~k
∂~k
∂~v~k
1 ∂2ε
=
h̄ ∂~k∂~k
∂~k
(T ensor)
~ · ~v ∂n0 + e ~v × B
~ ∂n1 − n1 = 0
=⇒ eE
∂ε
m∗
∂~v
τ
Suchen Lösung der Form:
~
n1 = ~v A,
~ ein konstanter Vektor ist.
wobei A
~
∂n0
e ~
~ − ~v · A
×A
+ ∗ ~v B
∂ε0
m
τ
!
~
e
A
∂n
0
~ ×A
~ −
~
+ ∗ B
= ~v · eE
∂ε0
m
τ
= 0
~ · ~v
eE
~
eE
~
e ~
∂n0
~ −A =0
+ ∗ B
×A
∂ε
m
τ
93
Theoretische Festkörperphysik Prof. Heermann
~
• ·B:
~ ·B
~ ∂n0 = A
~B
~
τ eE
∂ε
~
• B×:

~ 1 +
A
~ ×E
~ + τe B
~× B
~ ×A
~
~ ×A
~ = τ e ∂n0 B
B
∂ε
{z
}
|
2A
~ A
~ )B−B
~
~
(B·
~ e
Bτ
m∗
!2 
 = τe
τ e 2 ∂n
∂n0 ~ ∂n0 τ e ~
~ ·B
~
~
~ 0E
E+
B ×E +
B
∗
∗
∂ε
∂ε m
m
∂ε
Be
Definieren wir ωc := m
∗
~=
n1 = ~v A
h
0
~+
v E
τ e ∂n
∂ε ~
τe
m∗
~ ×E
~ +
B
1 − ωc 2 τ 2
τ e 2
m∗
~
~ ·E
~ B
B
i
Kubo-Formalismus
Streuung
H
F
=T
+U +
{z
|
H
z}|{
V
}
−eEx,
dann ist die Bewegungsgleichung für die Dichtematrix ρ
iρ̇ = [H F , ρ]
ρ = ρ0 + ρ1 , mit ρ0 =
1
eβ(H−µ) +1
iρ˙1 = [H, ρ0 ] +[H, ρ1 ] − eE[x, ρ0 ] − eE[x, ρ1 ]
| {z }
|
=0
{z
=0,
*: in Theorie der linearen Antwort.
Sei ρ(−∞) = ρ0 , E ∝ eαt .
Sei |n >, |l >, · · · eine Basis von Eigenzuständen zu H
∗
}
H|n >= En |n > .
Damit gilt
< n|ρ1 |l > (El − En + iα) = eE < n|x|l > ρ0 l − ρ0 n ,
wobei ρ0 l =
1
.
eβ (El −µ) +1
Wir suchen nach den Lösungen der Form ρ1 ∼ eαt
i < n|v|l >=< n|[x, H]|l >=< n|x|l > (E l − En )
< n|x|l >=
i < n|v|l >
El − E n
!
94
Theoretische Festkörperphysik Prof. Heermann
< n|ρ1 |l >= −ieE
ρ0 l − ρ 0 n
El − E n
< n|vx |l >
,
El − En + iα
jx = evx
hjx i = T r (ρjx )
X
=
< n|ρ1 |l >< l|jx |n >
n,l
= iE
X ρ0 (El ) − ρ0 (En ) < n|jx |l >< l|jx |n >
El − E n
n,l
σxx =
El − En + iα
1
hjx i
E
mit
α→0
σxx =
*:
i X ρ0 (El ) − ρ0 (En )
< n|jx |l >< l|jx |n > 2πiδ(El − En )
{z
}
|
2 n,l
El − E n
ρ0 (El )−ρ0 (En )
El −En
=
|
{z
∗∗
}
∗
∂ρ0 (E)
∂E
E=El
=
∂f
∂E E=E
l
mit Fermi-Funktion f
*: wegen des thermodynamischen Limes
σxx = −π
X ∂f n,l
Z =
Z =
∂E
∂f
∂E
∂f
∂E
P
E=El
|< n|jx |l >|2 δ(El − En )
X
< n0 |jx |l0 >2 dE
E
E
E=El n0 ,l0
|
{z
F (E)
F (E)dE
}
E=El
P
Wegen H = i Hi und J = i ji (i ist Index von Teilchen) reduziert sich
die Kubo-Formel für das Vielteilchen-Problem auf das Einteilchen-Problem
σµν =
Tr
|{z}
Einzelelektron
∂f
∂H
Definieren wir nun gµ (α) :=
σµν
Z
1
(jµ (t)jν (0) + jµ (0)jν (t)) e−αt dt .
2
0
R∞
0
∞
e−αt jµ dt, dann ist
1 ∂f
gµ (0+ )jν (0) + jµ (0)gν (0+ )
= Tr −
2 ∂H
i
Z
=
h
∞
0
d
j(t) = [j(t), H]
dt
e−αt
d
j(t)dt
dt
e−αt j(t)
i∞
0
+α
= −j(0) + αg(α)
Z
∞
0
e−αt j(t)dt
95
Theoretische Festkörperphysik Prof. Heermann
=⇒ αg(α) − j = i[H, g(α)].
Schreiben wir nun H = H0 + λV und nehmen wir an, dass V keine Diagonalanteile in dieser Darstellung hat
< n|g|l >= gl δnl + gn,l ,
mit gl,l := 0
αg(α) = j + i[H0 , g] + iλ[V, g].
Vom Diagonalanteil haben wir
αgl = jl + iλ
X
l0
(Vll0 gl0 l − gll0 Vl0 l ) ,
mit < l|j|l >=: jl und den Außerdiagonalelementen
(α − iEl + iEl0 ) gll0 = iλ (Vll0 gl0 − gl Vll0 ) + i
=⇒ αgl = jl +iλ2
X
l0
X
l0
→0
l00 l
(Vll00 gl00 l − gll00 Vl00 l )
Vll0 Vl0 l gl
Vll0 Vl0 l gl0
Vll0 Vl0 l
−
−
(gl0 − gl )
El − El0 − iα El − El0 − iα El − El0 − iα
αgl = jl + iλ2
|{z}
X
|Vll0 |2 (gl0 − gl ) (−2πi) δ(El − El0 ).
∂f
Multipliziere mit E ∂E
l
=⇒ σxx ∼
= Tr
1
∂f
gx jx = T r (ρ1 jx ) ,
∂E
E
mit
ρ1 ∼ E
∂f
g.
∂E
!
96
Theoretische Festkörperphysik Prof. Heermann
1.6.5
Dielektrischer Response-Formalismus
Sei Vext das externe Potenzial und Vtotal das induzierte Potenzial im System
Vtotal :=
Vext
.
Wir betrachten folgendes externes Potenzial
~
Vext (~r, t) = Vext (~k, ω)ei(k~r−ωt)
(Hier wird nur eine Fourierkomponete genommen.)
~
Vtotal (~r, t) = Vtotal (~k, ω)ei(k~r−ωt)
Definieren wir die Dielektrische Funktion (~k, ω), welche die Informationen
über das Anregungsspektrum des Elektronensystems beinhaltet
Vtotal (~k, ω) =
Vext (~k, ω)
.
(~k, ω)
Betrachten wir nun die Potenzialgleichung
∇2 Vext = −4πρext ,
wobei ρext die Ladungen sind, die das externe Potenzial erzeugt
~
ρext (~r, t) = ρext (~k, ω)ei(k~r−ωt) .
Speziell:
~
ρext (~r, t) = ρext (~k, ω)ei(k~r−ωt) eδt .
Wir behandeln den Response des Elektronensystems mit Störungstheorie.
Sei H 0 die Hamilton-Funktion der Wechselwirkung:
H0 =
Z
=
Z
1
d3 rd3 r 0
|~r − ~r0 |
Z X
X 4π ~ 00
0
~ 0
~0
ρ(~k 0 )eik ~r ρext (~k, ω)ei(k~r −ωt) eδt
=
eik (~r−~r ) d3 rd3 r 0
2
k
~0
~ 00
~ 0
ρ(~r)ρext (~k, ω)ei(k~r −ωt) eδt
k
k
d3 rd3 r 0
XX
~k 0 ~k 00
4π
~ ~k 00 )~r0 i(~k 0 +~k 00 )~r
ρ(~k 0 )ρext (~k, ω)eδt 2 e−iωt |ei(k−
{z } |e {z }
k
4π
= ρ(−~k)ρext (~k, ω) 2 e−iωt eδt + c.c.
k
ρ(~r) reell =⇒
→~k=~k 00
ρ(−~k) = ρ+ (~k)
4π
H 0 = ρ+ (~k)ρext (~k, ω) 2 e−iωt eδt + c.c.
k
→~k 0 =−~k 00
97
Theoretische Festkörperphysik Prof. Heermann
Sei nun H die Hamilton-Funktion des wechselwirkenden Elektronsystems
ohne den Anteil der Störung, und seien |ψn >= |n > die Eigenzustände
von H mit H|n >= En |n >. Angenommen, bei t → ∞ sei der Zustand des
Systems |ψ0 >:
X
Ψ(t) =
ψn an (t)e−iEn t/h̄
n
einsetzen
=⇒
D
ρ~k
E

2 
2
+
<
n|ρ
|0
>
<
n|ρ
|0
>

X
~k
4π
~k

−i(ω+iδ)t
~
ρ
(
k,
ω)e
−
=
.

ext
2
h̄k
n
ω − ωon + iδ
ω + ωon + iδ
Aus der Potenzialgleichung
4π
Vext (~k, ω) = 2 ρext (~k, ω)
k
Vtotal =
4π
4π
ρtotal = 2 (ρext + ρind )
2
k
k
=⇒
1
(~k, ω)
=
Vtotal
Vext
=
1+
hρind i
hρext i
2 4π X 1
1
+
1+ 2
−
< n|ρ~ |0 >
k
h̄k n
ω − ωon + iδ ω + ωon + iδ
s.o.
=
1
1
= P ( ) − iπδ(x)
→0 x + i
x
lim
=
1
<
(~k, ω)
2
4π X 2ωon
= 1+ 2
< n|ρ~+ |0 > P
2
2
k
k n
ω − ωon
2
4π X = − 2
< n|ρ~+ |0 > {δ(ω − ωon ) + δ(ω − ωon )}
k
h̄k n
1
~
(k, ω)
−ih̄
∂Ψ
= H + H0 Ψ
∂t
ωon
z
}|
{
∂
i
an = − < n|H 0 |0 > e−i (E0 − En ) t/h̄
∂t
h̄
an
=
H 0 s.o.
−
i
h̄
Z
0
−∞
0
< n|H 0 |0 > e−iω0n t dt0
i
4π
−
k2
h̄
Z
t
0
=
< n|ρ+ (~k)|0 > ρext (~k, ω)
=
ei(ωon −ω−iδ)t
4π
− 2 < n|ρ+ (~k)|0 > ρext (~k, ω)
h̄k
i (ωon − ω − iδ)
−∞
0
0
e−iω0n t e−iωt eδt dt0
98
Theoretische Festkörperphysik Prof. Heermann
(
Z
t
0
−∞
0
0
e−iω0n t e−iωt eδt dt0 =
ei(ωon −ω−iδ)t
)
i (ωon − ω − iδ)
Der Erwartungswert der induzierten Ladungsdichte ist:
D
ρ~k
E
= < Ψ|ρ(~k)|Ψ >
=
X
n,m
'
< ψn |ρ(~k)|ψm > a∗n am eiωnm t
Xh
n
i
< n|ρ(~k)|0 > a∗n eiω0n t + < 0|ρ(~k)|n > an e−iω0n t .