Potenzen
JG 9
Potenzen & Wurzeln Zusammenfassung Klassenarbeit
Jahrgang 8 G- Kurs
Potenzen und Wurzeln
Zusammenfassung
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Potenzen
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1 Potenzen
2 Zehnerpotenzen
3 Zehnerpotenzen mit negativen Hochzahlen
4 Standardschreibweise für große und kleine Zahlen
5 Quadratwurzeln
6 Kubikwurzeln
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Eine Potenz gibt an, wie oft eine Zahl mit sich selber
malgenommen wird:
4³ = 4 · 4 · 4
125 = 12 · 12 · 12 · 12 · 12
68 = 6 · 6 · 6 · 6 · 6 · 6 · 6 · 6
77 = 7 · 7 · 7 · 7 · 7 · 7 · 7
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Eine besondere Potenz ist die Quadratzahl.
Hier ist die Hochzahl immer die 2.
42 = 4 · 4
122 = 12 · 12
62 = 6 · 6
Wir erinnern uns: Beim Quadrat
ist die Fläche immer
A = a · a = a²
A
a
a
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Potenzen
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Man kann mit Potenzen rechnen, ohne diese jeweils
auszuschreiben:
Beispiel:
43 · 4 = 4 · 4 · 4 · 4 = 44
44 · 4 = 45
Einmal „·4“
mehr, also …
Das geht doch
auch direkt!?
Das gilt, auch wenn es nicht „·4“, sondern „das Vierfache von“
heißt:
Das Vierfache von 47 = 48
Das Vierfache,
also „·4“!
4·4·4·4·4·4·4 ·4
also 8 mal
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Potenzen
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Für Potenzen gelten Vorfahrtregeln wie für „+“ , „-“
„·“ und „:“ und „()“ auch.
Zuerst Klammern, dann Potenzen, dann Punkt- und
zuletzt Strichrechnung.
Beispiel:
(4 + 3)²+ 2 · 5 =
72
+2·5=
14
14
+2·5=
+ 10 = 24
Zuerst
KLammer
Dann Potenz
Dann „·“ und „:“
Dann „+“ und „-“
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Es gibt noch andere Auffälligkeiten!
34 · 35
=3·3·3·3·3·3·3·3·3
Aha, ich muss also nur
= 39
4 + 5 = 9 rechnen
34 · 35 = 34+5 =39
Das ist ‚ne Rechenregel!
Das ist ja viel weniger
Arbeit!
74 · 78 = 74+8 = 712
Mit Buchstaben:
xm · xn = xm+n
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Eine weitere besondere Potenz ist die
Zehnerpotenz. Hier ist die Grundzahl immer
die 10.
102 = 10 · 10 = 100
103 = 10 · 10 · 10 = 1000
107 = 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 = 10000000
Bei genauer Betrachtung fällt auf,
das die Hochzahl immer der
Anzahl der Nullen entspricht!
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Übrigens
1 = 100
10 = 101
100 = 102
1000 = 103
10000 = 104
100 000 = 105
1000 000 = 106
10 000 000 = 107
100 000 000 = 108
1 000 000 000 = 109
10 000 000 000 = 1010
100 000 000 000 = 1011
1 000 000 000 000 = 1012
10 000 000 000 000 = 1013
100 000 000 000 000 = 1014
1 000 000 000 000 000 = 1015
10 000 000 000 000 000 = 1016
100 000 000 000 000 000 = 1017
Zehn
Hundert
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Eins
Tausend
Zehn- Tausend
Hundert-Tausend
Millionen
Zehn- Millionen
Hundert-Millionen
Milliarden
Zehn- Milliarden
Hundert-Milliarden
Zehn-
Billionen
Billionen
Hundert-Billionen
Billiarden
Zehn- Billiarden
Hundert- Billiarden
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10 00000000 = 109
100000000 = 108
10000000 = 107
1000000 = 106
100000 = 105
10000 = 104
1000 = 103
100 = 102
10 = 101
Neu!
1 = 100
Über die Hochzahl
10-1 = 0,1
können wir auch
10-2 = 0,01
kleine Zahlen
10-3 = 0,001
definieren!
10-4 = 0,0001
10-5 = 0,00001
Die Hochzahl zeigt, wie oft das Komma von der 1 weg
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verschoben wird!
Wir kennen:
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Zehnerpotenzen mit negativem Exponent beschreiben den
Rechenschritt „:10“
Wenn wir „:10“ als Bruch ausdrücken, können wir schreiben:
1
= 10 = 0,1
1
-2
Und weiter gilt 10 = 10 · 10 = 0,01
1
-3
10 = 10 · 10 · 10 = 0,001
.. und so weiter!
10-1
Die negative Hochzahl einer Zehnerpotenz gibt
also an, wie oft durch 10 geteilt wird.
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Grosse Zahlen mit Zehnerpotenzen
Man kann sehr große Zahlen mit Zehnerpotenzen ausdrücken !
268900000000000
11 Nullen,
(11 Kommastellen)!
= 2689 · 1011
= 268,9 · 1012
= 26,89 · 1013
= 2,689 · 1014
Bei jeder Erhöhung
der Zehnerpotenz
verschiebt sich das
Komma um eine
Stelle !
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Kleine Zahlen mit Zehnerpotenzen
Man kann sehr kleine Zahlen mit Zehnerpotenzen ausdrücken !
0,0002689
4 Kommastellen
= 2,689 ·
10-4
= 26,89 · 10-5
= 268, 9 · 10-6
= 2689 · 10-7
Bei jeder Erhöhung
der Zehnerpotenz
verschiebt sich das
Komma um eine
Stelle, aber in die
andere Richtung!!
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Quadratwurzel
Bisher haben wir das Ergebnis einer Potenzierung gesucht:
Beispiel:
5² =
5·5=
25
Jetzt haben wir das Ergebnis und suchen die Zahl, die mit sich selber
malgenommen das Ergebnis ergibt.
?·?=
16
Diese Berechnung hat eine bestimmte Schreibweise:
2
? = 16
Man sagt dazu: „Wurzel“, hier „Wurzel 16“.
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Quadratwurzel
Aus dem 1 x 1 kennen wir schon verschiedene Ergebnisse
Beispiel:
2
16 = 4
denn 4 · 4 = 16
2
9 =
denn 3 · 3 = 9
2
3
25 = 5
denn .....
Andere Zahlen gehen nicht glatt auf:
2
8 =
2,8284271247461900976033774484194...
2
5 =
2,2360679774997896964091736687313..
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Quadratwurzel
Die Wurzel gilt nicht als Term, also „Rechenanweisung“, sondern als
Zahl.
Man könnte also schreiben:
1, 2,
2
9, 2 16, 5, 6, 7, 8, 2 81, 10, 11, =
oder:
2
1, 2,
3, 4,
2
Es ist also nicht nur
Damit liegt die Zahl
... und die Zahl
25, 6, 7, 8, 9, 2 100, 11, =
2
9 = 3 sondern
2
9
2
7 (= 2,64575131106459...)
2
9 ist 3 usw.
zwischen den natürlichen Zahlen 2 und 4.
zwischen den natürlichen Zahlen 2 und 3.
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Quadratwurzel
Man kann bei einigen Zahlen vorhersehen, ob das Ergebnis einer
Wurzel eine „glatte“ Zahl ergibt:
Beispiel:
aber:
2
16 = 4
2
36 = 6
2
1600 = 40
2
3600 = 60
2
160 = 12,64911064 aber:
2
360 = 18,97366596
16000 = 126,4911064
2
36000 = 189,7366596
2
Du kommst selber drauf. Achte auf die Anzahl der Nullen!

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