S. 11 Aufg. A1
”Bestimmen Sie die Stromstärke, die ein Drehspulinstrument anzeigt. ”
Ein Drehspulinstrument ist bei der Anzeige der Stromstärke recht träge. D.h. es
zeigt nicht sofort die genaue Stromstärke an, sondern erst nach einer zeitlichen
Verzögerung. Ändert sich die Stromstärke periodisch und sehr schnell, so pendelt
sich die Anzeige bei einer Position ein, bei welcher der Zeiger in gleichem Maße
zu wenig anzeigt (wenn eigentlich mehr Strom fließt) als auch zu viel anzeigt
(wenn eigentlich weniger Strom fließt). Gesucht ist also die mittlere Stromstärke
I.
gesucht: I
Gegeben ist folgende Information: ”Frequenz 50Hz”des ”periodischen Stromverlaufs”, d.h. 50 mal je Sekunde fließt Ladung, unterbrochen durch 50 Pausen
je Sekunde ohne Stromfluss. Des weiteren ist dem Text zu entnehmen, dass jede
der 50 Male in denen Strom fließt 0, 005s dauert und in diesen 0,005 Sekunden
die Stromstärke 100mA beträgt. In den Pausen beträgt die Stromstärke I = 0A.
gegeben: Ian = 100mA
Iaus = 0mA
tan = 0, 005s
1
f = 50Hz = 50
s
Lösung: Gesucht ist die mittlere Stromstärke I. Um diese zu bestimmen gibt es
2 Möglichkeiten.
Erste Möglichkeit: man kann die in einer Sekunde insgesamt geflossene Ladung
bestimmen und daraus die Stromstärke, welche nötig wäre, um bei einem gleichbleibenden, kleineren Stromfluss die gleiche Menge an Ladung zu transportieren.
Q = 50 · Ian · tan = 50 · 100mA · 0, 005s = 25mAs = 25mC
Q
25mC
I=
=
= 25mA
t
1s
Zweite Möglichkeit: man bildet den zeitgewichteten Mittelwert für die Momente
in den Stromfluss und den Momenten in denen kein Strom fließt. In 1 Sekunde
fließen 50 mal 0,005 Sekunden lang Strom.
50 · 0, 005s = 0, 25s.
Daraus folgt, dass in der ganzen Sekunde also 0, 75s (wegen 0, 25s + 0, 75s = 1s)
lang kein Strom geflossen ist. Im Mittel beträgt also die Stromstärke I nur ein
0, 25s
1
Viertel (wegen
= ).
1s
4
Ian
100mA
I=
=
= 25mA.
4
4
S. 11 Aufg. A2
”Zeichnen Sie ein t-I-Schaubild und bestimmen Sie daran die Ladung, die in 9s
geflossen ist.”
gesucht: Q
1
In dem Schaubild werden die Werte der gegebenen Tabelle eingetragen. Die
Messpunkte können durch eine sich asymptotisch der t-Achse nähernde Kurve
verbunden werden. Für eine exakte Lösung müsste man aus den Messwerten
z.B. per Regression die zugehörige mathematische Funktion bestimmen und für
diese das Integral bestimmen.
Mit weniger Aufwand lässt sich die Ladungsmenge näherungsweise über die Mittelwerte bestimmen. Messwerte liegen vor für t = 0s, t = 2s, t = 4s und t = 9s.
Die Zeiträume für die Bestimmung der Mittelwerte sollen passend zu diesen
Zeiten gewählt werden. Der erste Zeitraum beginnt bei 0s und endet bei 2s. Zu
Beginn diesen Zeitraums betrug die Stromstärke 6mA am Ende des Zeitraums
3mA. Die mittlere Stromstärke für diese 2s beträgt also 4, 5mA. Die geflossene
Ladungsmenge ist gleich dem Produkt der mittleren Stromstärke und der Dauer
des Zeitraums Q = I · t = 4, 5mA · 2s = 9mC.
Für alle Zeiträume folgt:
Q1 = I 1 · (t1 − t0 ) = 4, 5mA · (2s − 0s)= 4, 5mA · 2s = 9mC
3mA + 1, 5mA
Q2 = I 2 · (t2 − t1 ) =
· (4s − 2s) = 2, 25mA · 2s = 4, 5mC
2
1, 5mA + 0, 1mA
Q3 = I 3 · (t3 − t2 ) =
· (9s − 4s) = 0, 8mA · 5s = 4mC
2
Die Gesamtladungsmenge beträgt dann Q = Q1 + Q2 + Q3 = 9mC + 4, 5mC +
4mC = 17, 5mC
”Bestimmen Sie die mittlere Stromstärke in dem Zeitintervall zwischen 0s und
9s.”
gesucht: I
Lösung: I =
Q
17, 5mC
=
= 1, 95mA
t
9s
S. 11 Aufg. A3
a)
”Bestimmen Sie in V2 die Durchschnittsgeschwindigkeit der Pendelkugel für die
Hin oder Herbewegung.”
gesucht: v
Geschwindigkeit ist der Quotient aus zurückgelegter Strecke und der dafür
benötigten Zeit.
gegeben: Plattenabstand d = 10cm = 0, 1m
Kugelradius r = 1, 75cm = 0, 0175m
1
Anschlagfrequenz f = 3Hz = 3
s
Der von der Kugel zurückgelegt Weg ist nicht gleich dem Plattenabstand. Betrachtet man die Kugelmitte, so bewegt diese sich von einem Punkt 1, 75cm
vor der einen Platte bis zu einem Punkt 1, 75cm vor der anderen Platte. Der
zurückgelegte Weg ist also s = 10cm − 2 · 1, 75cm = 6, 5cm = 0, 065m. Pro
2
Sekunde schlägt die Kugel dreimal an die rechte Platte, also hat sie in einer
Sekunde dreimal den Weg von der linken zur rechten Platte und sechsmal den
Weg von 6, 5cm zurückgelegt.
gegeben: Weg s = 6 · 6, 5cm = 39cm = 0, 39m
benötigte Zeit t = 1s
Lösung: v =
0, 39m
s
=
= 0, 39m/s
t
1s
b)
”Erklären Sie dies [die größere Periodendauer ohne Kondensator].”
Die Periodendauer T eines Pendels bestimmt sich aus der wirkenden Rückstellkraft
D und der Masse m des Pendels. Je kleiner die Rückstellkraft ist, desto größer ist
die Periodendauer. Beim Fadenpendel im Kondensator wirkt neben der Schwerkraft noch die elektrische Abstoßung bzw. Anziehung zwischen der Kugel und
den Platten. Die Wirkung der elektrischen Kraft Felektr. ändert beim Durchgang durch die Gleichgewichtslage jedoch nicht ihre Richtung, anders als die
Rückstellkraft. Bei der Bewegung in Richtung der Gleichgewichtslage addieren sich die Rückstellkraft und elektrische Kraft, dadurch verringert sich die
Periodendauer. Nach dem Durchgang durch die Gleichgewichtslage subtrahieren sich Schwerkraft und elektrische Kraft. Während jedoch beim Pendel ohne
Kondensator die Rückstellkraft in der Gleichgewichtslage verschwindet und erst
langsam ansteigt, bleibt die elektrische Kraft gleich groß. Das Pendel wird also
auch nach dem Durchgang durch die Gleichgewichtslage weiter beschleunigt und
erreicht den Umkehrpunkt nach kürzerer Zeit. Die Periodendauer verringert sich
auch hierbei.
c)
”Geben Sie die Faktoren an, welche die Zeit für die Bewegung zwischen den
Platten beeinflussen.”
Wie in b) ausgeführt, hängt die Zeit t, also die Periodendauer T , einmal von
der Rückstellkraft D des Fadenpendels ab. Diese wiederum hängt von der Fadenlänge l und dem Ortsfaktor g ab. Des weiteren wird die Zeit von der Stärke
der elektrischen Kraft Felektr. beeinflusst und diese wiederum von der Ladung
q der Kugel und der Stärke E des elektrischen Feldes.
S.14 Aufg. A1
a)
”Berechnen Sie die Kraft, die eine Ladung von 10nC in einem Feld der Stärke
10kN/C erfährt.”
gesucht: Kraft F
3
gegeben: Ladung q = 10nC
elektrische Feldstärke E = 10kN/C
Lösung: Die Gleichung, welche die gesuchte mit den gegebenen Größen in Beziehung setzt, lautet:
N
F = E·q = 10kN/C·10nC = 10·103 ·10·10−9 C = 100·10−6 N = 0, 1·10−3 N =
C
0, 1mN .
b)
”Bestimmen Sie die Größe der Ladung [auf welche in diesem Feld eine Kraft
von 10µN wirkt]. ”
gesucht: Ladung q
gegeben: Kraft F = 10µN
elektrische Feldstärke E = 10kN/C
Lösung: Die Gleichung, welche die gesuchte mit den gegebenen Größen in Beziehung setzt, lautet:
10µN
10 · 10−6 N
10 10−6 N · C
F
=
=
=
·
·
= 1 · 10−9 C = 1nC.
q=
E
10kN/C
10 · 103 N/C
10 103
N
S.14 Aufg. A2
Die Feldlinien enden senkrecht auf den metallischen Oberflächen von Kugel und
Metallplatte. Zwischen der Kugel und der Metallplatte treten Kräfte auf, da die
geladene Kugel über die Ladungsverschiebung (Influenz) für eine ungleichnamig
geladene Metalloberfläche sorgt, welche wiederum die Kugel anzieht.
S.14 Aufg. A4
”Vergleichen Sie die beiden Felder.”
Da über die Verteilung der Ladung (punktförmig oder entlang Draht oder auf
Platte verteilt) nichts im Text steht, kann nur die Stärke der Felder verglichen
werden.
gesucht: elektr. Feldstärke E
gegeben: Ladung q1 = 1, 0nC und Kraft F = 0, 10mN
Ladung q2 = 3, 0nC und Kraft F = 0, 20mN
Lösung: Die Gleichung, welche die gesuchte mit den gegebenen Größen in Beziehung setzt, lautet:
F1
0, 10mN
0, 10 · 10−6 N
=
=
= 0, 10 · 103 N/C = 0, 10kN/C
E1 =
q1
1, 0nC
1, 0 · 10−9 C
F2
0, 20mN
0, 20 · 10−6 N
E2 =
=
=
= 0, 07 · 103 N/C = 0, 07kN/C
q2
3, 0nC
3, 0 · 10−9 C
Die Stärke des Feldes (1) ist somit größer als die Stärke des Feldes (2).
4
S.14 Aufg. A6
”Berechnen Sie die Stärke eines elektrischen Feldes, in dem das Wattestück
schwebt.”
Schweben bedeutet, dass keine resultierende Kraft auf das Wattestück wirkt
und es deshalb in Ruhe bleibt. Keine resultierende Kraft bedeutet, dass sich alle
wirkenden Kräfte in ihrer Größe und Richtung aufheben. Auf das Wattestück
wirkt die Schwerkraft, sie ist senkrecht nach unten gerichtet. Ebenfalls wirkt
aufgrund der Ladung des Wattestücks die elektrische Kraft im elektrischen Feld
auf das Wattestück. Diese muss also entgegengesetzt nach oben gerichtet und
gleich groß wie die Schwerkraft sein.
gesucht: Schwerkraft FG und Stärke des elektrischen Feld E
gegeben: Masse m = 0, 01g = 0, 01 · 10−3 kg und Ladung q = −0, 1nC
Lösung: Die wirkende Schwerkraft bestimmt sich aus FG = m · g = 0, 01 ·
10−3 kg · 9, 81m/s2 = 0, 0981 · 10−3 kgm/s2 = 0, 0981mN . Die zum Erreichen
einer gleich großen Kraft nötige elektrische Feldstärke bestimmt sich aus E =
F
0, 0981mN
0, 0981 · 10−3 N
=
=
= 0, 981 · 106 N/C = 981kN/C
q
0, 1nC
0, 1 · 10−9 C
”Geben Sie die Richtung des Feldes an.”
Aus den Überlegungen oben folgt, dass die Kraft des elektrischen Feldes nach
oben gerichtet sein muss. Die Ladung des Wattestücks ist negativ, die Richtung
des elektrischen Feldes wird jedoch immer durch die Kraftwirkung auf eine positive Probeladung angegeben. Eine positive Probeladung würde eine Kraft nach
unten spüren, das elektrische Feld ist also von oben nach unten gerichtet.
gesucht: Kraft F
gegeben: Ladung q = 10nC
elektrische Feldstärke E = 10kN/C
Lösung: Die Gleichung, welche die gesuchte mit den gegebenen Größen in Beziehung setzt, lautet:
N
F = E·q = 10kN/C·10nC = 10·103 ·10·10−9 C = 100·10−6 N = 0, 1·10−3 N =
C
0, 1mN .
S.14 Aufg. A7
a)
”Berechnen Sie den Ausschlag in einem horizontal verlaufenden Feld der Stärke
70kN/C.”
gesucht: Ausschlag s
gegeben: Masse m = 0, 4g = 0, 4 · 10−3 kg
Ladung q = 5, 0nC
Feldstärke E = 70kN/C
5
Fadenlänge l = 1, 0m
Lösung: Durch geometrische Überlegung (siehe S. 15) erhält man aus der Ähnlichkeit
des von den Kräften gebildeten sowie des von Auslenkung und Fadenlänge geFelektr
s
bildeten rechtwinkligen Dreiecks den Zusammenhang
=
FG
l
Die Kraft im elektrischen Feld bestimmt sich aus Felektr = E · q = 70kN/c ·
5, 0nC = 70 · 103 N/C · 5, 0 · 10−9 C = 350 · 10−6 N = 0, 35 · 10−3 N = 0, 35mN .
Die Schwerkraft beträgt FG = m · g = 0, 4 · 10−3 kg · 9, 81m/s2 = 3, 92 · 10−3 N =
3, 92mN . Somit sind alle Größen zur Bestimmung der Auslenkung s bekannt:
Felektr
0, 35mN
s=
·l =
· 1, 0m = 0, 0893m = 89, 3mm.
FG
3, 92mN
b)
”Geben Sie den Ausschlag an, wenn die Ladung doppelt so groß ist.”
Aufgrund der doppelten Ladung wirkt im elektrischen Feld eine doppelt so große
Kraft Felektr . Die Schwerkraft bleibt unverändert, das Verhältnis aus elektrischer
Kraft und Schwerkraft verdoppelt sich also ebenfalls. Demnach verdoppelt sich
auch das Verhältnis aus Auslenkung und Fadenlänge. Da die Fadenlänge konstant bleibt, verdoppelt sich also die Auslenkung auf s = 178, 6mm.
”Treffen die Überlegungen auch zu, wenn die Ladung 1000-mal so groß ist?”
Nein. Bei der Herleitung der Gleichung für den Zusammenhang von Felektr , FG ,
s und l konnte die eigentlich benötigte Höhe h für Ausschläge klein gegenüber
der Fadenlänge l eben durch l ersetzt werden, da beide Größen dann in etwa
gleich groß sind. Die in Aufgabe a) erhaltene Auslenkung von 8, 9cm und 17, 9cm
sind klein gegenüber der Fadenlänge vom 1m. Bei einer 1000-mal so großen
Ladung ist dies nicht mehr der Fall. Dann sollte die Höhe h klein gegenüber
der Auslenkung s sein. Die Auslenkung sollte etwas kleiner als die Fadenlänge
l sein, da der Faden mit dem Kügelchen fast horizontal im elektrischen Feld
ausgerichtet sein dürfte.
S.21 Aufg. A1
”Berechnen Sie die Feldstärke sowie die Kraft auf eine Probeladung q = 10nC.”
gesucht: Feldstärke E und Kraft F .
gegeben: Plattenabstand d = 2, 0cm = 0, 02m und Spannung U = 1, 0kV
Lösung: Die Gleichung, welche die gesuchte Feldstärke mit den gegebenen Größen
U
1, 0kV
in Beziehung setzt, lautet: E =
=
= 50kV /m = 50kN/C. Die Gleid
0, 02m
chung, welche die gesuchte Kraft mit den gegebenen Größen in Beziehung setzt,
lautet: F = E · q = 50kN/C · 10nC = 50 · 103 N/C · 10 · 10−9 C = 500 · 10−6 N =
500µN = 0, 5mN
”Bestimmen Sie die Energie, welche die Feldkräfte beim Transport von der einen
zur anderen Plattenseite übertragen.”
6
In der Mechanik wird die geleistete Arbeit W , also die durch Kräfte übertragene
Energie, nach W = F · s berechnet. s ist dabei der parallel zur Richtung der
Kraftwirkung zurückgelegte Weg.
gesucht: übertragene Energie W
gegeben: Kraft F = 0, 5mN und Weg (entsprechend dem Plattenabstand d)
s = 0, 02m.
Lösung: W = F · s = 0, 5mN · 0, 02m = 0, 01mJ
”Prüfen Sie die Spannungsangabe mit U = W/q nach.”
gesucht: Spannung U
gegeben: Energie W = 0, 01mJ und Ladung q = 10nC
Lösung: U = W/q =
1kV .
0, 01 · 10−3 J
0, 01mJ
=
= 0, 001 · 106 J/C = 1 · 103 V =
10nC
10 · 10−9 C
S.21 Aufg. A2
”Berechnen Sie die Geschwindigkeit, die es beim Durchlaufen von 100kV erhält.”
gesucht: Geschwindigkeit v.
gegeben: Masse m = 0, 02g = 0, 02 · 10−3 kg
Ladung q = 0, 10nC
Spannung U = 100kV
Lösung: Aus den gegebenen Größen lässt sich die Geschwindigkeit nicht ohne
weiteres berechnen. Bestimmen lässt sich aus gegebener Spannung und Ladung
jedoch im elektrischen Feld übertragene Energie. Diese wird in Bewegungsenergie umgewandelt, welche wiederum mit der gesuchten Geschwindigkeit in Beziehung steht.
−9
−6
W = U · q = 100kV · 0, 10nC = 100 · 103 V · 0, 10 · 10
s C = 10 · 10 J = 10µJ
r
m
2·W
2 · 10 · 10−6 J
W = v 2 , und nach v umgestellt: v =
=
= 1m/s
2
m
0, 02 · 10−3 kg
”Bestimmen Sie die Spannung zwischen waagerechten Kondensatorplatten vom
Abstand 20cm, wenn das Kügelchen darin schweben soll.”
Damit das Kügelchen schwebt, muss es sich im Kräftegleichgewicht befinden.
Zum einen wirkt auf das Kügelchen die Schwerkraft. Dem entgegen muss die
Kraft im elektrischen Feld wirken.
gesucht: Schwerkraft FG und Spannung U
Lösung: FG = m · g = 0, 02 · 10−3 kg · 9, 81m/s2 = 0, 196 · 10−3 N
U
F
0, 196 · 10−3 N
· q und nach U umgestellt: U =
·d =
·
Felektr = E · q =
d
q
0, 10 · 10−9 C
6
0, 2m = 0, 392 · 10 V = 392kV
7
S.17 Aufg. A2
a)
”Bestimmen Sie die Anziehungskraft zwischen den beiden [Elektron und Proton].”
gesucht: Kraft F .
gegeben: Abstand r = 5 · 10−11 m
Ladung q = e = 1, 602 · 10−19 C
Lösung: Elektron und Proton können für diese Aufgabe als punktförmige Ladungen angesehen werden, zwischen denen die Coulombkraft wirkt. Beide tragen jeweils die Elementarladung e als Ladung. Da nur der Betrag und nicht die
Richtung der Kraft von Interesse ist, genügt es, die Ladung ohne Vorzeichen zu
verwenden.
1
(1, 609 · 10−19 C)2
1
Qq
·
= 9, 3 · 10−8 N
F =
· 2 =
2
−11 m)2
4π0 r
(5
·
10
C
4π · 8, 85 · 10−12
N m2
b)
”Berechnen Sie die daraus sich ergebende Abstoßungskraft [zwischen den Protonen im Atomkern].”
gesucht: Kraft F .
gegeben: Abstand r = 3 · 10−15 m
Ladung q = e = 1, 602 · 10−19 C
Lösung: F =
1
Qq
=
·
4π0 r2
1
4π · 8, 85 · 10−12
C2
N m2
·
(1, 609 · 10−19 C)2
= 26N
(3 · 10−15 m)2
S.19 Aufg. A1
”Berechnen Sie die Feldstärke im Abstand r = 80cm vom Kugelmittelpunkt.”
gesucht: Feldstärke E.
gegeben: Abstand r = 80cm = 0, 8m
Ladung Q = 0, 1µC = 0, 1 · 10−6 C
Lösung: Das elektrische Feld rund um die geladene Kugel entspricht dem Coulombfeld einer punktförmigen Ladung.
1 Q
1
0, 1 · 10−6 C
·
E=
· 2 =
= 1, 4·103 N/C = 1, 4kV /m
2
2
4π0 r
(0,
8m)
C
4π · 8, 85 · 10−12
N m2
”Bestimmen Sie die Ladungen, die dort [in 80cm Entfernung] auf zwei Testplat8
ten senkrecht zum Feld induziert werden.”
gesucht: Ladungsmenge Q.
gegeben: Abstand r = 80cm = 0, 8m
Feldstärke E = 1, 4kV /m
Plattengröße A = 4cm2 = 0, 0004m2
Lösung: Durch das elektrische Feld werden die Ladungen auf den Testplatten
verschoben (Influenz). Eine Platte wird nach Trennen der Verbindung zwischen
den Platten negativ und die andere positiv geladen sein. Die Ladungsverschiebung wird dabei so groß sein, dass die Feldstärke aufgrund der Ladung auf den
Platten der influenzverursachenden Feldstärke entspricht. Die Feldstärke aufgrund der Ladung auf der Testplatte bestimmt sich aus der Flächenladungsdichte
der Testplatte.
C2
1 Q
· und nach Q umgestellt: Q = 0 · E · A = 8, 85 · 1012
· 1400V /m ·
E=
0 A
N m2
0, 0004m2 = 5 · 10−12 C = 5pC
S.19 Aufg. A3
b)
”Berechnen Sie aus der gemessenen Kraft die Ladung der Kugeln.”
gesucht: Ladung Q.
gegeben: Abstand r = 20cm = 0, 2m
Kraft F = 0, 20mN = 0, 2 · 10−3 N
Lösung: Die Kraft zwischen den geladenen Kugeln bestimmt sich aus dem Coulombgesetz.
1
Q·Q
1
Q2
F =
· 2 =
· 2 und umgestellt nach der gesuchten Ladung Q =
4π0
rr
4π0 r
√
C2
4π0 r2 F = 4π · 8, 85 · 10−12
· (0, 2m)2 · 0, 2 · 10−3 N = 2, 98 · 10−8 C =
N m2
298 · 10−6 C = 298µC
9
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S. 11 Aufg. A1 S. 11 Aufg. A2