Blatt 2, Ultraprodukten

Universität Freiburg, Abteilung für Mathematische Logik
Übung zur Vorlesung Modelltheorie 1, ws2014-2015
Prof. Dr. Heike Mildenberger
Dr. Mohsen Khani
Blatt 2, Ultraprodukten
Nur nummerierte Aufgaben sind abzugeben.
Sei I eine Menge und P (I) = {X|X ⊆ I}. Ein Filter auf I ist eine Menge
D ⊆ P (I) mit den folgenden Eigenschaften
1. I ∈ D, ∅ 6∈ D,
2. wenn A, B ∈ D, dann A ∩ B ∈ D,
3. wenn A ∈ D und A ⊆ B ⊆ I, dann B ∈ D.
D ist ein Ultrafilter, wenn für alle X ⊆ I entweder X ∈ D oder I − X ∈ D.
Jeder Filter kann zu einem Ultrafilter erweitert werden (Beweis mit Hilfe von
Lemma von Zorn).
Seien
• L unsere Sprache,
• I eine unendliche Menge,
• für i ∈ I sei Mi eine L-Struktur,
Q
• i∈I Mi = {(ai )i∈I |ai ∈ Mi }, und
• D ein Ultrafilter auf I.
Wir definieren: (ai )i∈I ∼ (bi )i∈I ⇔ {i|aQ
i = bi } ∈ D. Man rechtet nach, dass
∼ eine Äquivalenzrelation ist. Sei M = i∈I Mi / ∼. Im Folgenden finden wir
eine L-Struktur M deren Grundmenge M ist. Wir Q
nennen sie das Ultraprodukt
von Mi (modulo D) und bezeichnen sie mit M = i∈I (Mi )/D.
Interpretation der Konstanten Sei c ∈ L eine Konstante. c ist in allen Mi
i
als cMi interpretiert. Sei cM = [(cM
i )i∈I ]/∼.
Interpretation der Funktionen Sei f (x1 , . . . , xn ) ein Funktion-Zeichnen,
das in Mi als f Mi interpretiert ist (i ∈ I). Dann definieren wir:
f M [(a1i )i∈I ]/∼, . . . , [(ani )i∈I ]/∼ = [(bi )i∈I ]/∼ ⇔
{i|f Mi (a1i , . . . , ani ) = bi } ∈ D.
Interpretation der Relationen
RM ([(a1i )i∈I ]/∼, . . . , [(ani )i∈I ]/∼) ⇔
{i|RMi (a1i , . . . , ani )} ∈ D
1
Aufgabe (Satz von Loś). Für
[(a1i )i∈I ]/∼, . . . , [(ani )i∈I ]/∼) ∈ M :
alle
L-Formeln
φ(x1 , . . . , xn )
und
M |= φ [(a1i )i∈I ]/∼, . . . , [(ani )i∈I ]/∼ genau dann, wenn
{i|Mi |= φ(a1i , . . . , ani )} ∈ D.
Aufgabe 1. Beweisen Sie den Kompaktheitsatz mit Hilfe der Ultraprodukten.
Hinweis. Nehmen wir an, dass T endlich erfüllbar ist. Sei
• I = {∆ ⊆ T |∆ endlich},
• für alle φ, sei Xφ = {∆|∆ ⊆ T, ∆ endlich , φ ∈ ∆},
• D = {Xφ |φ ∈ T }.
Man zeigt, dass
1. D hat die ‘Finite Intersection Property’ und ist daher in einem Ultrafilter
U enthalten.
Q
2. ∆∈I M∆ /U |= T , wobei M∆ |= ∆ für alle ∆ ∈ I.
Aufgabe 2. Für jede L-Struktur A definieren wir:
Th(A)
=
{φ|φ eine Aussage
und
A
|=
φ}.
Sei
C
eine
Klasse
von
L-Strukturen.
T
Dann Th(C) := A∈C Th(A). Zeigen Sie, dass für alle L-Strukturen M:
M |= Th(C) genau dann, wenn M elementar äquivalent zu einer Ultraprodukt
der Elementen aus C ist.
Aufgabe 3. Zeigen Sie, dass C eine elementare Klasse ist genau dann, wenn
es unter Ultraprodukten und elementarer Äquivalenz geschlossen ist. (C heißt
eine elementare Klasse, wenn es eine T gibt, so dass C = {M|M |= T }).
Aufgabe 4. Sei C eine Klasse von endliche L-Strukturen, so dass für alle n ∈ ω,
{A ∈ C : |A| = n} endlich ist. Sei Tha (C) := {φ| nur endliche viele A ∈
C erfüllen φ nicht}. Zeigen Sie folgendes
M ist eine unendliche Modell von Th(C) genau dann, wenn M |= Tha (C).
2