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Übungen zur Quantenmechanik II Theoretische Physik V im WS 2008/2009 — Dr. M. Kastner Abgabe: 28. November Blatt 6 vor Zimmer 01.504 Aufgabe 17: Permutationen Zeigen Sie: Jede Permutation lässt sich als Hintereinanderausführung von Transpositionen darstellen. Aufgabe 18: Korrektur der Helium-Energieniveaus aufgrund der Kernbewegung Vernachlässigt man die Kernbewegung (d. h. Kernmasse mK → ∞) und die Elektron-Elektron-Wechselwirkung, so wird das Heliumatom durch den Hamilton-Operator p2e1 p2 2 e2 2 e2 + e2 − − 2me 2me |re1 − r K | |r e2 − r K | − auf dem Hilbert-Raum H = (L2 (R3 ) ⊗ C2 )2 der antisymmetrischen Zwei-Elektronen-Zustände beschrieben. pei und rei bezeichnen den Impuls- bzw. Ortsoperator des i-ten Elektrons, während pK und r K die entsprechenden Kerngrößen sind. Durch Addition der kinetischen Energie p2K /(2mK ) des Kerns zu H0 können wir seine Bewegung mit berücksichtigen. H0 = (a) Leiten Sie für endliche mK die Form des Operators der kinetischen Energie des Atomkerns im Schwerpunktsystem her. p2 p2 p ·p Ergebnis: TK = 1 + 2 + 1 2 mit den relativen Elektronenimpulsen pi . 2mK 2mK mK (b) Das Massenverhältnis me /mK ≪ 1 erlaubt die Berechnung der Korrektur der Energieeigenwerte des Heliumatoms durch TK mittels Störungstheorie. Wie lautet der Korrekturterm erster Ordnung? Verwenden Sie den Virialsatz, um einen der auftretenden Terme durch H0 (bzw. durch dessen Eigenwerte) auszudrücken. (c) Berechnen Sie den Korrekturterm zum Energieeigenwert des (1s, 2p)-Zustands des Ortho- bzw. Paraheliums. Hinweis: Für die (1s) bzw. (2p) Ortswellenfunktionen des Wasserstoffproblems mit Kernladungszahl Z = 2 gilt s s 23 −2 r/a0 1 , ψ2p (r) = e r e−r/a0 cos ϑ, ψ1s (r) = π a30 π a50 wobei a0 den Bohr-Radius bezeichne. Aufgabe 19: Zwei Fermionen im Kastenpotenzial Die Eigenzustände |ni ∈ L2 (R) und Eigenenergien εn eines spinlosen Teilchens im unendlich tiefen, eindimensionalen Kastenpotenzial ( 0 für |x| 6 a, V (x) = ∞ für |x| > a, mit a > 0 sind bereits aus der Quantenmechanik-I-Vorlesung bekannt. Da der Hamilton-Operator spinunabhängig ist, sind die Eigenzustände eines Spin-s-Teilchens in diesem Potenzial als Tensorprodukte |nsms i = |ni ⊗ |sms i ∈ L2 (R) ⊗ C2s+1 gegeben. Wir betrachten nun zwei nichtwechselwirkende, ununterscheidbare Spin- 21 -Teilchen im Potenzial V . Geben Sie die Eigenzustände des Zweiteilchensystems zu den drei niedrigsten Energieeigenwerten als Linearkombination der Produktzustände |n1 21 m1 i ⊗ |n2 12 m2 i an. Wie groß sind die Eigenenergien und ihr jeweiliger Entartungsgrad?
