Amerikanischen Optionen

Die Bewertung von
Amerikanischen Optionen
im Mehrperiodenmodell
Universität-Gesamthochschule Paderborn
Fachbereich 17
Seminar Finanzmathematik
SS 2001
Referentin: Christiane Becker-Funke
Dozent: Prof. Dr. Peter Bürgisser
INHALT
0. EINLEITUNG................................................................................................................................................... 3
1. AMERIKANISCHE CLAIMS ..................................................................................................................... 3
2. DER FAIRE PREIS EINES AMERIKANISCHEN CLAIMS ............................................................ 4
3. DAS PRINZIP DER RÜCKWÄRTSINDUKTION............................................................................... 6
4. DIE ABSICHERBARKEIT EINES AMERIKANISCHEN CLAIMS UND DIE
KONSTRUKTION EINES HEDGE........................................................................................................... 9
5. ANWENDUNG AUF DAS COX-ROSS-RUBINSTEIN-MODELL................................................10
6. LITERATURVERZEICHNIS........................................................................................................12
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0. Einleitung
Die amerikanischen Optionen werden neben den europäischen und den
exotischen Optionen (Barriere-Optionen, Lookback-Optionen, AsiatischeOptionen) am häufigsten gehandelt.
Die amerikanischen und die europäischen Optionen sind im Gegensatz zu
den anderen jedoch durch den Aktienkurs im jeweiligen Zeitpunkt festgelegt
und nicht durch den Kursverlauf der Aktie.
Im Unterschied zu den europäischen verbriefen die amerikanischen Call(Put-) Optionen auf eine Aktie das Recht, die Aktie zu einem beliebigen
Zeitpunkt t ≤ T zum vorher fixierten Ausübungspreis K zu kaufen
(verkaufen) und nicht ausschließlich zum Zeitpunkt T.
Im folgenden sei ein Mehrperiodenmodell betrachtet.
1. Amerikanische Claims
1.1. Definition eines amerikanischen Claims:
Ein amerikanischer Claim ist gegeben durch einen reellwertigen
adaptierten stochastischen Prozeß (Zt )0=t=T :=Z, wobei Zt die Auszahlung
angibt, die der Inhaber bei Ausübung zur Zeit t erhält.
Die Entscheidung zur Ausübung der Option zum Zeitpunkt t ist vom
Käufer frei wählbar und hängt von den Informationen bis zur Zeit t
erhältlich ab. (At )0=t=T sei eine zugehörige Filtration. Daher betrachten wir
Strategien zur Wahl des Ausübungszeitpunktes als Stopzeiten τ bzgl.
(At )0=t=T, wobei τ eine Zufallsvariable τ: Ω → {0,1,...,T} ist.
Man kann jeder Stoppzeit τ den Claim
C(Z, τ) = ( Z0 1{τ=0}, Z1 1{τ=1},..., ZT 1{τ=T}) zuordnen.
T
Bei Ausübung der Option erhält man die Gesamtauszahlung Zt = Σ Zτ1{τ=t}.
t=0
T
Die diskontierte Gesamtauszahlung ist entsprechend Zτ /Bτ = Σ Zτ /Bτ1{τ=t}.
t=0
1.2. Beispiel:
Der zugehörige Prozeß Z einer amerikanischen Call-Option mit
Aktienkursen S0 , S1 ,..., ST zum Ausübungspreis K ist gegeben durch
Zt = (St - K)+, t=0,..., T.
3
Eine mögliche Ausübungsstrategie wäre:
τ:= min({0≤ t ≤ T | St ≥ a } ∪ {T}) mit a ≥ K,
d. h. man nutzt das Optionsrecht, sobald a zum ersten Mal überschritten
wird. Falls dies nicht bis zum Zeitpunkt T- 1 eintritt, übt man sie zum
Zeitpunkt T aus oder läßt sie verfallen.
Der zugehörige Prozeß Z‘ einer amerikanischen Put-Option mit
Aktienkursen S0 , S1 ,..., ST zum Ausübungspreis K ist gegeben durch
Zt ‘ = (K - St )+, t=0,..., T.
2. Der faire Preis eines amerikanischen Claims
Z sei ein absicherbarer amerikanischer Claim.
Mit dem Kauf einer amerikanischen Option erhält der Käufer die
Möglichkeit, die Option zu einem beliebigen Zeitpunkt auszuüben, d. h. er
hat z.B. bei einer Call-Option die Chance, beim maximalen Preis der Aktie
zu stoppen. Deshalb definieren wir den fairen Preis eines amerikanischen
Claims als Supremum über die fairen Preise aller Claims, die für diese
Auswahl zur Verfügung stehen:
s(Z) = sup s(C(Z, τ )).
τ
Allgemein gilt für den fairen Preis für k = 0, 1, ..., T-1:
s(Z, k) = sup s(C(Z, τ)).
τ≥k
Unter Benutzung eines äquivalenten Martingalmaßes Q erhalten wir
folgendes Ergebnis:
2.1. Satz:
Der faire Preis eines absicherbaren amerikanischen Claims bzgl. eines
Martingalmaßes Q ist zur Zeit 0 gegeben durch
sup EQ(Zτ /Bτ | A0 ),
τ
und allgemein zum Zeitpunkt k = 0, 1, ..., T-1 durch
sup Bk *EQ(Zτ /Bτ| Ak ).
τ
Diese Preisfestsetzung kann mit dem No-Arbitrageprinzip erklärt werden:
Fall 1: Wäre s(Z) < sup s(C(Z, τ)), dann gäbe es ein τ mit s(Z) < s(C(Z, τ)).
Man hätte den Claim damit unterhalb des fairen Preises, zum Preis s(Z),
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erworben. Dies ist eine Arbitragestrategie.
Fall 2: Wäre s(Z) > sup s(C(Z, τ)), hätte der Käufer jeden dieser Claims
oberhalb des fairen Preises erworben. Dies ist ebenfalls eine
Arbitragestrategie.
Den fairen Preis erhält man also durch Lösen der Optimierungsaufgabe
sup EQ(Zτ /Bτ | A0 ).
τ
Da wir A0 = {∅, Ω} annehmen, müssen wir nur noch sup EQ(Zτ /Bτ)
τ
bestimmen.
Um diese Aufgabe zu lösen, verwenden wir die Theorie des optimalen
Stoppens.
2.2. Theorem:
Sei S:={τ | τ Stopzeit}. Dann lautet das Problem des optimalen Stoppens:
Maximiere EZτ über τ∈S; bestimme also v:= sup EZτ und τ*∈S mit
τ∈S
EZτ* = sup EZτ.
τ∈S
Wir setzen: Srt := {τ ∈ S | r ≤ τ ≤ t} und
vrt := sup EZτ
τ ∈ Srt
2.3. Bemerkung:
Zu einem amerikanischem Claim kann ein zugehöriger europäischer Claim
betrachtet werden, der nur zur Zeit T ausgeübt werden kann:
C(Z, T) = ( 0,…, 0, ZT ) zur Stopzeit τ = T.
Also gilt s(Z) = sup s(C(Z, τ)) ≥ s(C(Z, T)), d.h. der faire Preis eines
amerikanischen Claims ist immer größer oder gleich dem eines
europäischen Claims.
2.4. Satz:
Sei Q ein äquivalentes Martingalmaß. Dann gilt für jede Kapitalanlage und
für jeden Ausübungspreis K ≥ 0:
sup EQ(1/Bτ* ( Sτ - K)+) = EQ(1/BT * (ST - K)+)
τ ∈S
Beweis:
Man zeigt, daß (1/Bt *(St - K)+) für t= 0,…, T ein Submartingal bzgl. Q ist.
Dann gilt für alle τ ∈ S :
EQ(1/Bτ *( Sτ - K)+) ≤ EQ(1/BT *(ST - K)+).
Da x → (x - K)+ eine konvexe Abbildung ist, folgt mit der Jensenschen
Ungleichung:
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EQ(1/Bt+1 *( St+1 - K)+ | At ) ≥ 1/Bt+1 *(EQ(St+1 | At ) - K)+
= (EQ(St+1 /Bt+1 | At ) - K /Bt+1 )+
= (St /Bt - K /Bt+1 )+
= 1/Bt *(St - K /B1 )+
≥ 1/Bt * (St - K)+,
da (x - K /B1 )+ ≥ (x - K)+ für 1/B1 ≤ 1, K ≥ 0.
2.5. Folgerung:
Falls 1 /B1 < 1, stimmen also die fairen Preise sup EQ(1/Bτ *( Sτ - K)+) des
τ ∈S
amerikanischen Calls und EQ(1/BT *(ST - K)+) des europäischen Calls
überein.
Erstaunlicherweise spielt das Verhalten des Preisprozesses dabei keine
Rolle.
2.6. Bemerkung:
Aufgrund der Preisgleichheit bietet eine amerikanische Call-Option
theoretisch keinen Vorteil gegenüber einer europäischen Call-Option. In der
Praxis sieht dies natürlich anders aus. (Man betrachte z.B. Dividenden.)
2.7. Bemerkung:
Im Gegensatz zur Preisgleichheit des amerikanischen und europäischen
Calls unterscheiden sich die fairen Preise der amerikanischen und
europäischen Put-Optionen.
3. Das Prinzip der Rückwärtsinduktion
Wir betrachten ein allgemeines Stopproblem mit der Zeitparametermenge
T = {0, 1,…,T}.
Befinden wir uns schon im Zeitpunkt T, ohne vorher gestoppt zu haben,
müssen wir die Auszahlung ZT akzeptieren. Zur Zeit T-1 können wir
entweder stoppen und erhalten somit den Betrag ZT-1 ,oder wir warten noch
bis zum Zeitpunkt T und bekommen die zur Zeit T-1 noch unbekannte
Auszahlung ZT .
Geeignet ist folgendes Vorgehen:
Stoppe in T-1, falls ZT-1 ≥ E(ZT | A T-1 ),
beobachte weiter, falls ZT -1 < E(ZT | A T-1 ).
Allgemein gilt zum Zeitpunkt t: Stoppe in t, falls Zt größer oder gleich dem
bedingten Erwartungswert dessen ist, was sich bei optimaler Fortsetzung
ergibt. Andernfalls mache eine weitere Beobachtung.
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3.1. Definition:
Betrachte ein Stopproblem mit T={0, 1, …,T}.
Dann setze: UTT := ZT
UT-1T := max {ZT-1 , E(UTT | AT-1 )}
UtT := max {Zt , E(Ut+1T | At )} für alle t = T-2, …, 0
Weiter sei für t = 0, …,T: τtT := inf { k ≥ t | Zk = Uk T }
= inf { k ≥ t | Zk ≥ E(Uk+1T | Ak )}
3.2. Satz:
Mit Definition 3.1. gilt für t = 0,…,T:
E( Zτt T | At ) = UtT ≥ E(Zτ | At ) für alle τ ∈ St T , also
EZτt T = EUtT ≥ EZτ für alle τ ∈ StT .
Insbesondere folgt: vt T = EUtT, τtT ist optimal in StT ,und τ* = τ0 T ist optimal.
Beweis:
Offensichtlich ist τtT ∈ StT für alle t.
Wir führen den weiteren Beweis durch Rückwärtsinduktion über t = 0,…, T
durch:
Für t = T ist die Aussage klar, denn UTT = ZT , τTT = T, STT = {τTT}.
Die Behauptung sei richtig für ein t ∈ {1,…,T}. Sei A ∈ At-1 . Sei τ ∈ St-1T ,
weiter τ‘ = max {τ, t} ∈ St T .
Zusammen mit der Induktionsvoraussetzung folgt aus der Definition von
UtT :
∫ Zτ dP =
A
∫ Zt-1 dP + ∫ Zτ dP
A∩{τ =t-1}
A∩{τ≥t}
= ∫ Zt-1 dP + ∫ Zτ‘ dP
A∩{τ =t-1}
A∩{τ≥t}
= ∫ Zt-1 dP + ∫ E(E(Zτ‘| At ) | At-1 ) dP
A∩{τ =t-1}
A∩{τ≥t}
I.V.
≤ ∫ Zt-1 dP + ∫ E(Ut T | At-1) dP
A∩{τ =t-1}
A∩{τ≥t}
≤ ∫ Ut-1T dP
A
⇒ Also E(Zτ | At-1 ) ≤ Ut-1T .
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Die entsprechende Rechnung für τt-1T :
∫ Zτt-1T dP =
A
∫ Zt-1 dP
+
∫ Z τt-1T dP
= ∫ Zt-1 dP
+
∫ ZτtT dP
= ∫ Zt-1 dP
+
∫ E (Zτt T | At-1 ) dP
A∩ {Zt-1 ≥ E(UtT | At-1)}
A∩ {Zt-1 < E(UtT | At-1)}
A∩{Zt-1 ≥ E(UtT | At-1)}
A∩{ Zt-1 ≥ E(UtT | At-1)}
I.V.
≤ ∫ Zt-1 dP
A∩{ Zt-1 ≥ E(UtT | At-1)}
A∩{ Zt-1 < E(UtT | At-1)}
A∩{ Zt-1 < E(UtT | At-1)}
+ ∫ E(UtT | At-1 ) dP
A∩{ Zt-1 < E(UtT | At-1)}
= ∫ Ut-1T dP
A
⇒ Also
E(ZτtT
| At-1 ) = Ut-1T .
3.3. Satz:
Seien Z:= (Zt )0≤t≤T und U:= (Ut )0≤t≤T definiert wie bisher. Dann gilt:
U ist minimales dominierendes Supermartingal, d.h.
(i) U ≥ Z
(ii) U ist Supermartingal
(iii) Ist Y:= (Yt )0≤t≤T ein weiteres Supermartingal mit Y ≥ Z, so ist Y ≥ U.
Beweis:
(i) und (ii) folgen sofort aus der Definition von U
( Ut-1T := max {Zt-1 , E(UtT | At-1 )}, t = 0,…T)
(iii) wird bewiesen durch Rückwärtsinduktion:
Wir nehmen an, daß Y ein beliebiges Supermartingal mit Y ≥ Z für alle
t ∈ T ist.
Dann gilt YTT ≥ ZT = UTT.
Für ein festes t ≤ T sei YtT ≥UtT . Da Y Supermartingal, gilt:
Yt-1T ≥ EQ(YtT | At-1). Dann Yt-1T ≥ EQ(UtT | At-1 ).
Andererseits dominiert Y Z. Nehme Yt-1T ≥ Zt-1T an.
Dann Yt-1T ≥ max {Zt-1 , EQ(Ut-1T | At-1)} =Ut-1T .
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4. Die Absicherbarkeit eines amerikanischen Claims und
die Konstruktion eines Hedge
4.1. Definition:
Sei Q ein äquivalentes Martingalmaß. Dann heißt Z absicherbar, falls eine
selbstfinanzierende Handeslstrategie H existiert, so daß für den Wertprozeß
V:= (Vt )0≤t≤T gilt: V ≥ Z.
Dann heißt H Hedge zu V.
(Der Verkäufer eines amerikanischen Claims kann nach Bildung des
Portfolios H zur Zeit 0 zum Preis V0 jeden möglichen Anspruch des Käufers
ohne Zufuhr weiterer Mittel erfüllen.)
Für einen amerikanischen Claim Z zum Anfangsportfoliopreis
V0 = H0 S0 = s(Z) = sup EQ (Zτ /Bτ | A0 ) können wir einen
selbstfinanzierenden Hedge konstruieren.
Um dieses zu zeigen, betrachten wir das Stopproblem mit
Auszahlungsprozeß (Zt /Bt )t = 0,…,T und das dazugehörige minimale
dominierende Supermartingal U.
Mit der Doobschen Zerlegung schreiben wir U = M + C, wobei
M:= (Mt )0≤t≤T ein Martingal ist und C:= (C t )0≤t≤T monoton fallend mit
C0 = 0 ist.
4.2. Satz:
Der Claim C = (0,…,BT MT ) sei absicherbar. H sei zugehöriger Hedge.
Dann ist H auch Hedge für den amerkanischen Claim, und es gilt
H0 S0 = s(Z).
Beweis:
Da H selbstfinanzierend ist und (Vt /Bt )t = 0,…,T ein Martingal bzgl. Q ist,
folgt
VT /BT = MT ≥ UT = ZT /BT .
Mit der Minimalität von U folgt: Vt /Bt ≥ Ut ≥ Zt /Bt , t = 0,…,T-1, also
V ≥ Z.
Für den Anfangspreis des Portfolios erhalten wir mit der
Martingaleigenschaft
H0 S0 = V0 /B0 = EQVT /BT = EQMT = M0 = U0 = s(Z).
Nun definieren wir den fairen Preis eines amerikanischen Claims Z durch
s* = inf { H0 S0 | H ist selbstfinanzierender Hedge für Z}.
Dann gilt unter der Voraussetzung der Absicherbarkeit des Claims
C = (0,…,0, BT MT ): s* ≤ s(Z).
Andererseits erhalten wir für jeden selbstfinanzierenden Hedge H:
Vt /Bt ≥ Zt /Bt , t =0,…,T, also Vt /Bt ≥ Ut , t = 0,…,T.
Damit folgt H0 S0 = V0 /B0 ≥ U0 = s(Z) und s*≥ s(Z).
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Wir konstruieren also einen Hedge für einen amerikanischen Claim, indem
wir den Hedge für einen durch die Doobsche Zerlegung eindeutig
bestimmten europäischen Claim berechnen.
5. Die Anwendung auf das Cox-Ross-Rubinstein-Modell
St = S 0 Y1 Y2 …Yt sei der Aktienpreis zur Zeit t, wobei 0 ≤ t ≤ T und Y1 ,…,Yt
bzgl. Q stochastisch unabhängig und identisch verteilt seien.
Es gelte q:= Q(Yt = u) = (1 + r - d) /(u - d), Q(Yt = d) = 1 - q
Z:= (Zt )0≤t≤T sei ein amerikanischer Claim mit diskontierten Auszahlungen
Zt /Bt := ht (St ) für t = 0,…,T, wobei h eine meßbare Funktion sei.
(Betrachtet man z.B. eine Put-Option, so ist ht (St ) = 1/Bt *( K - St )+.
Abb.: Binomialbaum für T = 3
2
S0 u3
S0 u
S0 u
S0 u2 d
S0
S0 ud
S0 ud2
S0 d
S0 d2
S0 d3
Man bestimmt den fairen Preis eines amerikanischen Claims am
effizientesten rekursiv, d. h. man folgt dem Binomialbaum von rechts nach
links.
Wir berechnen also den fairen Preis zur Zeit 0 (den Wert ω0T (S0 )), indem
wir die ωT-t t (die fairen Preise zu den Zeitpunkten t = 0,…,T)
rekursiv bestimmen. Wir beschränken uns hier auf den Fall T=3:
Entsprechend der Definition von UtT lassen sich die ωT-t t folgendermaßen
berechnen:
ω2 1 (S0 u2 ) = q* h3 (S0 u3 ) + (1- q)* h3 (S0 u2 d)
ω2 1 (S0 ud) = q* h3 (S0 u2 d) + (1- q)* h3 (S0 ud2 )
ω2 1 (S0 d2 ) = q* h3 (S0 ud2 ) + (1- q)* h3 (S0 d3 )
ω1 2 (S0 u) = q*max{h2 (S0 u2 ), ω2 1 (S0 u2 )} + (1- q)* max{h2 (S0 ud),
ω2 1 (S0 ud)}
ω1 2 (S0 d) = q* max{h2 (S0 ud), ω2 1 (S0 ud)} + (1- q)*max{h2 (S0 d2 ),
ω2 1 (S0 d2 )}
10
ω0 3 (S0 ) = q* max{h1 (S0 u), ω1 2 (S0 u)} + (1- q)*max{h1 (S0 d), ω1 2 (S0 d)}
Der Wert ω0 3 (S0 ) ist folglich der faire Preis eines amerikanischen Claims
zur Zeit 0 im binomialen Modell.
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6. Literaturverzeichnis
Irle, Albrecht: Finanzmathematik. Die Bewertung von Derivaten.
Stuttgart: Teubner 1998.
Elliot, Robert James: Mathematics of financial markets.
New York: Springer 1999.
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